Pembuktian Turunan Fungsi Trigonometri Dasar

       Definisi turunan, notasi delta, dan aturan turunan fungsi aljabar dasar telah dipelajari sebelumnya. Selain aljabar, fungsi trigonometri juga dapat diturunkan dengan menggunakan prinsip yang sama seperti kita menerapkan definisi turunan, yakni menggunakan limit. Selain itu, beberapa identitas dasar trigonometri juga dipakai saat proses pembuktian turunannya.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan (Dasar)

          Sebagaimana yang telah kita ketahui, fungsi trigonometri ada $6$, yaitu sinus, cosinus (baca: kosinus), tangen, cosecan (baca: kosekan), secan (baca: sekan), dan cotangen (baca: kotangen). Hanya sinus dan cosinus yang turunannya dicari menggunakan proses notasi delta dan definisi turunan. Fungsi lainnya dicari turunannya menggunakan aturan hasil bagi turunan.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial)

Kali ini, akan dibuktikan turunan pertama dari setiap fungsi trigonometri tersebut.

Quote by Nadiem Makarim

Mulai aja dulu. Kalau kamu tidak mulai, maka kamu tidak akan berada di sana.

Turunan Fungsi Sinus
Fungsi sinus memiliki bentuk $f(x) = \sin x$. Berdasarkan proses notasi delta, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = \sin x \\ y + \Delta y & = \sin (x+h) \\ \Delta y & = \sin (x+h)-\sin x \end{aligned}$
Selanjutnya, gunakan identitas selisih sudut sinus:
$$\boxed{\sin A-\sin B = 2 \cos \left(\dfrac{A+B}{2}\right) \sin \left(\dfrac{A-B}{2}\right)}$$Dari sini, kita mendapatkan
$\Delta y = 2 \cos \dfrac12(2x+h) \sin \dfrac12h$
Posisikan koefisien $2$ sebagai penyebut $\sin \dfrac12h$ dan bagi kedua ruas persamaan itu dengan $h$ sehingga diperoleh
$\dfrac{\Delta y}{h} = \cos \dfrac12(2x+h) \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}$
Terapkan definisi turunan dengan memunculkan notasi limit.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left(\cos \dfrac12(2x+h) \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right) \\ & = \left(\lim_{h \to 0} \cos \dfrac12(2x+h)\right) \cdot \left(\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right) \\ & = \cos \dfrac12(2x+0) \cdot 1 \\ & = \cos x \end{aligned}$
Jadi, turunan pertama dari $f(x) = \sin x$ adalah $f'(x) = \cos x$.

Baca: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri (Dasar)

Turunan Fungsi Cosinus
Fungsi cosinus memiliki bentuk $f(x) = \cos x$. Berdasarkan proses notasi delta, kita peroleh
$\begin{aligned} y & = \cos x \\ y + \Delta y & = \cos (x+h) \\ \Delta y & = \cos (x+h)-\cos x \end{aligned}$
Selanjutnya, gunakan identitas selisih sudut sinus:
$$\boxed{\cos A-\cos B = -2 \sin \left(\dfrac{A+B}{2}\right) \sin \left(\dfrac{A-B}{2}\right)}$$Dari sini, kita mendapatkan
$\Delta y = -2 \sin \dfrac12(2x+h) \sin \dfrac12h$
Posisikan koefisien $2$ sebagai penyebut $\sin \dfrac12h$ dan bagi kedua ruas persamaan itu dengan $h$ sehingga diperoleh
$\dfrac{\Delta y}{h} = -\sin \dfrac12(2x+h) \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}$
Terapkan definisi turunan dengan memunculkan notasi limit.
$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left(- \sin \dfrac12(2x+h) \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right) \\ & = \left(\displaystyle \lim_{h \to 0} -\sin\dfrac12(2x+h)\right) \cdot \left(\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right) \\ & = -\sin \dfrac12(2x+0) \cdot 1 \\ & = -\sin x \end{aligned}$
Jadi, turunan pertama dari $f(x) = \cos x$ adalah $f'(x) = -\sin x$.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Turunan Fungsi Tangen
Fungsi tangen memiliki bentuk $f(x) = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'(x)$.
Misalkan
$u = \sin x \Rightarrow u’ = \cos x$
$v = \cos x \Rightarrow v’ = -\sin x$
Kita akan memperoleh
$\begin{aligned} f'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{\cos x \cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} \\ & = \dfrac{1}{\cos^2 x} \\ & = \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^2 \\ & = \sec^2 x \end{aligned}$
Jadi, turunan pertama dari $f(x) = \tan x$ adalah $f'(x) = \sec^2 x$.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Penerapan Identitas Trigonometri

Turunan Fungsi Cosecan
Fungsi cosecan memiliki bentuk $f(x) = \csc x = \dfrac{1}{\sin x}$.
Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'(x)$.
Misalkan
$u = 1 \Rightarrow u’ = 0$
$v = \sin x \Rightarrow v’ = \cos x$
Kita akan memperoleh
$\begin{aligned} f'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{0(\sin x)-1(\cos x)}{\sin^2 x} \\ & = -\dfrac{\cos x}{\sin x} \cdot \dfrac{1}{\sin x} \\ & = -\cot x \cdot \csc x \end{aligned}$
Jadi, turunan pertama dari $f(x) = \csc x$ adalah $f'(x) = -\cot x \csc x$.

Turunan Fungsi Secan
Fungsi secan memiliki bentuk $f(x) = \sec x = \dfrac{1}{\cos x}$.
Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'(x)$.
Misalkan
$u = 1 \Rightarrow u’ = 0$
$v = \cos x \Rightarrow v’ = -\sin x$
Kita akan memperoleh
$\begin{aligned} f'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{0(\cos x)-1(-\sin x)}{\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{1}{\cos x} \\ & = \tan x \sec x \end{aligned}$
Jadi, turunan pertama dari $f(x) = \sec x$ adalah $f'(x) = \tan x \sec x$.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri

Turunan Fungsi Cotangen
Fungsi cotangen memiliki bentuk $f(x) = \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$.
Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'(x)$.
Misalkan
$u = \cos x \Rightarrow u’ = -\sin x$
$v = \sin x \Rightarrow v’ = \cos x$
Kita akan memperoleh
$\begin{aligned} f'(x) & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{-\sin x \sin x-\cos x(\cos x)}{\sin^2 x} \\ & = \dfrac{-\sin^2 -\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ & = \dfrac{-(\sin^2 x+\cos^2 x)}{\sin^2 x} \\ & = -\left(\dfrac{1}{\sin x}\right)^2 \\ & = -\csc^2 x \end{aligned}$
Jadi, turunan pertama dari $f(x) = \cot x$ adalah $f'(x) = -\csc^2 x$.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri

Sekarang, dapat kita simpulkan hasil dari turunan pertama setiap fungsi trigonometri dalam panel berikut.

Turunan Fungsi Trigonometri

Misalkan $f(x)$ menyatakan suatu fungsi dan $f'(x)$ menyatakan turunan pertamanya.
$$\begin{aligned} & 1.~\text{Jika}~f(x) = \sin x,~\text{maka}~f'(x) = \cos x \\ & 2.~\text{Jika}~f(x) = \cos x,~\text{maka}~f'(x) = -\sin x \\ & 3.~\text{Jika}~f(x) = \tan x,~\text{maka}~f'(x) = \sec^2 x \\ & 4.~\text{Jika}~f(x) = \csc x,~\text{maka}~f'(x) = -\cot x \csc x \\ & 5.~\text{Jika}~f(x) = \sec x,~\text{maka}~f'(x) = \tan x \sec x \\ & 6.~\text{Jika}~f(x) = \cot x,~\text{maka}~f'(x) = -\csc^2 x \end{aligned}$$

        Keenam poin tentang turunan pertama fungsi trigonometri di atas terpakai untuk menentukan turunan fungsi trigonometri yang lebih rumit (biasanya melibatkan aturan rantai) dan penelusuran akan lebih jauh bila Anda memasuki zona kalkulus, salah satu cabang matematika yang khusus mempelajari perubahan suatu fungsi.

Tips: Umumnya hanya turunan fungsi sinus, cosinus, dan tangen yang banyak dikeluarkan dalam soal-soal latihan untuk tingkat SMA.