Soal Latihan dan Penyelesaian – Himpunan (Set)

Berikut ini adalah soal standar materi himpunan tingkat SMP/Sederajat.

Soal Nomor 1
Jika diketahui himpunan D = \{\text{faktor persekutuan dari 15 dan 45}\}, maka n(D) = \cdots

Penyelesaian

Faktor persekutuan dari 15 dan 45 adalah bilangan asli yang dapat membagi habis 15 dan 45, yaitu 1,3,5, dan 15. Jadi, himpunan D dapat ditulis dalam bentuk tabulasi (mendaftarkan setiap anggotanya), yaitu
D = \{1,3,5,15\}
Jadi, banyaknya anggota himpunan D adalah n(D) = 4

[collapse]

Soal Nomor 2
Banyaknya semua himpunan bagian dari K jika diketahui K = \{p, q, r, s, t, u\} adalah \cdots

Penyelesaian

Gunakan rumus 2^n untuk menyatakan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan, di mana n menyatakan banyaknya anggota himpunan. Diketahui n(K) = 6, sehingga banyak himpunan bagiannya adalah
2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui himpunan B = \{x~|~3 < x < 8, x~\text{bilangan asli}\} dan C = \{x~|~5 \leq x \leq 10,x~\text{bilangan asli}\}. Anggota dari C - B adalah \cdots

Penyelesaian

Ingat bahwa bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk mencacah, yaitu 1,2,3,\cdots.
Jika ditabulasi (didaftar anggota himpunannya), himpunan B dan C dapat ditulis menjadi
B = \{4,5,6,7\}
dan
C = \{5,6,7,8,9,10\}
sehingga C - B (selisih dua himpunan, yang diartikan sebagai himpunan yang anggotanya ada di C tetapi tidak ada di B) dapat dinyatakan dalam bentuk tabulasi sebagai berikut.
\boxed{C - B = \{8,9,10\}}

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui S = \{1,2,3,\cdots, 10\} adalah himpunan semesta. Jika himpunan A = \{1,2,3,4\} dan B = \{2,3,5,7\}, maka (A \cap B)^c = \cdots

Penyelesaian

A \cap B (baca: A iris B) adalah himpunan yang berisikan anggota A maupun B. Perhatikan bahwa pada 2 dan 3 adalah anggota himpunan A dan B, berarti A \cap B = \{2,3\}
Ini berarti,
(A \cap B)^c = \{1,4,5,6,7,8,9,10\}
Catatan:
(A \cap B)^c dibaca: komplemen dari A iris B ATAU A iris B komplemen. Komplemen suatu himpunan adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan semesta tetapi bukan anggota himpunan itu.

[collapse]

Soal Nomor 5
Dalam suatu kelompok siswa terdapat 8 siswa yang suka bermain musik dan 12 siswa yang suka menyanyi. Jika banyak keseluruhan siswa ada 14 orang, maka banyak siswa yang menyukai keduanya adalah \cdots

Penyelesaian

Dengan menggunakan formula,
n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B),
maka banyak siswa yang menyukai keduanya adalah

(8 + 12) - 14 = 20 - 14 = 6
Jadi, ada 6 siswa yang menyukai bernyanyi sekaligus bermain musik. 

[collapse]

Soal Nomor 6
Suatu kelas terdiri dari 40 siswa, 25 siswa di antaranya gemar bermain pingpong, 18 siswa gemar bermain sepak bola, dan 7 siswa tidak menyukai keduanya. Banyak siswa yang menyukai keduanya adalah…

Penyelesaian

Misalkan A menyatakan himpunan siswa yang gemar bermain pingpong, sedangkan B menyatakan himpunan siswa yang gemar bermain sepak bola.
Diketahui
\begin{aligned} & n(S) = 40 \\ & n(A) = 25 \\ & n(B) = 18 \\ & n(A \cup B)^c = 7 \end{aligned}
Dengan menggunakan formula,
n(A \cap B) = n(A) + n(B) + n(A \cup B)^c - n(S), diperoleh
n(A \cap B) = 25 + 18 + 7 - 40 = 10
Jadi, banyak siswa yang gemar bermain pingpong maupun sepak bola adalah 10 orang.

[collapse]

Soal Nomor 7 
Berilah contoh 2 himpunan yang bila diiriskan hasilnya adalah himpunan kosong.

Penyelesaian

(Contoh 1)
Misalkan

A = \{\text{bilangan genap}\}
dan
B = \{\text{bilangan ganjil} \}
sehingga A \cap B = \emptyset.
Dalam hal ini, tidak ada bilangan yang genap sekaligus ganjil.
(Contoh 2: oleh Eka Pratiwi)

Misalkan 
A = \{\text{huruf vokal pada abjad Latin}\}
dan
B = \{\text{huruf konsonan pada abjad Latin}\}
sehingga A \cap B = \emptyset.
Dalam hal ini, tidak ada huruf yang tergolong vokal sekaligus konsonan.
(Contoh 3: oleh Nelly)

Misalkan 
A = \{\text{bilangan bulat negatif}\}
dan
B = \{\text{bilangan bulat positif}\}
sehingga A \cap B = \emptyset.
Dalam hal ini, tidak ada bilangan bulat yang negatif sekaligus positif.
(Coba kalian memberi contoh lain selain ini. Silakan tulis di kolom komentar)

[collapse]

Soal Nomor 8
Berilah contoh 2 himpunan tak hingga yang bila diiriskan hasilnya himpunan berhingga.

Penyelesaian

(Contoh 1)
Misalkan

A = \{x~|~x < 2, x \in \mathbb{R}\}
dan
B = \{x~|~x \in \mathbb{N}\}
sehingga
A \cap B = \{1\}
yang merupakan himpunan berhingga.
(Contoh 2: oleh Eka Pratiwi)

Dua himpunan berhingga yang bila diiriskan hasilnya himpunan berhingga adalah himpunan bilangan prima dan himpunan bilangan genap, yang bila diiriskan menghasilkan himpunan berhingga \{2\}.
(Contoh 3: oleh Nelly)

Misalkan
A = \{x~|~x = 0~\text{atau}~x \in \mathbb{Z}^{-}\}
dan
B = \{\text{bilangan cacah}\}
sehingga
A \cap B = \{0\}
yang merupakan himpunan berhingga.
(Coba kalian memberi contoh lain selain ini. Silakan tulis di kolom komentar)
Catatan:
\mathbb{N} merupakan simbol untuk menyatakan himpunan bilangan asli \{1,2,3,\cdots\}, sedangkan \mathbb{R} merupakan simbol untuk menyatakan himpunan bilangan real (gabungan dari bilangan rasional dan irasional).

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui himpunan A = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}. Tentukan banyaknya himpunan bagian A yang elemennya 3.

Penyelesaian

(Alternatif 1: Segitiga Pascal)
Perhatikan formasi bilangan Segitiga Pascal berikut.

Karena n(A) = 8, maka tinjau baris ke-9 Segitiga Pascal.
Juga karena kita akan mencari himpunan bagian A yang elemen/anggotanya 3, maka carilah bilangan keempat dari barisan bilangan di baris ke-9 itu. Bilangan itu adalah 56.
(Alternatif 2: Aturan Kombinasi)
Aturan Kombinasi lebih praktis untuk digunakan dalam menghitung banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan.
Ada 8 elemen A dan akan dicari himpunan bagian dengan 3 elemen, maka banyak himpunan bagiannya adalah
C_3^8 = \dfrac{8!} {5!3!} = \dfrac{8\times 7 \times 6 \times 5!} {5! \times 6} = 56
Jadi, banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 3 elemen adalah 56.

[collapse]



Berikut ini adalah soal-soal lanjutan (advanced
) mengenai himpunan.
Soal Nomor 1

Nyatakanlah himpunan berikut dengan menggunakan syarat keanggotaan atau notasi pembentuk himpunan.
a) A = \{1, 4, 7, 10, 13\}
b) B = \{4, 5, 6, 7, 8, 10\}

Penyelesaian

Jawaban a)
Perhatikan bahwa anggota himpunan A dapat dianggap sebagai suatu barisan bilangan yang suku awalnya 1 dan bedanya 3. Oleh karena itu, dengan menggunakan rumus dasar suku ke-n barisan aritmetika, diperoleh u_n = 1 + (n - 1) \times 3 = 3n - 2. Jadi, jika ditulis dalam notasi pembentuk himpunan,
A = \{x | x = 3n - 2, 1 \leq n \leq 5, n \in \mathbb{N}\}

Jawaban b)
Perhatikan bahwa anggota himpunan B merupakan bilangan-bilangan dari 4 sampai 10, kecuali 9. Secara matematis dan dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis
B = \{x | 4 \leq x \leq 10, x \neq 9, x \in \mathbb{Z} \}
atau
B = \{x | 3 < x < 11, x \neq 9, x \in \mathbb{N} \}
Catatan: Penulisan notasi pembentuk himpunan bervariasi, sehingga Anda dapat menuliskannya secara berbeda, tetapi memiliki hasil tabulasi yang sama.

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan A = \{a, b, c\}. Nyatakan apakah pernyataan berikut ini benar atau salah. Berikan argumentasinya.
a) b \in A
b) b \subseteq A
c) \{b\} \in A
d) \{b\} \subseteq A

Penyelesaian

Pernyataan (a) benar karena memang b merupakan anggota himpunan A, tetapi pernyataan (b) salah karena b merupakan anggota suatu himpunan, bukan himpunan. Dalam hal ini, ingat baik-baik bahwa simbol \subseteq merupakan simbol untuk menyatakan himpunan bagianb \subseteq A dibaca “b himpunan bagian dari A“, padahal kita tahu bahwa b bukan himpunan. Pernyataan (c) salah. Analog dengan pernyataan (b) bahwa \{b\} adalah suatu himpunan, bukan anggota himpunan, sedangkan pernyataan (d) benar karena memang himpunan yang beranggotakan b itu merupakan himpunan bagian dari A.

[collapse]

Soal Nomor 3
Dari himpunan berikut, manakah yang termasuk himpunan kosong (empty set)?
P = \{p~|~p^2 + 1 = 0, p \in \mathbb{N}\}
Q = \{q~|~\text{q huruf sebelum a pada abjad Latin}\}
R = \{r~|~13 < r < 16, r \in \text{bilangan prima}\}
S = \{s~|~s < 1, s \in \text{bilangan cacah}\}

Penyelesaian

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
Himpunan P merupakan himpunan kosong karena tidak ada satupun bilangan asli yang memenuhi persamaan p^2 + 1 = 0. Himpunan Q juga himpunan kosong, karena menurut abjad Latin, huruf a merupakan huruf pertama dan tidak ada huruf sebelum itu. Himpunan R juga himpunan kosong, karena 14 dan 15 bukan prima. Himpunan S bukan himpunan kosong karena memiliki 1 anggota, yaitu 0 (0 adalah bilangan cacah yang kurang dari 1).

[collapse]

Soal Nomor 4
Tuliskan kembali pernyataan berikut dengan menggunakan notasi himpunan.
a) a bukan elemen A
b) t elemen S
c) A mengandung B
d) P tidak terkandung dalam Q

Penyelesaian

a) a \notin A
b) t \in S
c) B \subseteq A
d) P \nsubseteq Q
Catatan: Hati-hati dalam memahami kata terkandung dan mengandung dalam kasus ini. Kata “mengandung” berarti “meliputi, menguasai, memiliki”. Terkandung/dikandung merupakan kebalikannya (bentuk pasif).

[collapse]

Soal Nomor 5
Isilah dengan \in, \notin, \subseteq sehingga diperoleh pernyataan yang benar.
a) \{0\} \cdots \cdots \{0, 1\}
b) \emptyset \cdots \cdots \{\emptyset\}
c) \{3, 4\} \cdots \cdots \{3, 4, 5\}
d) 3 \cdots \cdots \{3, 4\}

Penyelesaian

a) \{0\} \subseteq \{0, 1\}
b) \emptyset \in \{\emptyset\}
c) \{3, 4\} \subseteq \{3, 4, 5\}
d) 3 \in \{3, 4\}
Catatan: Bedakan anggota himpunan dengan himpunan. Jika ditulis dalam kurung kurawal, maka itu berarti ekspresi tersebut adalah suatu himpunan.

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika A = \{4\} dan B = \{b~|~b^2 - 16 = 0, b > 0\}, apakah dapat dikatakan bahwa A = B?

Penyelesaian

Menurut definisi kesamaan dua himpunan, A dan B disebut sama (A = B) jika dan hanya jika setiap anggota dari A menjadi anggota dari B, begitu juga sebaliknya. Dengan kata lain, anggota kedua himpunan itu sama. Dalam kasus ini, A = \{4\}, sedangkan jika kita meninjau syarat keanggotaan B, yaitu b^2 - 16 = 0 \Leftrightarrow (b - 4)(b+4) = 0, berarti nilai b = 4 atau b = -4 yang memenuhi, maka diambil b = 4 karena memenuhi syarat yang lain, yakni b > 0. Ini berarti, B = \{4\}. Karena memiliki anggota yang sama, maka dapat dikatakan bahwa A = B.

[collapse]

Soal Nomor 7
Misalkan P = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\} Pernyataan manakah yang tidak benar dan tuliskan alasannya.
a) \{1, 2\} \subseteq P
b) \{3, 5\} \in P
c) \{\{3, 4\}\} \subseteq P

Penyelesaian

Pernyataan (a) benar karena salah satu himpunan bagian dari P adalah \{1, 2\}. Pernyataan (b) salah karena \{3, 5\} bukan anggota dari P. Perhatikan bahwa ada anggota P yang juga suatu himpunan, yaitu \{3, 4\}. Jika pernyataan itu diganti menjadi \{3, 4\} \in P, maka pernyataan itu benar. Pernyataan (c) benar. \{\{3, 4\}\} merupakan himpunan yang berisikan himpunan lain yang merupakan anggota himpunan induknya. Jelas kita tidak boleh menggunakan simbol \in. \{\{3, 4\}\} merupakan himpunan bagian dari P, sehingga pernyataan ini benar.

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika S = \{1, 2, 3, ..., 10\}, A = \{2, 4, 6, 8\}, dan B = \{1, 3, 5, 7, 9\}, maka tentukan
a) (A \cup B)^c = A^c \cap B^c
b) (A \cap B)^c = A^c \cup B^c

Penyelesaian

Hukum de Morgan memberlakukan pernyataan (a) dan (b). Perhatikan pernyataan (a) bahwa A \cup B = \{1, 2, 3, ..., 9\} sehingga (A \cup B)^c = \{10\}. Sama halnya kita menggunakan ekspresi pada ruas kanan, hasilnya akan sama. Sedangkan untuk pernyataan (b), A \cap B = \emptyset, sehingga (A \cap B)^c = \{1, 2, 3, ..., 10\} = S.

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui A = \{x| -3 \leq x < 1\} dan B = \{x| -1 \leq x \leq 2\}. Tentukanlah A - B.

Penyelesaian

Anda dapat menggunakan garis bilangan untuk menyelesaikan ini.
A - B = \{x| -3 \leq x < -1 \}

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika A = \{a, b\}, B = \{c, d, e, f\}, dan C = \{c, d, g\}, maka tunjukkan bahwa
a) A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
b) A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)

Penyelesaian

Jawaban a)
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kiri,
A \times (B \cap C) = \{a, b\} \times \{c, d\}
= \{ac, ad, bc, bd\}
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kanan,
\begin{aligned} & (A \times B) \cap (A \times C) \\ & = \{ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf\} \cap \{ac, ad, ag, bc, bd, bg\} \\ & = \{ac, ad, bc, bd\} \end{aligned}
Jadi, terbukti bahwa A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
Jawaban b)
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kiri,
A \times (B - C) = \{a, b\} \times \{e, f\} = \{ae, af, be, bf\}
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kanan,
\begin{aligned}& (A \times B) - (A \times C) \\ &  = \{ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf\} - \{ac, ad, ag, bc, bd, bg\} \\ & = \{ae, af, be, bf\} \end{aligned}
Jadi, terbukti bahwa A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Misalkan
A_k = \{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\}, k =1,2,3,\cdots
Tentukan \displaystyle \bigcup_{k = 1}^{\infty} A_k

Penyelesaian

Ingatlah bahwa
\displaystyle \boxed{\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k = A_1 \cup A_2 \cup \cdots}
Untuk k = 1, diperoleh
A_1 = \{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1\}
Untuk k = 2, diperoleh
A_2 = \{x: \dfrac{1}{3} \leq x \leq 1\}
Untuk k = 3, diperoleh
A_3 = \{x: \dfrac{1}{4} \leq x \leq 1\}
Selanjutnya, untuk k \to \infty,
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{k \to \infty} A_k & = \lim_{k \to \infty} \left\{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\right\} \\ & = \{x: 0 \leq x \leq 1\} \end{aligned}
Jadi,
\displaystyle \boxed{\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k = \{x: 0 \leq x \leq 1\}}

[collapse]

Soal Nomor 12 
Misalkan  
A_k = \{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\}, k =1,2,3,\cdots
Tentukan \displaystyle \bigcap_{k = 1}^{\infty} A_k

Penyelesaian

Ingatlah bahwa
\displaystyle \boxed{\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k = A_1 \cap A_2 \cap \cdots}
Untuk k = 1, diperoleh
A_1 = \{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1\}
Untuk k = 2, diperoleh
A_2 = \{x: \dfrac{1}{3} \leq x \leq 1\}
Untuk k = 3, diperoleh
A_3 = \{x: \dfrac{1}{4} \leq x \leq 1\}
Selanjutnya, untuk k \to \infty,
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{k \to \infty} A_k & = \lim_{k \to \infty} \left\{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\right\} \\ & = \{x: 0 \leq x \leq 1\} \end{aligned}
Jadi,
\displaystyle \boxed{\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k = \left\{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1\right\}}

[collapse]

Soal Nomor 13
Misalkan
A_1 = (0,1), A_2 = \left(0,\dfrac{1}{2}\right), A_3 = \left(0,\dfrac{1}{3}\right), \cdots, A_{10} = \left(0,\dfrac{1}{10}\right)
dengan (a, b) = \{x: a < x < b\} yang menggambarkan interval terbuka antara a dan b.
Tentukan \displaystyle \bigcup_{k=1}^{10} A_k dan \displaystyle \bigcap_{k=1}^{10} A_k

Penyelesaian

Gabungan dari himpunan-himpunan tersebut dinyatakan sebagai
\begin{aligned} \displaystyle \bigcup_{k=1}^{10} A_k & = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{10} \\ & = (0,1) \cup \left(0,\dfrac{1}{2}\right) \cup \cdots \cup \left(0,\dfrac{1}{10}\right) \\ & = \left(0, \dfrac{1}{2}\right) \end{aligned}
Sedangkan irisan dari himpunan-himpunan tersebut dinyatakan sebagai
\begin{aligned} \displaystyle \bigcap_{k=1}^{10} A_k & = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{10} \\ & = (0,1) \cap \left(0,\dfrac{1}{2}\right) \cap \cdots \cap \left(0,\dfrac{1}{10}\right) \\ & = \left(0, \dfrac{1}{10}\right) \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan
a) \displaystyle \bigcup_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n}, 1\right)
b) \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0, \dfrac{1}{n} \right)
c) \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,1 + \dfrac{1}{n}\right)

Penyelesaian

Jawaban a)
Untuk n = 2, diperoleh \left(\dfrac{1}{2}, 1\right)
Untuk n = 3, diperoleh
\left(\dfrac{1}{3}, 1\right)
dan seterusnya sampai untuk n \to \infty, diperoleh (0, 1)
Oleh karena itu, gabungan dari himpunan-himpunan interval tersebut adalah
\boxed{\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n} , 1\right) = (0,1)}
Jawaban b)
Untuk n = 1, diperoleh \left(0, 1\right)
Untuk n = 2, diperoleh
\left(0, \dfrac{1}{2}\right)
dan seterusnya sampai untuk n \to \infty, diperoleh (0,0) = \emptyset, karena tidak ada bilangan yang letaknya di antara satu bilangan yang sama.
Oleh karena itu, irisan dari himpunan-himpunan interval tersebut adalah
\boxed{\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,\dfrac{1}{n}\right) = \emptyset}
Jawaban c)
Untuk n = 1, diperoleh \left(0,2)
Untuk n = 2, diperoleh
\left(0, \dfrac{3}{2}\right)
dan seterusnya sampai untuk n \to \infty, diperoleh (0, 1)
Oleh karena itu, irisan dari himpunan-himpunan interval tersebut adalah
\boxed{\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,1+\dfrac{1}{n}\right) = (0,1)}

[collapse]

Soal Nomor 15
Buktikan kebenaran Hukum de Morgan berikut.
a) (A \cup B)^c = A^c \cap B^c
b) (A \cap B)^c = A^c \cup B^c

Penyelesaian

Jawaban a)
Berdasarkan prinsip kesamaan, A \cup B)^c = A^c \cap B^c berlaku jika dan hanya jika (A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c dan A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c.
(i) Akan dibuktikan bahwa A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c. Ambil sembarang x \in (A \cup B)^c, berarti x \in S dan x \notin (A \cup B), di mana S adalah semesta himpunan. Perhatikan bahwa x \notin (A \cup B) berarti x \notin A dan x \notin B. Jika dituliskan lebih rinci, dapat dinyatakan (x \in S dan x \notin A) dan (x \in S dan x \notin B). Akibatnya,
x \in A^c, x \in B^c \equiv x \in A^c \cap B^c
Karenanya didapat
x \in A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c
ii) Akan dibuktikan bahwa (A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c. Ambil sembarang x \in A^c \cap B^c, berarti x \in S, x \notin A dan x \in S, x \notin B. Dapat pula dinyatakan
x \in S~\text{dan}~(x \notin A ~\text{dan}~x \notin B) \equiv x \in S~\text{dan}~x \notin A \cup B
Akibatnya, x \in (A \cup B)^c. Jadi, (A \cup B)^c \subseteq (A \cup B)^c.
Berdasarkan (i) dan (ii), terbukti bahwa (A \cup B)^c = A^c \cap B^c.
(Jawaban b)
Analog dengan jawaban a

[collapse]

Soal Nomor 16
Diberikan himpunan semesta U = \{x: 0 \leq x \leq 2\}. Jika A = \left\{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1 \right\} dan B = \left\{x: \dfrac{1}{4} \leq x \leq \dfrac{3}{2}\right\}, tentukan anggota himpunan
a) (A \cup B)^c
b) A \cup B^c
c) (A \cap B)^c
d) A^c \cap B

Penyelesaian

(Jawaban a)
Perhatikan sketsa berikut.


Daerah yang tak diarsir menyatakan anggota A \cup B, sehingga daerah lainnya, yaitu daerah yang diarsir warna biru menyatakan anggota
(A \cup B)^c = \left\{x: x < \dfrac{1}{4}~\text{atau}~x > \dfrac{3}{2}\right\}
(Jawaban b)
 
Daerah yang diarsir biru dan hijau berturut-turut menyatakan anggota A dan B^c, sehingga gabungan keduanya menyatakan anggota
A \cup B^c = \left\{x < \dfrac{1}{4}~\text{atau}~\dfrac{1}{2} \leq x 1~\text{atau}~x > \dfrac{3}{2} \right\}
(Jawaban c)
 
Daerah yang diarsir warna jingga menyatakan anggota A = A \cap B, sehingga daerah lainnya menyatakan anggota
(A \cap B)^c = \left\{x: x < \dfrac{1}{2}~\text{atau}~x > 1 \right\}
(Jawaban d)

Daerah yang diarsir warna hijau dan kuning merupakan daerah yang menyatakan anggota A^c, sedangkan daerah warna biru menyatakan anggota A. Irisan A^c dengan B adalah daerah warna kuning,
A^c \cap B = \left\{x: \dfrac{1}{4} \leq x < \dfrac{1}{2}~\text{atau} 1 < x \leq \dfrac{3}{2}\right\} 

[collapse]

Soal Nomor 17 (Soal OSN SMP Tingkat Provinsi Tahun 2018)
Diberikan himpunan A = \{1,2,\cdots, 25\}. Banyak himpunan bagian berunsur dua yang hasil kali unsur-unsurnya kuadrat sempurna adalah \cdots

Penyelesaian

Hasil kali dua bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan kuadrat sempurna (contoh: 4 \times 9 = 36 = 9^2). Bilangan kuadrat sempurna yang merupakan unsur/anggota dari A adalah 1,4,9,16,25 (ada 5).
Karena himpunan yang anggotanya dibolak-balik urutannya dianggap sama dan himpunan yang diinginkan memiliki dua unsur, maka banyaknya himpunan bagian yang dimaksud adalah (gunakan aturan kombinasi)
C_2^5 = \dfrac{5!} {(5-2)!2!} = 10
Selain itu, perkalian suatu bilangan dengan bilangan kubiknya juga merupakan bilangan kuadrat sempurna. Dalam hal ini, yaitu \{2,8\} (2 \times 8 = 16 = 4^2)
Jadi, ada 11 himpunan bagian dari A yang berunsur dua dan bila dikalikan kedua unsurnya itu menghasilkan bilangan kuadrat sempurna.

[collapse]

Soal Nomor 18
Tuliskan himpunanbilangan ganjil positif yang habis dibagi 3 dan kurang dari 30” dalam notasi pembentuk himpunan.

Penyelesaian

Misalkan nama himpunan itu adalah A. Jika ditabulasi,
A = \{3,9,15,21,27\}
Dengan memanfaatkan rumus barisan aritmetika, kita dapat menentukan rumus suku ke-n sebagai berikut
\begin{aligned} u_n &= a + (n - 1)b \\ u_n & = 3 + (n - 1) \times 6 = 6n - 3 \end{aligned}
Jadi, dalam notasi pembentuk himpunan,
A = \{x: x = 6n - 3, x \leq 5, x \in \mathbb{N}\}
Catatan: Perlu diberi syarat x \leq 5 karena syaratnya adalah bilangan yang kurang dari 30. x juga harus berupa bilangan asli.

[collapse]

Soal Nomor 19
Diberikan
D = \{d~|~-5 < d \leq 6, d \in \mathbb{R}\},
E = \{e~|~5 < e \leq 6, e \in \mathbb{R}\},
dan
F = \{f~|~-6 \leq f < 3, f \in \mathbb{R}\}
a) Tentukan hasil operasi (F \cup D) \cap (D \cup E) dan gambarkan Diagram Venn-nya.
b) Tentukan hasil operasi (F \cap D \cap E)^c dan gambarkan Diagram Venn-nya.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 20
Banyaknya himpunan X yang memenuhi
\{1,2\} \subseteq X \subseteq \{1,2,3,4,5\}
adalah \cdots

Penyelesaian

Himpunan X minimal terdiri dari 2 unsur dan maksimal terdiri dari 5 unsur dengan dua unsur di antaranya adalah elemen 1 dan 2, sisanya dapat dipilih elemen 3, 4, dan 5.
(Kemungkinan 1)
Jika X terdiri dari 2 unsur, berarti kita tidak memilih elemen 3, 4, maupun 5 (memilih 0 pilihan)
C_0^3 = \dfrac{3!} {0!3!} = 1
(Kemungkinan 2)
Jika X terdiri dari 3 unsur, berarti kita memilih salah satu dari elemen 3, 4, atau 5.
C_1^3 = \dfrac{3!} {2!1!} = 3
(Kemungkinan 3)
Jika X terdiri dari 4 unsur, berarti kita memilih dari 2 dari elemen 3, 4, atau 5.
C_2^3 = \dfrac{3!} {1!2!} = 3
(Kemungkinan 4)
Jika X terdiri dari 5 unsur, berarti semua elemen 3, 4, dan 5 dipilih.
C_3^3 = \dfrac{3!} {0!3!} = 1
Banyaknya himpunan X yang memenuhi itu adalah
1 + 3 + 3 + 1 = 8

[collapse]

Soal Nomor 21
Tentukan himpunan kuasa dari
G = \{\emptyset, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\}

Penyelesaian

Himpunan kuasa adalah himpunan yang memuat seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan, dalam kasus ini G. Diketahui n(G) = 3, sehingga himpunan kuasa dari G atau \text{pow}(G) memiliki 2^3 = 8 elemen.
Himpunan kuasa dari G adalah
\begin{aligned} \text{pow}(G)  = & \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{1\}\}, \{\{\emptyset, 1\}\}, \{\emptyset, \{1\}\}, \\ &  \{\emptyset, \{\emptyset, 1\} \}, \{\{1\}, \{\emptyset, 1\}\}, \{\emptyset, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\}\} \end{aligned}

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini