Tag: SBMPTN

Diketahui persamaan kuadrat $x^2+3x+1=0$ memiliki jumlah akar
$x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}=-3$
dan hasil kali akarnya
$x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}=1.$
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{(3x_1+1)(x_1+3)}}+{\displaystyle \frac{1}{(3x_2+1)(x_2+3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{(3x_1+1)(x_1+3)+(3x_2+1)(x_2+3)}{(3x_1+1)(3x_2+1)(x_1+3)(x_2+3)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3x_1^2+10x_1+3+3x_2^2+10x_2+3}{(9x_1{x}_2+3x_1+3x_2+1)(x_1{x}_2+3x_1+3x_2+9)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3(x_1^2+x_2^2)+10(x_1+x_2)+6}{(9x_1{x}_2+3(x_1+x_2)+1)(x_1{x}_2+3(x_1+x_2)+9)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3[(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2]+10(x_1+x_2)+6}{(9x_1{x}_2+3(x_1+x_2)+1)(x_1{x}_2+3(x_1+x_2)+9)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3[(-3{)}^2–2(1)]+10(-3)+6}{(9(1)+3(-3)+1)(1+3(-3)+9)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3(9-2)-30+6}{(9-9+1)(1-9+9)}}\\ & ={\displaystyle \frac{21-30+6}{1\cdot 1}}=-3.\end{array}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{(3x_1+1)(x_1+3)}}+{\displaystyle \frac{1}{(3x_2+1)(x_2+3)}}=-3}}$$(Jawaban A)

Dari persamaan kuadrat $4x^2+px+8=0$, diketahui jumlah akarnya adalah
$m+n=-{\displaystyle \frac{p}{4}}$
dan hasil kali akarnya adalah
$mn={\displaystyle \frac{8}{4}}=2.$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{2}{m}}+{\displaystyle \frac{2}{n}}& =m^3+n^3\\ {\displaystyle \frac{2m+2n}{mn}}& =(m+n{)}^3-3m^{2}n-3m{n}^2\\ {\displaystyle \frac{2(m+n)}{mn}}& =(m+n{)}^3-3mn(m+n)\\ {\displaystyle \frac{\cancel{2}(-\frac{p}{4})}{\cancel{2}}}& ={(-{\displaystyle \frac{p}{4}})}^3-3(\cancel{2})(-{\displaystyle \frac{p}{{\cancel{4}}^2}})\\ -{\displaystyle \frac{p}{4}}& =-{\displaystyle \frac{p^3}{64}}+{\displaystyle \frac{3p}{2}}\\ \text{Bagi kedua}& \text{ruas dengan}p\\ -{\displaystyle \frac{1}{4}}& =-{\displaystyle \frac{p^2}{64}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ {\displaystyle \frac{p^2}{64}}& ={\displaystyle \frac{7}{4}}\\ p^2& ={\displaystyle \frac{7}{\cancel{4}}}\times {\cancel{64}}^{16}\\ p^2& =112\\ p^2-16& =96.\end{array}$$Jadi, nilai dari $p^2-16$ adalah $\boxed{{\displaystyle 96}}$
(Jawaban B)

Diketahui persamaan kuadrat $x^2-x+1=0$ memiliki jumlah akar $p+q=-{\displaystyle \frac{b}{a}}=1.$
Perhatikan bahwa persamaan $x^2-x+1=0$ ekuivalen dengan $x^2=x–1$. Bila kedua ruas persamaan ini dikalikan $x$, kita peroleh
$\begin{array}{rl}{x}^3& =x^2-x\\ \text{Substitusikan}& x^2=x-1\\ x^3& =(x-1)-x\\ x^3& =-1.\end{array}$
Perhatikan bahwa
$x^{2016}=(x^3{)}^{672}=(-1{)}^{672}=1$
sehingga
$x^{2017}=x^{2016}\cdot x=x.$
Karena $p,q$ merupakan akar-akar persamaan kuadratnya, maka berlaku
$p^{2017}=p$ dan $q^{2017}=q$. Jumlahkan kedua persamaan ini untuk memperoleh
$p^{2017}+q^{2017}=p+q=1.$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle p^{2017}+q^{2017}=1}}$
(Jawaban B)

Dari persamaan kuadrat $x^2+x-3=0$, diketahui jumlah akarnya adalah
$x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}=-1.$
Perhatikan juga bahwa persamaan $x^2+x-3=0$ ekuivalen dengan $x^2+x=3.$
Karena $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{x}_1^2+x_1& =3\\ x_2^2+x_2& =3\\ x_1+x_2& =-1\end{array}}}$
Dengan demikian, 
$$\begin{array}{rl}& 4x_1^2+3x_2^2+2x_1+x_2\\ & =4(x_1^2+x_1)+3(x_2^2+x_2)-2x_1-2x_2\\ & =4(x_1^2+x_1)+3(x_2^2+x_2)-2(x_1+x_2)\\ & =4(3)+3(3)-2(-1)=23\end{array}$$Jadi, hasil dari $\boxed{{\displaystyle 4x_1^2+3x_2^2+2x_1+x_2=23}}$
(Jawaban D)

Persamaan $x^2–9x+64=0$ memiliki jumlah akar
$a+b=-{\displaystyle \frac{-9}{1}}=9$
dan hasil kali akarnya 
$ab={\displaystyle \frac{64}{1}}=64.$
Perhatikan bahwa bentuk ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{b}}}$ ekuivalen dengan ${\displaystyle \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}}$ sehingga
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}}& =\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}}\right)}^2}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{a+b+2\sqrt{ab}}{ab}}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{9+2\sqrt{64}}{64}}}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{9+16}{64}}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{8}}.\end{array}$
Jadi, hasil dari ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{b}}}$ adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{5}{8}}}}$
(Jawaban C)

Dari persamaan kuadrat $x^2-45x-8=0$, diketahui jumlah akarnya
$\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{-45}{1}}=45$
dan hasil kali akarnya
$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{-8}{1}}=-8.$
Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$$\begin{array}{rl}(\sqrt[3]{\alpha }+\sqrt[3]{\beta }{)}^3& =a+b+3(\alpha {)}^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+3(\alpha {)}^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{2}{3}}\\ & =a+b+3(\alpha \beta {)}^{\frac{1}{3}}(\sqrt[3]{\alpha }+\sqrt[3]{\beta })\\ \text{Misalkan}(\sqrt[3]{\alpha }& +\sqrt[3]{\beta })=x\\ x^3& =a+b+3(\alpha \beta {)}^{\frac{1}{3}}x\\ x^3& =45+3(-8{)}^{\frac{1}{3}}x\\ x^3& =45+3(-2)x\\ x^3+6x-45& =0\\ (x-3)(x^2+3x+15)& =0.\end{array}$$Karena $x^2+3x+15=0$ merupakan persamaan kuadrat dengan definit positif, maka satu-satunya akar adalah $x=3$. 
Ini berarti, nilai dari $\boxed{{\displaystyle \sqrt[3]{\alpha }+\sqrt[3]{\beta }=3}}$
(Jawaban A)

Diketahui hasil kali akar persamaan kuadrat itu adalah $ab={\displaystyle \frac{-3}{2}}.$
Karena $a$ merupakan salah satu akar persamaan kuadrat $2x^2+3x-3=0$, maka berlaku
$\begin{array}{rl}2a^2+3a-3& =0\\ 2a^2+3a& =3\\ \text{Kalikan}2ab\text{di}& \text{kedua ruas}\\ 2a^2(2ab)+3a(2ab)& =3(2ab)\\ 4a^{3}b+6a^{2}b& =6ab\\ 4a^3+6a^{2}b& =6(-{\displaystyle \frac{3}{2}})\\ & =-9.\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle 4a^{3}b+6a^{2}b=-9}}$
(Jawaban C)

Persamaan kuadrat di atas ekuivalen dengan $2x^2+3x=4$. Karena $a$ adalah akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\begin{array}{rl}2a^2+3a& =4\\ \text{Kalikan}2\text{di}& \text{kedua ruas}\\ 4a^2+6a& =8\\ 4a^2+6a+2& =10.\end{array}$
Karena $b$ adalah akar persamaan tersebut, maka berlaku
$\begin{array}{rl}2b^2+3b& =4\\ 2b^2+3b+5& =9.\end{array}$
Jadi, nilai dari 
$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}(4a^2+6a+2)(2b^2+3b+5)& =(10)(9)\\ & =90\end{array}}}$$(Jawaban D)

Karena $p$ adalah akar persamaan kuadrat $2x^2-x-4=0$, maka berlaku persamaan $2p^2-p-4=0$. Perhatikan bahwa,
$\begin{array}{rl}2p^2-p-4& =0\\ 2p^2–p& =4\\ (2p^2-p{)}^2& =4^2\\ 4p^4-4p^3+p^2& =16.\end{array}$
Untuk itu,
$\begin{array}{rl}& 4p^4-4p^3+3p^2-p\\ & =(4p^4-4p^3+p^2)+(2p^2-p)\\ & =16+4=20.\end{array}$
Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle 4p^4-4p^3+3p^2-p=20}}$
(Jawaban D)

Diketahui $x^2-2x-5=0$.
Karena $\alpha$ merupakan akar dari persamaan kuadrat itu, maka berlaku
$\begin{array}{rl}{\alpha }^2-2\alpha -5& =0\\ {\alpha }^2& =2\alpha +5\\ \text{Kuadratkan}& \text{kedua ruas}\\ ({\alpha }^2{)}^2& =(2\alpha +5{)}^2\\ {\alpha }^4& =4{\alpha }^2+20\alpha +25.\end{array}$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{array}{rl}{\alpha }^4-28\alpha & =(4{\alpha }^2+20\alpha +25)-28\alpha \\ & =4{\alpha }^2-8\alpha +25\\ & =4({\alpha }^2-2\alpha -5)+45\\ & =4(0)+45=45.\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\alpha }^4-28\alpha =45}}$
(Jawaban A)

Misalkan $x=\sqrt{2019+2\sqrt{2018}}$ sehingga dapat disederhanakan menggunakan sifat akar
$\boxed{{\displaystyle \sqrt{(a+b)\pm 2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}\pm \sqrt{b}}}$
menjadi
$\begin{array}{rl}x& =\sqrt{(2018+1)+2\sqrt{2018\cdot 1}}\\ & =\sqrt{2018}+\sqrt{1}\\ & =\sqrt{2018}+1\end{array}$
Karena $x$ merupakan akar persamaan kuadrat itu, maka substitusi $x$ pada $x^2+ax+b=0$ menghasilkan
$$\begin{array}{rl}(\sqrt{2018}+1{)}^2+a(\sqrt{2018}+1)+b& =0\\ (2018+2\sqrt{2018}+1)+a\sqrt{2018}+a+b& =0\\ 2019+(2+a)\sqrt{2018}+a+b& =0\end{array}$$Persamaan di atas mengimplikasikan bahwa $2+a$ harus bernilai $0$ untuk diperoleh hasil bilangan bulat. Dengan demikian, nilai $a=-2$ dan akibatnya $b=-2019+2=-2017$. Jadi, nilai dari $a+b$ adalah $\boxed{{\displaystyle -2019}}$
(Jawaban C)

Karena $c$ dan $d$ adalah solusi dari $x^2+ax+b=0$, maka jumlah akar dan hasil kali akarnya berturut-turut adalah
$c+d=-a$ dan $cd=b.$
Karena $a$ dan $b$ adalah solusi dari $x^2+cx+d=0$, maka jumlah akar dan hasil kali akarnya berturut-turut adalah
$a+b=-c$ dan $ab=d.$
Dari persamaan $c+d=-a$ dan $a+b=-c$, diperoleh $b=d$.
Dari persamaan $ab=d$, diperoleh
$ad=d⟹a=1.$
Dari persamaan $cd=b$, diperoleh
$cd=d⟹c=1.$
Dari persamaan $c+d=-a$, diperoleh
$1+d=-1\iff d=-2=b.$
Dengan demikian,
$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}a+b+c+d& =1+(-2)+1+(-2)\\ & =-2\end{array}}}$$(Jawaban B)

Karena akar-akar persamaan kuadrat $x^2+bx+c=0$ real, maka diskriminan $D\ge 0$ sehingga kita tulis
$\begin{array}{rl}{b}^2-4ac& \ge 0\\ b^2-4(1)c& \ge 0\\ 4c& \le b^2.\end{array}$
Karena nilai $c$ dibatasi dalam interval $1\le c\le 6$, maka haruslah
$4\le 4c\le 24$.
Sekarang, uji syarat $4c\le b^2$ dengan batas nilai $b$, yaitu $1\le b\le 6$.
$$\begin{array}{|cccc|}\hline \text{Nilai}b& \text{Hasil}4c\le b^2& \text{Nilai}c& \text{Banyak nilai}c\\ 1& 4c\le 1& –& 0\\ 2& 4c\le 4& 1& 1\\ 3& 4c\le 9& 1,2& 2\\ 4& 4c\le 16& 1,2,3,4& 4\\ 5& 4c\le 25& 1,2,3,4,5,6& 6\\ 6& 4c\le 36& 1,2,3,4,5,6& 6\\ \hline\end{array}$$Banyak pasangan $(a,b)\in \{1,2,3,4,5,6\}$ yang memenuhi persamaan $x^2+bx+c=0$ agar akarnya real adalah
$\boxed{{\displaystyle 0+1+2+4+6+6=19}}$
(Jawaban D)

Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $a$ dan $b$ berbentuk
$$\boxed{{\displaystyle x^2-(a+b)x+ab=0}}$$Oleh karena itu, akan dicari nilai $a+b$ dan $ab.$
Diketahui bahwa
$$\{\begin{array}{llll}2015+a& =b^2& & (\cdots 1)\\ 2015+b& =a^2& & (\cdots 2)\end{array}$$Kurangi kedua persamaan tersebut sehingga akan diperoleh
$$\begin{array}{rl}(2015+a)-(2015+b)& =b^2-a^2\\ a-b& =(b+a)(b-a)\\ -\cancel{(b-a)}& =(b+a)\cancel{(b-a)}\\ -1& =b+a.\end{array}$$Diperoleh $a+b=-1$
Selanjutnya, kalikan kedua persamaan di atas sesuai ruasnya.
$$\begin{array}{rl}(2015+a)(2015+b)& =(b^2)(a^2)\\ {2015}^2+2015(a+b)+ab& =(ab{)}^2\\ \text{Substitusi}a+b& =-1\\ {2015}^2+2015(-1)& =(ab{)}^2-ab\\ {2015}^2-2015& =(ab)²-ab\end{array}$$Diperoleh $ab=2015.$
Jadi, persamaan kuadrat yang terbentuk adalah
$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}{x}^2-(-1)x+2015& =0\\ x^2+x+2015& =0\end{array}}}$$(Jawaban B)

Diketahui $$x^2-(a+1)x+(-a-{\displaystyle \frac{5}{2}})=0.$$Karena akar-akarnya $p$ dan $q,$ maka kita peroleh jumlah akar dan hasil kali akarnya sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}p+q& =-{\displaystyle \frac{-(a+1)}{1}}=a+1\\ pq& ={\displaystyle \frac{-a-{\displaystyle \frac{5}{2}}}{1}}=-a-{\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rl}{p}^2+q^2& =(p+q{)}^2-2pq\\ & =(a+1{)}^2-2(-a-{\displaystyle \frac{5}{2}})\\ & =a^2+2a+1+2a+5\\ & =a^2+4a+6\\ & =(a+2{)}^2+2.\end{array}$$Perhatikan bahwa $p^2+q^2$ akan bernilai minimum jika $a=-2.$ Akibatnya, nilai minimumnya adalah $(-2+2{)}^2+2=2.$
(Jawaban B)

Gunakan rumus kuadrat/ABC (atau bisa juga menggunakan metode kuadrat sempurna) untuk mencari masing-masing akar dari dua persamaan kuadrat tersebut.
$$\begin{array}{rl}2d^2-3d-1=0\Rightarrow d_{1,2}& ={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{(-3{)}^2-4(2)(-1)}}{2(2)}}\\ & ={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{17}}{4}}\\ j^2+3j-2=0\Rightarrow j_{1,2}& ={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{(3{)}^2-4(1)(-2)}}{2(1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{17}}{2}}\end{array}$$Kita peroleh ada dua nilai untuk $d$ dan $j$, tetapi perlu diperiksa agar $dj\ne 1.$
Kasus 1:
Jika $d={\displaystyle \frac{3+\sqrt{17}}{4}}$ dan $j={\displaystyle \frac{-3+\sqrt{17}}{2}},$ kita peroleh
$$\begin{array}{rl}dj& ={\displaystyle \frac{3+\sqrt{17}}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{-3+\sqrt{17}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-9+17}{8}}=1\end{array}$$Jadi, pemilihan nilai $d$ dan $j$ ini ditolak.
Kasus 2:
Jika $d={\displaystyle \frac{3-\sqrt{17}}{4}}$ dan $j={\displaystyle \frac{-3+\sqrt{17}}{2}},$ kita peroleh
$$\begin{array}{rl}dj& ={\displaystyle \frac{3-\sqrt{17}}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{-3+\sqrt{17}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-26+6\sqrt{17}}{8}}\\ & ={\displaystyle \frac{-13+3\sqrt{17}}{4}}\ne 1\end{array}$$Jadi, pemilihan nilai $d$ dan $j$ ini diterima. Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}(dj+d+1)j^{-1}& =({\displaystyle \frac{-13+3\sqrt{17}}{4}}+{\displaystyle \frac{3-\sqrt{17}}{4}}+{\displaystyle \frac{4}{4}})\cdot {\displaystyle \frac{2}{-3+\sqrt{17}}}\\ & ={\displaystyle \frac{-6+2\sqrt{17}}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{-3+\sqrt{17}}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\cancel{(-3+\sqrt{17})}}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\cancel{-3+\sqrt{17}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{1}}=1\end{array}$$Kasus 3:
Jika $d={\displaystyle \frac{3+\sqrt{17}}{4}}$ dan $j={\displaystyle \frac{-3-\sqrt{17}}{2}},$ kita peroleh
$$\begin{array}{rl}dj& ={\displaystyle \frac{3+\sqrt{17}}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{-3-\sqrt{17}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-26-6\sqrt{17}}{8}}\\ & ={\displaystyle \frac{-13-3\sqrt{17}}{4}}\ne 1\end{array}$$Jadi, pemilihan nilai $d$ dan $j$ ini diterima. Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}(dj+d+1)j^{-1}& =({\displaystyle \frac{-13-3\sqrt{17}}{4}}+{\displaystyle \frac{3+\sqrt{17}}{4}}+{\displaystyle \frac{4}{4}})\cdot {\displaystyle \frac{2}{-3-\sqrt{17}}}\\ & ={\displaystyle \frac{-6-2\sqrt{17}}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{-3-\sqrt{17}}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\cancel{(-3-\sqrt{17})}}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\cancel{-3\sqrt{17}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{1}}=1\end{array}$$Kasus 4:
Jika $d={\displaystyle \frac{3-\sqrt{17}}{4}}$ dan $j={\displaystyle \frac{-3-\sqrt{17}}{2}},$ kita peroleh
$$\begin{array}{rl}dj& ={\displaystyle \frac{3-\sqrt{17}}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{-3-\sqrt{17}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-9+17}{8}}=1\end{array}$$Jadi, pemilihan nilai $d$ dan $j$ ini ditolak.

Jadi, nilai dari $(dj+d+1)j^{-1}$ adalah $\boxed{{\displaystyle 1}}$
(Jawaban D)

Misalkan $A(x_A,y_A)$ dan $B(x_B,y_B).$
Perhatikan bahwa $(0,0)$ merupakan koordinat titik tengah kedua titik itu sehingga berlaku
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}}& =0\Rightarrow x_A+x_B=0\\ {\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}}& =0\Rightarrow y_A+y_B=0.\end{array}$$Karena dua titik tersebut melalui grafik fungsi $f(x)=y=4-x-x^2,$ maka kita tuliskan
$$\begin{array}{rlrl}{y}_A& =4-x_A-x_A^2& & (\cdots 1)\\ y_B& =4-x_B-x_B^2& & (\cdots 2)\end{array}$$Jumlahkan kedua persamaan di atas.
$$\begin{array}{rl}{y}_A+y_B& =(4-x_A-x_A^2)+(4-x_B-x_B^2)\\ y_A+y_B& =8-(x_A+x_B)-(x_A^2+x_B^2)\\ y_A+y_B& =8-(x_A+x_B)-[(x_A+x_B{)}^2-2x_A{x}_B]\\ \Rightarrow 0& =8-0-[0^2-2x_A{x}_B]\\ 0& =8-2x_A{x}_B\\ x_A{x}_B& =4\end{array}$$Nilai $x_A$ dan $x_B$ yang memenuhi adalah $x_A=2$ dan $x_B=-2.$
Substitusi masing-masing nilai $x$ tersebut pada $y=4-x-x^2$ untuk memperoleh $y_A=-2$ dan $y_B=2.$
Jadi, titik $A$ dan $B$ berturut-turut berkoordinat $(2,-2)$ dan $(-2,2).$
Jarak kedua titik tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{array}{rl}|AB|& =\sqrt{(x_A-x_B{)}^2+(y_A-y_B{)}^2}\\ & =\sqrt{(2-(-2){)}^2+(-2-(2){)}^2}\\ & =4\sqrt{2}.\end{array}$$(Jawaban B)

Diketahui $2x^2-7x+2=0$.
Karena $r,s$ akar-akar persamaan kuadrat tersebut, maka $r+s={\displaystyle \frac{7}{2}}$ dan $rs=1$.
Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{r}{(r^2+1{)}^2}}+{\displaystyle \frac{s}{(s^2+1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{r(s^2+1{)}^2+s(r^2+1{)}^2}{(r^2+1{)}^2(s^2+1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{r(s^4+2s^2+1)+s(r^4+2r^2+1)}{(r^2{s}^2+r^2+s^2+1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{r{s}^4+r^{4}s+2r{s}^2+2r^{2}s+r+s}{((rs{)}^2+(r+s{)}^2-2rs+1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{(rs(s^3+r^3)+2rs(s+r)+r+s}{((rs{)}^2+(r+s{)}^2-2rs+1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{rs[(s+r{)}^3-3rs(r+s)]+2rs(s+r)+r+s}{((rs{)}^2+(r+s{)}^2-2rs+1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1[(\frac{7}{2}{)}^3-3(1)(\frac{7}{2})]+2(1)(\frac{7}{2})+\frac{7}{2}}{((1{)}^2+(\frac{7}{2}{)}^2-2(1)+1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{(\frac{7}{2}{)}^3-\frac{21}{2}+7+\frac{7}{2}}{(1+(\frac{7}{2}{)}^2-2+1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{(\frac{7}{2}{)}^3}{(\frac{7}{2}{)}^4}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\frac{7}{2}}}={\displaystyle \frac{2}{7}}.\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{r}{(r^2+1{)}^2}}+{\displaystyle \frac{s}{(s^2+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2}{7}}}}$

Dari persamaan $x^2-x-1=0$, kita akan mencari nilai $x$ yang memenuhi dengan menggunakan metode kuadrat sempurna.
$\begin{array}{rl}[(x-1{)}^2-1]-1& =0\\ (x-1{)}^2-2& =0\\ (x-1{)}^2& =2\\ x-1& =\pm \sqrt{2}\\ x& =\pm \sqrt{2}+1\end{array}$
Kita peroleh akar-akarnya $x_1=\sqrt{2}+1$ dan $x_2=-\sqrt{2}+1$
(terbalik tanda $\pm$ tidak menjadi masalah).
Persamaan kuadrat baru memiliki akar-akar ${\displaystyle \frac{x_1^2-1}{2x_1}}$ dan ${\displaystyle \frac{2x_2}{x_2^2-1}}.$
Jumlah akar-akarnya ($\text{JA}$) adalah
$$\begin{array}{rl}\text{JA}& ={\displaystyle \frac{x_1^2-1}{2x_1}}+{\displaystyle \frac{2x_2}{x_2^2-1}}\\ & ={\displaystyle \frac{(\sqrt{2}+1{)}^2-1}{2(\sqrt{2}+1)}}+{\displaystyle \frac{2(-\sqrt{2}+1)}{(-\sqrt{2}+1{)}^2-1}}\\ & ={\displaystyle \frac{(2+2\sqrt{2}+1)-1}{2\sqrt{2}+2}}+{\displaystyle \frac{-2\sqrt{2}+2}{(2-2\sqrt{2}+1)-1}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2}+2}}+{\displaystyle \frac{-2\sqrt{2}+2}{-2\sqrt{2}+2}}\\ & =1+1=2.\end{array}$$Hasil kali akar-akarnya ($\text{HKA}$) adalah
$$\begin{array}{rl}\text{HKA}& ={\displaystyle \frac{x_1^2-1}{\cancel{2}{x}_1}}\cdot {\displaystyle \frac{\cancel{2}{x}_2}{x_2^2-1}}\\ & ={\displaystyle \frac{(x_1+1)(x_1-1)}{x_1}}\cdot {\displaystyle \frac{x_2}{(x_2+1)(x_2-1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{x_2(x_1+1)(x_2-1)}{x_1(x_2+1)(x_2-1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{(-\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+2)(\cancel{\sqrt{2}})}{(\sqrt{2}+1)(-\sqrt{2}+2)(-\cancel{\sqrt{2}})}}\\ & =-{\displaystyle \frac{(-\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}+1)(-\sqrt{2}+2)}}\\ & =-{\displaystyle \frac{-2-2\sqrt{2}+\sqrt{2}+2}{-2+2\sqrt{2}-\sqrt{2}+2}}\\ & =-{\displaystyle \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}=1.\end{array}$$Dengan demikian, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
$\begin{array}{rl}{x}^2-(\text{JA})x+\text{HKA}& =0\\ x^2-2x+1& =0.\end{array}$
Jawaban: $\boxed{{\displaystyle x^2-2x+1=0}}$