Jika kita ingin menentukan peluang terpilihnya $3$ kartu merah dari $5$ kartu yang diambil dari dek berisikan $52$ kartu remi, distribusi binomial tidak dapat digunakan, kecuali masing-masing kartu dikembalikan dan dek dikocok ulang sebelum tarikan kartu berikutnya dilakukan. Pengambilan sampel dalam kasus ini dilakukan tanpa pengembalian, berbeda halnya dengan kasus distribusi binomial yang sampelnya diambil dengan melakukan pengembalian. Akibatnya, untuk distribusi binomial, peluang kesuksesan selalu sama untuk setiap percobaan, sedangkan pada distribusi hipergeometrik, ada perbedaan peluang kesuksesan pada percobaan yang satu dengan percobaan berikutnya.
Untuk menyelesaikan kasus kartu tersebut, kita melakukan pendekatan seperti berikut.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Peluang Diskret dan Kontinu
Jika $5$ kartu diambil secara acak, kita ingin menentukan peluang memilih $3$ kartu merah dari $26$ kartu yang ada dan $2$ kartu hitam dari $26$ kartu sisanya. Ada $\displaystyle \binom{26}{3}$ cara memilih $3$ dari $26$ kartu merah tersebut. Dari masing-masing cara tersebut, kita dapat memilih $2$ kartu hitam dari $26$ kartu hitam di dek dengan $\displaystyle \binom{26}{2}$ cara. Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak cara memilih $3$ kartu merah dan $2$ kartu hitam adalah $\displaystyle \binom{26}{3} \binom{26}{2}.$ Di sisi lain, banyaknya cara memilih $5$ kartu dari $52$ kartu yang ada adalah $\displaystyle \binom{52}{5}.$ Dengan demikian, peluang memilih $3$ kartu merah dari $5$ kartu yang diambil secara acak tanpa pengembalian dari $52$ kartu di dek diberikan oleh
$$\dfrac{\displaystyle \binom{26}{3} \binom{26}{2}}{\displaystyle \binom{52}{5}} = \dfrac{(26!/(3! \cdot 23!))(26!/(2! \cdot 24!))}{52!/(5! \cdot 47!)} \approx 0,\!3251.$$Percobaan yang barusan dilakukan disebut eksperimen hipergeometrik (hypergeometric experiment) yang secara teoretis memenuhi dua kondisi berikut.
- Sampel acak berukuran $n$ dipilih dari $N$ objek yang dilakukan tanpa pengembalian.
- Dari $N$ objek, sebanyak $k$ objek diklasifikasikan sebagai sukses dan $N-k$ sisanya diklasifikasikan sebagai gagal.
Secara formal, berikut didefinisikan distribusi peluang dari variabel acak yang berdistribusi hipergeometrik.
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Peluang Binomial
Definisi: Distribusi Hipergeometrik
Distribusi peluang hipergeometrik dari variabel acak diskret $X$ yang menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak berukuran $n$ yang dipilih dari $N$ objek dengan $k$ objek dilabeli sukses dan $N-k$ dilabeli gagal dinyatakan oleh
$$P(X = x) = h(x; N, n, k) = \dfrac{\displaystyle \binom{k}{x} \binom{N-k}{n-x}}{\displaystyle \binom{N}{n}}$$dengan $$\text{maks}\{0, n-(N-k)\} \le x \le \text{min}\{n, k\}.$$Notasi $X \sim h(N, n, k)$ menyatakan variabel acak diskret $X$ berdistribusi hipergeometrik dengan parameter $N, n,$ dan $k.$
Teorema: Rata-Rata dan Varians dari Variabel Acak yang Berdistribusi Hipergeometrik
Misalkan $X \sim h(N, n, k).$ Rata-rata dan varians dari $X$ berturut-turut adalah $$\mu = \dfrac{nk}{N}$$ dan $$\sigma ^2 = \dfrac{N-n}{N-1} \cdot n \cdot \dfrac{k}{N} \left(1-\dfrac{k}{N}\right).$$
Distribusi hipergeometrik yang dibahas di atas secara spesifik disebut sebagai distribusi hipergeometrik univariat karena hanya melibatkan satu variabel acak. Jika distribusi hipergeometrik melibatkan lebih dari satu variabel acak, kita menyebutnya sebagai distribusi hipergeometrik multivariat yang definisi formalnya diberikan sebagai berikut.
Definisi: Distribusi Hipergeometrik Multivariat
Jika $N$ objek dapat dipartisi dalam $k$ sel $A_1, A_2, \cdots, A_k$ yang berturut-turut memuat $a_1, a_2, \cdots, a_k$ elemen, maka distribusi peluang dari variabel acak diskret $X_1, X_2, \cdots, X_k$ yang berturut-turut menyatakan banyaknya elemen yang dipilih dari $A_1, A_2, \cdots, A_k$ dalam sampel acak berukuran $n$ adalah
$$f(x_1, x_2, \cdots, x_k; a_1, a_2, \cdots, a_k, N, n) = \dfrac{\displaystyle \binom{a_1}{x_1} \binom{a_2}{x_2} \cdots \binom{a_k}{x_k} }{\displaystyle \binom{N}{n} },$$dengan $\displaystyle \sum_{i=1}^k x_i = n$ dan $\displaystyle \sum_{i=1}^k a_i = N.$
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Distribusi Hipergeometrik} & \text{Hypergeometric Distribution} \\ 2. & \text{Distribusi Binomial} & \text{Binomial Distribution} \\ 3. & \text{Eksperimen Hipergeometrik} & \text{Hypergeometric Experiment} \\ 4. & \text{Kejadian} & \text{Event} \\ 5. & \text{Variabel Acak Diskret} & \text{Discrete Random Variable} \\ 6. & \text{Fungsi Peluang} & \text{Probability Function} \\ 7. & \text{Distribusi Peluang} & \text{Probability Distribution} \\ 8. & \text{Rata-Rata} & \text{Mean} \\ 9. & \text{Varians} & \text{Variance} \\ 10. & \text{Univariat} & \text{Univariate} \\ 11. & \text{Multivariat} & \text{Multivariate} \\ \hline \end{array}$$
Nah, supaya lebih paham, berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasan tentang distribusi hipergeometrik. Semoga bermanfaat.
Catatan tambahan: Anda diperbolehkan menggunakan kalkulator atau aplikasi komputer untuk mempermudah perhitungan peluang. Untuk setiap hasil perhitungan, bulatkan sampai $4$ angka di belakang koma.
Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Poisson
Today Quote
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Sebuah kotak berisi $50$ bola dengan $5$ bola di antaranya kempis. Jika seseorang mengambil $4$ bola secara acak dari kotak tersebut, peluang $2$ bola yang ia dapatkan kempis adalah $\cdots \cdot$
A. $0,\!0215$ D. $0,\!2430$
B. $0,\!0430$ E. $0,\!2831$
C. $0,\!2200$
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi hipergeometrik karena pengambilan bola dilakukan tanpa pengembalian (dilakukan secara bersamaan) dan ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat , yaitu (1) kejadian memperoleh bola kempis dan (2) kejadian memperoleh bola yang tidak kempis.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya bola kempis yang terambil. Diketahui $N = 50,$ $n = 4,$ $k = 5$ dan $x = 2.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 2) & = h(2; 50, 4, 5) \\ & = \dfrac{\displaystyle \binom{5}{2} \binom{50-5}{4-2}}{\displaystyle \binom{50}{4}} \\ & \approx 0,\!0430. \end{aligned}$$Jadi, peluang $2$ bola yang ia dapatkan kempis adalah $\boxed{0,\!0430}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 2
Mesin dengan $40$ komponen divonis tidak layak jika ada $3$ atau lebih komponen cacat. Suatu prosedur sampling dilakukan pada mesin tersebut untuk memilih $5$ komponen secara acak dan memvonis mesin tersebut tidak layak jika ditemukan komponen cacat. Peluang bahwa ada tepat $1$ komponen yang cacat pada sampel tersebut jika terdapat $3$ komponen cacat pada mesin secara keseluruhan sekitar $\cdots \cdot$
A. $0,\!0322$ D. $0,\!3011$
B. $0,\!0354$ E. $0,\!3067$
C. $0,\!2901$
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi hipergeometrik karena pengambilan komponen dilakukan tanpa pengembalian (dilakukan secara bersamaan) dan ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat takbebas, yaitu (1) kejadian memperoleh komponen cacat dan (2) kejadian memperoleh komponen yang tidak cacat.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya komponen cacat yang diperoleh. Diketahui $N = 40,$ $n = 5,$ $k = 3$ dan $x = 1.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 1) & = h(1; 40, 5, 3) \\ & = \dfrac{\displaystyle \binom{3}{1} \binom{40-3}{5-1}}{\displaystyle \binom{40}{5}} \\ & \approx 0,\!3011 \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa ada tepat $1$ komponen yang cacat pada sampel tersebut jika terdapat $3$ komponen cacat pada mesin secara keseluruhan sekitar $\boxed{0,\!3011}$
(Jawaban D)
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Normal
Soal Nomor 3
Agar tidak tertangkap oleh petugas bandara, seorang imigran memasukkan $6$ tablet narkotika ke dalam botol yang berisikan $9$ tablet vitamin. Secara fisik, kedua jenis tablet tersebut serupa. Jika petugas bandara mengambil $3$ tablet secara acak untuk diperiksa, peluang imigran tersebut ditangkap atas kepemilikan narkotika adalah $\cdots \cdot$
A. $12/65$ D. $53/65$
B. $24/65$ E. $56/65$
C. $48/65$
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi hipergeometrik karena pengambilan tablet dilakukan tanpa pengembalian (dilakukan secara bersamaan) dan memuat dua kemungkinan kejadian yang bersifat takbebas, yaitu (1) kejadian memperoleh tablet narkotika dan (2) kejadian memperoleh tablet vitamin.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya tablet narkotika yang terambil. Diketahui $N = 9+6=15,$ $n = 3,$ dan $k = 6.$ Kondisi imigran tersebut akan ditangkap atas kepemilikan narkotika adalah saat petugas bandara menemukan setidaknya $1$ tablet narkotika, atau secara matematis ditulis $x \ge 1.$ Oleh karena itu, kita akan menghitung nilai dari $p(X \ge 1)$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} p(X \ge 1) & = 1-p(X = 0) \\ & = 1-h(0; 15, 3, 6) \\ & = 1-\dfrac{\displaystyle \binom{6}{0} \binom{9}{3}}{\displaystyle \binom{15}{3}} \\ & = \dfrac{53}{65} \end{aligned}$$Jadi, peluang imigran tersebut ditangkap atas kepemilikan narkotika adalah $\boxed{\dfrac{53}{65}}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 4
Suatu kelompok yang terdiri dari $10$ orang dibentuk untuk keperluan penelitian biologis. Secara spesifik, kelompok tersebut terdiri dari $3$ orang dengan golongan darah O, $4$ orang dengan golongan darah A, dan sisanya bergolongan darah B. Peluang bahwa sampel acak berukuran $5$ orang memuat $1$ orang dengan golongan darah O, 2 orang dengan golongan darah A, dan sisanya bergolongan darah B adalah $\cdots \cdot$
A. $3/8$ D. $5/14$
B. $3/11$ E. $9/14$
C. $3/14$
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi hipergeometrik multivariat karena pemilihan orang dilakukan tanpa pengembalian (dilakukan secara bersamaan) dan orang-orang dalam kelompok tersebut dipartisi berdasarkan $3$ golongan darah, masing-masingnya memuat dua kemungkinan kejadian yang bersifat takbebas, yaitu (1) kejadian memilih orang dengan golongan darah $X \in$ {A, B, O} dan (2) kejadian memilih orang dengan golongan darah bukan $X.$
Misalkan $X_1, X_2,$ dan $X_3$ berturut-turut merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya orang dengan golongan darah O, A, dan B yang dipilih. Diketahui $$\begin{array}{cc} \hline x_1 = 1 & x_2 = 2 & x_3 = 2 \\ a_1 = 3 & a_2 = 4 & a_3 = 3 \\ N = 10 & n = 5 & \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} f(1, 2, 2; 3, 4, 3, 10, 5) & = \dfrac{\displaystyle \binom{3}{1} \binom{4}{2} \binom{3}{2}}{\displaystyle \binom{10}{5}} \\ & = \dfrac{3}{14}. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa sampel acak berukuran $5$ orang memuat $1$ orang dengan golongan darah O, 2 orang dengan golongan darah A, dan sisanya bergolongan darah B adalah $\boxed{\dfrac{3}{14}}$
(Jawaban C)
Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Poisson
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Suatu tim medis dibentuk untuk menangani wabah di suatu daerah. Tim medis tersebut terdiri dari $3$ orang yang dipilih dari $4$ dokter dan $2$ perawat. Tuliskan rumus untuk distribusi peluang dari variabel acak $X$ yang menyatakan banyaknya dokter dalam tim medis yang dibentuk. Tentukan nilai $p(2 \le X \le 3).$
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi hipergeometrik karena pemilihan orang dilakukan tanpa pengembalian (dilakukan secara bersamaan) dan memuat dua kemungkinan kejadian yang bersifat takbebas, yaitu (1) kejadian memilih dokter dan (2) kejadian memilih perawat.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya dokter dalam tim medis yang dibentuk. Diketahui $N = 4 + 2 = 6,$ $n = 3,$ dan $k = 4.$ Dengan demikian, diperoleh rumus untuk distribusi peluang dari $X$ sebagai berikut.
$$P(X = x) = \begin{cases} h(x; 6, 3, 4) = \dfrac{\displaystyle \binom{4}{x} \binom{2}{3-x}}{\displaystyle \binom{6}{3}}, & x = 1, 2, 3 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$Selanjutnya, akan dicari nilai dari $p(2 \le X \le 3).$
$$\begin{aligned} p(2 \le X \le 3) & = p(X = 2) + p(X = 3) \\ & = h(2; 6, 3, 4) + h(3; 6, 3, 4) \\ & = \dfrac{\displaystyle \binom{4}{2} \binom{2}{1}}{\displaystyle \binom{6}{3}} + \dfrac{\displaystyle \binom{4}{3} \binom{2}{0}}{\displaystyle \binom{6}{3}} \\ & = \dfrac{12}{20} + \dfrac{4}{20} \\ & = \dfrac45. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $p(2 \le X \le 3) = \dfrac45.$
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Geometrik dan Binomial Negatif
Soal Nomor 2
Sebuah kotak berisi $7$ bola dengan $3$ bola di antaranya berwarna merah. Jika seseorang mengambil $3$ bola secara acak dari kotak tersebut, tentukan peluang bahwa dari $3$ bola tersebut,
- terdapat tepat satu bola merah;
- terdapat tepat dua bola merah;
- tiga-tiganya bola merah;
- tidak ada satu pun bola merah.
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi hipergeometrik karena pengambilan bola dilakukan tanpa pengembalian (dilakukan secara bersamaan) dan ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat takbebas, yaitu (1) kejadian memperoleh bola merah dan (2) kejadian memperoleh bola bukan merah.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya bola merah yang terambil.
Jawaban a)
Diketahui $N = 7,$ $n = 3,$ $k = 3$ dan $x = 1.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 1) & = h(1; 7, 3, 3) \\ & = \dfrac{\displaystyle \binom{3}{1} \binom{7-3}{3-1}}{\displaystyle \binom{7}{3}} \\ & = \dfrac{18}{35}. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa dari $3$ bola tersebut, terdapat tepat satu bola merah adalah $\boxed{\dfrac{18}{35}}$
Jawaban b)
Diketahui $N = 7,$ $n = 3,$ $k = 3$ dan $x = 2.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 2) & = h(2; 7, 3, 3) \\ & = \dfrac{\displaystyle \binom{3}{2} \binom{7-3}{3-2}}{\displaystyle \binom{7}{3}} \\ & = \dfrac{12}{35}. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa dari $3$ bola tersebut, terdapat tepat dua bola merah adalah $\boxed{\dfrac{12}{35}}$
Jawaban c)
Diketahui $N = 7,$ $n = 3,$ $k = 3$ dan $x = 3.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 3) & = h(3; 7, 3, 3) \\ & = \dfrac{\displaystyle \binom{3}{3} \binom{7-3}{3-3}}{\displaystyle \binom{7}{3}} \\ & = \dfrac{1}{35}. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa dari $3$ bola tersebut, tiga-tiganya bola merah adalah $\boxed{\dfrac{1}{35}}$
Jawaban d)
Diketahui $N = 7,$ $n = 3,$ $k = 3$ dan $x = 0.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 0) & = h(0; 7, 3, 3) \\ & = \dfrac{\displaystyle \binom{3}{0} \binom{7-3}{3-0}}{\displaystyle \binom{7}{3}} \\ & = \dfrac{4}{35}. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa dari $3$ bola tersebut, tidak ada satu pun bola merah adalah $\boxed{\dfrac{4}{35}}$
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Eksponensial dan Gama
Soal Nomor 3
Suatu pabrik ban melaporkan bahwa $2$ dari $6$ ban yang dikirimkan ke suatu toko kondisinya cacat. Jika seseorang membeli $3$ ban di toko tersebut, tentukan peluang bahwa:
- terdapat tepat satu ban cacat yang dibelinya;
- tidak ada ban cacat yang dibelinya.
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi hipergeometrik karena pengambilan ban dilakukan tanpa pengembalian (dilakukan secara bersamaan) dan ada dua kemungkinan kejadian yang bersifat takbebas, yaitu (1) kejadian membeli ban cacat dan (2) kejadian membeli ban yang tidak cacat.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya ban cacat yang dibeli.
Jawaban a)
Diketahui $N = 6,$ $n = 3,$ $k = 2$ dan $x = 1.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 1) & = h(1; 6, 3, 2) \\ & = \dfrac{\displaystyle \binom{2}{1} \binom{6-2}{3-1}}{\displaystyle \binom{6}{3}} \\ & = \dfrac35. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa terdapat tepat satu ban cacat yang dibelinya adalah $\boxed{\dfrac35}$
Jawaban b)
Diketahui $N = 6,$ $n = 3,$ $k = 2$ dan $x = 0.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 0) & = h(0; 6, 3, 2) \\ & = \dfrac{\displaystyle \binom{2}{0} \binom{6-2}{3-0}}{\displaystyle \binom{6}{3}} \\ & = \dfrac15. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa terdapat tepat satu ban cacat yang dibelinya adalah $\boxed{\dfrac15}$
Soal Nomor 4
Jika $7$ kartu diambil dari dek yang berisikan $52$ kartu remi, berapa peluang bahwa:
- tepat dua kartu di antaranya merupakan kartu berwajah?
- setidaknya satu di antaranya merupakan kartu ratu?
Jawaban a)
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi hipergeometrik karena pengambilan kartu dilakukan tanpa pengembalian (dilakukan secara bersamaan) dan memuat dua kemungkinan kejadian yang bersifat takbebas, yaitu (1) kejadian mengambil kartu berwajah dan (2) kejadian mengambil kartu bukan berwajah.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya kartu berwajah yang terambil. Diketahui banyaknya seluruh kartu adalah $N = 52,$ banyaknya kartu yang diambil adalah $n = 7,$ banyaknya seluruh kartu berwajah adalah $k = 12,$ dan banyaknya kartu berwajah yang diinginkan adalah $x = 2.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = 2) & = h(2; 52, 7, 12) \\ & = \dfrac{\displaystyle \binom{12}{2} \binom{52-12}{7-2}}{\displaystyle \binom{52}{7}} \\ & \approx 0,\!3246. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa tepat dua kartu di antaranya merupakan kartu berwajah sekitar $\boxed{0,\!3246}$
Jawaban b)
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan distribusi hipergeometrik karena pengambilan kartu dilakukan tanpa pengembalian (dilakukan secara bersamaan) dan memuat dua kemungkinan kejadian yang bersifat takbebas, yaitu (1) kejadian mengambil kartu ratu dan (2) kejadian mengambil kartu bukan ratu.
Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya kartu ratu yang terambil. Diketahui banyaknya seluruh kartu adalah $N = 52,$ banyaknya kartu yang diambil adalah $n = 7,$ dan banyaknya seluruh kartu ratu adalah $k = 4.$ Karena kartu ratu yang diinginkan minimal sebanyak satu, kita akan mencari peluang ketika $y \ge 1.$
$$\begin{aligned} p(Y \ge 1) & = 1-p(Y = 0) \\ & = 1-h(0; 52, 7, 4) \\ & = 1-\dfrac{\displaystyle \binom{4}{0} \binom{52-4}{7-0}}{\displaystyle \binom{52}{7}} \\ & \approx 0,\!4496. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa setidaknya satu kartu di antaranya merupakan kartu ratu sekitar $\boxed{0,\!4496}$