Soal dan Pembahasan – Koset dan Subgrup Normal

Diketahui $H = \{\cdots, -6, -3, 0, 3, 6, \cdots\}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} H2 & = \{ \cdots, (-6 + 2), (-3 + 2), (0 + 2), (3 + 2), (6 + 2), \cdots\} \\ & = \{ \cdots, -4, -1, 2, 5, 8, \cdots\}. \end{aligned}$$Selanjutnya,
$$\begin{aligned} H3 & = \{ \cdots, (-6 + 3), (-3 + 3), (0 + 3), (3 + 3), (6 + 3), \cdots\} \\ & = \{ \cdots, -3, 0, 3, 6, 9, \cdots\} = H. \end{aligned}$$Terakhir,
$$\begin{aligned} & -2H \\ & = \{\cdots, (-2 + (-6)), (-2 + (-3)), (-2 + 0), (-2 + 3), (-2 + 6), \cdots \} \\ & = \{\cdots, -8, -5, -2, 1, 4 \}. \end{aligned}$$

Koset-koset kanan dari $H$ dalam $G$ diberikan oleh
$$\begin{aligned} H1 & = \{1 \times 1, -1 \times 1\} = \{1, -1\} = H \\ H(-1) & = \{1 \times (-1), -1 \times (-1)\} = \{-1, 1\} = H \\ Hi & = \{1 \times i, -1 \times i\} = \{i, -i\} \\H(-i) & = \{1 \times (-i), -1 \times (-i)\} = \{-i, i\}. \end{aligned}$$Sementara itu, koset-koset kiri dari $H$ dalam $G$ diberikan oleh
$$\begin{aligned} 1H & = \{1 \times 1, 1 \times (-1)\} = \{-1, 1\} = H \\-1H & = \{-1 \times 1, -1 \times (-1)\} = \{-1, 1\} = H \\ iH & = \{i \times 1, i \times (-1)\} = \{i, -i\} \\ -iH & = \{-i \times 1, -i \times (-i)\} = \{-i, i\}. \end{aligned}$$

Perhatikan bahwa $\mathbb{Z} = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\}$ sehingga
$$4\mathbb{Z} = \{\cdots, -8, -4, 0, 4, 8, \cdots\}.$$Unsur $0, 1, 2, 3 \in \mathbb{Z}$ dapat ditulis
$$\begin{aligned} 4\mathbb{Z}+ 0 & = \{\cdots, -8, -4, 0, 4, 8, \cdots\} \\ 4\mathbb{Z}+1 & = \{\cdots, -7, -3, 1, 5, 9,\cdots\} \\ 4\mathbb{Z}+2 & = \{\cdots, -6, -2, 2, 6, 10, \cdots\} \\ 4\mathbb{Z}+3 & = \{\cdots, -5, -1, 3, 7, 11, \cdots\} \end{aligned}$$dan akan berulang secara periodik. Jadi, ada $4$ koset kanan berlainan dari $4\mathbb{Z}$ dalam $\mathbb{Z}.$

Karena $a$ adalah generator dari $G$ dan banyak anggota $G$ adalah 10, dapat ditulis
$G = \{a, a^2, a^3, \cdots, a^9, a^{10} = e\}.$ Sementara itu, $H = \{a^2, a^4, a^6, a^8, a^{10} = e\}.$
Dengan menggunakan teorema bahwa $Hx = H$ jika dan hanya jika $x \in H,$ diperoleh $Ha^2 = Ha^4 = Ha^6 = Ha^8 = Ha^{10}.$ Selanjutnya,
$$\begin{aligned} Ha & = \{a^3, a^5, a^7, a^9, a^1\} \\ Ha^3 & = \{a^5, a^7, a^9, a^1, a^3\} \\Ha^5 & = \{a^7, a^9, a^1, a^3, a^5\} \\ Ha^7 & = \{a^9, a^1, a^3, a^5, a^7\} \\ Ha^9 & = \{a^1, a^3, a^5, a^7, a^9\}. \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $Ha = Ha^3 = Ha^5 = Ha^7 = Ha^9.$
Jadi, ada $2$ koset kanan berlainan dalam $G$. Artinya, indeksnya adalah $2$ atau ditulis $\boxed{I_G(H) = \dfrac{n(G)}{n(H)} = \dfrac{10}{5} = 2}.$

$\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ adalah grup kuosien/grup faktor, yang berarti adalah himpunan semua koset kanan $2\mathbb{Z}$ dalam $\mathbb{Z}.$ Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \mathbb{Z} & = \{\cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots\} \\ 2\mathbb{Z} & = \{\cdots, -4, -2, 0, 2, 4, \cdots\} \end{aligned}$$sehingga koset kanannya adalah sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \cdots & \\ 2\mathbb{Z} + 0 & = 2\mathbb{Z} \\ 2\mathbb{Z} + 1 & = \{\cdots, -3, -1, 1, 3, 5, \cdots\} \\ 2\mathbb{Z} + 2 & = 2\mathbb{Z} \\ 2\mathbb{Z} + 3 & = \{\cdots, -1, 1, 3, 5, 7, \cdots\} \\\cdots & \end{aligned}$$Kita temukan bahwa hanya ada $2$ koset kanan berbeda, yaitu himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil. Jadi, banyaknya unsur dari $\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ adalah $2.$
(Jawaban B)

Koset kanan $H$ dalam $G$ adalah
$$\begin{cases} H1 = \{1, 2, 4\} \times_7 1 = \{1,2,4\} \\ H2 = \{1,2,4\} \times_7 2 = \{2,4,1\} \\ H3 = \{1,2,4\} \times_7 3 = \{3,6,5\} \\ H4 = \{1,2,4\} \times_7 4 = \{4,1,2\} \\ H5 = \{1,2,4\} \times_7 5 = \{5,3,6\} \\ H6 = \{1,2,4\} \times_7 6 = \{6,5,3\}. \end{cases}$$Sementara itu, koset kirinya adalah
$$\begin{cases} 1H = 1 \times_7 \{1, 2, 4\} = \{1,2,4\} \\ 2H = 2 \times_7 \{1,2,4\} = \{2,4,1\} \\ 3H = 3 \times_7 \{1,2,4\} = \{3,6,5\} \\ 4H = 4 \times_7 \{1,2,4\} = \{4,1,2\} \\ 5H = 5 \times_7 \{1,2,4\} = \{5,3,6\} \\ 6H = 6 \times_7 \{1,2,4\} = \{6,5,3\}. \end{cases}$$Dua uraian di atas menunjukkan bahwa $gH = Hg$ untuk setiap $g \in G.$ Dengan kata lain, koset kanan dan koset kiri $H$ dalam $G$ sama. Oleh karena itu, berdasarkan definisi, $H$ disebut sebagai subgrup normal dari $G.$
Catatan:
Berikut disajikan perhitungan lengkap (sebagai sampel) untuk penentuan koset di atas.
$$\begin{aligned} \{1,2,4\} \times_7 2 & = \{1 \times_7 2, 2 \times_7 2, 4 \times_7 2\} \\ & = \{2,4,1\} \end{aligned}$$Sebagai informasi, simbol $\times_7$ menyatakan operasi perkalian bilangan bulat modulo $7$. Sebagai contoh, $2 \times_7 4 = (2 \times 4)~\text{mod}~7 = 1.$

Untuk menunjukkan bahwa $H$ subgrup normal dari $\mathbb{Z}_6,$ harus dibuktikan bahwa koset kanan dan koset kiri $H$ dalam $\mathbb{Z}_6$ sama. 
Perhatikan bahwa elemen $\mathbb{Z}_6$ adalah $0,1,2,3,4$, dan $5.$ 
Koset kanan $H$ dalam $\mathbb{Z}_6$ adalah
$$\begin{cases} H0 = \{0,2,4\} +_6 0 = \{0,2,4\} \\ H1 = \{0,2,4\} +_6 1= \{1,3,5\} \\ H2 = \{0,2,4\} +_6 2 = \{2,4,0\} \\ H3 = \{0,2,4\} +_6 3 = \{3,5,1\} \\ H4 = \{0,2,4\} +_6 4 = \{4,0,2\} \\ H5 = \{0,2,4\} +_6 5 = \{5,1,3\}. \end{cases}$$Sementara itu, koset kirinya adalah
$$\begin{cases} 0H = 0 +_6 \{0,2,4\} = \{0,2,4\} \\ 1H = 1 +_6 \{0,2,4\} = \{1,3,5\} \\ 2H = 2 +_6 \{0,2,4\} = \{2,4,0\} \\ 3H = 3 +_6 \{0,2,4\} = \{3,5,1\} \\ 4H = 4 +_6 \{0,2,4\} = \{4,0,2\} \\ 5H = 5 +_6 \{0,2,4\} = \{5,1,3\} \end{cases}$$Dari dua uraian di atas, tampak bahwa berlaku $gH = Hg$ untuk setiap $g \in \mathbb{Z}_6$. Ini menunjukkan bahwa koset kanan dan koset kiri $H$ dalam $\mathbb{Z}_6$ adalah sama sehingga terbukti bahwa $H$ merupakan subgrup normal dari $\mathbb{Z}_6.$

Ambil sembarang $t \in T_B$ dengan $t = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b & c \end{bmatrix}, a, b, c \in \mathbb{R}, ac \neq 0.$
Selanjutnya, ambil sembarang $n \in N$ dengan $n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{bmatrix}, x \in \mathbb{R}.$
Akan ditunjukkan bahwa $tnt^{-1} \in N$ dengan $t^{-1} = \dfrac{1}{ac} \begin{bmatrix} c & 0 \\ -b & a \end{bmatrix}$ adalah invers dari matriks $t.$ 
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} tnt^{-1} & = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ x & 1 \end{bmatrix} \dfrac{1}{ac} \begin{bmatrix} c & 0 \\ -b & a \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} a & 0 \\ b + cx & c \end{bmatrix} \dfrac{1}{ac} \begin{bmatrix} c & 0 \\ -b & a \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ c^2x & 1 \end{bmatrix}. \end{aligned}$$Perhatikan juga bahwa $tnt^{-1}$ memenuhi bentuk dan sifat keanggotaan himpunan $N$ (pada baris $2$ kolom $1$: entri $c^2x$ merupakan bilangan real karena $x$ dan $c$ keduanya bilangan real). Artinya, $tnt^{-1} \in N.$
Dengan demikian, $N$ terbukti merupakan subgrup normal dari $T_B.$