Tag: Rata-rata

Kelas dengan frekuensi tertinggi adalah kelas dengan interval $50-59.$
Diketahui:
$\begin{aligned} L_0 & = 50 -0,\!5 = 49,\!5 \\ c & = 59-50+1 = 10 \\ d_1 & = 12 -8 = 4 \\ d_2 & = 12 -9 = 3 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{Mo} & = L_0 + c \left(\dfrac{d_1}{d_1+d_2}\right) \\ & = 49,\!5 + 10\left(\dfrac{4}{4+3}\right) \\ & = 49,\!5 + \dfrac{40}{7}. \end{aligned}$
Jadi, modus data pada tabel di atas adalah $\boxed{49,\!5 + \dfrac{40}{7}}$
(Jawaban D)

Kelas dengan frekuensi tertinggi adalah kelas dengan interval $58-63$.
Diketahui:
$\begin{aligned} L_0 & = 58 -0,\!5 = 57,\!5 \\ c & = 63-58+1 = 6 \\ d_1 & = 12-9= 3 \\ d_2 & = 12 -7 = 5 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{Mo} & = L_0 + c \left(\dfrac{d_1}{d_1+d_2}\right) \\ & = 57,\!5 + 6\left(\dfrac{3}{3+5}\right) \\ & = 57,\!5 + \dfrac{18}{8}. \end{aligned}$
Jadi, modus data pada tabel di atas adalah $\boxed{57,\!5 + \dfrac{18}{8}}$
(Jawaban B)

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{f} \\ \hline 7-12 & 5 \\ 13-18 & 6 \\ \color{red} {19-24} & \color{red}{10} \\ 25-30 & 2 \\ 31-36 & 5 \\ \hline \end{array}$
Dari tabel distribusi di atas, diketahui kelas modusnya pada kelas dengan rentang $19-24$ karena frekuensinya tertinggi.
Tepi bawah kelas modus $L_0 = 19 -0,\!5 = 18,\!5.$
Lebar kelas $c = 6.$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya $d_1 = 10 -6 = 4.$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya $d_2 = 10 -2 = 8.$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} \text{Mo} & = L_0 + c\left(\dfrac{d_1}{d_1+d_2}\right) \\ & = 18,\!5 + 6\left(\dfrac{4}{4+8}\right) \\ & = 18,\!5 + 2 \\ & = 20,\!5. \end{aligned}$
Jadi, modus dari data tersebut adalah $\boxed{20,\!50}$
(Jawaban D)

$\begin{array}{|c|c|} \hline  \text{Nilai} & \text{Frekuensi} \\ \hline 1-10 & 10 \\ 11-20 & 12 \\ 21-30 & 18 \\ \color{red}{31-40} & \color{red}{30} \\ 41-50 & 16 \\ 51-60 & 14 \\ \hline \text{Jumlah} & 100 \\ \hline \end{array}$
Dari tabel distribusi di atas, diketahui kelas modusnya pada kelas dengan rentang $31-40$ karena frekuensinya tertinggi.
Tepi bawah kelas modus $L_0 = 31 -0,\!5 = 30,\!5.$
Lebar kelas $c = 10.$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya $d_1 = 30 -18 = 12.$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya $d_2 = 30 -16 = 14.$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} \text{Mo} & = L_0 + c\left(\dfrac{d_1}{d_1+d_2}\right) \\ & = 30,\!5 + 10\left(\dfrac{12}{12+14}\right) \\ & = 30,\!5 + \dfrac{60}{13} \\ & = 30,\!5 + 4,\!61538\cdots \approx 35,\!1. \end{aligned}$
Jadi, modus dari data tersebut adalah $\boxed{35,\!1}$
(Jawaban C) 

$$\begin{array}{|c|c|} \hline  \text{Penjualan Beras (Ton)} & \text{Frekuensi} \\ \hline 21-25 & 3 \\ 26-30 & 5 \\ \color{red}{31-35} & \color{red} {15} \\  36-40 & 8 \\ 41-45 & 6 \\ 46-50 & 3 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel distribusi di atas, diketahui kelas modusnya pada kelas dengan rentang $31-35$ karena frekuensinya tertinggi.
Tepi bawah kelas modus $L_0 = 31 -0,\!5 = 30,\!5.$
Lebar kelas $c = 5.$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya $d_1 = 15 -5 = 10.$
Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya $d_2 = 15-8 = 7.$
Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} \text{Mo} & = L_0 + c\left(\dfrac{d_1}{d_1+d_2}\right) \\ & = 30,\!5 + 5\left(\dfrac{10}{10+7}\right) \\ & = 30,\!5 + \dfrac{50}{17} \\ & = 30,\!5 + 2,\!941176\cdots \approx 33,\!44. \end{aligned}$
Jadi, modus dari data tersebut adalah $\boxed{33,\!44~\text{ton}}$
(Jawaban C)

Dari histogram di atas, tampak bahwa kelas modus adalah kelas dengan interval $11-15$, karena frekuensinya tertinggi.
Diketahui:
$\begin{aligned} L_0 & = 10,\!5 \\ c & = 15-11+1 = 5 \\ d_1 & = 14-8 = 6 \\ d_2 & = 14-12=2 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{Mo} & = L_0 + c \cdot \dfrac{d_1}{d_1+d_2} \\ & = 10,\!5 + 5 \cdot \dfrac{6}{6+2} \\ & = 10,\!5 + 3,\!75 = 14,\!25. \end{aligned}$
Jadi, modus dari data pada histogram itu adalah $\boxed{14,\!25}$
(Jawaban E)

Ubah penyajian data pada histogram di atas menjadi bentuk tabel seperti di bawah (dilengkapi dengan kolom frekuensi kumulatif). 
$\begin{array} {|c|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 3-7 & 4 & 4 \\ 8-12 & 8 & 12 \\ 13-17 & 8 & 20 \\ \color{red}{18-22} & \color{red}{10} & \color{red}{30} \\ 23-27 & 12 & 42 \\ 28-32 & 6 & 48 \\ 33-37 & 4 & 52 \\ 38-42 & 2 & 54 \\ \hline \end{array}$ 
Kelas median (kuartil tengah) berada pada datum urutan ke: $\dfrac{1}{2} \times 54 = 27$, yaitu pada kelas dengan interval $18-22.$
Diketahui:
$\begin{aligned} L_0 & = 18 -0,\!5 = 17,\!5 \\ c & = 22-18+1=5 \\ n & = 54 \\ F_{k_3} & = 20 \\ f_m & = 10 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \text{Median} & = L_0 + c \left(\dfrac{\frac{1}{2} \cdot n- F_{k_3}}{f_m}\right) \\ & =17,\!5 + \cancel{5}\left(\dfrac{\dfrac12 \cdot 54 -20}{\cancelto{2}{10}}\right) \\ & = 17,\!5 + \dfrac{27 -20}{2} \\ & = 17,\!5 + 3,\!5 = 21. \end{aligned}$$Jadi, nilai median dari data pada histogram di atas adalah $\boxed{21}$
(Jawaban C)

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Panjang (mm)} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 30-35 & 5 & 5 \\ 36-41 & 9 & 14 \\ \color{red}{42-47} & \color{red}{8} & \color{red}{22} \\ 48-53 & 12 & 34 \\ 54-59 & 6 & 40 \\ \hline \text{Jumlah} & 40 & – \\ \hline \end{array}$
Kelas median terletak di kelas yang memuat datum ke-$\dfrac{n}{2} = \dfrac{40}{2} = 20$, yaitu pada kelas dengan rentang $42-47$.
Tepi bawah kelas median $L_0 = 42-0,\!5 = 41,\!5.$
Lebar kelas $c = 6.$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas median $\sum F_k = 14.$
Frekuensi kelas median $f_{m} = 8.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \text{Me} & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{n}{2} -\sum F_k}{f_{m}}\right) \\ & = 41,\!5 + 6\left(\dfrac{\frac{40}{2} -14}{8}\right) \\ & = 41,\!5 + 6\left(\dfrac{6}{8}\right) \\ & = 41,\!5 + \dfrac{9}{2} \\ & = 41,\!5 + 4,\!5 =  46. \end{aligned}$
Jadi, median dari data pada tabel di atas adalah $\boxed{46,\!00~\text{mm}}$
(Jawaban D)

Sajikan histogram di atas dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{Frekuensi} & \text{Frekuensi Kumulatif} \\ \hline 30-34 & 2 & 2 \\ 35-39 & 5 & 7 \\ 40-44 & 8 & 15 \\ \color{red} {45-49} & \color{red} {12} & \color{red}{27} \\ 50-54 & 6 & 33 \\ 55-59 & 4 & 37 \\ 60-64 & 3 & 40 \\ \hline \text{Jumlah} & 40 & – \\ \hline \end{array}$$Kelas median terletak di kelas yang memuat datum ke-$\dfrac{n}{2} = \dfrac{40}{2} = 20$, yaitu pada kelas dengan rentang $45-49.$
Tepi bawah kelas median $L_0 = 45-0,\!5 = 44,\!5.$
Lebar kelas $c = 5.$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas median $\sum F_k = 15.$
Frekuensi kelas median $f_{m} = 12.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \text{Me} & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{n}{2} -\sum F_k}{f_{m}}\right) \\ & = 44,\!5 + 5\left(\dfrac{\frac{40}{2} -15}{12}\right) \\ & = 44,\!5 + 5\left(\dfrac{5}{12}\right) \\ & = 44,\!5 + \dfrac{25}{12} \\ & = 44,\!5 + 2,\!0833\cdots \\ & \approx 46,\!6. \end{aligned}$
Jadi, median dari data pada histogram di atas adalah $\boxed{46,\!6}$
(Jawaban E) 

Lengkapi tabel di atas dengan menyisipkan hasil kali frekuensi dan nilai yang bersesuaian dengan kolomnya sebagai berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Nilai (N)} & 30 & 35 & 40 & 45 & 50 & 60 & \text{Jumlah} \\ \hline \text{Frekuensi (f)} & 3 & 4 & 5 & 8 & x & 3 & 23 + x  \\ \hline Nf & 90 & 140 & 200 & 360 & 50x & 180 & 970 + 50x \\ \hline \end{array}$$Rata-ratanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{\text{Jumlah nilai}}{\text{Banyak orang}} \\ 44 & = \dfrac{970 + 50x}{23 + x} \\ 44(23 + x) & = 970 + 50x \\ 1012 + 44x & = 970 + 50x \\ 1012 -970 & = 50x -44x \\ 42 & = 6x \\ x & = 7. \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ adalah $\boxed{7}$
(Jawaban B) 

Alternatif I: Rata-rata Hitung
Lengkapi tabel distribusi di atas dengan kolom $x_i$ dan $f_ix_i$ berturut-turut menyatakan nilai tengah tiap kelas dan hasil kali frekuensi dengan nilai tengah masing-masing kelas.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Berat Badan} & \text{Frekuensi} & x_i & f_ix_i \\ \hline 56-60 & 8 & 58 & 464 \\ 61-65 & 3 & 63 & 189 \\ 66-70 & 18 & 68 & 1224 \\ 71-75 & 21 & 73 & 1533 \\ 76-80 & 6 & 78 & 468 \\ 81-85 & 4 & 83 & 332 \\ \hline \text{Jumlah} & 60 & – & 4210 \\ \hline \end{array}$$Diperoleh $\sum f = 60$ dan $\sum f_ix_i = 4210$ sehingga rataan datanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{\displaystyle \sum f_ix_i} {\sum f} \\ & = \dfrac{4210}{60} \\ & = 70,\!1666\cdots \approx 70,\!17. \end{aligned}$
Alternatif II: Rata-rata Sementara
Misal dipilih rata-rata sementara $\overline{x}_s = 71$. Selanjutnya, buatlah tabel berikut. 
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Berat Badan} & \text{Frekuensi} & x_i & D_i = x_i -\overline{x}_s & f_iD_i \\ \hline 56-60 & 8 & 58 & -13 & -104  \\ 61-65 & 3 & 63 &  -8 & -24 \\ 66-70 & 18 & 68 & -3 & -54 \\ 71-75 & 21 & 73 & 2 & 42 \\ 76-80 & 6 & 78 & 7 & 42\\ 81-85 & 4 & 83 & 12 & 48 \\ \hline \text{Jumlah} & 60 & – & – & -50 \\ \hline \end{array}$$Rata-ratanya adalah
$\begin{aligned} \overline{x} & = \overline{x}_s + \dfrac{\sum f_iD_i}{\sum f} \\ & = 71 + \dfrac{-50}{60} \\ & = 71 -0,\!833\cdots \approx 70,\!17. \end{aligned}$
Jadi, rata-rata berat badan $60$ orang ibu tersebut adalah $\boxed{70,\!17}$
(Jawaban C)

Alternatif I: Rata-rata Hitung
Lengkapi tabel distribusi di atas dengan kolom $x_i$ dan $f_ix_i$ berturut-turut menyatakan nilai tengah tiap kelas dan hasil kali frekuensi dengan nilai tengah masing-masing kelas.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline  \text{Interval} & \text{Frekuensi} & x_i & f_ix_i \\ \hline 60-64 & 3 & 62 & 186 \\ 65-69 & 8 & 67 & 536 \\ 70-74 & 10 & 72 & 720 \\ 75-79 & 12 & 77 & 924 \\ 80-84 & 7 & 82 & 574 \\ \hline \text{Jumlah} & 40 & – & 2940 \\ \hline \end{array}$$Diperoleh $\sum f = 40$ dan $\sum f_ix_i = 2940$ sehingga rataan datanya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{\displaystyle \sum f_ix_i} {\sum f} \\ & = \dfrac{2940}{40} \\ & = 73,\!5. \end{aligned}$
Alternatif II: Rata-rata Sementara
Misal dipilih rata-rata sementara $\overline{x}_s = 75$. Selanjutnya, buatlah tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline  \text{Interval} & \text{Frekuensi} & x_i & D_i = x_i -\overline{x}_s & f_iD_i \\ \hline 60-64 & 3 & 62 & -13 & -39 \\ 65-69 & 8 & 67 & -8 & -64 \\ 70-74 & 10 & 72 & -3 & -30 \\ 75-79 & 12 & 77 & 2 & 24 \\ 80-84 & 7 & 82 & 7 & 49 \\ \hline \text{Jumlah} & 40 & – & – & -60 \\ \hline \end{array}$$Rata-ratanya adalah
$\begin{aligned} \overline{x} & = \overline{x}_s + \dfrac{\sum f_iD_i}{\sum f} \\ & = 75 + \dfrac{-60}{40} \\ & = 75 -1,\!5 = 73,\!5. \end{aligned}$
Jadi, rata-rata nilai ulangan matematika $40$ orang siswa tersebut adalah $\boxed{73,\!5}$
(Jawaban A)

Karena rata-rata sementara $\overline{x}_s = 27$, maka dapat dibuat tabel berikut. 
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline  \text{Pendapatan} & \text{Frekuensi} & d_i & f_id_i \\ \hline 10-14 & 5 & -3 & -15 \\ 15-19 & 8 & -2 & -16\\ 20-24 & 10 & -1 & -10 \\ \color{red}{25-29} & \color{red}{12} & \color{red}{0} & \color{red}{0} \\ 30-34 & 7 & 1 & 7 \\ 35-39 & 3 & 2 & 6 \\ \hline \text{Jumlah} & 45 & – & -28 \\ \hline \end{array}$$Diketahui lebar kelas $c = 5$, dan $\displaystyle \sum f_id_i = -28$, serta $\displaystyle \sum f = 45$. 
Dengan demikian, rataan hitungnya adalah
$\begin{aligned} \displaystyle \overline{x} & = \overline{x}_s + c\left(\dfrac{\sum f_id_i} {\sum f}\right) \\ & = 27 + 5\left(\dfrac{-28}{45}\right) \\ & = 27- \dfrac{140}{45}. \end{aligned}$
Jadi, rata-rata hitung data tersebut (dalam jutaan rupiah) ditunjukkan dengan rumus $\boxed{\overline{x} = 27 -\dfrac{140}{45}}$
(Jawaban A)

Misalkan banyak bilangan dalam kelompok itu adalah $n$. Karena rata-ratanya $40$, maka jumlah bilangan seluruhnya adalah $\sum F = 40n$. 
Selisih $60$ dan $30$ adalah $60-30 = 30$ sehingga jumlah bilangan yang sebenarnya adalah $\sum F = 40n + 30$.
Diketahui rata-rata yang sebenarnya adalah $41$, maka
$\begin{aligned} \dfrac{40n + 30}{n} & = 41 \\ 40n + 30 & = 41n \\ n & = 30. \end{aligned}$
Jadi, banyak bilangan dalam kelompok itu adalah $\boxed{30}$
(Jawaban C)

Andaikan $11$ siswa mendapatkan nilai $20$ dan $1$ siswa sisanya mendapatkan nilai $80$, maka rata-ratanya menjadi
$$\dfrac{(11 \times 20) + (1 \times 80)} {12} = \dfrac{220 + 80}{12} = 25.$$Andaikan $11$ siswa mendapatkan nilai $80$ dan $1$ siswa sisanya mendapatkan nilai $20$, maka rata-ratanya menjadi
$$\dfrac{(1 \times 20) + (11 \times 80)} {12} = \dfrac{20 + 880}{12} = 75.$$Dapat disimpulkan bahwa rata-rata terkecil yang mungkin didapat adalah $25$, sedangkan rata-rata terbesarnya $75$. Jadi, nilai rata-rata yang tak mungkin didapat adalah $\boxed{22}$
(Jawaban A)

Karena $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ terdiri dari $n$ datum dengan rata-rata $8$, maka $x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n = 8n.$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{(x_1+5)+(x_2+5)+(x_3+5)+\cdots+(x_n+5)}{n} \\ & = \dfrac{(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n) + (\underbrace{5+5+5+\cdots+5}_{\text{sebanyak}~n})}{n} \\ & = \dfrac{8n + 5n}{n} = \dfrac{13\cancel{n}}{\cancel{n}} = 13. \end{aligned}$$Jadi, mean data tersebut adalah $\boxed{13}$
(Jawaban D)

Nilai rataan dinyatakan oleh $\overline{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}.$
Misalkan sekelompok data itu memuat datum sebanyak $n$, maka dengan rataan $6$ serta penambahan datum sebesar $8$ sehingga rataannya naik $0,\!25$, diperoleh
$\begin{aligned} 6 + 0,\!25 & = \dfrac{\color{red}{6n + 8}}{\color{blue}{n + 1}} \\ 6,\!25(n+1) & = 6n+8 \\ 6,\!25n + 6,\!25 & = 6n+8 \\ 0,\!25n & = 1,\!75 \\ n & = 7. \end{aligned}$
Jadi, mula-mula ada $7$ datum.
Nilai rataan baru ketika ditambahkan lagi data $3,\!4,\!5,\!4,\!8,\!5,\!2,\!4$ (ada sebanyak $\color{brown}{8}$ datum) adalah
$$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{\color{red}{(6n+8)}+(3+4+5+4+8+5+2+4)}{\color{blue}{(n+1)}+\color{brown}{8}} \\ & = \dfrac{\color{red}{(6(7)+8)} + 35}{\color{blue}{(7+1)}+8} \\ & = \dfrac{85}{16} = 5,\!3125. \end{aligned}$$Jadi, nilai rataan barunya adalah $\boxed{5,\!3125}$
(Jawaban A)

Apabila setiap datum ditambah $n$, maka rata-ratanya juga akan bertambah $n.$
Apabila setiap datum dikali $n$, maka rata-ratanya juga akan menjadi $n$ kali.
Misal rata-rata semula adalah $\overline{x}.$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} (\overline{x} + 0,\!4) \times 1,\!25 & = 6,\!5 \\ \overline{x} & = 6,\!5 \div 1,\!25-0,\!4 \\ \overline{x} & = 5,\!2-0,\!4 = 4,\!8. \end{aligned}$
Jadi, nilai rata-rata data sebelum dikonversi adalah $\boxed{4,\!8}$
(Jawaban B)

Misalkan nilai tertinggi siswa adalah $x,$ berarti nilai $7$ siswa lainnya adalah $(x-24).$ Jumlah nilai seluruh siswa adalah $8 \times 70 = 560$.
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} x + 7(x-24) & = 560 \\ 8x-168 & = 560 \\ 8x & = 728 \\ x & = 91. \end{aligned}$
Jadi, nilai tertinggi siswa adalah $\boxed{91}$
(Jawaban A)

Urutkan dan pilah semua data yang diberikan itu dengan membaginya dalam $3$ bagian seperti berikut.
$$\underbrace{38~~40~~40~~42~~48}_{\text{Bagian} ~Q_1} ~~\underbrace{48}_{Q_2}~~\underbrace{50~50~~55~~60~~62}_{\text{Bagian}~Q_3}$$Pada bagian $Q_3$, datum tengahnya adalah $55.$
Jadi, kuartil ketiga (kuartil atas) dari data tersebut adalah $55.$
(Jawaban B)

Lengkapi tabel di atas dengan kolom frekuensi kumulatif $(F_k)$. 
$\begin{array} {|c|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 40-47 & 2 & 2 \\ 48-55 & 3 & 5 \\ 56-63 & 5 & 10 \\ 64-71 & 9 & 19 \\ \color{red}{72-79} & \color{red}{7} & \color{red}{26} \\ 80-87 & 3 & 29 \\ 88-95 & 1 & 30 \\ \hline \end{array}$
Kelas kuartil atas berada pada datum urutan ke: $\dfrac{3}{4} \times 30 = 22,\!5 \approx 23$, yaitu pada kelas dengan interval $72-79.$
Diketahui:
$\begin{aligned} L_0 & = 72 -0,\!5 = 71,\!5 \\ c & = 79-72+1= 8 \\ n & = 30 \\ \sum F_{k_4} & =19 \\ f_Q & = 7 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} Q_3 & = L_0 + c \left(\dfrac{\frac{3}{4} \cdot n -F_{k_4}}{f_Q}\right) \\ & = 71,\!5 + 8 \left(\dfrac{\frac{3}{4} \cdot 30 -19}{7}\right) \\ & = 71,\!5 + 8 \left(\dfrac{22,\!5 – 19}{7}\right) \\ & =71,\!5 + 8\left(\dfrac{\cancel{3,\!5}}{\cancelto{2}{7}} \right) \\ & = 71,\!5 + \dfrac{8}{2} \\ & = 71,\!5 + 4 = 75,\!5. \end{aligned}$
Jadi, nilai kuartil atas data pada tabel di atas adalah $\boxed{75,\!5}$
(Jawaban D)

Lengkapi tabel di atas dengan kolom frekuensi kumulatif $(F_k)$. 
$\begin{array} {|c|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 50-54 & 4 & 4 \\ 55-59 & 6 & 10\\ 60-64 & 8 & 18 \\ 65-69 & 10 & 28 \\ \color{red}{70-74} & \color{red}{8} & \color{red}{36} \\ 75-79 & 4 & 40 \\ \hline \end{array}$ 
Kelas kuartil atas berada pada datum urutan ke: $\dfrac{3}{4} \times 40 = 30,$ yaitu pada kelas dengan interval $70-74.$
Diketahui:
$\begin{aligned} L_0 & = 70 -0,\!5 = 69,\!5 \\ c & = 74-70+1= 5 \\ n & = 40 \\ F_{k_4} & = 28 \\ f_Q & = 8 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} Q_3 & = L_0 + c \left(\dfrac{\frac{3}{4} \cdot n -F_{k_4}}{f_Q}\right) \\ & = 69,\!5 + 5 \left(\dfrac{\frac{3}{4} \cdot 40 -28}{8}\right) \\ & = 69,\!5 + 5 \left(\dfrac{30 -28}{8}\right) \\ & =69,\!5 + 5 \left(\dfrac{\cancel{2}}{\cancelto{4}{8}} \right) \\ & = 69,\!5 + \dfrac{5}{4} \\ & = 69,\!5 + 1,\!25 = 70,\!75.\end{aligned}$
Jadi, nilai kuartil atas data pada tabel di atas adalah $\boxed{70,\!75}$
(Jawaban D)

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif sebagai berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Interval} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 121-123 & 2 & 2 \\ 124-126 & 5 & 7 \\ \color{red}{ 127-129} & \color{red}{10} & \color{red}{17} \\ 130-132 & 12 & 29 \\ 133-135 & 8 & 37 \\ 136-138 & 3  & 40\\ \hline \end{array}$
Kelas desil ke-$4$ atau $\text{D}_4$ terletak di kelas yang memuat datum ke-$\dfrac{4n}{10} = \dfrac{4\times 40}{10} = 16,$ yaitu pada kelas dengan rentang $127-129.$
Tepi bawah kelas desil ke-$4$ adalah $L_0 = 127-0,\!5 = 126,\!5.$
Lebar kelasnya $c = 3.$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-$4$, yaitu $\sum F_k = 7.$
Frekuensi kelas desil ke-4 $f_{D} = 10.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \text{D}_4 & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{4n}{10} -\sum F_k}{f_{D}}\right) \\ & = 126,\!5 + 3\left(\dfrac{16- 7}{10}\right) \\ & = 126,\!5+ 3\left(\dfrac{9}{10}\right) \\ & = 126,\!5 + 2,\!7 \\ & = 129,\!2. \end{aligned}$
Jadi, desil ke-$4$ dari data pada tabel di atas adalah $\boxed{129,\!2}$
(Jawaban C)

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif sebagai berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Berat Badan} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 41-45 & 8 & 8 \\ 46-50 & 5 & 13\\ 51-55 & 10 & 23 \\ 56-60 & 12 & 35 \\ \color{red}{61-65} & \color{red}{8} & \color{red}{43} \\ 66-70 & 7 & 50 \\ \hline \end{array}$
Kelas desil ke-$8$ atau $\text{D}_8$ terletak di kelas yang memuat datum ke-$\dfrac{8n}{10} = \dfrac{8 \times 50}{10} = 40$, yaitu pada kelas dengan rentang $61-65.$
Tepi bawah kelas desil ke-$8$ adalah $L_0 = 61-0,\!5 = 60,\!5.$
Lebar kelasnya $c = 5.$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-$8$, yaitu $\sum F_k = 35.$
Frekuensi kelas desil ke-$8$ adalah $f_{D} = 8.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \text{D}_8 & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{8n}{10} -\sum F_k}{f_{D}}\right) \\ & = 60,\!5 + 5\left(\dfrac{40- 35}{8}\right) \\ & = 60,\!5 + \dfrac{25}{8} \\ & = 60,\!5 + 3,\!125 \\ & = 63,\!625. \end{aligned}$
Jadi, desil ke-$8$ dari data pada tabel di atas adalah $\boxed{63,\!625}$
(Jawaban D)

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Upah (Puluh Ribuan)} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 120-126 & 10 & 10\\ 127-133 & 12 & 22\\  134-140 & 18 & 40 \\ \color{red}{141-147} & \color{red}{30} & \color{red}{70} \\ 148-154 & 16 & 86 \\ 155-161 & 14 & 100 \\ \hline \text{Jumlah} & 100 & – \\ \hline \end{array}$$Kelas persentil ke-$70$ terletak di kelas yang memuat datum ke-$\dfrac{70}{100} \times n = \dfrac{70}{100} \times 100 = 70$, yaitu pada kelas dengan rentang $141-147$.
Tepi bawah kelas persentil ke-70 $L_0 = 141-0,\!5 = 140,\!5.$
Lebar kelas $c = 7.$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-70 $\sum F_k = 40.$
Frekuensi kelas persentil ke-70 $f_{p} = 30.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \text{P}_{70} & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{70n}{100} -\sum F_k}{f_{p}}\right) \\ & = 140,\!5 + 7\left(\dfrac{\frac{70\times 100}{100} -40}{30}\right) \\ & = 140,\!5 + 7\left(\dfrac{30}{30}\right) \\ & = 140,\!5 + 7 \\ & =  147,\!5. \end{aligned}$
Jadi, persentil ke-$70$ dari data pada tabel di atas adalah Rp1.475.000,00.
(Jawaban D) 

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Upah (Puluh Ribuan)} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 120-126 & 10 & 10\\ 127-133 & 12 & 22\\ \color{red}{134-140} & \color{red} {18} & \color{red} {40} \\ 141-147 & 30 & 70 \\ 148-154 & 16 & 86 \\ 155-161 & 14 & 100 \\ \hline \text{Jumlah} & 100 & – \\ \hline \end{array}$$Kelas persentil ke-$40$ terletak di kelas yang memuat datum ke-$\dfrac{40}{100} \times n = \dfrac{40}{100} \times 100 = 40,$ yaitu pada kelas dengan rentang $134-140.$
Tepi bawah kelas persentil ke-40 $L_0 = 134-0,\!5 = 133,\!5.$
Lebar kelas $c = 7.$
Frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-$40$ $\sum F_k = 22.$
Frekuensi kelas persentil ke-$40$ $f_{p} = 18.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} \text{P}_{40} & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{40n}{100} -\sum F_k}{f_{p}}\right) \\ & = 133,\!5 + 7\left(\dfrac{\frac{40\times 100}{100} -22}{18}\right) \\ & = 133,\!5 + 7\left(\dfrac{18}{18}\right) \\ & = 133,\!5 + 7 \\ & =  140,\!5. \end{aligned}$
Jadi, persentil ke-$40$ dari data pada tabel di atas adalah Rp1.405.000,00.
(Jawaban D) 

Rata-rata dari $5$ datum tersebut adalah
$\overline{x} = \dfrac{4+5+6+7+8}{5} = 6.$
Selanjutnya, carilah simpangan rata-rata dengan menggunakan rumus berikut.
$\boxed{S_R = \dfrac{\sum |x_i -\overline{x}|} {n} }$
dengan $x_i$ adalah masing-masing datum, $\overline{x}$ adalah rata-rata data, dan $n$ menyatakan banyaknya datum.
$$\begin{aligned} S_R & = \dfrac{|4-6| + |5-6| + |6-6| + |7-6| + |8-6|} {5} \\ & = \dfrac{2+1+0+1+2}{5} \\ & = \dfrac{6}{5} = 1,\!2 \end{aligned}$$Jadi, simpangan rata-rata dari data yang diberikan itu adalah $\boxed{1,\!2}$
(Jawaban D)

Rata-rata dari $6$ datum tersebut adalah
$\overline{x} = \dfrac{8+3+4+6+2+7}{6} = 5.$
Selanjutnya, carilah simpangan baku dengan menggunakan rumus berikut.
$\boxed{S_B = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i -\overline{x})^2} {n}}}$
dengan $x_i$ adalah masing-masing datum, $\overline{x}$ adalah rata-rata data, dan $n$ menyatakan banyaknya datum.
$$\begin{aligned} S_B & = \sqrt{\dfrac{(8-5)^2 + (3-5)^2 + (4-5)^2 + (6-5)^2+(2-5)^2+(7-5)^2}{6}} \\ & = \sqrt{\dfrac{9+4+1+1+9+4}{6}} \\ & = \sqrt{\dfrac{28}{6}} \\ & = \sqrt{\dfrac{14}{3}} \\ & =  \dfrac{1}{3}\sqrt{42} \end{aligned}$$Jadi, simpangan baku dari data yang diberikan itu adalah $\boxed{\dfrac{1}{3}\sqrt{42}}$
(Jawaban B)

Rata-rata dari $5$ datum tersebut adalah
$\overline{x} = \dfrac{4+5+8+9+9}{5} = 7.$
Selanjutnya, carilah simpangan rata-rata dengan menggunakan rumus berikut.
$\boxed{S_R = \dfrac{\sum |x_i -\overline{x}|} {n} }$
dengan $x_i$ adalah masing-masing datum, $\overline{x}$ adalah rata-rata data, dan $n$ menyatakan banyaknya datum.
$$\begin{aligned} S_R & = \dfrac{|4-7| + |5-7| + |8-7| + |9-7| + |9-7|} {5} \\ & = \dfrac{3+2+1+2+2}{5} \\ & = \dfrac{10}{5} = 2 \end{aligned}$$Jadi, simpangan rata-rata dari data yang diberikan itu adalah $\boxed{2}$
(Jawaban C)

Rata-rata dari $6$ datum tersebut adalah
$\overline{x} = \dfrac{3+5+8+4+6+10}{6} = 6.$
Selanjutnya, carilah simpangan rata-rata dengan menggunakan rumus berikut.
$\boxed{S_R = \dfrac{\sum |x_i -\overline{x}|} {n} }$
dengan $x_i$ adalah masing-masing datum, $\overline{x}$ adalah rata-rata data, dan $n$ menyatakan banyaknya datum.
$$\begin{aligned} S_R & = \dfrac{|3-6| + |5-6| + |8-6| + |4-6| + |6-6|+|10-6|} {6} \\ & = \dfrac{3+1+2+2+0+4}{6} \\ & = \dfrac{12}{6} = 2 \end{aligned}$$Jadi, simpangan rata-rata dari data yang diberikan itu adalah $\boxed{2,\!00}$
(Jawaban C)

Buatlah tabel untuk membantu perhitungan rata-rata data berkelompok di atas. 
$$\begin{array} {|c|c|c|c|}\hline \text{Interval} & \text{Frekuensi} & x_i & f_ix_i \\ \hline 21-25 & 2 & 23 & 46 \\ 26-30 & 8 & 28 & 224 \\ 31-35 & 9 & 33 & 297 \\ 36-40 & 6 & 38 & 228 \\ 41-45 & 3 & 43 & 129 \\ 46-50 & 2 & 48 & 96 \\ \hline \text{Jumlah} & 30 & – & 1.020 \\ \hline \end{array}$$Jadi, diperoleh rata-ratanya
$\overline{x} = \displaystyle \dfrac{\sum f_ix_i} {\sum f_i} = \dfrac{1.020}{30} = 34.$
Selanjutnya, buat tabel berikut. 
$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|}\hline  \text{Interval} & f_i & x_i & |x_i -\overline{x}| & f_i|x_i -\overline{x}| \\ \hline 21-25 & 2 & 23 & 11 & 22 \\ 26-30 & 8 & 28 & 6 & 48 \\ 31-35 & 9 & 33 & 1 & 9 \\ 36-40 & 6 & 38 & 4 & 24 \\ 41-45 & 3 & 43 & 9 & 27 \\ 46-50 & 2 & 48 & 14 & 28 \\ \hline \text{Jumlah} & 30 & – & – & 158 \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian, kita peroleh
$\text{S}_r = \displaystyle \dfrac{\sum f_i|x_i -\overline{x}|} {\sum f_i} = \dfrac{158}{30} = 5,\!27.$
Jadi, simpangan rata-rata data berkelompok itu adalah $\boxed{5,\!27}$
(Jawaban B)

Sebanyak 16 siswa dengan nilai pada interval $70-79$ atau $80-89$ dipastikan lulus. Perhatikan bahwa batas minimal kelulusan berada pada kelas dengan interval $60-69$. 
Diketahui:
$\begin{aligned} L_0 & = 59,\!5 \\ c & = 10 \\ f & = 14 \\ \text{KKM} & = 64,\!5 \end{aligned}$
Catatan: KKM = Kriteria Ketuntasan Minimal
Misalkan $x$ menunjukkan urutan nilai di kelasnya. 
Dengan demikian, berlaku
$\begin{aligned} \text{KKM} & = L_0 + \dfrac{x} {f} \times c \\ 64,\!5 & = 59,\!5 + \dfrac{x} {14} \times 10 \\ 5 & = \dfrac{x}{14} \times 10 \\ x & = \cancel{5} \times \dfrac{14}{\cancelto{2}{10}} = 7. \end{aligned}$
Jadi, nilai $64,\!5$ merupakan nilai urutan ke-$7$ dari $14$ nilai yang ada di kelas tersebut. Jadi, banyak siswa yang lulus adalah $\boxed{(14-7) + 16 = 23}$
(Jawaban A)

Diketahui $x = 82, \overline{x} = 78,\!4$, dan $s = 1,\!5$. Dengan menggunakan rumus angka baku, didapat
$\begin{aligned} z & = \dfrac{x -\overline{x}}{s} \\ & = \dfrac{82 -78,\!4}{1,\!5} \\ & = \dfrac{3,\!6}{1,\!5} = 2,\!4. \end{aligned}$
Jadi, angka baku nilai ulangan matematikanya adalah $\boxed{2,\!4}$
(Jawaban E) 

Misalkan datumnya kita sebut $a, b, c, d$ dengan $a < b < c < d$. Perhatikan bahwa $a, b, c, d$ berbeda satu sama lain karena dikatakan bahwa modus datanya tidak ada.
Karena mediannya $8$, maka
$\dfrac{b+c} {2} = 8 \Leftrightarrow b+c=16.$
Karena rata-ratanya $8$, maka
$$\begin{aligned} \dfrac{a+b+c+d} {4} = 8 & \Leftrightarrow a+d+16 = 8 \times 4 \\ & \Leftrightarrow a+d=16 \end{aligned}$$Selisih datum terbesar dan terkecil adalah $10$ sehingga ditulis $d-a=10.$
Nilai $b$ dan $c$ yang memenuhi $b+c=16$ adalah $b = 7$ dan $c = 9$ atau bisa juga $b = 5$ dan $c = 11$. 
Nilai $a$ dan $d$ yang memenuhi $a+d=16$ dan juga $d-a=10$ adalah $a = 3$ dan $d = 13$. Jadi, datum yang dimaksud itu adalah $3, 7, 9, 13$ atau $3, 5, 11, 13$. 
Hasil kali datum pertama dan ketiga ada dua kemungkinan, yakni $3 \times 9 = 27$ atau $3 \times 11 = 33$. Berdasarkan pilihan jawaban, alternatif yang benar adalah B.

Misalkan nilai pengukuran dari lima kali pengamatan tersebut dimisalkan $a, b, c, d, e$ dengan $a \leq b \leq c \leq d \leq e.$
Karena rata-ratanya $10$, maka haruslah
$a +b+c+d+e = 5 \times 10 = 50.$
Diketahui juga bahwa mediannya $12$ sehingga $c = 12$. 
Agar jangkauan sekecil mungkin, maka nilai $a$ harus sebesar-besarnya dan nilai $e$ harus sekecil-kecilnya. Untuk itu, kita dapat tuliskan $d = e = 12$. 
Ini berarti, 
$a+b+12+12+12=50$ $\Leftrightarrow a+b = 14.$
Karena nilai $a$ harus sebesar mungkin dan memenuhi $a \leq b$ serta $a+b=14$, maka nilai $a = 7$. 
Jadi, nilai pengukuran: $7, 7, 12, 12, 12.$
Jangkauannya adalah $\boxed{12-7 = 5}$
(Jawaban C)

Data tersebut memuat $7$ bilangan.
Berdasarkan rumus mean (rataan) dan diketahui bahwa rata-rata datanya adalah $7$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a + (a+1) + (a + 1) + 7 + b + b + 9}{7} = 7 \\ 3a + 2b + 18 & = 7 \cdot 7 \\ 3a + 2b & = 31 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Berdasarkan rumus simpangan rata-rata, yaitu $S_R = \dfrac{\sum |x_i-\overline{x}|}{n}$ dan diketahui bahwa simpangan rata-ratanya $\dfrac87$, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{|a-7| + |(a+1)-7| + |(a+1)-7| + |7-7| + |b-7| + |b-7| + |9-7|}{\cancel{7}} & = \dfrac{8}{\cancel{7}} \\ (7-a)+(6-a)+(6-a)+0+(b-7)+(b-7)+2 & = 8 \\ -3a+2b+7 & = 8 \\ -3a+2b & = 1 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Catatan: Perhatikan bahwa $|a-7|= 7-a$ karena $a$ nilainya lebih kecil dari $7$ (data yang diberikan sebelumnya telah diurutkan), begitu juga $|(a+1)-7| = 6-a$ karena $(a+1) < 7$.
Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, kita dapat memperoleh penyelesaian sistem: $(a, b) = (5, 8)$. Dengan demikian, nilai dari $\boxed{2a-b=2(5)-8=2}$
(Jawaban B)

Dari ogif negatif di atas, siswa yang memperoleh nilai:
$\geq 51,\!5$ sebanyak $2$ orang;
$\geq 58,\!5$ sebanyak $3$ orang;
$\geq 65,\!5$ sebanyak $10$ orang;
$\geq 72,\!5$ sebanyak $12$ orang;
$\geq 79,\!5$ sebanyak $8$ orang;
$\geq 86,\!5$ sebanyak $3$ orang;
$\geq 93,\!5$ sebanyak $2$ orang.
Nyatakan dalam tabel distribusi frekuensi.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{Frekuensi} \\ \hline 52-58 & 40-38 = 2 \\ 59-65 & 38-35 = 3 \\ 66-72 & 35-25=10 \\ 73-79 & 25-13 = 12 \\ 80-86 & 13-5 = 8 \\ 87-93 & 5-2 = 3 \\ 94-100 & 2 \\ \hline \text{Jumlah} & 40 \\ \hline \end{array}$
Siswa mengikuti program remedial jika nilainya $< 75$ dan jika tidak, maka ia mengikuti program pengayaan.
Cek pilihan A:
Banyak siswa yang dipastikan mengikuti program remedial dapat dilihat dari $3$ kelas pertama, yaitu $2+3+10=15$ orang.
Batas remedial berada pada kelas dengan interval $73-79$. Diketahui bahwa batas remedial adalah $75$. Banyak siswa yang mendapat nilai kurang dari $75$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} n & = \dfrac{\text{Batas Remed}-\text{Tepi Bawah}}{\text{Tepi Atas}-\text{Tepi Bawah}} \times \text{Frek. Kelas} \\ & = \dfrac{75-72,\!5}{79,\!5-72,\!5} \times 12 = \dfrac{2,\!5}{7} \times 12 \approx 4,\!28 \approx 4. \end{aligned}$$Total siswa yang mengikuti program remedial adalah $15+4 = 19$ orang.
Sisanya mengikuti program pengayaan, yaitu $40-19 = 21$ orang.
Ini artinya, siswa yang mengikuti remedial lebih sedikit dari siswa yang tidak mengikuti remedial.
Pernyataan pada pilihan A adalah SALAH.
Cek Pilihan B:
Banyak siswa yang dipastikan nilainya kurang dari $86$ dapat dilihat pada $4$ kelas pertama, yaitu $2+3+10+12=27$ orang.
Sekarang, tinjau kelas dengan interval $80-86$.
Banyak siswa yang mendapat nilai kurang dari $86$ adalah
$$\begin{aligned} n & = \dfrac{\text{Batas Remed}-\text{Tepi Bawah}}{\text{Tepi Atas}-\text{Tepi Bawah}} \times \text{Frek. Kelas} \\ & = \dfrac{86-79,\!5}{86,\!5-79,\!5} \times 8 = \dfrac{6,\!5}{7} \times 8 \approx 7. \end{aligned}$$Total siswa yang nilainya kurang dari $86$ adalah $27+7=34$ orang, yaitu sebesar $\dfrac{34}{40} \times 100\% = 85\%$ dari jumlah siswa yang ada.
Pilihan B SALAH.
Cek pilihan C:
Banyak siswa yang dipastikan nilainya kurang dari $71$ dapat dilihat pada $2$ kelas pertama, yaitu $2+3=5$ orang.
Sekarang, tinjau kelas dengan interval $66-72$.
Banyak siswa yang mendapat nilai kurang dari $71$ adalah
$$\begin{aligned} n & = \dfrac{\text{Batas Remed}-\text{Tepi Bawah}}{\text{Tepi Atas}-\text{Tepi Bawah}} \times \text{Frek. Kelas} \\ & = \dfrac{71-65,\!5}{72,\!5-65,\!5} \times 10 = \dfrac{5,\!5}{7} \times 10 \approx 8. \end{aligned}$$Total siswa yang nilainya kurang dari $71$ adalah $5+8=13$ orang, yaitu sebesar $\dfrac{13}{40} \times 100\% = 32,\!5\%$ dari jumlah siswa yang ada.
Pilihan C SALAH.
Cek pilihan D:
Berdasarkan hasil pemeriksaan kebenaran pada pilihan A, kita mendapatkan bahwa banyak siswa yang mengikuti program pengayaan adalah $21$ orang, sedangkan yang mengikuti program remedial adalah $19$ orang. Jadi, selisihnya $2$. Pilihan D BENAR.
Cek Pilihan E:
Tidak mungkin ada siswa yang mendapat nilai $79,\!5$ karena sudah diinformasikan pada soal bahwa nilai yang didapat berupa bilangan bulat dari $0$ sampai $100$.
Pilihan E SALAH.
(Jawaban D)

Misal sepuluh bilangan itu adalah $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{10}$ (telah terurut) sehingga diperoleh
$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{10}$ $= 10 \times 6 = 60.$
Rata-rata enam bilangan pertama adalah $\dfrac{14}{3}$, ditulis
$a_1+a_2+\cdots+a_6 = 6 \times \dfrac{14}{3} = 28.$
Rata-rata enam bilangan terakhir $\dfrac{22}{3}$, ditulis
$a_5+a_6+\cdots+a_{10} = 6 \times \dfrac{22}{3} = 44.$
Jika dua persamaan terakhir di atas dijumlahkan, maka diperoleh
$$\begin{aligned} (a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{10})+(a_5+a_6) & = 28+44 \\ 60+(a_5+a_6) & = 72 \\ a_5+a_6 & = 12 \end{aligned}$$Karena median data ditentukan oleh $a_5$ dan $a_6$ sebagai suku tengahnya, maka median datanya sama dengan $\boxed{\dfrac{a_5+a_6}{2} = \dfrac{12}{2} = 6}$
(Jawaban C)

Misalkan $40$ bilangan itu dinotasikan $x_1, x_2, \cdots, x_{40}$.
Berdasarkan rumus rataan, kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_{40}}{40} & = 0 \\ x_1+x_2+\cdots+x_{40} & = 0. \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir, kita dapat membuat $x_1 = x_2 = \cdots = x_{40} = 0$ sehingga $m = 0$ mungkin. Jika $x_1 = a$ dan $x_3 = x_4 = \cdots = x_{40} = 0$, maka $x_2 = -a$ sehingga nilai $m = 1$. Prinsip ini dipakai sampai ternyata $39$ bilangannya positif, sedangkan satu bilangan sisanya bernilai negatif sampai membuat hasil penjumlahannya $0$.
Namun, keempat puluh bilangan itu tidak mungkin bernilai positif semuanya, karena jumlahnya tak mungkin lagi bernilai $0$.
Jadi, nilai $m$ adalah $\boxed{0 \leq m \leq 39}$
(Jawaban B)

Informasi penting yang perlu diketahui terkait rata-rata dan varians adalah sebagai berikut.
Rata-rata didapat dengan cara membagi jumlah nilai terhadap banyak datum.
Varians didapat dengan menjumlahkan selisih kuadrat antara rata-rata dan setiap datum, kemudian dibagi dengan banyak datum.
Misalkan data pertama memuat datum $x_1, x_2, x_3, x_4,$ dan $x_5$ dengan rata-rata $\overline{x}_1 = 2$ dan varians $s_1^2 = 4.$
Karena variansnya $4,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} s_1^2 = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i-\overline{x}_1)^2}{n} \Rightarrow 4 & = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i-2)^2}{5} \\ 20 & = \sum_{i=1}^5 (x_i-2)^2. \end{aligned}$$Misalkan data kedua memuat datum $x_6, x_7, x_8, x_9,$ dan $x_{10}$ dengan rata-rata $\overline{x}_2 = 4$ dan varians $s_2^2 = 5.$
Karena variansnya $5,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} s_2^2 = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=6}^{10} (x_i-\overline{x}_2)^2}{n} \Rightarrow 5 & = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=6}^{10} (x_i-4)^2}{5} \\ 25 & = \sum_{i=6}^{10} (x_i-4)^2. \end{aligned}$$Setelah kedua data digabungkan, frekuensinya sama dengan $10$ dan rata-ratanya menjadi $\overline{x} = \dfrac{2 \cdot 5 + 4 \cdot 5}{5+5} = 3.$
Dengan demikian, variansnya dapat kita hitung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} s^2 & = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i-\overline{x})^2 + \sum_{i=6}^{10} (x_i-\overline{x})^2}{n} \\ & = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^5 (x_i-3)^2 + \sum_{i=6}^{10} (x_i-3)^2}{10} \\ & = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^5 ((x_i-2)-1)^2 + \sum_{i=6}^{10} ((x_i-4)+1)^2}{10} \\ & = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^5 ((x_i-2)^2-2(x_i-2)+ 1) + \sum_{i=6}^{10} ((x_i-4)^2+2(x_i-4) + 1)}{10} \\ & = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^5 ((x_i-2)^2-2x_i + 5) + \sum_{i=6}^{10} ((x_i-4)^2+2x_i-7}{10} \\ & = \dfrac{20-2(2 \cdot 5)+5 \cdot 5 + 25 + 2(4 \cdot 5) -5 \cdot 7}{10} \\ & = \dfrac{20-20+25+25+50-45}{10} \\ & = \dfrac{55}{10} = 5,\!5 \end{aligned}$$Catatan: “Memaksa” agar muncul bentuk $(x_i-2)$ dan $(x_i-4)$ pada notasi sigma di atas dengan sedikit aljabar merupakan kunci utama menyelesaikan soal ini.
Jadi, varians data gabungan tersebut adalah $\boxed{5,\!5}$
(Jawaban D)

Lengkapi tabel di atas dengan menambahkan kolom frekuensi kumulatif. 
$\begin{array} {|c|c|c|} \hline  \text{Gaji} & \text{Frekuensi} & f_k \\ \hline 20-24 & 10 & 10 \\ 25-29 & 23 & 33 \\ \color{red}{30-34} & \color{red}{p} & \color{red}{33 + p} \\ 35-39 & 22 & 55 + p \\ 40-44 & 12 & 67 + p \\ 45-49 & 9 & 76 + p \\ \hline \end{array}$
Kelas median terletak pada kelas dengan interval $30-34$. Diketahui:
$\begin{aligned} L_0 & = 29,\!5 \\ c & = 34-30+1 = 5 \\ n & = 76 + p \\ \sum F_{km} & = 33 \\ f_m & = p \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $p$ dapat ditentukan dengan memanfaatkan rumus median. 
$\begin{aligned} \text{Me} & = L_0 + c\left(\dfrac{\frac{n}{2} -\sum F_{km}}{f_{m}}\right) \\ 33 & = 29,\!5 + 5\left(\dfrac{\frac{76 + p}{2} -33}{p}\right) \\ 3,\!5 & = 5\left(\dfrac{76 + p -66}{2p}\right) \\ 7p & = 5(10 + p) \\ 2p & = 50 \\ p & = 25. \end{aligned}$
Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{25}$

Urutkan data di atas mulai dari yang terkecil.
$\begin{array}{ccccccc} 8 & 9 & 9 &  9 & 10 & 10 & 10  \\ 11 & 12 &  12  & 13 & 14 & 14 & 15  \end{array}$ 
Jangkauan inter-kuartil adalah selisih nilai kuartil atas dengan kuartil bawah sehingga keduanya perlu ditentukan terlebih dahulu sebagai berikut. 
$\begin{aligned} Q_1 & = x_{\frac{n+2}{4}} = x_{\frac{14+2}{4}} = x_4 = 9 \\ Q_3 & = x_{\frac{3n+2}{4}} = x_{\frac{3(14)+2}{4}} = x_{11} = 13 \end{aligned}$
dengan catatan notasi $x_i$ menyatakan datum urutan ke-$i$. 
Dengan demikian, 
$Q_R = Q_3 -Q_1 = 13 -9 = 4.$
Jadi, jangkauan inter-kuartil data tersebut adalah $\boxed{4}$

Buatlah tabel untuk membantu perhitungan rata-rata data berkelompok di atas. 
$$\begin{array} {|c|c|c|c|}\hline  \text{Tinggi Badan} & f & x_i & f_ix_i \\ \hline 131-140 & 2 & 135,\!5 & 271 \\ 141-150 & 8 & 145,\!5 & 1.164 \\ 151-160 & 13 & 155,\!5 & 2.021,\!5 \\ 161-170 & 12 & 165,\!5 & 1.986 \\ 171-180 & 9 & 175,\!5 & 1.579,\!5 \\ 181-190 & 6 & 185,\!5 & 1.113 \\ \hline \text{Jumlah} & 50 & – & 8.135 \\ \hline \end{array}$$Jadi, diperoleh rata-ratanya
$\overline{x} = \displaystyle \dfrac{\sum f_ix_i} {\sum f_i} = \dfrac{8.135}{50} = 162,\!7.$
Selanjutnya, buat tabel berikut. 
$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{TB} & f_i & x_i & (x_i -\overline{x}) & (x_i – \overline{x})^2 & f_i(x_i -\overline{x})^2 \\ \hline 131-140 & 2 & 135,\!5 & -27,\!2 & 739,\!84 & 1.479,\!68 \\ 141-150 & 8 & 145,\!5 & -17,\!2 & 295,\!84 & 2.366,\!72 \\ 151-160 & 13 & 155,\!5 & -7,\!2 & 51,\!84 & 673,\!92 \\ 161-170 & 12 & 165,\!5 & 2,\!8 & 7,\!84 & 94,\!08 \\ 171-180 & 9 & 175,\!5 & 12,\!8 & 163,\!84 & 1.474,\!56 \\ 181-190 & 6 & 185,\!5 & 22,\!8 & 519,\!84 & 3.119,\!04 \\ \hline \text{Jumlah} & 50 & – & – & – &  9.208 \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} \text{S}_B & =  \displaystyle \sqrt{\dfrac{\sum f_i(x_i-\overline{x})^2}{\sum f_i}} \\ & = \sqrt{\dfrac{9.208}{50}} \approx 13,\!571. \end{aligned}$
Jadi, simpangan baku data itu adalah $\boxed{13,\!571}$

Hasil terbaik dilihat dari rata-rata ujian untuk setiap mata pelajaran. Hubungan empiris rata-rata $(\overline{x})$, median $(\text{Me})$, dan modus $(\text{Mo})$ dinyatakan oleh
$\boxed{\text{Mo} = 3\text{Md}-2\overline{x}}$
Pelajaran Matematika:
$\begin{aligned} 6,\!0 & = 3(7,\!5)-2\overline{x} \\ 6,\!0 & = 22,\!5 -2\overline{x} \\ 2\overline{x} & = 16,\!5 \\ \overline{x} & = 8,\!25 \end{aligned}$
Pelajaran Bahasa Inggris:
$\begin{aligned} 7,\!0 & = 3(7,\!5)-2\overline{x} \\ 7,\!0 & = 22,\!5 -2\overline{x} \\ 2\overline{x} & = 15,\!5 \\ \overline{x} & = 7,\!75 \end{aligned}$
Pelajaran Kimia:
$\begin{aligned} 7,\!5 & = 3(6,\!5)-2\overline{x} \\ 7,\!5 & = 19,\!5 -2\overline{x} \\ 2\overline{x} & = 12 \\ \overline{x} & = 6 \end{aligned}$
Jadi, rata-rata tertinggi ada pada pelajaran Matematika. Dengan kata lain, siswa itu memperoleh hasil terbaik pada pelajaran Matematika.

Langkah 1: Menentukan Rentang
Rentang adalah selisih nilai tertinggi dan terendah, yaitu $R = 97 – 53 = 44.$
Langkah 2: Menentukan banyak kelas dengan menggunakan Aturan Sturges dengan banyak datanya $n = 40.$
$\begin{aligned} M & = 1 + 3,\!3 \log n \\ & = 1 + 3,\!3 \log 40 \approx 6,\!29 \end{aligned}$
Ini berarti, banyak kelas yang dapat dibuat adalah $6$ atau $7$. Misalnya, kita pilih $7$ kelas, yakni $M = 7.$
Langkah 3: Menentukan lebar kelas
$c = \dfrac{R} {M} = \dfrac{44}{7} \approx 6,\!29.$
Pilih $c = 7$ (supaya sama dengan banyak kelasnya). 
Dengan demikian, dapat dibuat tabel distribusi frekuensi seperti berikut. 
$\begin{array} {|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{Frekuensi} \\ \hline 52 -58 & 2 \\ 59 -65 & 7 \\ 66 -72 & 6 \\ 73 -79 & 10 \\ 80 -86 & 9 \\ 87 -93 & 4 \\ 94 -100 & 2 \\ \hline \text{Jumlah} & 40 \\ \hline \end{array}$
Histogram yang dapat dibuat berdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas adalah seperti berikut.

Berdasarkan definisi rata-rata, diketahui bahwa $\overline{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}.$
Dengan menggunakan aljabar dan fakta di atas, akan dibuktikan kesamaan dimulai dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} \dfrac{\sum(x_i-\overline{x})^2}{n} & = \dfrac{\sum (x_i^2-2x_i\overline{x} + (\overline{x})^2)}{n} \\ & = \dfrac{\sum x_i^2}{n}-\dfrac{\sum (2x_i\overline{x}-(\overline{x})^2)}{n} \\ & = \dfrac{\sum x_i^2}{n}-\dfrac{1}{n} \left(2\overline{x} \sum x_i-n(\overline{x})^2\right) \\ & = \dfrac{\sum x_i^2}{n}-\dfrac{1}{n}\left(2 \cdot \dfrac{\sum x_i}{n} \cdot \sum x_i-n\left(\dfrac{\sum x_i}{n}\right)^2\right) \\ & = \dfrac{\sum x_i^2}{n}-\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{2}{n} \cdot (\sum x_i)^2-\dfrac{1}{n} \cdot (\sum x_i)^2\right) \\ & = \dfrac{\sum x_i^2}{n}-\dfrac{1}{n^2} \cdot (\sum x_i)^2 \\ & = \dfrac{\sum x_i^2}{n}-\left(\dfrac{\sum x_i}{n}\right)^2 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa kesamaan $$\dfrac{\sum(x_i-\overline{x})^2}{n} = \dfrac{\sum x_i^2}{n}-\left(\dfrac{\sum x_i}{n}\right)^2$$berlaku. $\blacksquare$