DOWNLOAD SOAL: File PDF
B. $\dfrac24$ D. $1$
Dengan menggunakan sifat eksponen, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{(125)^{\frac13}-(81)^{\frac14}}{(8)^{\frac13} + (25)^{\frac12}} & = \dfrac{(5^3)^{\frac13}-(3^4)^{\frac14}}{(2^3)^{\frac13} + (5^2)^{\frac12}} \\ & = \dfrac{5-3}{2 + 5} = \dfrac27 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{(125)^{\frac13}-(81)^{\frac14}}{(8)^{\frac13} + (25)^{\frac12}} = \dfrac27}$
(Jawaban A)
Rasionalkan penyebutnya.
$\begin{aligned} \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}} & = \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}} \times \dfrac{\sqrt{2}- \sqrt{7}} {\sqrt{2}-\sqrt{7}} \\ & = \dfrac{3\sqrt3(\sqrt{2}-\sqrt{7})} {2- 7} \\ & =-\dfrac35\sqrt3(\sqrt2-\sqrt7) \\ & = \dfrac35\sqrt{21}-\dfrac35\sqrt{6} \end{aligned}$
Jadi, bentuk sederhana dari $\boxed{\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}} = \dfrac35\sqrt{21}-\dfrac35\sqrt{6}}$
(Jawaban D)
Baca: Soal dan Pembahasan – Pangkat, Akar, dan Logaritma
Terapkan sifat logaritma berikut.
$\boxed{\begin{aligned} ^a \log a^n & = n \\ ^a \log b-^a \log c & = a \log \dfrac{b}{c} \\ ^a \log b \cdot ^b \log c & = ^a \log c \end{aligned}}$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} & \left(\dfrac{^5 \log 9 \cdot ^{81} \log 625 + ^5 \log 125}{^6 \log 216-^6 \log 36}\right)^3 \\ & = \left(\dfrac{^5 \log 9 \cdot ^{9^2} \log 5^4 + ^5 \log 5^3}{^6 \log \dfrac{216}{36}}\right)^3 \\ & = \left(\dfrac{\dfrac12 \cdot ^5 \log 9 \cdot ^{9} \log 5^4+ ^5 \log 5^3}{^6 \log 6}\right)^3 \\ & = \left(\dfrac{\dfrac12 \cdot 4 + 3}{1}\right)^3 = (5)^3 = 125 \end{aligned}$
(Jawaban B)
$\begin{aligned} ^{\frac13} \log (x + \sqrt{3}) + ^{\frac13} \log (x-\sqrt{3}) & > 0 \\ ^3 \log (x + \sqrt{3}) + ^3 \log (x-\sqrt{3}) & < ^3 \log 1 \\ \cancel{^3 \log} (x^2- 3) & < \cancel{^3 \log} 1 \\ x^2- 3 & < 1 \\ (x-2)(x+2) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x =-2$ atau $x=2$.
Buat garis bilangan berikut untuk menentukan himpunan penyelesaian.
$HP_1 = \{x~|~-2 < x < 2\}$
Syarat numerus:
$\begin{aligned} x+\sqrt3 & > 0 \Leftrightarrow x > -\sqrt3 \\ x-\sqrt3 & > 0 \Leftrightarrow x > \sqrt3 \end{aligned}$
Hasil irisan dari dua pertidaksamaan itu menunjukkan himpunan penyelesaian untuk syarat numerus, yaitu
$HP_2 = \{x~|~x>\sqrt3\}$
Irisan dari kedua HP tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan garis bilangan seperti gambar.
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan logaritma tersebut adalah
$\boxed{\sqrt{3}<x<2}$
(Jawaban C)
Misalkan akar persamaannya dinotasikan $m$ dan $n$, sehingga $m = n + 3$.
Jumlah akar dan hasil kali akarnya adalah
$\begin{cases} m + n =-a \\ mn = 4 \end{cases}$
Substitusi $m = n+3$ pada persamaan $mn=4$, sehingga didapat
$\begin{aligned} (n+3)(n) & = 4 \\ n^2+3n-4 & = 0 \\ (n+4)(n-1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $n=-4$ atau $n=1$.
Untuk $n =-4$, nilai $m =-4+3=-1$ sehingga $\color{red}{a = m + n =-4 + (-1) =-5}$
Untuk $n = 1$, nilai $m= 1+3=4$ sehingga $\color{red}{a = m+n=4+1=5}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{-5}$ atau $\boxed{5}$
(Jawaban A)
Syarat suatu fungsi kuadrat definit negatif (selalu bernilai negatif berapapun nilai $x$) adalah koefisien $x^2$ bernilai negatif dan diskriminannya juga bernilai negatif.
Syarat koefisien $x^2$ negatif:
$a + 1 < 0 \Leftrightarrow a <-1$
Syarat diskriminan negatif:
$\begin{aligned} (-2a)^2- 4(a+1)(a-2) & < 0 \\ 4a^2- (4a^2-4a-8) & < 0 \\ 4a + 8 & < 0 \\ a & <-2 \end{aligned}$
Irisan dari $a <-1$ dan $a <-2$ dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan garis bilangan seperti gambar.
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $\boxed{a<-2}$
(Jawaban D)
Misalkan $x$ = harga 1 buku dan $y$ = harga 1 pena, sehingga dapat dibentuk model matematika berupa SPLDV sebagai berikut.
$\begin{cases} 5x + 4y & = 33.000 \\ 4x + 5y & = 30.000 \end{cases}$
Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x+4y & = 33.000 \\ 4x+5y & = 30.000 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 5 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 20x+16y & = 132.000 \\ 20x+25y & = 150.000 \end{aligned} \\ & \rule{4.3 cm}{0.6pt}- \\ & \! \begin{aligned} 9y & = 18.000 \\ y & = 2.000 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusikan $y = 2.000$ ke salah satu persamaan, misalnya persamaan $5x+4y=33.000$, sehingga diperoleh
$\begin{aligned}5x+4(2.000)& =33.000 \\ x & = \dfrac{33.000-8.000}{5} = 5.000 \end{aligned}$
Jadi, harga 1 buku adalah Rp5.000,00, sedangkan harga 1 pena adalah Rp2.000,00. Harga 2 buku dan 1 pena menjadi
$\begin{aligned} 2 \times~\text{Rp}5.000,00& + \text{Rp}2.000,00 \\ & = \text{Rp}12.000,00 \end{aligned}$
Karena membayar Rp20.000,00, maka uang kembalian yang diterima sekretaris OSIS tersebut adalah $\boxed{\begin{aligned} & \text{Rp}20.000,00-\text{Rp}12.000,00 \\ & = \text{Rp}8.000,00 \end{aligned}}$
(Jawaban E)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – SPLDV
Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{Model I} & \text{Model II} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Kain Polos} & 1 & 2 & \leq 20 \\ \text{Kain Bergaris} & 3 & 1 & \leq 20 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, dapat disusun sistem pertidaksamaan linear di mana $x$ adalah banyaknya pakaian model I dan $y$ adalah banyaknya pakaian model II.
$\begin{cases} & x + 2y \leq 20 \\ & 3x + y \leq 20 \\ & x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases}$
yang merupakan kendala dari fungsi objektif $P = 150.000x + 100.000y$.
Gambarkan grafik dari setiap pertidaksamaan linear di atas pada koordinat Kartesius seperti berikut.
Daerah penyelesaiannya tampak pada gambar di atas (diwarna), dengan titik pojok $B\left(\dfrac{20}{3}, 0\right), C(4, 8)$, dan $D(0, 10)$. Perhatikan bahwa koordinat titik $C$ dapat ditentukan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
Selanjutnya, ujilah nilai optimum dari masing-masing titik pojok itu terhadap fungsi objektif $P = 150.000x + 100.000y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 150.000x + 100.000y \\ \hline B\left(\dfrac{20}{3}, 0\right) & 1.000.000 \\ \color{green}{C(4, 8)} & \color{green}{1.400.000} \\ D(0, 10) & 1.000.000 \\ \hline \end{array}$
Berdasarkan tabel di atas, penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah Rp1.400.000,00 (Jawaban A)
Dengan menggunakan operasi komposisi fungsi, diperoleh
$\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f(x + 6) \\ & = (x+6)^2- 2(x+6)- 3 \\ & = (x^2 + 12x + 36)- 2x- 12- 3 \\ & = x^2 + 10x + 21 \end{aligned} $
Jadi, fungsi komposisinya dinyatakan oleh $\boxed{(f \circ g)(x)=x^2+10x+21}$
(Jawaban D)
Komposisi fungsi $g$ dalam $f$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} (f \circ g) (x) & = f(g(x)) \\ & = f(6x-2) \\ & = \dfrac{5(6x-2)-3}{(6x-2)+2} \\ & = \dfrac{30x- 13}{6x} \end{aligned}$
Invers fungsi rasional berbentuk $h(x) = \dfrac{ax+b} {cx+d}$ adalah $h^{-1}(x) = \dfrac{-dx + b} {cx- a}$.
Untuk itu, invers dari $(f \circ g) (x) = \dfrac{30x- 13}{6x + 0}$ adalah $(f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{-13}{6x- 30}$ dengan syarat $6x- 30 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 5$
(Jawaban A)
Gunakan skema Horner seperti gambar di bawah.
Pembuat nol pembagi: $3x- 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac13$
Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac19a + \dfrac{16}{9} & = 2 \\ a + 16 & = 18 \\ a & = 2 \end{aligned}$
Untuk itu, $f(x) = 3x^3 + 2x^2- 7x + 4$.
Selanjutnya, gunakan skema Horner lagi dengan pembagi: $(x + 2)$ (berarti pembuat nolnya adalah $x =-2$).
Jadi, diperoleh hasil baginya adalah $\boxed{3x^2- 4x + 1}$ dengan sisa $2$ (Jawaban E)
Karena $(x-2)$ merupakan salah satu faktor persamaan suku banyak $x^3+ax^2+bx+10=0$ , maka substitusi $x = 2$ menghasilkan
$\begin{aligned} 2^3 + a(2)^2 + b(2) + 10 & = 0 \\ 8 + 4a + 2b + 10 & = 0 \\ 2a + b & =-9 \end{aligned}$
Karena $(x + 1)$ juga merupakan faktornya, substitusi $x=-1$ menghasilkan
$\begin{aligned} (-1)^3+a(-1)^2+b(-1)+10 & = 0 \\-1 + a- b + 10 & = 0 \\ a- b & =-9 \end{aligned}$
Diperoleh SPLDV: $\begin{cases} 2a+b=-9 \\ a-b=-9 \end{cases}$
Selesaikan sistem di atas, sehingga didapat $a =-6$ dan $b = 3$.
Jadi, persamaan suku banyaknya berbentuk $x^3-6x^2+3x+10 = 0$. Dengan menggunakan Teorema Vieta, hasil kali ketiga akarnya adalah
$\begin{aligned} x_1x_2x_3 & =-\dfrac{d} {a} \\-1(2)x_3 & =-\dfrac{10}{1} \\ x_3 & = 5 \end{aligned}$
Jadi, kita peroleh $x_1 =-1, x_2 = 2$, dan $x_3 = 5$ (sesuai dengan syarat $x_1<x_2<x_3$). Dengan demikian,
$\boxed{2x_1-x_2+x_3 = 2(-1)- 2 + 5 = 1}$
(Jawaban B)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Suku Banyak (Polinomial)
Soal Nomor 13
Diketahui persamaan matriks
$$3\begin{pmatrix}-4 & 2 \\ 10 & 3 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 &-4 \\-3 &-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & y \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$$
Nilai $2y-3x= \cdots \cdot$
A. $-9$ C. $-4$ E. $11$
B. $-7$ D. $8$
Dengan menerapkan aturan operasi matriks, kita peroleh
$$\begin{aligned} 3\begin{pmatrix}-4 & 2 \\ 10 & 3 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 &-4 \\-3 &-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & y \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}-12 & 6 \\ 30 & 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 &-8 \\-6 &-2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1(2) + x(4) & 1(y) + x(1) \\ 2(2) + 5(4) & 2(y) + 5(1) \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}-10 &-2 \\ 24 & 7 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 4x+2 & x + y \\ 24 & 2y+5 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Dari kesamaan entri di baris 1 kolom 1, diperoleh
$4x + 2 =-10 \Leftrightarrow x = \dfrac{-10-2}{4} =-3$
Dari kesamaan entri di baris 2 kolom 2, diperoleh
$2y + 5 = 7 \Leftrightarrow y = \dfrac{7-5}{2} = 1$
Dengan demikian, nilai dari $\boxed{2y-3x=2(1)-3(-3)=2+9=11}$
(Jawaban E)
Diketahui: $AC = B$.
Berdasarkan teorema determinan, berlaku
$\begin{aligned} |A| \cdot |C| & = |B| \\\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \cdot |C| & =\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \\ (1(3)- 2(1)) \cdot |C| & = 4(3)- 1(1) \\ |C| & = 11 \end{aligned}$
Jadi, determinan matriks $C$ adalah $\boxed{11}$
(Jawaban B)
Diketahui: $\text{U}_2 = 8, \text{U}_4 = 14$, dan $\text{U}_n = 23$
Diketahui rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika adalah $\text{U}_n = a+(n-1)b$. Akan dicari nilai dari $b$ (beda) sebagai berikut.
$b = \dfrac{\text{U}_4- \text{U}_2}{4- 2} = \dfrac{14-8}{2} = 3$
Selanjutnya, akan dicari nilai $a$ (suku pertama) dengan menggunakan persamaan sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{U}_2 & = 8 \\ a + b & = 8 \\ a + 3 & = 8 \\ a & = 5 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \text{U}_n & = a + (n-1)b \\ 23 & = 5 + (n-1) \cdot 3 \\ n & = \dfrac{23-5}{3} + 1 = 7 \end{aligned}$
Jumlah tujuh suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{n} {2}(a + \text{U}_n) \\ \text{S}_7 & = \dfrac{7}{2}(5 + 23) \\ & = 7(14) = 98 \end{aligned}$
Jadi, Jumlah semua suku barisan tersebut adalah $\boxed{98}$
(Jawaban C)
Kasus ini merupakan kasus barisan aritmetika.
Dari posisi botol nomor $10$, peserta bergerak menuju kotak sejauh $9 \times 8 + 10 = 82~\text{m}$
Dimulai dari posisi kotak:
$\text{U}_1$ adalah jarak kotak ke botol nomor $1$.
$\text{U}_2$ adalah jarak kotak ke botol nomor $2$, dan seterusnya, sehingga
$\text{U}_1 = 10, \text{U}_2 = 18, \text{U}_3 = 26$,
sampai $\text{U}_{10} = 10 + 8 \times 9 = 82$.
Dengan demikian, jumlah jarak tempuh bolak balik (sehingga dikali dua) yang dilakukan peserta adalah
$\begin{aligned} 2 \text{S}_n & = 2 \times \dfrac{n}{2}(\text{U}_1 + \text{U}_n) \\ 2 \text{S}_{10} & = 10(10 + 82) = 10 \times 92 = 920 \end{aligned}$
Tetapi perhatikan bahwa ketika peserta memegang bendera terakhir dan bergegas menuju botol nomor $10$, ia tidak perlu lagi kembali ke kotak karena ia sudah menyelesaikan permainan. Dengan demikian, total jarak tempuhnya adalah $\boxed{s = 82 + 920- (8 \times 9 + 10) = 920~\text{m}}$
(Jawaban C)
Diketahui: $\text{U}_1= a = 10; \text{U}_6 = 320$
Akan dicari rasionya terlebih dahulu.
$\begin{aligned} \text{U}_n & = ar^{n-1} \\ 320 & = 10r^{6-1} \\ r^5 & = 32 \\ r & = 2 \end{aligned}$
Panjang tali sebelum dipotong adalah jumlah panjang tali pada potongan pertama sampai potongan keenam, yakni
$\begin{aligned} \text{S}_n & = \dfrac{a(r^n-1)} {r-1} \\ \text{S}_6 & = \dfrac{10(2^6- 1)} {2-1} \\ & = 10(63) = 630~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang tali sebelum dipotong (panjang tali mula-mula) adalah $\boxed{630~\text{cm}}$
(Jawaban D)
Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri $\cos 2x + \sin x=0$ untuk $0^{\circ}<x<360^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{60^{\circ},120^{\circ},150^{\circ}\}$
B. $\{60^{\circ},150^{\circ},300^{\circ}\}$
C. $\{90^{\circ},210^{\circ},300^{\circ}\}$
D. $\{90^{\circ},210^{\circ},330^{\circ}\}$
E. $\{120^{\circ},250^{\circ},330^{\circ}\}$
Gunakan identitas trigonometri bahwa
$\cos 2x = 1-2 \sin^2 x$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \cos 2x + \sin x & = 0 \\ (1-2 \sin^2 x) + \sin x & = 0 \\ 2 \sin^2 x-\sin x-1 & = 0 \\ (2 \sin x + 1)(\sin x-1) & =0 \end{aligned}$
Diperoleh $\sin x =-\dfrac12$ atau $\sin x = 1$.
Penyelesaian untuk $\sin x =-\dfrac12$ adalah $\{210^{\circ}, 330^{\circ}\}$.
Penyelesaian untuk $\sin x = 1$ adalah $\{90^{\circ}\}$.
Jadi, HP dari persamaan trigonometri itu adalah $\boxed{\{90^{\circ}, 210^{\circ}, 330^{\circ}\}}$
(Jawaban D)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Trigonometri
Soal Nomor 19
Persamaan grafik fungsi trigonometri pada gambar berikut adalah $\cdots \cdot$
A. $y=-\cos (2x+60^{\circ})$
B. $y=-\sin(2x+60^{\circ})$
C. $y=\cos (2x+60^{\circ})$
D. $y=\sin (2x-60^{\circ})$
E. $y=\cos (2x-60^{\circ})$
Karena grafik fungsinya dimulai dekat dengan amplitudonya, maka fungsi trigonometrinya diasumsikan sebagai fungsi cosinus dengan persamaan umumnya berbentuk $y = A \cos B(x \pm c)$.
Dari gambar, diketahui amplitudonya adalah $A = \pm 1$ serta pergeseran ke kanan sejauh $c = 15^{\circ}$ (tandanya negatif jika digeser ke kanan), sehingga diperoleh persamaan $y =- \cos B(x- 15^{\circ})$
Perhatikan bahwa $A =-1$ karena grafik bernilai $-1$ (negatif) ketika digeser kembali ke kiri sebesar $15^{\circ}$.
Satu gelombang (gunung & lembah) membutuhkan sudut sebesar $(195- 15)^{\circ} = 180^{\circ}$, sehingga periodenya dinyatakan oleh $B = \dfrac{360^{\circ}}{180^{\circ}} = 2$.
Dengan demikian, persamaan grafiknya adalah
$\begin{aligned} y & =-\cos 2(x-15)^{\circ} \\ & =-\cos (2x-30)^{\circ} \\ & =-\sin (90^{\circ}-(2x- 30^{\circ})) \\ & =-\sin (120^{\circ}-2x) \\ & =-\sin (180^{\circ}-(120^{\circ}-2x)) \\ & =-\sin (2x- 60^{\circ}) \end{aligned}$
(Jawaban B)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Fungsi Trigonometri dan Grafiknya
Soal Nomor 20
Nilai dari $\dfrac{\sin 100^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\cos 250^{\circ} + \cos 190^{\circ}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$ D. $\sqrt2$
B. $-\dfrac13\sqrt{3}$ E. $\sqrt3$
C. $\dfrac13\sqrt{3}$
Gunakan rumus relasi sudut, serta jumlah dan selisih fungsi trigonometri berikut.
$\boxed{\begin{aligned} \sin x + \sin y & = 2 \sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y} {2} \\ \cos x + \cos y & = 2 \cos \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y} {2} \\ \cos (180^{\circ} + x) & =-\cos x \\ \cos (90^{\circ}- x) & = \sin x \end{aligned}}$
Dengan demikian, kita dapatkan
$\begin{aligned} &\dfrac{\sin 100^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\cos 250^{\circ} + \cos 190^{\circ}} \\ & = \dfrac{2 \sin \frac{100^{\circ}+20^{\circ}}{2} \cos \frac{100^{\circ}-20^{\circ}} {2}} {2 \cos \frac{250^{\circ}+190^{\circ}}{2} \cos \frac{250^{\circ}-190^{\circ}} {2}} \\ & = \dfrac{\cancel{2}\sin 60^{\circ} \cos 40^{\circ}} {\cancel{2} \cos 220^{\circ} \cos 30^{\circ}} \\ & = \dfrac{\sin 60^{\circ} \cos 40^{\circ}} {\cos (180+40)^{\circ} \cos (90-60)^{\circ}} \\ & = \dfrac{\bcancel{\sin 60^{\circ}} \cancel{\cos 40^{\circ}}} {-\cancel{\cos 40^{\circ}} \bcancel{\sin 60^{\circ}}} =-1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{\sin 100^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\cos 250^{\circ} + \cos 190^{\circ}} =-1}$
(Jawaban A)
Diketahui kecepatan rata-rata kapal adalah 50 mil/jam.
Waktu tempuh dari A ke B adalah 4 jam (dari pukul 07.00 sampai 11.00), sehingga jarak $AB = 4 \times 50 = 200~\text{mil}$
Waktu tempuh dari B ke C adalah 8 jam (dari pukul 12.00 sampai 20.00), sehingga jarak $BC = 8 \times 50 = 400~\text{mil}$
Dari gambar, diketahui bahwa $\angle B = 60^{\circ}$.
Dengan menggunakan Aturan Cosinus, diperoleh
$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B \\ AC^2 & = 200^2 + 400^2-2 \cdot 200 \cdot 400 \cos 60^{\circ} \\ AC^2 & = 40.000 + 160.000-80.000 \\ AC & = \sqrt{120.000} = \sqrt{40.000 \times 3} \\ AC & = 200\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A adalah $\boxed{200\sqrt{3}~\text{mil}}$
(Jawaban B)
Diketahui limas segi empat beraturan $T.ABCD$ dengan $AB=BC=5\sqrt{2}$ cm dan $TA=13$ cm. Jarak titik $A$ ke garis $TC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $4\dfrac{8}{13}$ cm D. $10$ cm
B. $4\dfrac{12}{13}$ cm E. $12$ cm
C. $9\dfrac{3}{13}$ cm
Diketahui:
$\begin{aligned} AB & = BC = 5\sqrt{2}~\text{cm} \\ TA & = TC = 13~\text{cm} \end{aligned}$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan $O$ adalah titik tengah diagonal $AC$ dan $P$ adalah titik pada $TC$ sehingga $AP$ merupakan garis tinggi segitiga $ACT$. Dalam hal ini, $AP$ merupakan jarak $A$ ke $TC$.
Tinjau segitiga $ABC$ (siku-siku di $B$). Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras,
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{(5\sqrt2)^2+(5\sqrt2)^2} \\ & = \sqrt{50+50} = 10~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, $AO = 5~\text{cm}$.
Selanjutnya, tinjau segitiga $AOT$ (siku-siku di $O$).
Panjang $OT$ juga dapat ditentukan dengan rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} OT & = \sqrt{AT^2-AO^2} = \sqrt{13^2-5^2} \\ & = \sqrt{144} = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Terakhir, perhatikan segitiga $ATC$.
Dengan menggunakan kesamaan luas segitiga, diperoleh
$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \cdot AC \cdot OT & = \cancel{\dfrac12} \cdot TC \cdot AP \\ 10 \cdot 12 & = 13 \cdot AP \\ AP & = \dfrac{120}{13} = 9 \dfrac{3}{13}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, jarak titik $A$ ke garis $TC$ adalah $\boxed{9 \dfrac{3}{13}~\text{cm}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 23
Diketahui panjang rusuk kubus $ABCD.EFGH$ adalah $a$ satuan. Tangen sudut antara garis $AH$ dan bidang $BDHF$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac13$ C. $\dfrac13\sqrt{3}$ E. $\sqrt{3}$
B. $\dfrac12\sqrt{3}$ D. $1$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Titik $O$ merupakan proyeksi titik $A$ pada bidang $BDHF$ (terletak di tengah garis $AC$). Sudut antara garis $AH$ dan bidang $BDHF$ sama dengan sudut antara garis $AH$ dan garis $OH$. Perhatikan $\triangle AOH$ (siku-siku di $O$)
$AH$ merupakan diagonal bidang, sehingga $AH = a\sqrt2$.
Panjang $AO$ merupakan setengah dari panjang diagonal bidang $AC$, sehingga $AO = \dfrac12a\sqrt{2}$.
Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} OH & = \sqrt{AH^2-AO^2} \\ & = \sqrt{(a\sqrt2)^2- \left(\dfrac12a\sqrt2\right)^2} \\ & = \sqrt{2a^2-\dfrac12a^2} \\ & = \sqrt{\dfrac32a^2} = a\dfrac{\sqrt{3}} {\sqrt{2}} = \dfrac12a\sqrt{6} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \tan (AH, OH) & = \dfrac{AO} {OH} \\ & = \dfrac{\cancel{\frac12a}\sqrt{2}} {\cancel{\frac12a} \sqrt6} \\ & = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \dfrac13\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, tangen sudut antara garis $AH$ dan bidang $BDHF$ adalah $\boxed{\dfrac13\sqrt{3}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 24
Persamaan bayangan kurva $y=3x^2+2x-1$ oleh pencerminan terhadap sumbu-$X$ dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-$Y$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y=-3x^2-2x-1$
B. $y=-3x^2+2x+1$
C. $y=-3x^2+2x-1$
D. $y=3x^2+2x+1$
E. $y=3x^2-2x+1$
Misalkan titik $(x, y)$ dicerminkan terhadap sumbu-$X$ sehingga diperoleh
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{M_x} \begin{pmatrix} x \\-y \end{pmatrix}$
Titik $(x,-y)$ kemudian dicerminkan terhadap sumbu-$Y$ sehingga diperoleh
$\begin{pmatrix} x \\-y \end{pmatrix} \xrightarrow{M_y} \begin{pmatrix}-x \\-y \end{pmatrix}$
Diperoleh $x^{\prime \prime} =-x$ dan $y^{\prime \prime} =-y$.
Substitusikan ke $y=3x^2+2x-1$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned}-y^{\prime \prime} & = 3(-x^{\prime \prime})^2 + 2(-x^{\prime \prime})-1 \\ y^{\prime \prime} & =-3(x^{\prime \prime})^2 + 2x^{\prime \prime} + 1 \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan kurvanya, yakni $\boxed{y=-3x^2+2x+1}$
(Jawaban B)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Transformasi Geometri
Soal Nomor 25
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-2x+6y-10=0$ yang sejajar dengan garis $2x-y+4=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2x-y=14$ D. $2x-y=-5$
B. $2x-y=10$ E. $2x-y=-6$
C. $2x-y=5$
Ubah persamaan lingkarannya ke dalam bentuk umum.
$\begin{aligned} x^2+y^2-2x+6y-10 & = 0 \\ (x- 1)^2- 1 + (y + 3)^2- 9- 10 & = 0 \\ (x-1)^2 + (y+3)^2 & = 20 \end{aligned}$
Lingkaran tersebut berpusat di $(1,-3)$ dan berjari-jari $\sqrt{20} = 2\sqrt5$.
Gradien garis $2x-y+4=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} =-\dfrac{2}{-1} = 2$.
Karena sejajar, maka garis singgung lingkaran juga memiliki gradien $m=2$.
Persamaan garis singgung bergradien $2$ pada lingkaran dengan pusat di $(1,-3)$ dan jari-jarinya $2\sqrt5$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} y- y_p & = m(x- x_p) \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y- (-3) & = 2(x- 1) \pm 2\sqrt{5}\sqrt{1+2^2} \\ y + 3 & = 2x- 2 \pm 10 \\ 2x- y & = 5 \pm 10 \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh dua persamaan garis singgung lingkaran, yaitu
$\begin{cases} 2x- y = 15 \\ 2x- y =-5 \end{cases}$
(Jawaban D)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Lingkaran
Soal Nomor 26
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-(2x-5)\right) = \cdots \cdot$
A. $-6$ C. $-1$ E. $6$
B. $-4$ D. $4$
Gunakan teorema limit tak hingga berikut.
$$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{ax^2+bx+c}- \sqrt{ax^2+px+q}) = \dfrac{b- p} {2\sqrt{a}}}$$Untuk itu, kita dapat tuliskan
$$\begin{aligned} \displaystyle & \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-(2x-5)\right) \\ & =\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{(2x-5)^2}\right) \\ & = \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-\sqrt{4x^2-20x+25}\right) \\ & = \dfrac{4- (-20)} {2\sqrt{4}} = \dfrac{24}{4} = 6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{4x^2+4x-3}-(2x-5)\right) = 6}$
(Jawaban E)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Limit Tak Hingga
Soal Nomor 27
Nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 4x}{2x \sin 4x} = \cdots \cdot$
A. $1$ C. $0$ E. $-1$
B. $\dfrac12$ D. $-\dfrac12$
Gunakan identitas trigonometri berikut.
$\boxed{\cos ax = 1- 2 \sin^2 \dfrac{ax} {2}}$
Dengan demikian, dapat kita tuliskan
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1- \cos 4x}{2x \sin 4x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1- (1- 2 \sin^2 2x)} {2x \sin 4x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin^2 2x} {2x \sin 4x} \\ & = 2 \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 2x} {2x} \cdot \dfrac{\sin 2x} {\sin 4x}\right) \\ & = 2 \cdot \dfrac22 \cdot \dfrac24 = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1- \cos 4x}{2x \sin 4x} = 1}$
(Jawaban A)
Baca : Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Aljabar
Baca : Soal dan Pembahasan – Limit Fungsi Trigonometri
Soal Nomor 28
Turunan pertama dari fungsi $f(x)=\cos^5(\pi-2x)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $f'(x) = 5 \cos^3 (\pi- 2x) \sin (2\pi- 4x)$
B. $f'(x) = 5 \cos^3 (\pi- 2x) \sin (\pi- 2x)$
C. $f'(x) = 5 \cos^3 (\pi- 2x) \sin (2\pi- 4x)$
D. $f'(x) =-5 \cos^3 (\pi- 2x) \sin (2\pi- 4x)$
E. $f'(x) =-5 \cos^3 (\pi- 2x) \sin (\pi- 2x)$
Diketahui: $f(x)=\cos^5(\pi-2x)$.
Dengan menggunakan Aturan Rantai dalam Turunan, diperoleh
$$\begin{aligned} f'(x) & = 5 \cos^4(\pi-2x) (-2)(-\sin(\pi- 2x)) \\ & =5 \cos^3(\pi-2x)(2 \sin (\pi-2x) \cos (\pi-2x)) \\ & =5 \cos^3(\pi-2x) \sin 2(\pi- 2x) \\ & =5 \cos^3(\pi-2x) \sin (2\pi- 4x) \end{aligned}$$Catatan: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$
(Jawaban A)
Soal Nomor 29
Persamaan garis yang menyinggung kurva $y=x^3-4x^2-3x-5$ pada titik dengan absis $-1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y=-8x+15$ D. $y=8x+1$
B. $y=-8x+1$ E. $y=8x+15$
C. $y=-8x-1$
Koordinat titik singgungnya dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $x =-1$ ke persamaan kurva.
$\begin{aligned} y & = x^3-4x^2-3x-5 \\ & = (-1)^3-4(-1)^2-3(-1)-5 \\ & =-1- 4 + 3-5 =-7 \end{aligned}$
Titik singgungnya di $(-1,-7)$
Selanjutnya, gunakan turunan pertama untuk menentukan gradien kurva di titik $x=-1$.
$\begin{aligned} y’ & = 3x^2- 8x- 3 \\ \text{Substitusi}&~x=-1 \\ & = 3(-1)^2- 8(-1)- 3 \\ & = 3 + 8- 3 = 8 \end{aligned}$
Ini berarti, gradien garis singgungnya adalah $y’ = m = 8$.
Persamaan garis yang bergradien $m = 8$ dan melalui titik $(-1,-7)$ adalah
$\begin{aligned} y & = m(x- x_1) + y_1 \\ y & = 8(x- (-1))- 7 \\ y & = 8x + 1 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung kurvanya adalah $\boxed{y=8x+1}$
(Jawaban D)
Panjang kawat yang dililitkan akan menjadi keliling persegi panjang itu. Karena bagian tembok tidak terlilit, maka dapat ditulis
$\begin{aligned} k = p + 2l & = 800 \\ p & = 800- 2l \end{aligned}$
Nyatakan fungsi luas persegi panjang dalam variabel $l$, yaitu
$\begin{aligned} L & = p \times l \\ & = (800- 2l) \times l \\ & = 800l- 2l^2 \end{aligned}$
Luas akan maksimum saat turunannya terhadap $l$ bernilai 0.
$\begin{aligned} L’ & = 800- 4l \\ 0 & = 800- 4l \\ l &= \dfrac{-800}{4} = 200 \end{aligned}$
Untuk $l = 200~\text{m}$, diperoleh $p = 800-2(200) = 400~\text{m}$.
Dengan demikian, luas maksimumnya adalah
$\boxed{L_{\text{maks}} = 400 \times 200 = 80.000~\text{m}^2}$
(Jawaban A)
Hasil $\displaystyle \int 2x(5-x)^3~\text{d}x= \cdots \cdot$
A. $-\frac{1}{10}(4x+5)(5-x)^4+C$
B. $-\frac{1}{10}(6x+5) (5-x)^4+C$
C. $-\frac{1}{10}(x+5) (5-x)^4+C$
D. $\frac{1}{10}(4x+5) (5-x)^4+C$
E. $\frac12(5+x)^4+C$
Cara 1: Integral Parsial
Misalkan $u = 2x$ dan $\text{d}v = (5-x)^3~\text{d}x$, sehingga diperoleh $\text{d}u = 2~\text{d}x$ dan $v =-\dfrac14(5-x)^4$.
Berdasarkan rumus integral parsial: $\displaystyle \int u~\text{d}v = uv- \int v~\text{d}u$, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int 2x(5-x)^3~\text{d}x \\ & = 2x\left(-\dfrac14(5-x)^4\right)-\int-\dfrac14(5-x)^4(2~\text{d}x) \\ & =-\dfrac12x(5-x)^4 + \dfrac12 \int (5-x)^4~\text{d}x \\ & =-\dfrac12(5-x)^4 + \dfrac12 \cdot \left(-\dfrac15(5-x)^5\right) + C \\ & =-\dfrac{1}{10}(5-x)^4(5x + (5-x)) + C \\ & =-\dfrac{1}{10}(4x + 5)(5-x)^4 + C \end{aligned}$$Cara 2: Aturan Tanzalin
Dari skema di atas, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int 2x(5-x)^3~\text{d}x \\ & = 2x\left(-\dfrac14(5-x)^4\right) + (-2)\left(\dfrac{1}{20}(5-x)^5\right) + C\\ & =-\dfrac12x(5-x)^4-\dfrac{1}{10}(5-x)^5 + C\\ & = (5-x)^4\left(-\dfrac12x- \dfrac{1}{10}(5-x)\right) + C \\ & = (5-x)^4\left(-\dfrac12x- \dfrac12 + \dfrac{1}{10}x\right) + C \\ & = (5-x)^4\left(-\dfrac{4}{10}x-\dfrac{5}{10}\right) + C\\ & = (5-x)^4 \cdot \left(-\dfrac{1}{10}\right)(4x + 5) + C \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $$\boxed{\displaystyle \int 2x(5-x)^3~\text{d}x = -\dfrac{1}{10} (5-x)^4 \cdot (4x + 5) + C}$$(Jawaban A)
Soal Nomor 32
Nilai dari $\displaystyle \int_{-1}^1 (2x^2-4x + 3)~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $\dfrac{22}{3}$ C. $\dfrac{16}{3} $E. $\dfrac43$
B. $6$ D. $4$
Dengan menggunakan sifat-sifat integral dasar, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int_{-1}^1 (2x^2-4x + 3)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac23x^3-2x^2 + 3x\right]_{-1}^1 \\ & = \left(\dfrac23(1)^3-2(1)^2 + 3(1)\right)-\left(\dfrac23(-1)^3-2(-1)^2 + 3(-1)\right) \\ & = \left(\dfrac23- 2 + 3\right)-\left(-\dfrac23-2-3\right) \\ & = \dfrac43 + 1-(-5) \\ & = 6 \dfrac43 = \dfrac{22}{3} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int_{-1}^1 (2x^2-4x + 3)~\text{d}x = \dfrac{22}{3}}$
(Jawaban A)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Integral dengan Metode Substitusi Aljabar dan Trigonometri
Soal Nomor 33
Hasil dari $\displaystyle \int \sin^5 2x \cos 2x~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $-\dfrac15 \sin^6 2x + C$
B. $-\dfrac{1}{10} \sin^6 2x + C$
C. $-\dfrac{1}{12} \sin^6 2x + C$
D. $\dfrac{1}{12} \sin^6 2x + C$
E. $\dfrac{1}{10} \sin^6 2x + C$
Dengan menggunakan metode substitusi, misalkan $u = \sin 2x$, sehingga $\text{d}u = 2 \cos 2x~\text{d}x$, sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \int \sin^5 2x \cos 2x~\text{d}x \\ & = \dfrac12 \int \sin^5 2x (2 \cos 2x)~\text{d}x \\ & = \dfrac12 \int u^5~\text{d}u \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac16 \cdot u^6 + C \\ & = \dfrac{1}{12} \sin^6 2x + C \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\boxed{\displaystyle \int \sin^5 2x \cos 2x~\text{d}x = \dfrac{1}{12} \sin^6 2x + C}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 34
Hasil dari $\displaystyle \int \dfrac{x^2-2}{\sqrt{6x-x^3}}~\text{d}x = \cdots \cdot$
A. $-\frac{3}{2}\sqrt{6x-x^3}+C$
B. $-\frac{2}{3}\sqrt{6x-x^3}+C$
C. $-\frac{1}{6}\sqrt{6x-x^3}+C$
D. $\frac{1}{6}\sqrt{6x-x^3}+C$
E. $\frac{2}{3}\sqrt{6x-x^3}+C$
Dengan menggunakan metode substitusi, misalkan $u = 6x-x^3$, sehingga $\text{d}u = (6-3x^2)~\text{d}x$, sehingga dapat diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \int \dfrac{x^2-2}{\sqrt{6x-x^3}}~\text{d}x & = \dfrac13 \int \dfrac{3(x^2-2)}{\sqrt{6x-x^3}}~\text{d}x \\ & = \dfrac13 \int \dfrac{3x^2-6}{\sqrt{6x-x^3}}~\text{d}x \\ & = \dfrac13 \int \dfrac{1}{\sqrt{u}}~\text{d}u \\ & = \dfrac13 \int u^{-\frac12}~\text{d}u \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac{1}{\frac12} u^{\frac12} + C \\ & = \dfrac23\sqrt{6x-x^3}+C \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \int \dfrac{x^2-2}{\sqrt{6x-x^3}}~\text{d}x = \dfrac23\sqrt{6x-x^3}+C}$
(Jawaban E)
Sketsakan grafik dari setiap kurva yang ada.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh keempat kurva tersebut. Daerah di atas sumbu-$X$ (warna abu-abu) dapat ditentukan luasnya dengan integral berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int_{-2}^{-1} (-x^2-2x)~\text{d}x \\ & = \left[-\dfrac13x^3-x^2\right]_{-2}^{-1} \\ & = \left(-\dfrac13(-1)^3- (-1)^2\right)- \left(-\dfrac13(-2)^3-(-2)^2\right) \\ & = \dfrac13-1- \left(\dfrac83- 4\right) \\ & =-\dfrac73 + 3 = \dfrac23 \end{aligned}$$Daerah di bawah sumbu-$X$ (warna coklat muda) dapat ditentukan luasnya dengan integral berikut.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \int_{-2}^{-1} (x^2+6x)~\text{d}x \\ & = \left[\dfrac13x^3 + 3x^2\right]_{-2}^{-1} \\ & = \left(\dfrac13(-1)^3 + 3(-1)^2\right)-\left(\dfrac13(-2)^3 + 3(-2)^2\right) \\ & =-\dfrac13 + 3 + \dfrac83-12 \\ & = \dfrac73- 9 =-\dfrac{20}{3} \end{aligned}$$Karena bernilai negatif, maka nilainya perlu dimutlakkan menjadi $\dfrac{20}{3}$. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva adalah jumlah luas kedua daerah tersebut, yaitu
$L = \dfrac{20}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{22}{3} = 7\dfrac13$
Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva itu adalah $\boxed{7\dfrac13~\text{satuan luas}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 36
Di sebuah toko tersedia $1$ lusin lampu, $2$ di antaranya rusak. Ada $3$ orang yang akan membeli masing-masing $1$ lampu. Peluang pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{66}$ C. $\dfrac{1}{22}$ E. $\dfrac{2}{11}$
B. $\dfrac{1}{33}$ D. $\dfrac16$
Diketahui: ada $1$ lusin ($12$ buah) lampu dengan keadaan: $10$ baik, $2$ rusak.
Ada tiga kemungkinan pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak, yaitu kejadian di mana pembeli pertama, kedua, dan ketiga berturut-turut mendapatkan lampu dengan keadaan:
1) baik, baik, rusak
2) baik, rusak, rusak
3) rusak, baik, rusak
(tidak ada kemungkinan ketiganya mendapatkan lampu rusak, karena hanya ada $2$ lampu yang rusak).
Kemungkinan 1:
Peluang kejadian pembeli pertama dan kedua mendapatkan lampu baik, sedangkan pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak adalah
$P(A) = \dfrac{10}{12} \times \dfrac{9}{11} \times \dfrac{2}{10} = \dfrac{3}{22}$
Kemungkinan 2:
Peluang kejadian pembeli pertama mendapatkan lampu baik, sedangkan pembeli kedua dan ketiga mendapatkan lampu rusak adalah
$P(B) = \dfrac{10}{12} \times \dfrac{2}{11} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{66}$
Kemungkinan 3:
Peluang kejadian pembeli kedua mendapatkan lampu baik, sedangkan pembeli pertama dan ketiga mendapatkan lampu rusak adalah
$P(C) = \dfrac{2}{12} \times \dfrac{10}{11} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{66}$
Dengan demikian, peluang kejadian pembeli ketiga mendapatkan lampu rusak adalah
$\boxed{\begin{aligned} P(A \cup B \cup C) & = \dfrac{3}{22} + \dfrac{1}{66} + \dfrac{1}{66} \\ & = \dfrac{11}{66} = \dfrac16 \end{aligned}}$
(Jawaban D)
Modus dari data pada histogram di atas adalah $\cdots \cdot$
Dari histogram di atas, tampak bahwa kelas modus adalah kelas dengan interval $70-79$, karena frekuensinya tertinggi.
Diketahui:
$\begin{aligned} L_0 & = 69,5 \\ c & = 79-70+1 = 10 \\ d_1 & = 10-7=3 \\ d_2 & = 10-5=5 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \text{Mo} & = L_0 + c \cdot \dfrac{d_1}{d_1+d_2} \\ & = 69,5 + 10 \cdot \dfrac{3}{3+5} \\ & = 69,5 + \dfrac{15}{4} \\ & = 69,5 + 3,75 = 73,25 \end{aligned}$
Jadi, modus dari data pada histogram itu adalah $\boxed{73,25}$ (Jawaban C)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Statistika
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{Frekuensi} \\ \hline 31-40 & 3 \\ \hline 41-50 & 5 \\ \hline 51-60 & 10 \\ \hline 61-70 & 11 \\ \hline 71-80 & 8 \\ \hline 81-90 & 3 \\ \hline \end{array}$
Kuartil bawah dari data pada tabel tersebut adalah $\cdots \cdot$
Lengkapi tabel di atas dengan kolom frekuensi kumulatif $(F_k)$.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai} & \text{Frekuensi} & F_k \\ \hline 31-40 & 3 & 3\\ \hline 41-50 & 5 & 8\\ \hline 51-60 & 10 & 18 \\ \hline 61-70 & 11 & 29 \\ \hline 71-80 & 8 & 37\\ \hline 81-90 & 3 & 40 \\ \hline \end{array}$
Kelas kuartil bawah berada pada data urutan ke: $\dfrac{1}{4} \times 40 = 10$, yaitu pada kelas dengan interval $51-60$.
Diketahui:
$\begin{aligned} L_0 & = 51- 0,5 = 50,5 \\ c & = 60-51+1 = 10 \\ n & = 40 \\ \sum F_{k_3} & = 8 \\ f_Q & = 10 \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} Q_1 & = L_0 + c \left(\dfrac{\frac{1}{4} \cdot n- F_{k_3}}{f_Q}\right) \\ & = 50,5 + \cancel{10} \left(\dfrac{\frac{1}{4} \cdot 40- 8}{\cancel{10}}\right) \\ & = 50,5 + 2 = 52,5 \end{aligned}$
Jadi, nilai kuartil bawah data pada tabel di atas adalah $\boxed{52,5}$
(Jawaban C)
Sebuah hotel akan membuat papan nomor kamar. Pemilik hotel berkeinginan menggunakan angka $0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9$, dengan nomor yang terbentuk terdiri dari $3$ angka berbeda dan bernilai lebih dari $500$. Banyak papan nomor kamar yang dapat dibuat adalah $\cdots \cdot$
A. $210$ D. $320$
B. $224$ E. $360$
C. $280$
Bilangan $3$-angka berbeda yang dapat dibentuk dari $9$ angka, yaitu $0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8$, dan $9$ dan nilainya harus lebih dari $500$ dapat ditentukan dengan menggunakan skema kotak seperti gambar.
Untuk mengisi kotak ratusan, hanya ada $5$ angka yang boleh dipilih, yaitu $5, 6, 7, 8$, dan $9$.
Untuk mengisi kotak puluhan, tersisa $8$ angka yang boleh dipilih (karena satu angkanya lagi sudah dipilih untuk mengisi kotak ratusan).
Untuk mengisi kotak satuan, tersisa $7$ angka yang boleh dipilih (karena dua angkanya sudah dipilih untuk mengisi kotak ratusan dan puluhan).
Dengan demikian, banyak bilangan yang dimaksud adalah $\boxed{5 \times 8 \times 7 = 280}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 40
Dalam suatu ujian terdapat $10$ soal, dari nomor $1$ sampai nomor $10$. Peserta ujian wajib mengerjakan soal nomor $1, 3$, dan $5$ serta hanya mengerjakan $8$ dari $10$ soal yang tersedia. Banyak cara peserta ujian memilih soal yang dikerjakan adalah $\cdots \cdot$
A. $21$ C. $45$ E. $56$
B. $28$ D. $48$
Diketahui:
Banyak soal tersisa $= 10- 3 = 7$ soal.
Banyak soal yang dapat dipilih $= 8- 3 = 5$ soal.
Karena pemilihan soal tidak memperhatikan urutan pengerjaan, maka kasus ini tergolong kasus kombinasi.
Kombinasi $5$ objek dari $7$ objek dinyatakan oleh
$\begin{aligned} C_5^7 & = \dfrac{7!} {5! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{7 \times \cancelto{3}{6} \times \bcancel{5!}} {\bcancel{5!} \times \cancel{2}} \\ & = 7 \times 3= 21 \end{aligned}$
Jadi, banyak cara peserta ujian memilih soal yang dikerjakan adalah $\boxed{21}$
(Jawaban A)