Tag: Geometri

$M_g(A) = B$ artinya bayangan dari pencerminan titik $A$ oleh garis $g$ adalah $B$. Garis $g$, titik $A$, dan titik $B$ dapat ditempatkan sedemikian rupa sehingga seperti gambar berikut.

Dengan demikian, jelas bahwa $M_g(B) = A$.

Pertama-tama, carilah persamaan garis yang melalui titik $A(1,3)$ dan $B(-2,-1)$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-3}{-1-3} & = \dfrac{x- 1}{-2-1} \\-3(y-3) & =-4(x-1) \\ 4x- 3y + 5 & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh persamaan garisnya adalah $4x- 3y + 5 = 0$.
Gradien garis ini adalah $m_1 = \dfrac{4}{3}$, sehingga gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah $m =-\dfrac{3}{4}$. Selanjutnya, carilah titik tengah ruas garis $AB$, yaitu
$C = \left(\dfrac{1+(-2)} {2}, \dfrac{3+(-1)} {2}\right) = \left(-\dfrac{1}{2}, 1\right)$
Persamaan garis yang melalui $C$ dan bergradien $-\dfrac{3}{4}$ adalah
$\begin{aligned} & y = m(x- x_1) + y_1 \\ & y  =-\dfrac{3}{4}\left(x + \dfrac{1}{2}\right) + 1 \\ & y  =-\dfrac{3}{4}x- \dfrac{3}{8} + 1 \\ & 6x+ 8y- 5  = 0 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis $g$ yang menjadi sumbu pencerminan bagi titik $A$ dan $B$ adalah $6x + 8y- 5 = 0$.

Jawaban a)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g: x =-3$ dan melalui $A(2,1)$ adalah $y = 1$. Titik $B(-3, 1)$ adalah titik tengah $AA’$, di mana $A’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $A$ oleh garis $g$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} (-3, 1) &= \left(\dfrac{x_A + x_{A’}} {2}, \dfrac{y_A + y_{A’}} {2}\right) \\ (-3,1) & = \left(\dfrac{2+x_{A’}} {2}, \dfrac{1+y_{A’}} {2}\right) \\ (-6,2) & = (2 + x_{A’}, 1 + y_{A’}) \\ (x_{A’}, y_{A’}) & = (-8, 1) \end{aligned}$
Jadi, titik $A’$ berada di koordinat $(-8,1)$.
Jawaban b)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g: x =-3$ dan melalui $C’ = M_g(C) = (-1,7)$ adalah $y = 7$.
Titik $D(-3, 7)$ adalah titik tengah $CC’$, di mana $C$ adalah titik prapeta dari pencerminan garis $g$ yang menghasilkan titik $C’$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} (-3, 7) &= \left(\dfrac{x_A + x_{A’}} {2}, \dfrac{y_A + y_{A’}} {2}\right) \\ (-3,7) & = \left(\dfrac{x_C- 1} {2}, \dfrac{y_C + 7} {2}\right) \\ (-6,14) & = (x_C- 1, y_C + 7) \\ (x_C, y_C) & = (-5, 7) \end{aligned}$
Jadi, titik $C$ berada di koordinat $(-5,7)$.
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g: x =-3$ dan melalui $P(x_P, y_P)$ adalah $y = y_P$. Misal $Q(x_Q, y_Q)$ adalah titik tengah $PP’$, di mana $P’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $g$. Perhatikan juga bahwa $x_Q =-3$ dan $y_Q = y_P$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} Q = (-3, y_P) &= \left(\dfrac{x_P + x_{P’}} {2}, \dfrac{y_P + y_{P’}} {2}\right) \\ (-3, y_P) & = \left(\dfrac{2+x_{A’}} {2}, \dfrac{1+y_{A’}} {2}\right) \\ (-6,2y_P) & = (x_P + x_{P’}, y_P + y_{P’}) \\ (x_{P’}, y_{P’}) & = (-6- x_P, y_P) \end{aligned}$
Jadi, apabila $P(x, y)$, maka hasil pencerminannya oleh garis $g: x =-3$ adalah $M_g(P) = P’ = (-6- x, y)$.

Jawaban a)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g: y = 2$ dan melalui $A(3,\sqrt{2})$ adalah $x = 3$. Titik $B(3,2)$ adalah titik tengah $AA’$, di mana $A’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $A$ oleh garis $g$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} (3,2) &= \left(\dfrac{x_A + x_{A’}} {2}, \dfrac{y_A + y_{A’}} {2}\right) \\ (3,2) &  = \left(\dfrac{3+x_{A’}} {2}, \dfrac{\sqrt{2}+y_{A’}} {2}\right) \\ (6,4) & = (3+ x_{A’}, \sqrt{2} + y_{A’}) \\ (x_{A’}, y_{A’}) & = (3, 4-\sqrt{2}) \end{aligned}$
Jadi, titik $A’$ berada di koordinat $(3, 4- \sqrt{2})$.
Jawaban b)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g: y = 2$ dan melalui $D’ = M_g(D) = (2,-4)$ adalah $x = 2$.
Titik $C(2,2)$ adalah titik tengah $DD’$, di mana $D$ adalah titik prapeta dari pencerminan garis $g$ yang menghasilkan titik $D’$. Dengan demikian,
$\begin{aligned} (2,2) &= \left(\dfrac{x_D + x_{D’}} {2}, \dfrac{y_D + y_{D’}} {2}\right) \\ (2,2) & = \left(\dfrac{x_D + 2} {2}, \dfrac{y_D + (-4)} {2}\right) \\ (4,4) & = (x_D + 2, y_D- 4) \\ (x_D, y_D) & = (2, 8) \end{aligned}$
Jadi, titik $D$ berada di koordinat $(2,8)$.
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $g: y = 2$ dan melalui $P(x_P, y_P)$ adalah $x = x_P$. Misal $Q(x_Q, y_Q)$ adalah titik tengah $PP’$, di mana $P’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $g$. Perhatikan juga bahwa $x_Q = x_P$ dan $y_Q = 2$. Dengan demikian,
$$\begin{aligned} Q = (x_Q, y_Q) &= (x_P, 2)= \left(\dfrac{x_P + x_{P’}} {2}, \dfrac{y_P + y_{P’}} {2}\right) \\ (x_P, 2)  & = \left(\dfrac{2+x_{A’}} {2}, \dfrac{1+y_{A’}} {2}\right) \\ (2x_P, 4) & = (x_P + x_{P’}, y_P + y_{P’}) \\ (x_{P’}, y_{P’}) & = (x_P, 4- y_P) \end{aligned}$$Jadi, apabila $P(x, y)$, maka hasil pencerminannya oleh garis $g: x =-3$ adalah $M_g(P) = P’ = (x, 4- y)$.

Jawaban a)
Gradien garis $h: y = x$ adalah $m = 1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1 =-1$.
Persamaan garis yang melalui titik $A(2,-3)$ dan bergradien $-1$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_1(x- x_1)+y_1 \\ y & =-(x- 2)- 3 \\ y &=-x- 1 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $y = x$ dan $y =-x- 1$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} x & =-x- 1 \\ 2x & =-1 \\ x & =-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y =-\dfrac{1}{2}$. Ini berarti titik tengah $\overline{AA’}$ adalah $\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$, di mana $A’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $h$ pada titik $A$, maka berlaku
$\begin{aligned} \left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right) &= \left(\dfrac{x_A +x_{A’}} {2}, \dfrac{y_A+y_{A’}} {2}\right) \\ \left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right) & = \left( \dfrac{2+x_{A’}}{2}, \dfrac{-3 + y_{A’}} {2}\right) \\ (-1,-1) & = (2 + x_{A’},-3 + y_{A’}) \\ (x_{A’}, y_{A’}) & = (-3, 2) \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $A’$ adalah $(-3,2)$.
Jawaban b)
Gradien garis $h: y = x$ adalah $m = 1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1 =-1$.
Persamaan garis yang melalui titik $B'(-3,5)$ dan bergradien $-1$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_1(x- x_1)+y_1 \\ y & =-(x + 3) + 5 \\ y &=-x + 2 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $y = x$ dan $y =-x + 2$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} x & =-x + 2\ 2x & = 2 \\ x & = 1 \end{aligned}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y = 1$. Ini berarti titik tengah $\overline{BB’}$ adalah $(1,1)$, di mana $B’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $h$ pada titik $B$, maka berlaku
$\begin{aligned} (1,1) &= \left(\dfrac{x_B +x_{B’}} {2}, \dfrac{y_B+y_{B’}} {2}\right) \\ (1,1) & = \left( \dfrac{x_B+(-3)}{2}, \dfrac{y_B+ 5} {2}\right) \\ (2,2) & = (x_B- 3, y_B + 5) \\ (x_{B}, y_{B}) = (5,-3) \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $B$ adalah $(5,-3)$.
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $h: y = x$ dan melalui $P(x_P, y_P)$ adalah $x = x_P$. Misal $Q(x_Q, y_Q)$ adalah titik tengah $PP’$, di mana $P’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $h$. Perhatikan juga bahwa $x_Q = x_P$ dan $y_Q = 2$. Dengan demikian,
$$\begin{aligned} Q = (x_Q, y_Q) &= (x_P, 2)= \left(\dfrac{x_P + x_{P’}} {2}, \dfrac{y_P + y_{P’}} {2}\right) \\ (x_P,2) & = \left(\dfrac{2+x_{P’}} {2}, \dfrac{1+y_{P’}} {2}\right) \\ (2x_P, 4) & = (x_P + x_{P’}, y_P + y_{P’}) \\ (x_{P’}, y_{P’}) & = (x_P, 4- y_P) \end{aligned}$$Jadi, apabila $P(x, y)$, maka hasil pencerminannya oleh garis $g: x =-3$ adalah $M_h(P) = P’ = (x, 4- y)$.

Jawaban a)
Gradien garis $h: x + y = 0$ adalah $m =-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1 = 1$.
Persamaan garis yang melalui titik $A(2,-3)$ dan bergradien $1$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_1(x- x_1)+y_1 \\ y & = (x- 2)- 3 \\ y &=-x- 5 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $x + y = 0 \Leftrightarrow y =-x$ dan $y = x- 5$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned}-x & = x- 5 \\-2x & =-5 \\ x & = \dfrac{5}{2} \end{aligned}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y =-\dfrac{5}{2}$. Ini berarti titik tengah $\overline{AA’}$ adalah $\left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{5}{2}\right)$, di mana $A’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $h$ pada titik $A$, maka berlaku
$\begin{aligned} \left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{5}{2}\right) &= \left(\dfrac{x_A +x_{A’}} {2}, \dfrac{y_A+y_{A’}} {2}\right) \\ \left(\dfrac{5}{2},-\dfrac{5}{2}\right) & = \left( \dfrac{2+x_{A’}}{2}, \dfrac{-3 + y_{A’}} {2}\right) \\ (5,-5) & = (2 + x_{A’},-3 + y_{A’}) \\ (x_{A’}, y_{A’}) & = (3,-2) \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $A’$ adalah $(3,-2)$.
Jawaban b)
Gradien garis $h: x + y = 0$ adalah $m =-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1 = 1$.
Persamaan garis yang melalui titik $B'(-3,5)$ dan bergradien $1$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_1(x- x_1)+y_1 \\ y & = (x + 3) + 5 \\ y &= x + 8 \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $x + y = 0 \Leftrightarrow y =-x$ dan $y = x + 8$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned}-x & = x +8 \\-2x & = 8 \\ x & =-4 \end{aligned}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y = 4$. Ini berarti titik tengah $\overline{BB’}$ adalah $(-4,4)$, di mana $B’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $h$ pada titik $B$, maka berlaku
$\begin{aligned} (-4,4) &= \left(\dfrac{x_B +x_{B’}} {2}, \dfrac{y_B+y_{B’}} {2}\right) \\ (-4, 4) & = \left( \dfrac{x_B+(-3)}{2}, \dfrac{y_B+ 5} {2}\right) \\ (-8,8) & = (x_B- 3, y_B + 5) \\ (x_{B}, y_{B}) & = (-5, 3) \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $B$ adalah $(-5,3)$.
Jawaban c)
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis $h: x + y = 0$ (gradien $m =1$) dan melalui $P(x_P, y_P)$ adalah
$\begin{aligned} y- y_P & = m(x-x_P) \\ y & = x- x_P + y_P \end{aligned} $.
Misal $Q(x_Q, y_Q)$ adalah titik tengah $PP’$, di mana $P’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $h$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} Q = (x_Q, y_Q) &= \left(\dfrac{x_P + x_{P’}} {2}, \dfrac{y_P + y_{P’}} {2}\right) \\ (2x_Q, 2y_Q) & = (x_P+x_{P’}, y_P+y_{P’}) \\ (x_{P’}, y_{P’}) & = (x_P-2x_Q, y_P-2y_Q) \end{aligned}$
Jadi, apabila $P(x, y)$, maka hasil pencerminannya oleh garis $h: x + y = 0$ adalah $M_h(P) = P’ = (x- 2x_Q, y- 2y_Q)$.

Jawaban a)
$M_g(0)$ dalam hal ini artinya hasil pencerminan titik $O(0,0)$ oleh garis $g$.
Gradien garis $g: x + y = 1$ adalah $m =-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1 = 1$.
Persamaan garis yang melalui titik $O(0,0)$ dan bergradien $1$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_1(x- x_1)+y_1 \\ y & = (x- 0) + 0 \\ y &=x \end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $y = x$ dan $y = 1-x $ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} x & = 1-x \\ 2x & = 1 \\ x & = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y = \dfrac{1}{2}$. Ini berarti titik tengah $\overline{OO’}$ adalah $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$, di mana $O’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $g$ pada titik $O$, maka berlaku
$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right) &= \left(\dfrac{x_O +x_{O’}} {2}, \dfrac{y_O+y_{O’}} {2}\right) \\ \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right) & = \left( \dfrac{0+x_{O’}}{2}, \dfrac{0 + y_{O’}} {2}\right) \\ (x_{A’}, y_{A’} & = (1, 1) \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $M_g(O) = O’$ adalah $(-3,2)$.
Jawaban b)
Gradien garis $g: x + y = 1$ adalah $m =-1$, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis ini memiliki gradien $m_1 = 1$.
Persamaan garis yang melalui titik $A(1,2)$ dan bergradien $1$ adalah
$\begin{aligned} y & = m_1(x- x_1)+y_1 \\ y & = (x- 1) + 2 \\ y &= x + 1\end{aligned}$
Selanjutnya, akan dicari titik potong garis $y = 1-x$ dan $y = x+1$ dengan cara mensubstitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua (seperti penyelesaian SPLDV) , sehingga dapat ditulis
$\begin{aligned} 1-x& = x+1 \\-2x & = 0 \\ x & = 0 \end{aligned}$
Jika $x$ demikian, maka haruslah $y = 1$. Ini berarti titik tengah $\overline{AA’}$ adalah $(0,1)$, di mana $A’$ adalah titik bayangan hasil pencerminan garis $g$ pada titik $A$, maka berlaku
$\begin{aligned} (0,1) &= \left(\dfrac{x_A +x_{A’}} {2}, \dfrac{y_A+y_{A’}} {2}\right) \\ (0,1) & = \left( \dfrac{1 +x_{B’}}{2}, \dfrac{2+y_{B’} } {2}\right) \\ (0,2) & = (1+x_{B’} , 2+y_{B’}) \\ (x_{B}, y_{B}) & = (-1,0) \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $A$ adalah $(-1,0)$.
Jawaban c)
Diketahui titik $P(x, x+1)$ dan $g = \{(x, y)~|~x + y = 1\}$.
Perhatikan bahwa $M_g(P) = P$ menunjukkan bahwa hasil pencerminan titik $P$ oleh garis $g$ adalah titik $P$ itu sendiri. Ini berarti titik $P$ tepat berada di sumbu cermin (garis $g$). Oleh karena itu, ditulis $P \in g$. Koordinat $P$ adalah $(x, x+1)$, sehingga dengan substitusi $y = x+1$ pada persamaan garis $g$, diperoleh
$\begin{aligned} x + y & = 1 \\ x + (x+1) & = 1 \\ x & = 0 \end{aligned}$
dan $y = x + 1 = 0 + 1 = 1$.
Jadi, $M_g(P) = (0,1)$.

Diketahui sebuah garis $g \equiv x- 3y + 1 = 0$ dan titik $A(2,k)$. Karena $M_g(A) = A$, maka $A$ haruslah terletak pada sumbu cermin, yaitu terletak pada garis $g$. Untuk mencari nilai $k$, substitusikan nilai $x=2$ dan $y=k$ pada persamaan garis $g$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 2- 3k + 1 &= 0 \\ 3-3k & = 0 \\ 3k & = 3 \\ k & = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $k = 1$.

Diketahui sebuah garis $k \equiv ax- 3y + 1 = 0$ dan titik $B(3,-1)$.
Karena $M_k(B) = B$, maka $B$ haruslah terletak pada sumbu cermin, yaitu terletak pada garis $k$. Untuk mencari nilai $a$, substitusikan nilai $x = 3$ dan $y =-1$ pada persamaan garis $k$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} a(3)- 3(-1) + 1 &= 0 \\ 3a & =-4 \\ a & =-\dfrac{4}{3} \end{aligned}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $-\dfrac{4}{3}$.

Diketahui sebuah transformasi $T$ dengan $T(P) = (x- 5, y + 3)$ untuk semua titik $P(x, y) \in V$.
Menurut definisi, $T$ disebut isometri jika untuk $P_1,P_2 \in V$, maka $|P_1’P_2’| = |P_1P_2|$ di mana $P_1’$ dan $P_2’$ berturut-turut adalah titik bayangan hasil transformasi dari $P_1$ dan $P_2$. Sekarang, ambil sembarang titik $P_1,P_2 \in V$ dengan $P_1=(x_1,y_1)$ dan $P_2 = (x_2, y_2)$. Dengan demikian,
$T(P_1) = P_1′ = (x_1- 5, y_1 + 3)$
$T(P_2) = P_2′ = (x_2- 5, y_2 + 3)$
Dengan menggunakan rumus jarak, didapat
$|P_1P_2| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
sedangkan untuk bayangannya,
$$\begin{aligned} |P_1’P_2’|& = \sqrt{(x_2′-x_1′)^2 + (y_2′-y_1′)^2} \\ |P_1’P_2’| & = \sqrt{((x_2-5)-(x_1- 5))^2 + ((y_2+3)-(y_1+1))^2} \\ |P_1’P_2’| & = \sqrt{(x_2′-x_1′)^2 + (y_2′-y_1′)^2} \end{aligned}$$Diperoleh $|P_1’P_2’|= |P_1P_2|$
Karena berlaku demikian, maka $T$ dikatakan sebagai suatu isometri.
Syarat tersebut dapat diperluas secara umum. Misalkan
$T(P_1) = P_1′ = (x_1 + a, y_1 + b)$
$T(P_2) = P_2′ = (x_2 + a, y_2 + b)$
sehingga
$|P_1P_2| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
sedangkan
$\begin{aligned} |P_1’P_2’| & = \sqrt{(x_2′-x_1′)^2 + (y_2′-y_1′)^2} \\ |P_1’P_2’| & = \sqrt{((x_2+a)-(x_1+a))^2 + ((y_2+b)-(y_1+b)^2} \\ |P_1’P_2’| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1))^2} \end{aligned}$
Diperoleh $|P_1P_2| = |P_1’P_2’|$.
Dengan demikian, $T$ suatu isometri yang dapat diperumum.

Ambil sembarang titik $P, Q \in V$ dengan $P = (x_p, y_p)$ dan $Q = (x_q, y_q)$
Dengan rumus jarak, diperoleh
$|PQ| = \sqrt{(x_p-x_q)^2 + (y_p-y_q)^2}$
Menurut definisi transformasi $T$,
$T(P) = (2x_p, y_p-1), T(Q) = (2x_q, y_q-1)$
Dengan rumus jarak, diperoleh
$\begin{aligned} & |T(P)T(Q)|  \\ & = \sqrt{(2x_p-2x_q)^2 + ((y_p-1)-(y_q-1))^2} \\ & = \sqrt{4(x_p-x_q)^2 + (y_p- y_q)^2} \end{aligned}$
Diperoleh $|T(P)T(Q)| \neq |PQ|$
Jadi, transformasi $T$ tidak mengawetkan jarak. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa $T$ bukanlah isometri. 

Jawaban a)

Jawaban b)
Pada gambar di atas, garis $g$ menjadi garis sumbu dari $\overline{CC’}, \overline{BB’}$, dan $\overline{AA’}$, sehingga $B’ = M_g(B), A’ = M_g(A)$, dan $C’ = M_g(C)$. Jadi, gambar tersebut sudah benar. 

Jawaban a)
$h$ melewati titik $(0,0)$ dengan $m =-1$. Dengan demikian, persamaan garis $h$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x- x_1) + y_1 \\ y & =-(x- 0) + 0 \\ y & =-x \end{aligned}$
Berdasarkan konsep pencerminan, $\overline{AA’} \perp h$, melalui $A’ = (x’, y’) = (-2,3)$ dan bergradien 1,di mana $A’ = M_h(A)$.
Persamaan garis $\overline{AA’}$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x- x_1) + y_1 \\ y & = (x + 2) + 3 = x + 5 \end{aligned}$
Perpotongan garis $h$ dan $\overline{AA’}$ adalah
$\begin{aligned} y & = y \\-x & = x + 5 \\ x & =-\dfrac{5}{2} \end{aligned}$
Untuk $x$ demikian, diperoleh $y = \dfrac{5}{2}$
Jadi, titik tengah $\overline{AA’}$ adalah $(x_p, y_p) =\left(-\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{2}\right)$
Selanjutnya, dengan menggunakan prinsip titik tengah, diperoleh
$\begin{aligned} (x_p, y_p) & = \left(\dfrac{x + x’} {2}, \dfrac{y + y’} {2}\right) \\ \left(-\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{2}\right) & = \left(\dfrac{x-2}{3}, \dfrac{y+3}{2}\right) \end{aligned}$
Dari sini, didapat $x =-3$ dan $y = 2$. Jadi, koordinat titik $A$ adalah $(-3,2)$.
Jawaban b)
Garis $\overline{PP’}$ tegak lurus garis $h \equiv y =-x$, sehingga $m = 1$ dan melalui $(a, b)$.
Persamaan garis $\overline{PP’}$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x- x_1) + y_1 \\ y & = 1(x- a) + b \\ y & = x- a + b \end{aligned}$
Selanjutnya, perpotongan garis $h$ dan $\overline{PP’}$ (titik tengah $\overline{PP’}$) adalah
$\begin{aligned} y & = y \\-x & = x- a + b \\ x & = \dfrac{a-b} {2} \end{aligned}$
Untuk $x$ demikian, $y =-\dfrac{a-b} {2}$
Jadi, titik tengah $\overline{PP’}$ adalah $\left(\dfrac{a-b} {2},-\dfrac{a-b} {2}\right)$
Berdasarkan prinsip titik tengah, diperoleh
$\begin{aligned} \left(\dfrac{a-b} {2},-\dfrac{a-b} {2}\right) & = \left(\dfrac{x+x’} {2}, \dfrac{y+y’} {2}\right) \\ \left(\dfrac{a-b} {2},-\dfrac{a-b} {2}\right) & = \left(\dfrac{a+x’} {2}, \dfrac{b+y’} {2}\right) \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $x’ =-b$ dan $y’ =-a$. Dengan demikian, untuk $P = (a, b) = (x, y)$, diperoleh $P’ = (-b,-a) = (-y,-x)$

Karena $T$ isometri, maka haruslah $|AB| = |CD|$. Jadi, dengan menggunakan rumus jarak dua titik, dapat ditulis
$$\begin{aligned} \sqrt{(x_A- x_B)^2 + (y_A- y_B)^2} & = \sqrt{(x_C- x_D)^2 + (y_C- y_D)^2} \\ \sqrt{(1-4)^2 + (-1-0)^2} & = \sqrt{(-4+2)^2+(1-k)^2} \\ \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} & = \sqrt{(-2)^2 + (1-k)^2} \\ 9 + 1 & = 4 + (1-k)^2 \\ 6 & = (1-k)^2 \\ (1-k) & = \pm \sqrt{6} \\ k & = 1 \pm \sqrt{6} \end{aligned}$$Jadi, nilai $k$ yang memenuhi adalah $k = 1 \pm \sqrt{6}$.