Soal dan Pembahasan – Himpunan (Tingkat SMP/Sederajat)

Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai himpunan yang dianjurkan untuk dipelajari oleh siswa tingkat SMP/Sederajat, terutama untuk menguatkan pemahaman konsep dan persiapan UNBK.

Soal Nomor 1
Jika M = \{\text{faktor dari 15}\} dan N = \{\text{bilangan cacah kurang dari 7}\}, maka M \cup N = \cdots
A. \{0,3,5\}
B. \{1,3,5\}
C. \{0,2,4,6,7\}
D. \{0,1,2,3,4,5,6,15\}

Penyelesaian

Diketahui: 
\begin{aligned} M & = \{1, 3, 5, 15\} \\ N & = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \end{aligned}
Dengan demikian, gabungan dari M dan N dinyatakan oleh
M \cup N = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 15\}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 2
Jika K = \{x~|~5 \leq x \leq 9, x~\text{bilangan asli}\} dan L = \{x~|~7 \leq x < 13, x~\text{bilangan cacah}\}, maka K \cup L = \cdots
A. \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}
B. \{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}
C. \{6, 7, 8, 9, 10\}
D. \{7, 8, 9, 10\}

Penyelesaian

Diketahui: 
\begin{aligned} K & = \{5, 6, 7, 8, 9\} \\ L & = \{7, 8, 9, 10, 11, 12\} \end{aligned}
Dengan demikian, gabungan dari K dan L dinyatakan oleh
K \cup L = \{5,6,7,8,9,10,11,12\}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Diketahui A = \{x~|~1 < x < 20, x~\text{bilangan prima}\} dan B = \{y~|~1 \leq y \leq 10, x~\text{bilangan ganjil}\}. Hasil dari A \cap B = \cdots
A. \{3, 5, 7\}
B. \{3, 5, 7, 9\}
C. \{1, 3, 5, 7\}
D. \{1, 3, 5, 7, 9\}

Penyelesaian

Diketahui: 
\begin{aligned} A & = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\} \\ B & = \{1, 3, 5, 7, 9\} \end{aligned}
Dengan demikian, irisan dari A dan B dinyatakan oleh
A \cap B = \{3, 5, 7\}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Perhatikan diagram Venn berikut!

Himpunan yang anggota-anggotanya merupakan irisan P dan Q adalah \cdots

A. \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}
B. \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}
C. \{1, 2, 3, 5, 7\}
D. \{4, 6, 9\}

Penyelesaian

Irisan P dan Q adalah bilangan yang menjadi anggota P sekaligus anggota Q, yaitu P \cap Q = \{4, 6, 9\} (Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Dari diagram Venn di bawah, P \cup Q = \cdots

A. \{2,3,5\}
B. \{1,4,6,7,8\}
C. \{1,2,3,4,5,6,7,8\}
D. \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}

Penyelesaian

Notasi P \cup Q (gabungan dari P dan Q) artinya bilangan yang menjadi anggota P atau Q, yaitu P \cup Q = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}. Tampak pada diagram Venn bahwa \{9, 10\} berada di luar lingkaran sehingga bukan anggota P \cup Q (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Perhatikan diagram Venn berikut!

Hasil dari (P - Q) \cap R^C = \cdots
A. \{a, b\}
B. \{a, b, c\}
C. \{l, m, n\}
D. \{a, b, k, i\}

Penyelesaian

Berdasarkan diagram Venn di atas, diketahui 
\begin{aligned} P & = \{a, b, c, d, i, k\} \\ Q & = d, e, f, g, i, k\} \\ R & = \{c, d, g, h, j\} \end{aligned}
P - Q (selisih P dan Q) adalah anggota P yang bukan anggota Q, yaitu
P - Q = \{a, b, c\}
R^C (komplemen R) adalah anggota semesta yang bukan anggota R, yaitu
R^C = \{a, b, e, f, i, k, m, l, n\}
Dengan demikian,
\begin{aligned} & (P - Q) \cap R^C \\ & = \{a, b, c\} \cap \{a, b, e, f, i, k, m, l, n\} \\ & = \{a, b\} \end{aligned}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui himpunan semesta S adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 20. A adalah himpunan bilangan prima antara 3 dan 20. B adalah himpunan bilangan asli antara 2 dan 15. Komplemen dari A \cup B adalah \cdots
A. \{0,1,2,5,7,11,13,15,16,18\}
B. \{3,4,6,8,9,10,12,14,17,19\}
C. \{3,4,6,8,9,10,12,14,15,17,19\}
D. \{0,1,2,15,16,18,20\}

Penyelesaian

Diketahui: 
\begin{aligned} S & = \{0, 1, 2, 3, \cdots, 18, 19\} \\ A & = \{5, 7, 11, 13, 17, 19\} \\ B & = \{3, 4, 5, \cdots, 13, 14\} \end{aligned}
Dengan demikian, gabungan dari A dan B dinyatakan oleh
A \cup B = \{3, 4, 5 \cdots, 13, 14, 17, 19\}
Ini berarti, komplemen dari A \cup B adalah
(A \cup B)^C = \{0, 1, 2, 15, 16, 18, 20\}
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Diketahui P = \{x~|~3 < x < 13, x~\text{bilangan ganjil}\} dan Q = \{x~|~x < 11, x~\text{bilangan prima}\}. Diagram Venn yang sesuai untuk kedua himpunan tersebut adalah \cdots

Penyelesaian

Dengan mendaftarkan anggota (tabulasi) masing-masing himpunan, diperoleh
\begin{aligned} P & = \{5, 7, 9, 11\} \\ Q & = \{2, 3, 5, 7\} \end{aligned}
Irisan dari kedua himpunan ini adalah
P \cap Q = \{5, 7\}
Diagram Venn yang tepat untuk ini adalah pada pilihan A.

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui:
\begin{aligned} S & = \{x~|~x \leq 12, x~\text{bilangan asli}\} \\ P & = \{x~|~1 \leq x < 12, x~\text{bilangan prima}\} \\ Q & = \{x~|~1 \leq x \leq 12, x~\text{bilangan ganjil}\} \end{aligned}
Diagram Venn yang tepat untuk himpunan di atas adalah \cdots

Penyelesaian

Dengan mendaftarkan anggota (tabulasi) masing-masing himpunan, diperoleh
\begin{aligned} S & = \{1, 2, 3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12\} \\ P & = \{2, 3, 5, 7, 11\} \\ Q & = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\} \end{aligned}
Irisan dari himpunan P dan Q adalah
P \cap Q =\{3, 5, 7, 11\}
sedangkan komplemen dari gabungan P dan Q adalah
(P \cup Q)^C = \{4, 6, 8, 10, 12\}
(Anggota S yang tidak menjadi anggota P \cup Q)
Ini berarti, bilangan 4,6,8,10,12 berada di luar lingkaran pada diagram Venn. 
Pilihan jawaban yang paling tepat adalah pilihan C.

[collapse]

Soal Nomor 10
Diketahui himpunan A = \{x~|~6 < x < 12, x \in~\text{bilangan cacah}\}. Banyak himpunan bagian dari A yang mempunyai 3 anggota adalah \cdots
A. 5              B. 10             C. 15           D. 32

Penyelesaian

Diketahui
A = \{7, 8, 9, 10, 11\}
Banyaknya anggota A adalah \text{n}(A) = 5
Alternatif 1: Segitiga Pascal
Buat Segitiga Pascal sampai tingkat ke-5 seperti berikut.

Berdasarkan bilangan yang ada pada tingkat ke-5, diperoleh bahwa banyak himpunan bagian dari A yang mempunyai 3 anggota adalah \boxed{10}
Alternatif 2: Aturan Kombinasi
Banyak himpunan bagian dari A yang mempunyai 3 anggota di mana banyak anggota A seluruhnya ada 5 adalah
\begin{aligned} C^5_3 & = \dfrac{5!} {3! \cdot (5 - 3)!} \\ & = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!} } {\cancel{3!} \cdot 2!} \\ & = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10 \end{aligned}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 11
Diketahui himpunan K = \{1 < x \leq 11, x \in~\text{bilangan ganjil}\}. Banyak himpunan bagian dari K yang mempunyai 4 anggota adalah \cdots
A. 5              B. 10                C. 20              D. 35

Penyelesaian

Diketahui
K = \{3, 5, 7, 9, 11\}
Banyaknya anggota K adalah \text{n}(K) = 5
Alternatif 1: Segitiga Pascal
Buat Segitiga Pascal sampai tingkat ke-5 seperti berikut.

Berdasarkan bilangan yang ada pada tingkat ke-5, diperoleh bahwa banyak himpunan bagian dari K yang mempunyai 4 anggota adalah \boxed{5}

Alternatif 2: Aturan Kombinasi
Banyak himpunan bagian dari K yang mempunyai 4 anggota di mana banyak anggota K seluruhnya ada 5 adalah
C^5_4 = \dfrac{5!} {4! \cdot (5 - 4)!} = \dfrac{5 \cdot \cancel{4!} } {\cancel{4!} \cdot 1} = \dfrac{5}{1} = 5
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 12
Diketahui himpunan B = \{x~|~2 < x \leq 17, x \in~\text{bilangan prima}\}. Banyak himpunan bagian dari B yang mempunyai 2 anggota adalah \cdots 
A. 6            B. 10             C. 15                D. 21

Penyelesaian

Diketahui
B = \{3, 5, 7, 11, 13, 17\}
Banyaknya anggota B adalah \text{n}(B) = 6
Alternatif 1: Segitiga Pascal
Buat Segitiga Pascal sampai tingkat ke-6 seperti berikut.

Berdasarkan bilangan yang ada pada tingkat ke-6, diperoleh bahwa banyak himpunan bagian dari B yang mempunyai 2 anggota adalah \boxed{15}
Alternatif 2: Aturan Kombinasi
Banyak himpunan bagian dari B yang mempunyai 2 anggota di mana banyak anggota B seluruhnya ada 6 adalah
C^6_2 = \dfrac{6!} {2! \cdot (6 - 2)!} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!} } {2 \cdot \cancel{4!}} = \dfrac{6 \cdot 5}{2} = 15
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 13
Diketahui himpunan P = \{x~|~x \leq 13, x \in~\text{bilangan prima}\}. Banyak himpunan bagian dari P yang mempunyai 4 anggota adalah \cdots
A. 25            B. 15                C. 12              D. 7

Penyelesaian

Diketahui
P = \{2, 3, 5, 7, 11, 13\}
Banyaknya anggota P adalah \text{n}(P) = 6
Alternatif 1: Segitiga Pascal
Buat Segitiga Pascal sampai tingkat ke-6 seperti berikut.

Berdasarkan bilangan yang ada pada tingkat ke-6, diperoleh bahwa banyak himpunan bagian dari P yang mempunyai 4 anggota adalah \boxed{15}
Alternatif 2: Aturan Kombinasi
Banyak himpunan bagian dari P yang mempunyai 4 anggota di mana banyak anggota P seluruhnya ada 6 adalah
C^6_4= \dfrac{6!} {4! \cdot (6 - 4)!} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!} } {\cancel{4!} \cdot 2!}= \dfrac{6 \cdot 5}{2} = 15
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 14
Diketahui himpunan A = \{x~|~x~\text{faktor dari 24}\}. Banyak himpunan bagian dari A yang mempunyai 3 anggota adalah \cdots
A. 24            B. 36               C. 56               D. 72

Penyelesaian

Diketahui
A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}
Banyaknya anggota A adalah \text{n}(A) = 8
Alternatif 1: Segitiga Pascal
Buat Segitiga Pascal sampai tingkat ke-8 seperti berikut.

Berdasarkan bilangan yang ada pada tingkat ke-8, diperoleh bahwa banyak himpunan bagian dari A yang mempunyai 3 anggota adalah \boxed{56}
Alternatif 2: Aturan Kombinasi
Banyak himpunan bagian dari A yang mempunyai 3 anggota di mana banyak anggota A seluruhnya ada 8 adalah
C^8_3 = \dfrac{8!} {3! \cdot (8 - 3)!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!} } {6 \cdot \cancel{5!}} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Di antara sekelompok warga yang terdiri dari 50 orang yang sedang berbelanja, 20 orang membeli buah apel, 25 orang membeli buah mangga, dan 5 orang membeli kedua buah tersebut. Banyak warga yang tidak membeli keduanya adalah …
A. 25 orang                C. 15 orang
B. 20 orang                D. 10 orang

Penyelesaian

Perhatikan diagram Venn berikut.

Banyak orang yang membeli buah apel atau buah mangga = (20 - 5) + (25 - 5) + 5 = 40 orang.
Banyak orang yang tidak membeli keduanya = 50 - 40 = 10 orang.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 16
Dari 50 orang, terdapat 35 orang berlangganan koran, 26 orang berlangganan majalah, dan 7 orang tidak berlangganan keduanya. Banyak orang yang hanya berlangganan tepat satu dari keduanya adalah …
A. 8 orang                 C. 18 orang
B. 17 orang               D. 25 orang

Penyelesaian

Perhatikan diagram Venn berikut.

Banyak orang yang berlangganan koran atau majalah = 50 - 7 = 43 orang.
Banyak orang yang berlangganan koran dan majalah = 35 + 26 - 43 = 18 orang.
Banyak orang yang hanya berlangganan koran = 35 - 18 = 17 orang.
Banyak orang yang hanya berlangganan majalah = 26 - 18 = 8 orang.
Banyak orang yang berlangganan tepat satu dari keduanya = 17 + 8 = 25 orang.
(Jawaban D) 

[collapse]

Soal Nomor 17
Dari 100 orang yang disurvei tentang kegemaran menonton acara televisi, diperoleh 68 orang gemar menonton sinetron, 42 orang gemar menonton berita, dan 10 orang tidak gemar kedua acara tersebut. Banyak orang yang hanya gemar menonton berita adalah …
A. 20 orang              C. 32 orang
B. 22 orang               D. 36 orang

Penyelesaian

Perhatikan diagram Venn berikut.

Banyak orang yang gemar menonton sinetron atau berita = 100 - 10 = 90 orang.
Banyak orang yang gemar menonton sinetron atau berita = 68 + 42 - 90 = 20 orang.
(Dalam diagram Venn, nilai x adalah 20)
Banyak orang yang hanya gemar menonton berita = 42 - 20 = 22 orang.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 18
Dari 40 orang anggota karang taruna, 21 orang gemar bermain tenis meja, 27 orang gemar bermain bulu tangkis, dan 15 orang gemar keduanya. Banyak anggota karang taruna yang tidak gemar keduanya adalah …
A. 6 orang               C. 12 orang
B. 7 orang               D. 15 orang

Penyelesaian

Perhatikan diagram Venn berikut.

Banyak orang yang hanya gemar bermain tenis meja = 21 - 15 = 6 orang.
Banyak orang yang hanya gemar bermain bulu tangkis = 27 - 15 = 12 orang.
Banyak orang yang gemar bermain tenis meja atau bulu tangkis = 6 + 12 + 15 = 33 orang.
Banyak orang yang tidak gemar keduanya = 40 - 33 = 7 orang.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Dalam suatu kelas yang terdiri dari 35 anak, terdapat 25 anak suka pelajaran matematika dan 20 anak suka pelajaran fisika. Jika terdapat 3 anak yang tidak suka pelajaran matematika maupun fisika, maka banyak anak yang suka kedua pelajaran itu adalah …
A. 13 orang                  C. 5 orang
B. 7 orang                     D. 3 orang

Penyelesaian

Perhatikan diagram Venn berikut.

Banyak orang yang suka pelajaran matematika atau fisika = 35 - 3 = 32 orang.
Banyak orang yang suka pelajaran matematika sekaligus fisika = 25 + 20 - 32 = 13 orang.
(Dalam diagram Venn, nilai x adalah 13)
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 20
Dari 38 siswa di kelas IX-A, 20 siswa gemar matematika, 24 siswa gemar olahraga, dan 6 siswa tidak gemar matematika maupun olahraga. Banyak siswa yang hanya gemar matematika adalah …
A. 4 orang                    C. 8 orang
B. 7 orang                    D. 11 orang

Penyelesaian

Perhatikan diagram Venn berikut

Banyak siswa yang gemar matematika atau olahraga = 38 - 6 = 32 orang.

Banyak siswa yang gemar matematika dan olahraga = 20 + 24 - 32 = 12 orang.
(Dalam diagram Venn, nilai x adalah 12)
Banyak siswa yang hanya gemar matematika = 20 - 12 = 8 orang.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 21
Dari 49 siswa, diperoleh data sebagai berikut: 34 siswa gemar bermain futsal, 28 siswa gemar bermain basket, serta 6 siswa tidak gemar bermain futsal maupun basket. Banyak siswa yang gemar keduanya adalah …
A. 9 orang                 C. 19 orang
B. 17 orang               D. 21 orang

Penyelesaian

Perhatikan diagram Venn berikut.

Banyak siswa yang gemar bermain futsal atau basket = 49 - 6 = 43 orang.

Banyak siswa yang gemar bermain futsal dan basket = 34 + 28 - 43 = 19 orang.
(Dalam diagram Venn, nilai x adalah 19)
Jadi, banyak siswa yang gemar keduanya adalah 19 orang (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 22
Wawancara dari 40 orang pembaca majalah diketahui 5 orang suka membaca majalah tentang politik dan olahraga, 9 orang tidak menyukai keduanya. Banyak pembaca yang menyukai majalah olahraga sama dengan dua kali banyak pembaca yang menyukai majalah politik. Banyak pembaca yang menyukai majalah politik adalah …
A. 8 orang                     C. 12 orang
B. 10 orang                   D. 14 orang

Penyelesaian

Perhatikan diagram Venn berikut.

Misalkan banyak orang yang menyukai majalah politik adalah x, sedangkan banyak orang yang menyukai majalah olahraga adalah 2x.
Banyak orang yang hanya menyukai majalah politik = (x-5) orang.
Banyak orang yang hanya menyukai majalah olahraga = (2x-5) orang.
Banyak orang yang menyukai majalah politik atau olahraga = 40 - 9 = 31 orang.
Dengan demikian, dapat kita tulis
\begin{aligned} (x-5) + 5 + (2x - 5) & = 31 \\ 3x - 5 & = 31 \\ 3x & = 36 \\ x & = 12 \end{aligned}
Jadi, ada 12 orang yang menyukai majalah politik (Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 23
Dalam sebuah kelompok yang terdiri dari 40 orang, terdapat orang berambut hitam atau pirang dan mempunyai mata coklat atau biru. Sebanyak 13 orang berambut hitam dan bermata coklat, 22 orang berambut pirang, dan 19 orang bermata biru. Banyaknya orang yang bermata coklat dan berambut pirang adalah \cdots
A. 5 orang
B. 8 orang
C. 14 orang
D. 18 orang

Penyelesaian

Tabel berikut menyatakan jumlah orang berambut hitam, berambut pirang, bermata biru, dan bermata coklat. 
\begin{array} {|c|c|c|c|} \hline & \text{R-Hitam} & \text{R-Pirang} & \text{Total} \\ \hline \text{M-Coklat} & 13 & 8 & 21 \\ \hline \text{M-Biru} & 5 & 14 & 19 \\ \hline \text{Total} & 18 & 22 & 40 \\ \hline \end{array}
Berdasarkan tabel di atas, banyak orang yang berambut pirang dan bermata coklat adalah \boxed{8~\text{orang}}
(Jawaban B)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini