Pembahasan
Diketahui
Perhatikan bahwa
dengan sebagai matriks identitas.
Selanjutnya,
Jadi,
(Jawaban E)
Catatan: Perpangkatan matriks identitas tetap menghasilkan matriks identitas.
[collapse]
Soal Nomor 5
Jika konstanta memenuhi persamaan
,
maka nilai
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Dengan menerapkan aturan perkalian matriks, diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
Substitusi persamaan 2 ke persamaan 1.
Untuk itu, didapat
Jadi, nilai dari adalah atau ditulis sebagai
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 6
Jika , maka nilai dan yang memenuhi persamaan matriks
adalah
A. dan
B. dan
C. dan
D. dan
E. dan
Pembahasan
Karena , maka dapat diasumsikan dan untuk suatu bilangan real .
Dengan demikian, diperoleh
Dengan demikian, diperoleh
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 7
Diketahui matriks memiliki hubungan dengan matriks . Jika matriks dan matriks memiliki hubungan yang serupa, maka hasil dari
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Diketahui dan
Hubungan kedua matriks ini sebagai berikut:
Entri diagonal utama matriks ditukar lalu dinegatifkan untuk mendapatkan entri diagonal utama matriks .
Entri diagonal samping matriks ditukar untuk mendapatkan entri diagonal samping matriks
Secara matematis, ditulis
Karena , maka dengan mengikuti hubungan di atas, diperoleh
Dengan demikian,
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 8
Jika matriks berukuran yang mempunyai invers dan , maka
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Dari persamaan dengan matriks identitas dan matriks nol, diperoleh
Berdasarkan definisi invers matriks, merupakan invers dari matriks apabila berlaku .
Dengan demikian, kita peroleh bahwa
(Jawaban E)
[collapse]
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Determinan Matriks
Soal Nomor 9
Misal terdapat matriks dan yang berordo serta keduanya memiliki invers. Diketahui bahwa Hasil dari adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Perhatikan bahwa bentuk dapat disederhanakan lebih lanjut dengan menggunakan sejumlah sifat operasi matriks.
Jadi, hasil dari
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 10
Jika dan , maka matriks yang dinyatakan dengan adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Perhatikan bahwa jika matriks yang memiliki invers, berlaku
Karena notasi transpos dan invers (pada soal) masing-masing muncul sebanyak genap, maka dapat ditulis
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 11
Diketahui
Nilai dari adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Perhatikanlah bahwa
Karena perkalian matriks nol dengan matriks apapun tetap menghasilkan matriks nol, sedangkan perpangkatan matriks identitas tetap menghasilkan matriks identitas, maka dapat ditulis
Jadi, nilai dari
(Jawaban B)
Catatan:
merupakan notasi matriks nol, sedangkan adalah notasi matriks identitas.
[collapse]
Soal Nomor 12
Jika dan , maka dipenuhi oleh
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Diketahui:
Akan dicari hasil dari menggunakan pola.
Perhatikan bahwa
Tampak bahwa hanya entri baris kolom matriks yang berubah sesuai dengan pangkat . Dapat disimpulkan bahwa
Dengan menggunakan prinsip yang sama, diperoleh
Dengan demikian,
Kita dapatkan
Jadi, nilai dari
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 13
Jika , maka
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Diketahui:
Perhatikan hasil dari sejumlah perpangkatan matriks berikut.
Dari uraian di atas, ditemukan pola
untuk genap dan
untuk ganjil.
Karena adalah bilangan ganjil, maka kita dapatkan
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 14
Jika , maka
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Selanjutnya, kita sederhanakan bentuk aljabar yang diberi warna merah di atas.
Selanjutnya lagi, kita sederhanakan bentuk aljabar yang diberi warna biru di atas.
Dengan demikian, dapat kita tulis
Jadi, determinan dari matriks adalah
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 15
Diberikan . Hasil kali semua nilai yang memenuhi persamaan adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Diketahui:
Dari persamaan , kalikan kedua ruas dengan , sehingga selanjutnya dapat ditulis
Dari kesamaan entri matriks, diperoleh
Hasil kali nilai-nilai adalah
Jadi, hasil kali semua nilai yang memenuhi persamaan adalah
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 16
Pernyataan berikut yang benar mengenai perkalian matriks adalah
- Jika dan merupakan matriks persegi, maka
- Jika dan memiliki kolom, maka juga memiliki kolom
- Jika , maka
- Jika , maka berlaku atau
- Jika dan adalah matriks berukuran , maka dan keduanya terdefinisi
Pembahasan
Akan diperiksa kebenaran dari setiap opsi yang diberikan.
Cek opsi A: Salah
Karena matriks persegi, maka dengan menggunakan sifat distributif, berlaku
Ketaksamaan terjadi karena (perkalian matriks tidak memberlakukan sifat komutatif).
Cek opsi B: Salah
Diketahui dan memiliki kolom. Berdasarkan definisi perkalian matriks, banyaknya baris pada sama dengan banyaknya baris pada sedangkan banyaknya kolom pada sama dengan banyaknya kolom pada . Jadi, pernyataan bahwa juga memiliki kolom belum tentu benar.
Cek opsi C: Salah
Diketahui . Jika matriks-matriks kedua ruas diinverskan, diperoleh
Jadi, pernyataan yang diberikan salah.
Cek opsi D: Salah
Diketahui . Selain atau , ada kemungkinan lain dari hasil kali kedua matriks untuk mendapatkan matriks nol, yakni ketika
Jadi, matriks yang memenuhi adalah solusi persamaan matriks tersebut.
Cek opsi E: Benar
Diketahui dan adalah matriks berukuran . Untuk itu, dan keduanya berukuran . Dengan demikian, adalah perkalian dua buah matriks berukuran dan sehingga terdefinisi, begitu juga .
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 17
Determinan matriks adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Perhatikan bahwa determinan matriks sama dengan determinan matriks .
Dengan menggunakan fakta ini, kita peroleh
Jadi, determinan dari
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 18
Untuk setiap bilangan asli didefinisikan matriks . Jika , maka nilai dari
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Diketahui dengan . Determinan matriks ini adalah
Perhatikan bahwa dengan dan sehingga dengan menggunakan sifat dengan matriks persegi berordo beserta persamaan determinasi, diperoleh
Diperoleh atau (memenuhi karena ).
Jadi, nilai dari
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 19
Jika dan maka hasil dari adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Diketahui bahwa .
Kita akan mencari pola entri matriks untuk .
Perhatikan bahwa:
Dari sini, kita peroleh bahwa hanya entri pada baris pertama kolom kedua yang berubah dan berkelipatan untuk setiap perpangkatan . Dapat kita tulis, .
Diketahui bahwa .
Kita akan mencari pola entri matriks untuk .
Perhatikan bahwa:
Dari sini, kita peroleh bahwa hanya entri pada baris kedua kolom pertama yang berubah dan berkelipatan untuk setiap perpangkatan . Dapat kita tulis, .
Untuk itu,
Jadi, hasil dari operasi matriks itu adalah
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 20
Diketahui matriks dan menyatakan elemen matriks pada baris ke- dan kolom ke-. Jika dengan bilangan bulat positif, maka nilai .
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Diketahui .
Perhatikan bahwa:
Dari sini, kita temukan pola bahwa
sehingga
menyatakan elemen pada baris ke- dan kolom ke-, yaitu .
Dengan demikian, kita dapat tuliskan bahwa
Kita peroleh dan .
Jadi, nilai
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 21
Jika matriks dan mempunyai invers, maka semua bilangan real yang memenuhi adalah
A.
B.
C.
D. atau
E. atau
Pembahasan
Diketahui:
Kita tinjau matriks terlebih dahulu.
Agar memiliki invers, maka determinannya tidak boleh bernilai .
Diperoleh atau , artinya atau .
Dalam matriks, berlaku sifat determinan berikut:
Oleh karena itu, dapat kita tulis menjadi
Pernyataan terakhir bernilai benar bahwa
Jadi, bilangan real selain atau selalu memenuhi pertidaksamaan tersebut. Dengan kata lain, semua bilangan real yang memenuhi adalah atau
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 22
Jika , maka
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Observasi hasil perpangkatan dari matriks
Kita mendapatkan sebuah matriks identitas .
Ini menunjukkan .
Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa untuk bilangan ganjil dan untuk bilangan genap.
Karena adalah bilangan genap, maka jelas .
(Jawaban B)
[collapse]
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Cramer
Soal Nomor 23
Sebuah matriks dikatakan matriks ortogonal jika . Jika diketahui adalah matriks ortogonal, maka nilai dari
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Suatu matriks disebut matriks ortogonal jika berlaku (invers matriksnya sama dengan transpos matriksnya). Persamaan ini ekuivalen dengan setelah kedua ruas dikalikan dengan .
Jadi, kita tidak harus mencari invers matriks .
Misalkan .
Transpos matriks adalah
.
Dengan demikian, diperoleh
Untuk mendapatkan entri baris pertama kolom pertama, kita peroleh
Untuk mendapatkan entri baris kedua kolom kedua, kita peroleh
Untuk mendapatkan entri baris ketiga kolom ketiga, kita peroleh
Jadi, nilai dari
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 24
Jika matriks memiliki invers dan , maka
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Diketahui . Jika kita kalikan kedua ruas dengan , diperoleh dengan sebagai matriks identitas. Karena , kita peroleh
Berdasarkan kesamaan matriks, diperoleh
Untuk itu, diperoleh
Jadi, nilai dari adalah
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 25
Diketahui , , dan . Nilai dari
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Diketahui .
Kita akan mencari pola untuk perpangkatan .
Kita peroleh bahwa untuk setiap perpangkatan , hanya entri pada baris pertama kolom kedua yang berubah: berkelipatan untuk setiap pertambahan pangkatnya.
Dengan demikian, berdasarkan rumus fungsi , kita peroleh
Catatan: Untuk menghitung , kita gunakan rumus deret aritmetika .
Jadi, kita peroleh nilai
sehingga
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 26
Nilai dari jika diketahui adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Sebelumnya, perlu diketahui bahwa aturan sudut negatif dalam trigonometri memberlakukan dan Perhatikan bahwa
Dengan demikian,
Jadi, nilai determinan matriks tersebut adalah
(Jawaban A)
[collapse]
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Tentukan semua nilai jika diketahui adalah matriks simetris, dengan
.
Pembahasan
Karena matriks simetris, maka berlaku
Dengan demikian, diperoleh sistem persamaan linear
Eliminasi pada persamaan dan :
Cari nilai dan menggunakan persamaan dan .
Untuk , diperoleh
Substitusi nilai dan pada satu dari tiga persamaan pertama, misalnya persamaan .
Jadi, nilai berturut-turut adalah , dan .
[collapse]
Soal Nomor 2
Tunjukkan bahwa nilai determinan matriks
tidak tergantung pada .
Pembahasan
Misalkan
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ketiga, diperoleh
Diperoleh determinan selalu dan ini menunjukkan bahwa nilai tidak memengaruhi determinan matriks tersebut.
Catatan:
Ingat Identitas Pythagoras dalam trigonometri.
[collapse]
Soal Nomor 3
Buktikan bahwa matriks dan komutatif terhadap operasi perkalian matriks jika dan hanya jika .
Pembahasan
Pembuktian pernyataan di atas harus bersifat dua arah (karena memuat frasa “jika dan hanya jika” yang berarti biimplikasi).
Pembuktian:
Akan dibuktikan bahwa jika matriks
dan
komutatif terhadap operasi perkalian matriks, maka
Anteseden memberlakukan persamaan
(sifat komutatif perkalian).
Untuk itu, diperoleh
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
Bentuk terakhir dapat dinyatakan dalam bentuk determinan matriks berordo , yaitu
(Terbukti)
Pembuktian
Akan dibuktikan bahwa jika , maka matriks dan
komutatif terhadap operasi perkalian matriks.
Diketahui bahwa
Perhatikan bahwa
Karena berlaku , maka matriks tersebut komutatif terhadap operasi perkalian matriks (Terbukti).
Jadi, matriks dan komutatif terhadap operasi perkalian matriks jika dan hanya jika
[collapse]
Soal Nomor 4
Tunjukkan bahwa .
Pembahasan
Gunakan definisi invers matriks berikut:
dengan sebagai matriks identitas.
Kita dapat tuliskan,
Kalikan kedua ruas dengan :
Kalikan kedua ruas dengan :
Kalikan kedua ruas dengan :
Terakhir, kalikan kedua ruas dengan :
Jadi, terbukti bahwa .
[collapse]
Soal Nomor 5
Tentukanlah determinan dari matriks:
Pembahasan
Untuk mempermudah perhitungan, gunakan Operasi Baris Elementer (OBE).
Diketahui .
Berdasarkan aturan OBE, lakukan langkah-langkah berikut, dimulai dari:
Entri baris ke-3 dikurangi baris ke-2.
Entri baris ke-2 dikurangi baris ke-1.
Entri baris ke-3 dikurangi baris ke-2.
Karena ada satu baris yang semua entrinya , maka dapat disimpulkan bahwa determinan matriks tersebut adalah
[collapse]
Soal Nomor 6
Tentukanlah determinan dari matriks:
Pembahasan
Untuk mempermudah perhitungan, gunakan Operasi Baris/Kolom Elementer (OBE/OKE).
Diketahui Berdasarkan aturan OBE/OKE, lakukan langkah-langkah berikut, dimulai dari:
.
Entri kolom ke-2 dikurangi kolom ke-1.
Entri kolom ke-3 dikurangi kolom ke-1.
Entri baris ke-2 dikurangi baris ke-1.
Entri baris ke-3 dikurangi baris ke-1.
Faktorkan keluar pada kolom ke-3.
Faktorkan keluar pada baris ke-3.
Entri baris ke-3 dikurangi baris ke-2.
Lakukan ekspansi kofaktor pada baris ke-3:
Jadi, determinan matriks tersebut adalah
[collapse]
Soal Nomor 7
Tunjukkan bahwa persamaan merepresentasikan persamaan garis yang bergradien dan melalui titik .
Pembahasan
Akan dibuktikan bahwa ekuivalen dengan rumus persamaan garis bergradien dan melalui titik , yakni
Dengan menggunakan aturan Sarrus, kita peroleh
Jadi, terbukti bahwa persamaan determinan tersebut merepresentasikan persamaan garis yang bergradien dan melalui titik .
[collapse]