Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Non-cerita)

Berikut ini adalah soal standar materi himpunan tingkat SMP/Sederajat.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Cerita)

 Soal Nomor 1
Jika diketahui himpunan D = \{\text{faktor persekutuan dari 15 dan 45}\}, maka n(D) = \cdots

Penyelesaian

Faktor persekutuan dari 15 dan 45 adalah bilangan asli yang dapat membagi habis 15 dan 45, yaitu 1,3,5, dan 15. Jadi, himpunan D dapat ditulis dalam bentuk tabulasi (mendaftarkan setiap anggotanya), yaitu
D = \{1,3,5,15\}
Jadi, banyaknya anggota himpunan D adalah n(D) = 4

[collapse]

Soal Nomor 2
Banyaknya semua himpunan bagian dari K jika diketahui K = \{p, q, r, s, t, u\} adalah \cdots

Penyelesaian

Gunakan rumus 2^n untuk menyatakan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan, di mana n menyatakan banyaknya anggota himpunan. Diketahui n(K) = 6, sehingga banyak himpunan bagiannya adalah
2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui himpunan B = \{x~|~3 < x < 8, x~\text{bilangan asli}\} dan C = \{x~|~5 \leq x \leq 10,x~\text{bilangan asli}\}. Anggota dari C - B adalah \cdots

Penyelesaian

Ingat bahwa bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk mencacah, yaitu 1,2,3,\cdots.
Jika ditabulasi (didaftar anggota himpunannya), himpunan B dan C dapat ditulis menjadi
B = \{4,5,6,7\}
dan
C = \{5,6,7,8,9,10\}
sehingga C - B (selisih dua himpunan, yang diartikan sebagai himpunan yang anggotanya ada di C tetapi tidak ada di B) dapat dinyatakan dalam bentuk tabulasi sebagai berikut.
\boxed{C - B = \{8,9,10\}}

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui S = \{1,2,3,\cdots, 10\} adalah himpunan semesta. Jika himpunan A = \{1,2,3,4\} dan B = \{2,3,5,7\}, maka (A \cap B)^c = \cdots

Penyelesaian

A \cap B (baca: A iris B) adalah himpunan yang berisikan anggota A maupun B. Perhatikan bahwa pada 2 dan 3 adalah anggota himpunan A dan B, berarti A \cap B = \{2,3\}
Ini berarti,
(A \cap B)^c = \{1,4,5,6,7,8,9,10\}
Catatan:
(A \cap B)^c dibaca: komplemen dari A iris B ATAU A iris B komplemen. Komplemen suatu himpunan adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan semesta tetapi bukan anggota himpunan itu.

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui himpunan semesta S merupakan himpunan bilangan cacah kurang dari 20. Jika A merupakan himpunan bilangan prima antara 5 dan 19, serta B merupakan himpunan bilangan asli kurang dari 15, maka komplemen dari A \cup B adalah \cdots
A. \{0, 1, 2, 3, \cdots, 14\}
B. \{1, 2, 3, \cdots, 14, 17\}
C. \{0, 15, 16, 18, 19, 20\}
D. \{7, 11, 13, 17\}

Penyelesaian

Ketiga himpunan itu dapat dinyatakan dalam bentuk tabulasi (didaftarkan anggotanya).
\begin{aligned} S & = \{0, 1, 2, 3, \cdots, 20\} \\ A & = \{7, 11, 13, 17\}\\ B & = \{1, 2, 3, \cdots 14\} \end{aligned}
Ini berarti,
A \cup B = \{1, 2, 3, \cdots 14, 17\}
sehingga
(A \cup B)^c = \{0, 15, 16, 18, 19, 20\}
Jadi, komplemen dari A \cup B adalah \boxed{\{0, 15, 16, 18, 19, 20\}}

[collapse]

Soal Nomor 6
Diketahui:
\begin{aligned} S & = \{x~|~x \leq 12, x~\text{bilangan asli}\} \\ P & = \{x~|~1 \leq x < 12, x~\text{bilangan prima}\} \\ Q & = \{x~|~1 \leq x \leq 12, x~\text{bilangan ganjil}\} \end{aligned}
Gambarkan diagram Venn.

Penyelesaian

Tabulasikan setiap anggota ketiga himpunan tersebut.
\begin{aligned} S & = \{1, 2, 3, 4, \cdots, 12\} \\ P & = \{2, 3, 5, 7, 11\} \\ Q & = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\} \end{aligned}
Diketahui bahwa:
P \cap Q = \{3, 5, 7, 11\}
Ini berarti, P dan Q harus beririsan pada diagram Venn.

[collapse]

Soal Nomor 7
Berilah contoh 2 himpunan yang bila diiriskan hasilnya adalah himpunan kosong.

Penyelesaian

(Contoh 1)
Misalkan

A = \{\text{bilangan genap}\}
dan
B = \{\text{bilangan ganjil} \}
sehingga A \cap B = \emptyset.
Dalam hal ini, tidak ada bilangan yang genap sekaligus ganjil.
(Contoh 2)

Misalkan 
A = \{\text{huruf vokal pada abjad Latin}\}
dan
B = \{\text{huruf konsonan pada abjad Latin}\}
sehingga A \cap B = \emptyset.
Dalam hal ini, tidak ada huruf yang tergolong vokal sekaligus konsonan.
(Contoh 3)

Misalkan 
A = \{\text{bilangan bulat negatif}\}
dan
B = \{\text{bilangan bulat positif}\}
sehingga A \cap B = \emptyset.
Dalam hal ini, tidak ada bilangan bulat yang negatif sekaligus positif.
(Coba kalian memberi contoh lain selain ini. Silakan tulis di kolom komentar)

[collapse]

Soal Nomor 8
Berilah contoh 2 himpunan tak hingga yang bila diiriskan hasilnya himpunan berhingga.

Penyelesaian

(Contoh 1)
Misalkan

A = \{x~|~x < 2, x \in \mathbb{R}\}
dan
B = \{x~|~x \in \mathbb{N}\}
sehingga
A \cap B = \{1\}
yang merupakan himpunan berhingga.
(Contoh 2)

Dua himpunan berhingga yang bila diiriskan hasilnya himpunan berhingga adalah himpunan bilangan prima dan himpunan bilangan genap, yang bila diiriskan menghasilkan himpunan berhingga \{2\}.
(Contoh 3)

Misalkan
A = \{x~|~x = 0~\text{atau}~x \in \mathbb{Z}^{-}\}
dan
B = \{\text{bilangan cacah}\}
sehingga
A \cap B = \{0\}
yang merupakan himpunan berhingga.
(Coba kalian memberi contoh lain selain ini. Silakan tulis di kolom komentar)
Catatan:
\mathbb{N} merupakan simbol untuk menyatakan himpunan bilangan asli \{1,2,3,\cdots\}, sedangkan \mathbb{R} merupakan simbol untuk menyatakan himpunan bilangan real (gabungan dari bilangan rasional dan irasional).

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui himpunan A = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}. Tentukan banyaknya himpunan bagian A yang elemennya 3.

Penyelesaian

(Alternatif 1: Segitiga Pascal)
Perhatikan formasi bilangan Segitiga Pascal berikut.

Karena n(A) = 8, maka tinjau baris ke-9 Segitiga Pascal.
Juga karena kita akan mencari himpunan bagian A yang elemen/anggotanya 3, maka carilah bilangan keempat dari barisan bilangan di baris ke-9 itu. Bilangan itu adalah 56.
(Alternatif 2: Aturan Kombinasi)
Aturan Kombinasi lebih praktis untuk digunakan dalam menghitung banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan.
Ada 8 elemen A dan akan dicari himpunan bagian dengan 3 elemen, maka banyak himpunan bagiannya adalah
C_3^8 = \dfrac{8!} {5!3!} = \dfrac{8\times 7 \times 6 \times 5!} {5! \times 6} = 56
Jadi, banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 3 elemen adalah 56.

[collapse]

Berikut ini adalah soal-soal lanjutan (advanced) mengenai himpunan.
Soal Nomor 1

Nyatakanlah himpunan berikut dengan menggunakan syarat keanggotaan atau notasi pembentuk himpunan.
a) A = \{1, 4, 7, 10, 13\}
b) B = \{4, 5, 6, 7, 8, 10\}

Penyelesaian

Jawaban a)
Perhatikan bahwa anggota himpunan A dapat dianggap sebagai suatu barisan bilangan yang suku awalnya 1 dan bedanya 3. Oleh karena itu, dengan menggunakan rumus dasar suku ke-n barisan aritmetika, diperoleh u_n = 1 + (n - 1) \times 3 = 3n - 2. Jadi, jika ditulis dalam notasi pembentuk himpunan,
A = \{x | x = 3n - 2, 1 \leq n \leq 5, n \in \mathbb{N}\}

Jawaban b)
Perhatikan bahwa anggota himpunan B merupakan bilangan-bilangan dari 4 sampai 10, kecuali 9. Secara matematis dan dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis
B = \{x | 4 \leq x \leq 10, x \neq 9, x \in \mathbb{Z} \}
atau
B = \{x | 3 < x < 11, x \neq 9, x \in \mathbb{N} \}
Catatan: Penulisan notasi pembentuk himpunan bervariasi, sehingga Anda dapat menuliskannya secara berbeda, tetapi memiliki hasil tabulasi yang sama.

[collapse]

Soal Nomor 2
Misalkan A = \{a, b, c\}. Nyatakan apakah pernyataan berikut ini benar atau salah. Berikan argumentasinya.
a) b \in A
b) b \subseteq A
c) \{b\} \in A
d) \{b\} \subseteq A

Penyelesaian

Pernyataan (a) benar karena memang b merupakan anggota himpunan A, tetapi pernyataan (b) salah karena b merupakan anggota suatu himpunan, bukan himpunan. Dalam hal ini, ingat baik-baik bahwa simbol \subseteq merupakan simbol untuk menyatakan himpunan bagianb \subseteq A dibaca “b himpunan bagian dari A“, padahal kita tahu bahwa b bukan himpunan. Pernyataan (c) salah. Analog dengan pernyataan (b) bahwa \{b\} adalah suatu himpunan, bukan anggota himpunan, sedangkan pernyataan (d) benar karena memang himpunan yang beranggotakan b itu merupakan himpunan bagian dari A.

[collapse]

Soal Nomor 3
Dari himpunan berikut, manakah yang termasuk himpunan kosong (empty set)?
P = \{p~|~p^2 + 1 = 0, p \in \mathbb{N}\}
Q = \{q~|~\text{q huruf sebelum a pada abjad Latin}\}
R = \{r~|~13 < r < 16, r \in \text{bilangan prima}\}
S = \{s~|~s < 1, s \in \text{bilangan cacah}\}

Penyelesaian

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
Himpunan P merupakan himpunan kosong karena tidak ada satupun bilangan asli yang memenuhi persamaan p^2 + 1 = 0. Himpunan Q juga himpunan kosong, karena menurut abjad Latin, huruf a merupakan huruf pertama dan tidak ada huruf sebelum itu. Himpunan R juga himpunan kosong, karena 14 dan 15 bukan prima. Himpunan S bukan himpunan kosong karena memiliki 1 anggota, yaitu 0 (0 adalah bilangan cacah yang kurang dari 1).

[collapse]

Soal Nomor 4
Tuliskan kembali pernyataan berikut dengan menggunakan notasi himpunan.
a) a bukan elemen A
b) t elemen S
c) A mengandung B
d) P tidak terkandung dalam Q

Penyelesaian

a) a \notin A
b) t \in S
c) B \subseteq A
d) P \nsubseteq Q
Catatan: Hati-hati dalam memahami kata terkandung dan mengandung dalam kasus ini. Kata “mengandung” berarti “meliputi, menguasai, memiliki”. Terkandung/dikandung merupakan kebalikannya (bentuk pasif).

[collapse]

Soal Nomor 5
Isilah dengan \in, \notin, \subseteq sehingga diperoleh pernyataan yang benar.
a) \{0\} \cdots \cdots \{0, 1\}
b) \emptyset \cdots \cdots \{\emptyset\}
c) \{3, 4\} \cdots \cdots \{3, 4, 5\}
d) 3 \cdots \cdots \{3, 4\}

Penyelesaian

a) \{0\} \subseteq \{0, 1\}
b) \emptyset \in \{\emptyset\}
c) \{3, 4\} \subseteq \{3, 4, 5\}
d) 3 \in \{3, 4\}
Catatan: Bedakan anggota himpunan dengan himpunan. Jika ditulis dalam kurung kurawal, maka itu berarti ekspresi tersebut adalah suatu himpunan.

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika A = \{4\} dan B = \{b~|~b^2 - 16 = 0, b > 0\}, apakah dapat dikatakan bahwa A = B?

Penyelesaian

Menurut definisi kesamaan dua himpunan, A dan B disebut sama (A = B) jika dan hanya jika setiap anggota dari A menjadi anggota dari B, begitu juga sebaliknya. Dengan kata lain, anggota kedua himpunan itu sama. Dalam kasus ini, A = \{4\}, sedangkan jika kita meninjau syarat keanggotaan B, yaitu b^2 - 16 = 0 \Leftrightarrow (b - 4)(b+4) = 0, berarti nilai b = 4 atau b = -4 yang memenuhi, maka diambil b = 4 karena memenuhi syarat yang lain, yakni b > 0. Ini berarti, B = \{4\}. Karena memiliki anggota yang sama, maka dapat dikatakan bahwa A = B.

[collapse]

Soal Nomor 7
Misalkan P = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\} Pernyataan manakah yang tidak benar dan tuliskan alasannya.
a) \{1, 2\} \subseteq P
b) \{3, 5\} \in P
c) \{\{3, 4\}\} \subseteq P

Penyelesaian

Pernyataan (a) benar karena salah satu himpunan bagian dari P adalah \{1, 2\}. Pernyataan (b) salah karena \{3, 5\} bukan anggota dari P. Perhatikan bahwa ada anggota P yang juga suatu himpunan, yaitu \{3, 4\}. Jika pernyataan itu diganti menjadi \{3, 4\} \in P, maka pernyataan itu benar. Pernyataan (c) benar. \{\{3, 4\}\} merupakan himpunan yang berisikan himpunan lain yang merupakan anggota himpunan induknya. Jelas kita tidak boleh menggunakan simbol \in. \{\{3, 4\}\} merupakan himpunan bagian dari P, sehingga pernyataan ini benar.

[collapse]

Soal Nomor 8
Jika S = \{1, 2, 3, ..., 10\}, A = \{2, 4, 6, 8\}, dan B = \{1, 3, 5, 7, 9\}, maka tentukan
a) (A \cup B)^c = A^c \cap B^c
b) (A \cap B)^c = A^c \cup B^c

Penyelesaian

Hukum de Morgan memberlakukan pernyataan (a) dan (b). Perhatikan pernyataan (a) bahwa A \cup B = \{1, 2, 3, ..., 9\} sehingga (A \cup B)^c = \{10\}. Sama halnya kita menggunakan ekspresi pada ruas kanan, hasilnya akan sama. Sedangkan untuk pernyataan (b), A \cap B = \emptyset, sehingga (A \cap B)^c = \{1, 2, 3, ..., 10\} = S.

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui A = \{x| -3 \leq x < 1\} dan B = \{x| -1 \leq x \leq 2\}. Tentukanlah A - B.

Penyelesaian

Anda dapat menggunakan garis bilangan untuk menyelesaikan ini.
A - B = \{x| -3 \leq x < -1 \}

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika A = \{a, b\}, B = \{c, d, e, f\}, dan C = \{c, d, g\}, maka tunjukkan bahwa
a) A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
b) A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)

Penyelesaian

Jawaban a)
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kiri,
A \times (B \cap C) = \{a, b\} \times \{c, d\}
= \{ac, ad, bc, bd\}
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kanan,
\begin{aligned} & (A \times B) \cap (A \times C) \\ & = \{ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf\} \cap \{ac, ad, ag, bc, bd, bg\} \\ & = \{ac, ad, bc, bd\} \end{aligned}
Jadi, terbukti bahwa A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)
Jawaban b)
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kiri,
A \times (B - C) = \{a, b\} \times \{e, f\} = \{ae, af, be, bf\}
Jika ditinjau ekspresi pada ruas kanan,
\begin{aligned}& (A \times B) - (A \times C) \\ &  = \{ac, ad, ae, af, bc, bd, be, bf\} - \{ac, ad, ag, bc, bd, bg\} \\ & = \{ae, af, be, bf\} \end{aligned}
Jadi, terbukti bahwa A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Misalkan
A_k = \{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\}, k =1,2,3,\cdots
Tentukan \displaystyle \bigcup_{k = 1}^{\infty} A_k

Penyelesaian

Ingatlah bahwa
\displaystyle \boxed{\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k = A_1 \cup A_2 \cup \cdots}
Untuk k = 1, diperoleh
A_1 = \{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1\}
Untuk k = 2, diperoleh
A_2 = \{x: \dfrac{1}{3} \leq x \leq 1\}
Untuk k = 3, diperoleh
A_3 = \{x: \dfrac{1}{4} \leq x \leq 1\}
Selanjutnya, untuk k \to \infty,
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{k \to \infty} A_k & = \lim_{k \to \infty} \left\{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\right\} \\ & = \{x: 0 \leq x \leq 1\} \end{aligned}
Jadi,
\displaystyle \boxed{\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k = \{x: 0 \leq x \leq 1\}}

[collapse]

Soal Nomor 12 
Misalkan  
A_k = \{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\}, k =1,2,3,\cdots
Tentukan \displaystyle \bigcap_{k = 1}^{\infty} A_k

Penyelesaian

Ingatlah bahwa
\displaystyle \boxed{\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k = A_1 \cap A_2 \cap \cdots}
Untuk k = 1, diperoleh
A_1 = \{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1\}
Untuk k = 2, diperoleh
A_2 = \{x: \dfrac{1}{3} \leq x \leq 1\}
Untuk k = 3, diperoleh
A_3 = \{x: \dfrac{1}{4} \leq x \leq 1\}
Selanjutnya, untuk k \to \infty,
\begin{aligned} \displaystyle \lim_{k \to \infty} A_k & = \lim_{k \to \infty} \left\{x: \dfrac{1}{k+1} \leq x \leq 1\right\} \\ & = \{x: 0 \leq x \leq 1\} \end{aligned}
Jadi,
\displaystyle \boxed{\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k = \left\{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1\right\}}

[collapse]

Soal Nomor 13
Misalkan
A_1 = (0,1), A_2 = \left(0,\dfrac{1}{2}\right), A_3 = \left(0,\dfrac{1}{3}\right), \cdots, A_{10} = \left(0,\dfrac{1}{10}\right)
dengan (a, b) = \{x: a < x < b\} yang menggambarkan interval terbuka antara a dan b.
Tentukan \displaystyle \bigcup_{k=1}^{10} A_k dan \displaystyle \bigcap_{k=1}^{10} A_k

Penyelesaian

Gabungan dari himpunan-himpunan tersebut dinyatakan sebagai
\begin{aligned} \displaystyle \bigcup_{k=1}^{10} A_k & = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{10} \\ & = (0,1) \cup \left(0,\dfrac{1}{2}\right) \cup \cdots \cup \left(0,\dfrac{1}{10}\right) \\ & = \left(0,1\right) \end{aligned}
Sedangkan irisan dari himpunan-himpunan tersebut dinyatakan sebagai
\begin{aligned} \displaystyle \bigcap_{k=1}^{10} A_k & = A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{10} \\ & = (0,1) \cap \left(0,\dfrac{1}{2}\right) \cap \cdots \cap \left(0,\dfrac{1}{10}\right) \\ & = \left(0, \dfrac{1}{10}\right) \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 14
Tentukan
a) \displaystyle \bigcup_{n=2}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n}, 1\right)
b) \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0, \dfrac{1}{n} \right)
c) \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,1 + \dfrac{1}{n}\right)

Penyelesaian

Jawaban a)
Untuk n = 2, diperoleh \left(\dfrac{1}{2}, 1\right)
Untuk n = 3, diperoleh
\left(\dfrac{1}{3}, 1\right)
dan seterusnya sampai untuk n \to \infty, diperoleh (0, 1)
Oleh karena itu, gabungan dari himpunan-himpunan interval tersebut adalah
\boxed{\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n} , 1\right) = (0,1)}
Jawaban b)
Untuk n = 1, diperoleh \left(0, 1\right)
Untuk n = 2, diperoleh
\left(0, \dfrac{1}{2}\right)
dan seterusnya sampai untuk n \to \infty, diperoleh (0,0) = \emptyset, karena tidak ada bilangan yang letaknya di antara satu bilangan yang sama.
Oleh karena itu, irisan dari himpunan-himpunan interval tersebut adalah
\boxed{\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,\dfrac{1}{n}\right) = \emptyset}
Jawaban c)
Untuk n = 1, diperoleh \left(0,2)
Untuk n = 2, diperoleh
\left(0, \dfrac{3}{2}\right)
dan seterusnya sampai untuk n \to \infty, diperoleh (0, 1)
Oleh karena itu, irisan dari himpunan-himpunan interval tersebut adalah
\boxed{\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(0,1+\dfrac{1}{n}\right) = (0,1)}

[collapse]

Soal Nomor 15
Buktikan kebenaran Hukum de Morgan berikut.
a) (A \cup B)^c = A^c \cap B^c
b) (A \cap B)^c = A^c \cup B^c

Penyelesaian

Jawaban a)
Berdasarkan prinsip kesamaan, A \cup B)^c = A^c \cap B^c berlaku jika dan hanya jika (A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c dan A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c.
(i) Akan dibuktikan bahwa A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c. Ambil sembarang x \in (A \cup B)^c, berarti x \in S dan x \notin (A \cup B), di mana S adalah semesta himpunan. Perhatikan bahwa x \notin (A \cup B) berarti x \notin A dan x \notin B. Jika dituliskan lebih rinci, dapat dinyatakan (x \in S dan x \notin A) dan (x \in S dan x \notin B). Akibatnya,
x \in A^c, x \in B^c \equiv x \in A^c \cap B^c
Karenanya didapat
x \in A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c
ii) Akan dibuktikan bahwa (A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c. Ambil sembarang x \in A^c \cap B^c, berarti x \in S, x \notin A dan x \in S, x \notin B. Dapat pula dinyatakan
x \in S~\text{dan}~(x \notin A ~\text{dan}~x \notin B) \equiv x \in S~\text{dan}~x \notin A \cup B
Akibatnya, x \in (A \cup B)^c. Jadi, (A \cup B)^c \subseteq (A \cup B)^c.
Berdasarkan (i) dan (ii), terbukti bahwa (A \cup B)^c = A^c \cap B^c.
(Jawaban b)
Analog dengan jawaban a

[collapse]

Soal Nomor 16
Diberikan himpunan semesta U = \{x: 0 \leq x \leq 2\}. Jika A = \left\{x: \dfrac{1}{2} \leq x \leq 1 \right\} dan B = \left\{x: \dfrac{1}{4} \leq x \leq \dfrac{3}{2}\right\}, tentukan anggota himpunan
a) (A \cup B)^c
b) A \cup B^c
c) (A \cap B)^c
d) A^c \cap B

Penyelesaian

(Jawaban a)
Perhatikan sketsa berikut.


Daerah yang tak diarsir menyatakan anggota A \cup B, sehingga daerah lainnya, yaitu daerah yang diarsir warna biru menyatakan anggota
(A \cup B)^c = \left\{x: x < \dfrac{1}{4}~\text{atau}~x > \dfrac{3}{2}\right\}
(Jawaban b)
 
Daerah yang diarsir biru dan hijau berturut-turut menyatakan anggota A dan B^c, sehingga gabungan keduanya menyatakan anggota
A \cup B^c = \left\{x < \dfrac{1}{4}~\text{atau}~\dfrac{1}{2} \leq x 1~\text{atau}~x > \dfrac{3}{2} \right\}
(Jawaban c)
 
Daerah yang diarsir warna jingga menyatakan anggota A = A \cap B, sehingga daerah lainnya menyatakan anggota
(A \cap B)^c = \left\{x: x < \dfrac{1}{2}~\text{atau}~x > 1 \right\}
(Jawaban d)

Daerah yang diarsir warna hijau dan kuning merupakan daerah yang menyatakan anggota A^c, sedangkan daerah warna biru menyatakan anggota A. Irisan A^c dengan B adalah daerah warna kuning,
A^c \cap B = \left\{x: \dfrac{1}{4} \leq x < \dfrac{1}{2}~\text{atau} 1 < x \leq \dfrac{3}{2}\right\} 

[collapse]

Soal Nomor 17 (Soal OSN SMP Tingkat Provinsi Tahun 2018)
Diberikan himpunan A = \{1,2,\cdots, 25\}. Banyak himpunan bagian berunsur dua yang hasil kali unsur-unsurnya kuadrat sempurna adalah \cdots

Penyelesaian

Hasil kali dua bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan kuadrat sempurna (contoh: 4 \times 9 = 36 = 9^2). Bilangan kuadrat sempurna yang merupakan unsur/anggota dari A adalah 1,4,9,16,25 (ada 5).
Karena himpunan yang anggotanya dibolak-balik urutannya dianggap sama dan himpunan yang diinginkan memiliki dua unsur, maka banyaknya himpunan bagian yang dimaksud adalah (gunakan aturan kombinasi)
C_2^5 = \dfrac{5!} {(5-2)!2!} = 10
Selain itu, perkalian suatu bilangan dengan bilangan kubiknya juga merupakan bilangan kuadrat sempurna. Dalam hal ini, yaitu \{2,8\} (2 \times 8 = 16 = 4^2)
Jadi, ada 11 himpunan bagian dari A yang berunsur dua dan bila dikalikan kedua unsurnya itu menghasilkan bilangan kuadrat sempurna.

[collapse]

Soal Nomor 18
Tuliskan himpunanbilangan ganjil positif yang habis dibagi 3 dan kurang dari 30” dalam notasi pembentuk himpunan.

Penyelesaian

Misalkan nama himpunan itu adalah A. Jika ditabulasi,
A = \{3,9,15,21,27\}
Dengan memanfaatkan rumus barisan aritmetika, kita dapat menentukan rumus suku ke-n sebagai berikut
\begin{aligned} u_n &= a + (n - 1)b \\ u_n & = 3 + (n - 1) \times 6 = 6n - 3 \end{aligned}
Jadi, dalam notasi pembentuk himpunan,
A = \{x: x = 6n - 3, x \leq 5, x \in \mathbb{N}\}
Catatan: Perlu diberi syarat x \leq 5 karena syaratnya adalah bilangan yang kurang dari 30. x juga harus berupa bilangan asli.

[collapse]

Soal Nomor 19
Diberikan
D = \{d~|~-5 < d \leq 6, d \in \mathbb{R}\},
E = \{e~|~5 < e \leq 6, e \in \mathbb{R}\},
dan
F = \{f~|~-6 \leq f < 3, f \in \mathbb{R}\}
a) Tentukan hasil operasi (F \cup D) \cap (D \cup E) dan gambarkan Diagram Venn-nya.
b) Tentukan hasil operasi (F \cap D \cap E)^c dan gambarkan Diagram Venn-nya.

Penyelesaian Belum Tersedia
[collapse]

Soal Nomor 20
Banyaknya himpunan X yang memenuhi
\{1,2\} \subseteq X \subseteq \{1,2,3,4,5\}
adalah \cdots

Penyelesaian

Himpunan X minimal terdiri dari 2 unsur dan maksimal terdiri dari 5 unsur dengan dua unsur di antaranya adalah elemen 1 dan 2, sisanya dapat dipilih elemen 3, 4, dan 5.
(Kemungkinan 1)
Jika X terdiri dari 2 unsur, berarti kita tidak memilih elemen 3, 4, maupun 5 (memilih 0 pilihan)
C_0^3 = \dfrac{3!} {0!3!} = 1
(Kemungkinan 2)
Jika X terdiri dari 3 unsur, berarti kita memilih salah satu dari elemen 3, 4, atau 5.
C_1^3 = \dfrac{3!} {2!1!} = 3
(Kemungkinan 3)
Jika X terdiri dari 4 unsur, berarti kita memilih dari 2 dari elemen 3, 4, atau 5.
C_2^3 = \dfrac{3!} {1!2!} = 3
(Kemungkinan 4)
Jika X terdiri dari 5 unsur, berarti semua elemen 3, 4, dan 5 dipilih.
C_3^3 = \dfrac{3!} {0!3!} = 1
Banyaknya himpunan X yang memenuhi itu adalah
1 + 3 + 3 + 1 = 8

[collapse]

Soal Nomor 21
Tentukan himpunan kuasa dari
G = \{\emptyset, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\}

Penyelesaian

Himpunan kuasa adalah himpunan yang memuat seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan, dalam kasus ini G. Diketahui n(G) = 3, sehingga himpunan kuasa dari G atau \text{pow}(G) memiliki 2^3 = 8 elemen.
Himpunan kuasa dari G adalah
\begin{aligned} \text{pow}(G)  = & \{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{1\}\}, \{\{\emptyset, 1\}\}, \{\emptyset, \{1\}\}, \\ &  \{\emptyset, \{\emptyset, 1\} \}, \{\{1\}, \{\emptyset, 1\}\}, \{\emptyset, \{1\}, \{\emptyset, 1\}\}\} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 22 (Soal ON MIPA-PT Universitas Tanjungpura Tahun 2018)
Berapa banyaknya anggota dari |A \cup B \cup C \cup D| jika setiap himpunan berukuran 50, setiap irisan dari dua himpunan berukuran 30, setiap irisan dari tiga himpunan berukuran 10, dan irisan dari keempat himpunan berukuran 2?

Penyelesaian

Berdasarkan Prinsip Inklusi-Eksklusi (PIE),
\begin{aligned} & |A \cup B \cup C  \cup D| \\ & = (4 \times 50) - (6 \times 30) + (4 \times 10) - 2 = 58 \end{aligned}
Catatan: Angka 4, 6, 4 masing-masing mewakili banyaknya kombinasi susunan himpunan berdasarkan jumlahnya. Sebagai contoh, banyaknya kombinasi memilih 2 himpunan dari 4 himpunan adalah C_2^4 = \dfrac{4!} {2!2!} = 6.
Jadi, banyak anggota dari |A \cup B \cup C \cup D| adalah 58.

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini