Soal dan Pembahasan – Koset dan Subgrup Normal

Diketahui $H=\{\cdots ,-6,-3,0,3,6,\cdots \}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}H2& =\{\cdots ,(-6+2),(-3+2),(0+2),(3+2),(6+2),\cdots \}\\ & =\{\cdots ,-4,-1,2,5,8,\cdots \}.\end{array}$$Selanjutnya,
$$\begin{array}{rl}H3& =\{\cdots ,(-6+3),(-3+3),(0+3),(3+3),(6+3),\cdots \}\\ & =\{\cdots ,-3,0,3,6,9,\cdots \}=H.\end{array}$$Terakhir,
$$\begin{array}{rl}& -2H\\ & =\{\cdots ,(-2+(-6)),(-2+(-3)),(-2+0),(-2+3),(-2+6),\cdots \}\\ & =\{\cdots ,-8,-5,-2,1,4\}.\end{array}$$

Koset-koset kanan dari $H$ dalam $G$ diberikan oleh
$$\begin{array}{rl}H1& =\{1\times 1,-1\times 1\}=\{1,-1\}=H\\ H(-1)& =\{1\times (-1),-1\times (-1)\}=\{-1,1\}=H\\ Hi& =\{1\times i,-1\times i\}=\{i,-i\}\\ H(-i)& =\{1\times (-i),-1\times (-i)\}=\{-i,i\}.\end{array}$$Sementara itu, koset-koset kiri dari $H$ dalam $G$ diberikan oleh
$$\begin{array}{rl}1H& =\{1\times 1,1\times (-1)\}=\{-1,1\}=H\\ -1H& =\{-1\times 1,-1\times (-1)\}=\{-1,1\}=H\\ iH& =\{i\times 1,i\times (-1)\}=\{i,-i\}\\ -iH& =\{-i\times 1,-i\times (-i)\}=\{-i,i\}.\end{array}$$

Perhatikan bahwa $\mathbb{Z}=\{\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}$ sehingga
$$4\mathbb{Z}=\{\cdots ,-8,-4,0,4,8,\cdots \}.$$Unsur $0,1,2,3\in \mathbb{Z}$ dapat ditulis
$$\begin{array}{rl}4\mathbb{Z}+0& =\{\cdots ,-8,-4,0,4,8,\cdots \}\\ 4\mathbb{Z}+1& =\{\cdots ,-7,-3,1,5,9,\cdots \}\\ 4\mathbb{Z}+2& =\{\cdots ,-6,-2,2,6,10,\cdots \}\\ 4\mathbb{Z}+3& =\{\cdots ,-5,-1,3,7,11,\cdots \}\end{array}$$dan akan berulang secara periodik. Jadi, ada $4$ koset kanan berlainan dari $4\mathbb{Z}$ dalam $\mathbb{Z}.$

Karena $a$ adalah generator dari $G$ dan banyak anggota $G$ adalah 10, dapat ditulis
$G=\{a,a^2,a^3,\cdots ,a^9,a^{10}=e\}.$ Sementara itu, $H=\{a^2,a^4,a^6,a^8,a^{10}=e\}.$
Dengan menggunakan teorema bahwa $Hx=H$ jika dan hanya jika $x\in H,$ diperoleh $H{a}^2=H{a}^4=H{a}^6=H{a}^8=H{a}^{10}.$ Selanjutnya,
$$\begin{array}{rl}Ha& =\{a^3,a^5,a^7,a^9,a^1\}\\ H{a}^3& =\{a^5,a^7,a^9,a^1,a^3\}\\ H{a}^5& =\{a^7,a^9,a^1,a^3,a^5\}\\ H{a}^7& =\{a^9,a^1,a^3,a^5,a^7\}\\ H{a}^9& =\{a^1,a^3,a^5,a^7,a^9\}.\end{array}$$Jadi, diperoleh $Ha=H{a}^3=H{a}^5=H{a}^7=H{a}^9.$
Jadi, ada $2$ koset kanan berlainan dalam $G$. Artinya, indeksnya adalah $2$ atau ditulis $\boxed{{\displaystyle I_G(H)={\displaystyle \frac{n(G)}{n(H)}}={\displaystyle \frac{10}{5}}=2}}.$

$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ adalah grup kuosien/grup faktor, yang berarti adalah himpunan semua koset kanan $2\mathbb{Z}$ dalam $\mathbb{Z}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}\mathbb{Z}& =\{\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}\\ 2\mathbb{Z}& =\{\cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots \}\end{array}$$sehingga koset kanannya adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}\cdots & \\ 2\mathbb{Z}+0& =2\mathbb{Z}\\ 2\mathbb{Z}+1& =\{\cdots ,-3,-1,1,3,5,\cdots \}\\ 2\mathbb{Z}+2& =2\mathbb{Z}\\ 2\mathbb{Z}+3& =\{\cdots ,-1,1,3,5,7,\cdots \}\\ \cdots & \end{array}$$Kita temukan bahwa hanya ada $2$ koset kanan berbeda, yaitu himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil. Jadi, banyaknya unsur dari $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ adalah $2.$
(Jawaban B)

Koset kanan $H$ dalam $G$ adalah
$$\{\begin{array}{l}H1=\{1,2,4\}{\times }_{7}1=\{1,2,4\}\\ H2=\{1,2,4\}{\times }_{7}2=\{2,4,1\}\\ H3=\{1,2,4\}{\times }_{7}3=\{3,6,5\}\\ H4=\{1,2,4\}{\times }_{7}4=\{4,1,2\}\\ H5=\{1,2,4\}{\times }_{7}5=\{5,3,6\}\\ H6=\{1,2,4\}{\times }_{7}6=\{6,5,3\}.\end{array}$$Sementara itu, koset kirinya adalah
$$\{\begin{array}{l}1H=1{\times }_7\{1,2,4\}=\{1,2,4\}\\ 2H=2{\times }_7\{1,2,4\}=\{2,4,1\}\\ 3H=3{\times }_7\{1,2,4\}=\{3,6,5\}\\ 4H=4{\times }_7\{1,2,4\}=\{4,1,2\}\\ 5H=5{\times }_7\{1,2,4\}=\{5,3,6\}\\ 6H=6{\times }_7\{1,2,4\}=\{6,5,3\}.\end{array}$$Dua uraian di atas menunjukkan bahwa $gH=Hg$ untuk setiap $g\in G.$ Dengan kata lain, koset kanan dan koset kiri $H$ dalam $G$ sama. Oleh karena itu, berdasarkan definisi, $H$ disebut sebagai subgrup normal dari $G.$
Catatan:
Berikut disajikan perhitungan lengkap (sebagai sampel) untuk penentuan koset di atas.
$$\begin{array}{rl}\{1,2,4\}{\times }_{7}2& =\{1{\times }_{7}2,2{\times }_{7}2,4{\times }_{7}2\}\\ & =\{2,4,1\}\end{array}$$Sebagai informasi, simbol ${\times }_7$ menyatakan operasi perkalian bilangan bulat modulo $7$. Sebagai contoh, $2{\times }_{7}4=(2\times 4)\text{mod}7=1.$

Untuk menunjukkan bahwa $H$ subgrup normal dari ${\mathbb{Z}}_6,$ harus dibuktikan bahwa koset kanan dan koset kiri $H$ dalam ${\mathbb{Z}}_6$ sama. 
Perhatikan bahwa elemen ${\mathbb{Z}}_6$ adalah $0,1,2,3,4$, dan $5.$ 
Koset kanan $H$ dalam ${\mathbb{Z}}_6$ adalah
$$\{\begin{array}{l}H0=\{0,2,4\}{+}_{6}0=\{0,2,4\}\\ H1=\{0,2,4\}{+}_{6}1=\{1,3,5\}\\ H2=\{0,2,4\}{+}_{6}2=\{2,4,0\}\\ H3=\{0,2,4\}{+}_{6}3=\{3,5,1\}\\ H4=\{0,2,4\}{+}_{6}4=\{4,0,2\}\\ H5=\{0,2,4\}{+}_{6}5=\{5,1,3\}.\end{array}$$Sementara itu, koset kirinya adalah
$$\{\begin{array}{l}0H=0{+}_6\{0,2,4\}=\{0,2,4\}\\ 1H=1{+}_6\{0,2,4\}=\{1,3,5\}\\ 2H=2{+}_6\{0,2,4\}=\{2,4,0\}\\ 3H=3{+}_6\{0,2,4\}=\{3,5,1\}\\ 4H=4{+}_6\{0,2,4\}=\{4,0,2\}\\ 5H=5{+}_6\{0,2,4\}=\{5,1,3\}\end{array}$$Dari dua uraian di atas, tampak bahwa berlaku $gH=Hg$ untuk setiap $g\in {\mathbb{Z}}_6$. Ini menunjukkan bahwa koset kanan dan koset kiri $H$ dalam ${\mathbb{Z}}_6$ adalah sama sehingga terbukti bahwa $H$ merupakan subgrup normal dari ${\mathbb{Z}}_6.$

Ambil sembarang $t\in T_B$ dengan $t=\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b& c\end{array}\right],a,b,c\in \mathbb{R},ac\ne 0.$
Selanjutnya, ambil sembarang $n\in N$ dengan $n=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ x& 1\end{array}\right],x\in \mathbb{R}.$
Akan ditunjukkan bahwa $tn{t}^{-1}\in N$ dengan $t^{-1}={\displaystyle \frac{1}{ac}}\left[\begin{array}{cc}c& 0\\ -b& a\end{array}\right]$ adalah invers dari matriks $t.$ 
Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{rl}tn{t}^{-1}& =\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b& c\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ x& 1\end{array}\right]{\displaystyle \frac{1}{ac}}\left[\begin{array}{cc}c& 0\\ -b& a\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b+cx& c\end{array}\right]{\displaystyle \frac{1}{ac}}\left[\begin{array}{cc}c& 0\\ -b& a\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ c^{2}x& 1\end{array}\right].\end{array}$$Perhatikan juga bahwa $tn{t}^{-1}$ memenuhi bentuk dan sifat keanggotaan himpunan $N$ (pada baris $2$ kolom $1$: entri $c^{2}x$ merupakan bilangan real karena $x$ dan $c$ keduanya bilangan real). Artinya, $tn{t}^{-1}\in N.$
Dengan demikian, $N$ terbukti merupakan subgrup normal dari $T_B.$