Tag: Fungsi Kuadrat

Perhatikan gambar berikut.
Diketahui:
$\begin{aligned} L_{ABCD} &  = (2l+4)(l+2) \\ & = 2l^2 + 8l + 8 \\ L_{\text{Lapangan}} & = 2l \cdot l =2l^2 \\ L_{\text{Jalan}} & = 128~\text{m}^2 \end{aligned}$
Luas lapangan dapat ditentukan dengan mengurangkan luas $ABCD$ dengan luas jalan. Secara matematis, ditulis
$\begin{aligned} L_{\text{Lapangan}} & = L_{ABCD} -L_{\text{Jalan}} \\ 2l^2 & = 2l^2 + 8l + 8 -128 \\ 8l & = 120 \\ l & = 15~\text{m}. \end{aligned}$
Diperoleh lebarnya $15$ meter.
$L_{\text{Lapangan}} = 2l^2 = 2(15)^2 = 450~\text{m}^2.$
Jadi, luas lapangan itu adalah $\boxed{450~\text{m}^2}$
(Jawaban D)

Diketahui fungsi kuadrat $h(t) = 40t-5t^2$ dengan $a = -5, b = 40, c = 0.$
Tinggi maksimum peluru itu dapat ditentukan dengan menggunakan rumus nilai maksimum grafik fungsi kuadrat, yaitu
$\begin{aligned} y_{maks} & = \dfrac{D}{-4a} \\ & = \dfrac{b^2-4ac}{-4a} \\ & = \dfrac{40^2 – 4(-5)(0)}{-4(-5)} \\ & = \dfrac{1.600}{20} = 80~\text{m}. \end{aligned}$
Jadi, tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru adalah $80$ meter.
(Jawaban B)

Sketsakan gambar dalam bidang koordinat seperti berikut.

Pemain basket diwakili oleh tanda panah (berimpit dengan sumbu-$Y$) dengan panjang $1,8$ meter. Berdasarkan informasi dan menyesuaikan gambar tersebut, diketahui parabola melalui titik $(4; 1,2)$ serta memotong sumbu-$X$ di dua titik, yaitu $(0, 0)$ dan $(5, 0)$. Fungsi kuadratnya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} y & = a(x-x_1)(x-x_2) \\ 1,2 & = a(4-0)(4-5) \\ 1,2 & = a(4)(-1) \\ a & = -\dfrac{1,2}{4} = -0,3. \end{aligned}$
Artinya, $y = -0,3(x)(x-5).$
Absis titik puncak di $x_p = 2,5$. Substitusi untuk mencari nilai $y_p.$
$\begin{aligned} y_p & = -0,3(x)(x-5) \\ & = -0,3(2,5)(2,5-5) \\ & = -0,3(2,5)(-2,5) = 1,875 \end{aligned}$
Tinggi bola dari permukaan adalah $1,8+1,875 = 3,675~\text{m}.$
Padahal, diketahui bahwa tinggi maksimum bola adalah $3,8~\text{m},$ artinya ketinggian maksimum lemparan harus diturunkan $(3,8-3,675)~\text{m} = 0,125~\text{m}$ atau setara dengan $\boxed{12,5~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Misalkan:
$$\begin{aligned} y & = \text{tarif telepon rumah yang dibayarkan oleh pelanggan selama satu bulan dalam rupiah} \\ x & = \text{durasi telepon (dalam menit)} \\ z & = \text{biaya berlangganan selama satu bulan} \end{aligned}$$Rancangan model matematika:

1. Tarif telepon rumah yang dibayarkan oleh pelanggan pada suatu wilayah selama satu bulan dirumuskan dengan durasi telepon (dalam menit) selama satu bulan dikalikan dengan tarif telepon, lalu ditambah dengan biaya berlangganan selama satu bulan:
   $$y = x \cdot (\color{red}{\text{tarif telepon rumah per menit}}) + z$$
2. Tarif telepon di wilayah tersebut senilai dengan $250$ lebihnya dari durasi telepon (dalam menit):
   $$\color{red}{\text{tarif telepon rumah per menit}} = x + 250$$
3. Biaya berlangganan selama satu bulan sebesar Rp55.000,00:
   $z = 55.000$

Persamaan tarif telepon rumah yang dibayarkan oleh pelanggan selama satu bulan dalam rupiah menjadi
$$\begin{aligned} y & = x \cdot (x + 250) + 55.000 \\ y & = x^2 + 250x + 55.000. \end{aligned}$$Jadi, persamaan tarif telepon rumah yang dibayarkan oleh pelanggan selama satu bulan dalam rupiah adalah $\boxed{x^2 + 250x + 55.000}$
(Jawaban B)

Misalkan:
$$\begin{aligned} y & = \text{harga jasa pengemudi} \\ x & = \text{jumlah penumpang} \\ z & = \text{indeks kepuasan pelanggan} \end{aligned}$$Rancangan model matematika:

1. Pendapatan pengemudi bus antarkota ditentukan dari besarnya UMR (Upah Minimum Regional) ditambah dengan hasil kali antara jumlah penumpang dan indeks kepuasan pelanggan setiap bulan:
   $$y = 3.200.000 + x \cdot z$$
2. Indeks kepuasan pelanggan di suatu bulan senilai dengan $100$ kurangnya dari jumlah penumpang selama bulan itu:
   $$z = x-100$$

Persamaan pendapatan pengemudi pada bulan tersebut dinyatakan dalam rupiah adalah
$$\begin{aligned} y & = 3.200.000 + x \cdot (x-100) \\ y & = x^2-100x + 3.200.000. \end{aligned}$$Jadi, persamaan tarif telepon rumah yang dibayarkan oleh pelanggan selama satu bulan dalam rupiah adalah $\boxed{x^2-100x +3.200.000}$
(Jawaban B)

Misalkan $A$ dan $B$ adalah nama dua orang tersebut. Kecepatan $A$ dimisalkan $x$ km/jam, berarti kecepatan $B$ adalah $(x+4)$ km/jam.
Jarak tempuh $A$ selama $2$ jam adalah $s_A = v_A \times 2 = 2x~\text{km}.$
Jarak tempuh $B$ selama $2$ jam adalah
$\begin{aligned} s_B & = v_B \times 2 \\ & = (x+4) \times 2 \\ & = (2x+8)~\text{km}. \end{aligned}$
Sekarang perhatikan sketsa berikut.
Lintasan $A$ dan $B$ ternyata membentuk sebuah segitiga siku-siku sehingga nilai $x$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} (2x + 8)^2 + (2x)^2 & = 40^2 \\ (4x^2 + 32x + 64) + 4x^2 & = 1600 \\ 8x^2 + 32x-1536 & = 0 \\ x^2+4x-192 & = 0 \\ (x+16)(x-12) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = -16$ atau $x = 12$. Karena $x$ mewakili besarnya kecepatan, nilainya tidak mungkin negatif. Jadi, diambil $x = 12.$
Jumlah jarak yang ditempuh $A$ dan $B$ adalah
$\begin{aligned} s_A + s_B & = 2x + (2x + 8) \\ & = 4x + 8 \\ & = 4(12) +8 = 56~\text{km}. \end{aligned}$ 

Jawaban a)
Diketahui fungsi permintaan: $Q_d=30-p^2.$
Bentuk rumus fungsi di atas dapat disesuaikan dengan variabel pada bidang Kartesius, yakni $f(x) = y = 30-x^2$.
Titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ terjadi ketika $x = 0$. Substitusi menghasilkan $y = 30-(0)^2=30.$
Jadi, titik potongnya berkoordinat $(0, 30).$
Persamaan sumbu simetri dirumuskan oleh
$x_{\text{maks}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{0}{2(-1)} = 0.$
Substitusi $x=0$ menghasilkan $y=30$. Ternyata koordinat titik puncak grafik sama dengan koordinat titik potong grafik terhadap sumbu-$Y,$ yaitu $(0, 30)$.
Tentukan beberapa koordinat titik lain yang dilalui grafik.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & 26 & 29 & 29 & 26 \\ \hline (x,y) & (-2, 26) & (-1, 29) & (1, 29) & (2, 26) \\ \hline \end{array}$$Posisikan titik-titik ini pada bidang Kartesius, lalu hubungkan membentuk parabola yang terbuka ke bawah (karena koefisien $x^2$ negatif).

Diketahui fungsi penawaran: $Q_s=4p^2-95.$
Bentuk rumus fungsi di atas dapat disesuaikan dengan variabel pada bidang Kartesius, yakni $g(x) = y = 4x^2-95.$
Titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ terjadi ketika $x = 0$. Substitusi menghasilkan $y = 4(0)^2-95 = -95.$
Jadi, titik potongnya berkoordinat $(0, -95).$
Persamaan sumbu simetri dirumuskan oleh
$x_{\text{maks}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{0}{2(4)} = 0.$
Substitusi $x=0$ menghasilkan $y=-95$. Ternyata koordinat titik puncak grafik sama dengan koordinat titik potong grafik terhadap sumbu-$Y,$ yaitu $(0, -95)$.
Tentukan beberapa koordinat titik lain yang dilalui grafik.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & -79 & -91 & -91 & -79 \\ \hline (x,y) & (-2, -79) & (-1, -91) & (1, -91) & (2, -79) \\ \hline \end{array}$$Posisikan titik-titik ini pada bidang Kartesius, lalu hubungkan membentuk parabola yang terbuka ke atas (karena koefisien $x^2$ positif).

Jika kedua kurva digambarkan pada satu bidang Kartesius, maka akan terlihat seperti gambar di bawah.
Jawaban b)
Keseimbangan pasar terjadi saat kedua kurva (grafik) berpotongan di kuadran pertama. Untuk menentukannya menggunakan cara grafik, sebaiknya gunakan kertas milimeter blok. Tampak pada gambar di bawah, keseimbangan pasar terjadi di titik $(5, 5)$. Ini berarti tingkat harga dan jumlah produknya adalah $5$.
Jawaban c)
Keseimbangan pasar terjadi saat $Q_d= Q_s$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} 30-p^2 & = 4p^2-95 \\ 5p^2 & = 125 \\ p^2 & = 25 \\ p & = \pm 5 \end{aligned}$
Karena $p$ mewakili harga, nilainya tak mungkin negatif sehingga hanya diambil $p=5.$
Substitusi $p=5$ pada $Q_d$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} Q_d & = 30-p^2 \\ & = 30-(5)^2 \\ & = 30-25 = 5. \end{aligned}$
Jadi, tingkat harga dan jumlah produk saat keseimbangan pasar berturut-turut adalah $p=5$ dan $Q_s = Q_d = 5.$

Jawaban a)
Formula penerimaan total perusahaan itu dapat disesuaikan variabelnya dengan bidang Kartesius, yaitu $f(x) = y = 20+200x-2x^2.$
Persamaan sumbu simetri dirumuskan oleh
$x_{\text{maks}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{200}{2(-2)} = 50.$
Substitusi $x=50$ menghasilkan
$\begin{aligned} y & = 20+200(50)-2(50)^2 \\ & = 20+10000-5000 = 5020. \end{aligned}$
Koordinat titik puncak grafik adalah $(50, 5020).$
Posisikan titik ini pada bidang Kartesius, lalu hubungkan membentuk parabola yang terbuka ke bawah (karena koefisien $x^2$ negatif).
Jawaban b)
Unit barang yang diproduksi agar diperoleh penerimaan total 
maksimum dinyatakan oleh persamaan sumbu simetri grafik, yakni $x = q = 50$.
Jawaban c)
Besar total penerimaan maksimum yang diperoleh tercapai ketika $x = q = 50$, yakni $5.020$ (dalam satuan puluhan ribu rupiah) atau $\boxed{\text{Rp}50.200.000,00}$

Jawaban a)
Fungsi penawarannya dapat ditulis seperti berikut.
$\begin{aligned} y & = 3x^2 + 9x + 6 \\ & = 3(x^2 + 3x + 2) \\ & = 3(x +1)(x + 2) \end{aligned}$
Titik potong grafik terhadap sumbu-$X$ terjadi ketika nilai $y = 0$. 
Substitusi menghasilkan
$\begin{aligned} 3(x+1)(x+2) & = 0 \\ \Leftrightarrow (x+1)(x+2) & = 0. \end{aligned}$
Diperoleh $x = -1$ atau $x = -2.$
Ini menunjukkan bahwa koordinat titik potong grafik terhadap sumbu-$X$ adalah $(-1, 0)$ dan $(-2, 0).$
Titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ terjadi ketika nilai $x = 0.$
Substitusi menghasilkan $y = 3(0)^2 + 9(0) + 6 = 6.$
Ini menunjukkan bahwa koordinat titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ adalah $(0, 6).$
Persamaan sumbu simetri dirumuskan oleh
$x_{\text{maks}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{9}{2(3)} = -\dfrac32.$
Substitusi $x = -\dfrac32$ ke rumus fungsi untuk mendapatkan nilai minimum (minimum karena koefisien $x^2$ positif sehingga parabola terbuka ke atas).
$$\begin{aligned} y = f(x) & = 3x^2+9x+6 \\ f\left(-\dfrac32\right) & = 3\left(-\dfrac32\right)^2+9\left(-\dfrac32\right)+6 \\ & = 3 \times \dfrac94 -\dfrac{27}{2} + 6 \\ & = \dfrac{27-54+24}{4} = -\dfrac34 \end{aligned}$$Jadi, titik puncak grafik di $\left(-\dfrac32, -\dfrac34\right).$
Plotkan ketiga titik yang ada di sistem koordinat Kartesius seperti gambar di bawah.
Hubungkan keempat titik secara mulus berdasarkan jejak parabola.
Jawaban b)
Jumlah barang yang ditawarkan tidak mungkin bernilai negatif dan harus berupa bilangan bulat. Untuk itu, intervalnya adalah $x \geq 0$ dengan $x \in \mathbb{Z}$ (anggota bilangan bulat).
Jawaban c)
Harga penawaran minimum dicapai saat nilai $x$ terendah (berdasarkan interval yang mungkin). Nilai $x$ terendah adalah $x = 0.$ Substitusi pada $y = 3x^2 + 9x + 6$ menghasilkan $y = 3(0)^2+9(0)+6 = 6.$
Jadi, interval harga penawaran adalah $y \geq 6$.

Jawaban a)
Rumus fungsi permintaan pada kasus ini adalah $f(x) = y = x^2-8x+10.$ Titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ terjadi ketika nilai $x = 0$. Substitusi menghasilkan $y = (0)^2-8(0)+10 = 10.$
Ini menunjukkan bahwa koordinat titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ adalah $(0, 10).$
Persamaan sumbu simetri dirumuskan oleh
$x_{\text{maks}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2(1)} = 4.$
Substitusi $x = 4$ ke rumus fungsi untuk mendapatkan nilai minimum (minimum karena koefisien $x^2$ positif sehingga parabola terbuka ke atas).
$\begin{aligned} f(x) & = x^2-8x+10 \\ f(4) & = (4)^2-8(4)+10 \\ y & = 16-32+10 = -6 \end{aligned}$
Jadi, titik puncak grafik di $(4, -6).$
Selanjutnya, substitusikan $x = 3$ dan $x = 5$ untuk mencari nilai fungsi permintaan (bilangan $3$ dan $5$ dipilih karena berdekatan dengan $4$).
$\begin{aligned} f(x) & = x^2-8x+10 \\ f(3) & = (3)^2-8(3)+10 = -5 \\ f(5) & = (5)^2-8(5)+10 = -5 \end{aligned}$
Jadi, grafik melalui titik $(3, -5)$ dan $(5, -5).$
Plotkan keempat titik yang ada di sistem koordinat Kartesius seperti gambar di bawah.
Hubungkan keempat titik secara mulus berdasarkan jejak parabola.
Jawaban b)
Rumus fungsi penawaran pada kasus ini adalah $f(x) = y = x^2 + 4x -74.$ Titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ terjadi ketika nilai $x = 0$. Substitusi menghasilkan $y = (0)^2+4(0)-74= -74.$
Ini menunjukkan bahwa koordinat titik potong grafik terhadap sumbu-$Y$ adalah $(0, -74).$
Persamaan sumbu simetri dirumuskan oleh
$x_{\text{maks}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2(1)} = -2.$
Substitusi $x = -2$ ke rumus fungsi untuk mendapatkan nilai minimum (minimum karena koefisien $x^2$ positif sehingga parabola terbuka ke atas).
$\begin{aligned} f(x) & = x^2+4x-74 \\ f(-2) & = (-2)^2+4(-2)-74 \\ y & =4-8-74= -78 \end{aligned}$
Jadi, titik puncak grafik di $(-2, -78).$
Selanjutnya, substitusikan $x = -1$ dan $x = -3$ untuk mencari nilai fungsi permintaan (bilangan $-1$ dan $-3$ dipilih karena berdekatan dengan $-2$).
$\begin{aligned} f(x) & = x^2+4x-74 \\ f(-1) & = (-1)^2+4(-1)-74 \\ & = 1-4-74=-77 \\ f(-3) & = (-3)^2+4(-3)-74 \\ & = 9-12-74=-77 \end{aligned}$
Jadi, grafik melalui titik $(-1, -77)$ dan $(-3, -77)$.
Plotkan keempat titik yang ada di sistem koordinat Kartesius seperti gambar di bawah.
Hubungkan keempat titik secara mulus berdasarkan jejak parabola.
Jawaban c)
Keseimbangan pasar terjadi ketika grafik fungsi permintaan dan fungsi penawaran berpotongan. Ini berarti
$\begin{aligned} D & = S \\ \cancel{x^2}-8x+10 & = \cancel{x^2}+4x-74 \\ -8x-4x & = -74-10 \\ -12x & = -84 \\ x & = 7. \end{aligned}$
Harga keseimbangan pasar dapat dihitung dengan mensubstitusikan $x=7$ pada salah satu fungsi (boleh fungsi penawaran, boleh juga fungsi permintaan). Misalkan substitusinya pada fungsi permintaan $D$.
$\begin{aligned} f(x) & = x^2-8x+10 \\ f(7) & = (7)^2-8(7)+10 \\ & = 49-56+10 = 3. \end{aligned}$

Jawaban a)
Diketahui $P = 400 + 20q -q^2.$
Harga permintaan jika barang yang ditawarkan sebanyak $5$ unit ($q = 5$) adalah
$\begin{aligned} P & = 400 + 20(5)-(5)^2 \\ & = 400+100-25 \\ & = 475. \end{aligned}$
Jawaban b)
Jumlah barang maksimal yang ditawarkan berdasarkan fungsi permintaan $P = 400 + 20q -q^2$ dinyatakan oleh persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat tersebut.
$x_{\text{maks}} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{20}{2(-1)} = 10.$
Jadi, jumlah barang maksimal yang dapat ditawarkan adalah $\boxed{10}$ unit.
Jawaban c)
Diketahui $P = 400 + 20q -q^2$ dan $P = 464.$ Akan dicari nilai $q$ yang memenuhi persamaan kuadrat yang terbentuk.
$\begin{aligned} 400 + 20q -q^2 & = 464 \\ -64 + 20q -q^2 & = 0 \\ q^2 -20q + 64 & = 0 \\ (q -4)(q-16) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh nilai $q = 4$ atau $q = 16.$