Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri

      Integral dengan teknik/metode substitusi aljabar dan trigonometri merupakan salah satu cara dasar yang digunakan untuk menentukan hasil integral suatu fungsi. Metode ini digunakan ketika proses pengintegralan tidak bisa diselesaikan dengan teorema dasar integral. Kalaupun bisa, prosesnya akan panjang dan memakan waktu yang tidak sebentar. Secara matematis, kita nyatakan sebagai berikut.
$\boxed{\int f(g(x)) g'(x)~\text{d}x = \int f(u)~\text{d}u}$
       Sesuai dengan namanya, metode ini melibatkan pemisalan dan substitusi bentuk aljabar (umumnya berupa polinomial) dan juga trigonometri. Penggunaan metode ini akan melibatkan konsep turunan. Sebagai contoh, misalkan $u = x^3+x+2$. Turunan pertama $u$ terhadap variabel $x$ kita tuliskan dengan
$\dfrac{\text{d}u}{\text{d}x} = 3x^2+1$
Bentuk di atas ternyata ekuivalen dengan
$\text{d}u = (3x^2+1)~\text{d}x$

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Luas Daerah Menggunakan Integral

Nah, untuk memahami lebih lanjut mengenai penggunaan metode substitusi dalam aljabar dan trigonometri dalam mengintegralkan suatu fungsi, berikut disediakan soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat.

Quote by J.K. Rowling

Hidup itu seperti cerita. Bukan seberapa lama cerita itu berlangsung, tetapi seberapa bagus cerita itulah yang sebenarnya paling penting.

Bentuk Aljabar (Murni)

Soal Nomor 1
Hasil dari $\int x^3(x^4+5)^3~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{4}(x^4+5)^4+C$
B. $\dfrac{1}{8}(x^4+5)^4+C$
C. $\dfrac{1}{12}(x^4+5)^4+C$
D. $\dfrac{1}{16}(x^4+5)^4+C$
E. $\dfrac{1}{16}(x^4+5)^3+C$

Pembahasan

Misalkan $u = x^4+5$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = 4x^3~\text{d}x \\ \dfrac14\text{d}u & = x^3~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac14\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int x^3(x^4+5)^3~\text{d}x & = \int u^3 ~\dfrac14\text{d}u \\ & = \dfrac14 \int u^{3}~\text{d}u \\ &= \dfrac14 \cdot \dfrac{1}{3+1}u^{3+1} + C \\ & = \dfrac{1}{16}u^{4} + C \\ & = \dfrac{1}{16}(x^4+5)^4+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac{1}{16}(x^4+5)^4+C}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan (Dasar)

Soal Nomor 2
Hasil dari $\int 3t^{-4}(2+4t^{-3})^{-7}~\text{d}t$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{4}(2+4t^{-3})^{-6}+C$
B. $\dfrac{1}{8}(2+4t^{-3})^{-6}+C$
C. $\dfrac{1}{12}(2+4t^{-3})^{-6}+C$
D. $\dfrac{1}{24}(2+4t^{-3})^{-6}+C$
E. $\dfrac{1}{48}(2+4t^{-3})^{-6}+C$

Pembahasan

Misalkan $u = 2 + 4t^{-3} $, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & =-12t^{-4}~\text{d}t \\-\dfrac{1}{12}\text{d}u & = t^{-4}~\text{d}t \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $-\dfrac{1}{12}\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int 3t^{-4}(2+4t^{-3})^{-7}~\text{d}t \\ & = 3 \int (2+4t^{-3})^{-7}~t^{-4}\text{d}t \\ & = \cancel{3} \int u^{-7} \cdot \left(-\dfrac{1}{\cancelto{4}{12}}\right) \text{d}u \\ & =-\dfrac14 \int u^{-7}~\text{d}u \\ &=-\dfrac14 \cdot \dfrac{1}{-7+1}u^{-7+1} + C \\ & =- \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{-6} u^{-6} + C \\ & = \dfrac{1}{24}(2+4t^{-3})^{-6}+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac{1}{24}(2+4t^{-3})^{-6}+C}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Hasil dari $\int (3-4w)(4w^2-6w+7)^{10}~\text{d}w$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac{1}{11}(4w^2-6w+7)^{11}+C$
B. $-\dfrac{1}{22}(4w^2-6w+7)^{11}+C$
C. $\dfrac{1}{11}(4w^2-6w+7)^{11}+C$
D. $\dfrac{1}{22}(4w^2-6w+7)^{11}+C$
E. $\dfrac{1}{22}(4w^2-6w+7)^{10}+C$

Pembahasan

Misalkan $u = 4w^2-6w+7$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (8w-6)~\text{d}w =-2(3- 4w)~\text{d}w \\-\dfrac{1}{2}\text{d}u & = (3-4w)~\text{d}w \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $-\dfrac{1}{2}\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int (3-4w)(4w^2-6w+7)^{10}~\text{d}w \\ & = \int u^{10} \cdot \left(-\dfrac12\right)\text{d}u \\ & =-\dfrac12 \int u^{10} \text{d}u \\ & =-\dfrac12 \cdot \dfrac{1}{10+1}u^{10+1} + C \\ & =-\dfrac{1}{22}u^{11} + C \\ & =-\dfrac{1}{22}(4w^2-6w+7)^{11}+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\dfrac{1}{22}(4w^2-6w+7)^{11}+C}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 4
Hasil dari $\displaystyle \int \dfrac{3x-1}{(3x^2-2x+7)^7}~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $-\dfrac{1}{3(3x^2-2x+7)^6}+C$
B. $-\dfrac{1}{4(3x^2-2x+7)^6}+C$
C. $-\dfrac{1}{6(3x^2-2x+7)^6}+C$
D. $-\dfrac{1}{12(3x^2-2x+7)^6}+C$
E. $-\dfrac{1}{12(3x^2-2x+7)^7}+C$

Pembahasan

Misalkan $u = 3x^2-2x + 7$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (6x- 2)~\text{d}x = 2(3x-1)~\text{d}x \\ \dfrac12\text{d}u & = (3x-1)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int \dfrac{3x-1}{(3x^2-2x+7)^7}~\text{d}x \\ & = \int \dfrac{1}{u^7}~\dfrac12\text{d}u \\ & = \dfrac12 \int u^{-7}~\text{d}u \\ &= \dfrac12 \cdot \dfrac{1}{-7+1}u^{-7+1} + C \\ & =-\dfrac12u^{-6} + C \\  & =-\dfrac{1}{12(3x^2-2x+7)^6}+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\dfrac{1}{12(3x^2-2x+7)^6}+C}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar

Soal Nomor 5
Hasil dari $\int (3x+1)\sqrt{3x^2+2x-4}~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac12(3x^2+2x-4)^{\frac32} + C$
B. $\dfrac13(3x^2+2x-4)^{\frac32} + C$
C. $\dfrac16(3x^2+2x-4)^{\frac32} + C$
D. $\dfrac{1}{12}(3x^2+2x-4)^{\frac32} + C$
E. $\dfrac{1}{18}(3x^2+2x-4)^{\frac32} + C$

Pembahasan

Misalkan $u = 3x^2 + 2x-4$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (6x+2)~\text{d}x = 2(3x+1)~\text{d}x \\ \dfrac12\text{d}u & = (3x+1)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int (3x+1)\sqrt{3x^2+2x-4}~\text{d}x \\ & = \int \sqrt{u}~\dfrac12\text{d}u \\ & = \dfrac12 \int u^{\frac12}~\text{d}u \\ &= \dfrac12 \cdot \dfrac{1}{\frac12+1}u^{\frac12+1} + C \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot u^{\frac32} + C \\ & = \dfrac{1}{3}(3x^2+2x-4)^{\frac32} +C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac13(3x^2+2x-4)^{\frac32} + C}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 6
Hasil dari $\int (x^2+2)(x^3+6x+1)^{\frac12}~\text{d}x=\cdots \cdot$
A. $\dfrac29(x^3+6x+1)\sqrt{x^3+6x+1}+C$
B. $\dfrac29(x^3+6x+1)^{\frac23}+C$
C. $\dfrac12(3x^3+6x+1)^{\frac32}+C$
D. $\dfrac23(x^3+6x+1)\sqrt{x^3+6x+1}+C$
E. $\dfrac32(x^3+6x+1)\sqrt{x^3+6x+1}+C$

Pembahasan

Misalkan $u = x^3+6x+1$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (3x^2+6)~\text{d}x = 3(x^2+2)~\text{d}x \\ \dfrac13\text{d}u & = (x^2+2)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac13\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int (x^2+2)(x^3+6x+1)^{\frac12}~\text{d}x \\ & = \int u^{\frac12}~\dfrac13\text{d}u \\ & = \dfrac13 \int u^{\frac12}~\text{d}u \\ & = \dfrac13\cdot \dfrac{1}{\frac12+1}u^{\frac12+1} + C \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac23 \cdot u^{\frac32} + C \\ & = \dfrac{2}{9}(x^3+6x+1)^{\frac32} +C &&  (\text{Substitusi balik}) \\ & = \dfrac29(x^3+6x+1)\sqrt{x^3+6x+1}+C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac29(x^3+6x+1)\sqrt{x^3+6x+1}+C}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Hasil dari $\int 5(z-4) \sqrt[3]{z^2-8z}~\text{d}z$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12(z^2-8z)\sqrt[3]{z^2-8z}+C$
B. $\dfrac14(z^2-8z)\sqrt[3]{z^2-8z}+C$
C. $\dfrac18(z^2-8z)\sqrt[3]{z^2-8z}+C$
D. $\dfrac14\sqrt[3]{z^2-8z}+C$
E. $\dfrac14(z^2-8z)^3+C$

Pembahasan

Misalkan $u = z^2-8z$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (2z-8)~\text{d}x = 2(z-4)~\text{d}z \\ \dfrac12\text{d}u & = (z-4)~\text{d}z \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle\int 5(z-4) \sqrt[3]{z^2-8z}~\text{d}z \\ & = 5 \int (z^2-8z)^{\frac13} \cdot (z-4)~\text{d}z \\ & = 5 \int u^{\frac13}~\dfrac12\text{d}u \\ & = \dfrac52 \int u^{\frac13}~\text{d}u \\ & = \dfrac52 \cdot \dfrac{1}{\frac13+1}u^{\frac13+1} + C \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac34 \cdot uu^{\frac13} + C \\  & = \dfrac14(z^2-8z)\sqrt[3]{z^2-8z}+C &&  (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac14(z^2-8z)\sqrt[3]{z^2-8z}+C}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri

Soal Nomor 8
Hasil dari $\displaystyle \int \dfrac{4w+3}{4w^2+6w-1}~\text{d}w$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{2} \ln |4w^2+6w+1| + C$
B. $\dfrac{1}{4} \ln |4w^2+6w+1| + C$
C. $\dfrac{1}{8} \ln |4w^2+6w+1| + C$
D. $\dfrac{1}{16} \ln |4w^2+6w+1| + C$
E. $\dfrac{1}{32} \ln |4w^2+6w+1| + C$

Pembahasan

Misalkan $u = 4w^2+6w+1$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (8w+6)~\text{d}w = 2(4w + 3)~\text{d}w \\ \dfrac12\text{d}u & = (4w+3)~\text{d}w \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{4w+3}{4w^2+6w-1}~\text{d}w & = \int \dfrac{1}{u} \cdot \dfrac12\text{d}u \\ & = \dfrac12 \int u^{-1}~\text{d}u \\ &= \dfrac12 \ln |u| + C && (\ln = \text{logaritma natural}) \\ & = \dfrac{1}{2} \ln |4w^2+6w+1| + C && (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac{1}{2} \ln |4w^2+6w+1| + C}$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Jumlah Riemann

Soal Nomor 9
Hasil dari $\displaystyle \int \dfrac{3x}{(1+9x^2)^4}~\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac{1}{4(1+9x^2)^3} + C$
B. $-\dfrac{1}{12(1+9x^2)^3} + C$
C. $-\dfrac{1}{18(1+9x^2)^3} + C$
D. $\dfrac{1}{6(1+9x^2)^3} + C$
E. $\dfrac{1}{18(1+9x^2)^3} + C$

Pembahasan

Misalkan $u = 1+9x^2$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (18x)~\text{d}w = 6(3x)~\text{d}x \\ \dfrac16\text{d}u & = (3x)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac16\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{3x}{(1+9x^2)^4}~\text{d}x & = \int \dfrac{1}{u^4} \cdot \dfrac16\text{d}u \\ & = \dfrac16 \int u^{-4}~\text{d}u \\ &= \dfrac16 \cdot \dfrac{1}{-4+1}u^{-4 + 1} + C \\ & =-\dfrac{1}{18}u^{-3} + C \\ & =-\dfrac{1}{18}(1+9x^2)^{-3} + C&& (\text{Substitusi balik}) \\ & =-\dfrac{1}{18(1+9x^2)^3} + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\dfrac{1}{18(1+9x^2)^3} + C}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Integral Tentu

Soal Nomor 10
Diketahui hasil dari $\displaystyle \int_0^1 ax(x^2+1)^2~\text{d}x$ adalah $14$. Nilai dari $a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $6$                   C. $10$               E. $14$
B. $8$                   D. $12$

Pembahasan

Gunakan metode substitusi aljabar dalam menentukan hasil pengintegralannya.
Misalkan $u = x^2+1$, sehingga
$\text{d}u = (2x)~\text{d}x$
yang ekuivalen dengan
$\dfrac12\text{d}u = x~\text{d}x$
Substitusikan $u$ dan $\dfrac12\text{d}u$ pada integran.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^1 ax(x^2+1)^2~\text{d}x & = 14 \\ a \int_0^1 (x^2+1)^2 \cdot x~\text{d}x & = 14 \\ \dfrac12a \int_1^2 u^2~\text{d}u & = 14 && (\text{BB}: 0^2+1 = 1, \text{BA}: 1^2+1 = 2) \\ \dfrac12a\left[\dfrac13u^3\right]_1^2 \\ & = 14 \\ \dfrac12a\left[\dfrac13(2)^3- \dfrac13(1)^3\right] & = 14 \\ a\left(\dfrac83- \dfrac13\right) & = 28 \\ a \cdot \dfrac73 & = 28 \\ a & = \cancelto{4}{28} \times \dfrac{3}{\cancel{7}} = 12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{a = 12}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 10
Hasil dari $\displaystyle \int_2^3 x\sqrt{x-2}~\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{27}{12}$                        D. $\dfrac{17}{15}$
B. $\dfrac{29}{15}$                        E. $\dfrac{14}{15}$
C. $\dfrac{26}{15}$

Pembahasan

Kita akan menggunaan teknik substitusi untuk menentukan integralnya.
Misalkan $\color{blue}{u = \sqrt{x-2}}$.
Kuadratkan kedua ruas dan kita akan mendapatkan
$u^2 = x-2 \Leftrightarrow \color{red}{x = u^2+2}$.
Pada bentuk $u^2 = x-2$, turunkan ruas kiri terhadap $\text{d}u$ dan ruas kanan terhadap $\text{d}x$:
$\begin{aligned} (2u)~\text{d}u & = (1-0)~\text{d}x \\ \color{green}{2u~\text{d}u} & = \color{green}{\text{d}x} \end{aligned}$
Selanjutnya adalah menentukan perubahan batas dari variabel $x$ ke variabel $u$ dengan menggunakan persamaan $u=\sqrt{x-2}$.
Untuk batas bawah $x = 2$, maka $u=\sqrt{2-2} = 0$.
Untuk batas atas $x = 3$, maka $u=\sqrt{3-2} = 1$.
Dengan demikian, bentuk integral $\displaystyle \int_2^3 x\sqrt{x-2}~\text{d}x$ dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_ 0^1 \color{red}{(u^2+2)}\color{blue}{(u)}\color{green}{(2u~\text{d}u)} & = 2 \int_0^1 u^2(u^2+2)~\text{d}u \\ & = 2 \int_0^1 (u^4+2u^2)~\text{d}u \\ & = 2\left[\dfrac15u^5+\dfrac23u^3\right]_0^1 \\ & = 2\left[\left(\dfrac15(1)^5+\dfrac23(1)^3\right)-(0+0)\right] \\ & = 2\left(\dfrac15+\dfrac23\right) \\ & = 2\left(\dfrac{3}{15}+\dfrac{10}{15}\right) = \dfrac{26}{15} \end{aligned}$$Jadi, hasil integral tentu tersebut adalah $\boxed{\dfrac{26}{15}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Bentuk Trigonometri

Soal Nomor 1
Hasil dari $\int 90x^2 \sin (2+6x^3)~\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\cos (2+6x^3) + C$
B. $-2\cos (2+6x^3) + C$
C. $-5\cos (2+6x^3) + C$
D. $-5 \sin (2+6x^3) + C$
E. $5 \cos (2+6x^3) + C$

Pembahasan

Misalkan $u = 2+6x^3$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (18x^2)~\text{d}x \\ 5\text{d}u & = (90x^2)~\text{d}x \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $5\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int 90x^2 \sin (2+6x^3)~\text{d}x & = \int \sin u \cdot 5\text{d}u \\ & = 5 \int \sin u ~\text{d}u \\ &= 5(-\cos u) + C \\ & =-5 \cos (2+6x^3) + C && (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-5 \cos (2+6x^3) + C}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Hasil dari $\int \sec (1-z) \tan (1-z)~\text{d}z$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\sin (1-z) + C$
B. $\cos (1-z) + C$
C. $\sec (1-z) + C$
D. $-\sec (1-z) + C$
E. $-\tan (1-z) + C$

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} & \displaystyle \int \sec (1-z) \tan (1-z)~\text{d}z \\ & = \int \dfrac{1}{\cos (1-z)} \cdot \dfrac{\sin (1-z)}{\cos (1-z)}~\text{d}z \\ & = \int \dfrac{\sin (1-z)}{\cos^2 (1-z)}~\text{d}z \end{aligned}$
Misalkan $u = \cos (1-z)$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (-\sin (1-z)(-1))~\text{d}z \\ & = \sin(1-z)~\text{d}z \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{\sin (1-z)}{\cos^2 (1-z)}~\text{d}z & = \int \dfrac{1}{u^2}~\text{d}u \\ & =-\dfrac{1}{u} + C \\ & = \dfrac{1}{\cos (1-z)} + C && (\text{Substitusi balik}) \\ & =-\sec(1-z) + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\sec (1-z) + C}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 3
Hasil dari $\int (15t^{-2}- 5t) \cos (6t^{-1} + t^2)~\text{d}t$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\dfrac12 \sin (6t^{-1}+t^2) + C$
B. $-\dfrac32 \sin (6t^{-1}+t^2) + C$
C. $-\dfrac52 \sin (6t^{-1}+t^2) + C$
D. $-\dfrac52 \cos (6t^{-1}+t^2) + C$
E. $\dfrac52 \sin (6t^{-1}+t^2) + C$

Pembahasan

Misalkan $u = 6t^{-1}+t^2$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (-6t^{-2} + 2t)~\text{d}t \\ & =-2(3t^{-2}- t)~\text{d}t \\-\dfrac12\text{d}u & = (3t^{-2}- t)~\text{d}t \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $-\dfrac12\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int (15t^{-2}- 5t) \cos (6t^{-1} + t^2)~\text{d}t \\ & = \int 5(3t^{-2}- t) \cos (6t^{-1} + t^2)~\text{d}t \\ & = 5 \int \cos u~\left(-\dfrac12\right)\text{d}u \\ & =-\dfrac52 \sin u + C \\ & =-\dfrac52 \sin (6t^{-1}+t^2) + C && (\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{-\dfrac52 \sin (6t^{-1}+t^2) + C}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Integral Parsial

 Soal Nomor 4
Hasil dari $\int (\cos (3t)- t^2)(\sin (3t)- t^3)^5~\text{d}t$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{6} (\sin (3t)- t^3)^6 + C$
B. $\dfrac{1}{9} (\sin (3t)- t^3)^6 + C$
C. $\dfrac{1}{18} (\sin (3t)- t^3)^6 + C$
D. $\dfrac{1}{18} (\cos (3t)- t^3)^6 + C$
E. $-\dfrac{1}{18} (\sin (3t)- t^3)^6 + C$

Pembahasan

Misalkan $u = \sin (3t)-t^3$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}\text{d}u & = (3 \cos (3t)- 3t^2)~\text{d}t \\ & = 3(\cos (3t)- t^2)~\text{d}t \\ \dfrac13\text{d}u & = (\cos (3t)- t^2)~\text{d}t \end{aligned}$
Substitusi $u$ dan $\dfrac13\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned}&  \displaystyle \int (\cos (3t)- t^2)(\sin (3t)- t^3)^5~\text{d}t \\ & = \int u^5 \cdot \dfrac13\text{d}u \\ & = \dfrac13 \int u^5~\text{d}u \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac16u^6 + C \\ & = \dfrac{1}{18} (\sin (3t)- t^3)^6 + C &&(\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\dfrac{1}{18} (\sin (3t)- t^3)^6 + C}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 5
Hasil dari $\displaystyle \int \dfrac{\csc (x) \cot (x)}{2- \csc x}~\text{d}x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\ln |2- \csc x| + C$
B. $\ln |\csc x \cot x| + C$
C. $-\ln |2- \csc x| + C$
D. $\ln |2 + \csc x| + C$
E. $\dfrac{1}{2- \csc x} + C$

Pembahasan

Misalkan $u = 2- \csc x$, sehingga diperoleh
$\text{d}u = (\csc x \cot x)~\text{d}x$
Substitusi $u$ dan $\text{d}u$ pada integran akan menghasilkan bentuk berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \dfrac{\csc (x) \cot (x)}{2- \csc x}~\text{d}x \\ & = \int \dfrac{1}{u}~\text{d}u\\ & = \ln |u| + C \\ & = \ln |2-\csc x| + C &&(\text{Substitusi balik}) \end{aligned}$$Jadi, hasil dari integral di atas adalah $\boxed{\ln |2- \csc x| + C}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Nilai dari $\displaystyle \int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \sin 3x \cos 3x~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac13$                C. $\dfrac16$               E. $\dfrac{1}{12}$
B. $\dfrac14$                D. $\dfrac18$       

Pembahasan

Gunakan metode substitusi trigonometri dalam menentukan hasil pengintegralannya.
Misalkan $u = \sin 3x$, sehingga
$\text{d}u = 3 \cos 3x~\text{d}x$
yang ekuivalen dengan
$\dfrac13\text{d}u = \cos 3x~\text{d}x$
Substitusikan $u$ dan $\dfrac13\text{d}u$ pada integran.
$$\begin{aligned} \displaystyle \int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \sin 3x \cos 3x~\text{d}x & = \int_0^{1} u \cdot \dfrac13\text{d}u && (\sin 0 = 0; \sin \dfrac{\pi}{2} = 1) \\ & = \dfrac13 \int_0^{1} u~\text{d}u \\ & = \left[\dfrac13 \cdot \dfrac12u^2\right]_0^{1} \\ & = \dfrac16(1^2- 0^2) = \dfrac16 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari integral tentu tersebut adalah $\boxed{\dfrac16}$
(Jawaban C)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)