Aturan Bayes (Bayes’ rule), atau kadang disebut teorema Bayes (Bayes’ theorem), merupakan salah satu teorema penting yang memberi fondasi kuat pada teori peluang. Sesuai namanya, teorema tersebut diberi nama dari penemunya, yaitu Thomas Bayes (1701–1761). Beliau merupakan statistikawan berkebangsaan Inggris.
Uniknya, Bayes tidak pernah memublikasikan karya besarnya ini sampai ia wafat. Namun, Richard Price (1723–1791), matematikawan Inggris, melakukan penyuntingan terhadap catatan peninggalan Bayes dan memublikasikannya secara resmi pada tahun 1763 dengan menamainya sebagai aturan Bayes sebagai tanda penghormatan terakhir kepada Bayes.
Aturan Bayes dibangun melalui konsep partisi dalam himpunan. Perhatikan diagram Venn berikut.
Diagram Venn di atas menunjukkan bahwa kejadian $A$ dapat ditulis sebagai gabungan dari dua kejadian yang saling eksklusif, yaitu $E \cap A$ dan $E^c \cap A.$ Dengan kata lain,
$$A = (E \cap A) \cup (E^c \cap A).$$Jika fakta ini dikaitkan dengan konsep peluang, diperoleh
$$\begin{aligned} p(A) & = P ((E \cap A) \cup (E^c \cap A)) \\ & = p(E \cap A) + p(E^c \cap A) \\ & = p(E) \cdot p(A \mid E) + p(E^c) \cdot p(A \mid E^c). \end{aligned}$$Dengan ide awal ini, kita dapat menggeneralisasi kasus dengan mempartisi ruang sampel menjadi $k$ himpunan bagian yang selanjutnya diutarakan dalam teorema peluang total (theorem of total probability) atau juga sering dikenal sebagai aturan eliminasi (elimination rule).
Teorema Peluang Total
Jika kejadian $B_1, B_2, \cdots, B_k$ membentuk suatu partisi dari ruang sampel $S$ sehingga $p(B_i) \ne 0$ untuk $i \in \{1, 2, \cdots, k\},$ maka untuk setiap kejadian $A$ di $S,$ berlaku
$$p(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^k p(B_i \cap A) = \sum_{i=1}^k p(B_i) \cdot p(A \mid B_i).$$
Dengan menggunakan teorema peluang total, aturan Bayes kemudian dapat dinyatakan dengan berlandaskan pada definisi peluang bersyarat, yaitu kasus ketika kita ingin mencari nilai dari $p(B_i \mid A).$
Aturan Bayes
Jika kejadian $B_1, B_2, \cdots, B_k$ membentuk suatu partisi dari ruang sampel $S$ sehingga $p(B_i) \ne 0$ untuk $i \in \{1, 2, \cdots, k\},$ maka untuk setiap kejadian $A$ di $S$ dengan $p(A) \neq 0,$ berlaku
$$p(B_r \mid A) = \dfrac{p(B_r \cap A)}{\displaystyle \sum_{i=1}^k p(B_i \cap A)} = \dfrac{p(B_r) \cdot p(A \mid B_r)}{\displaystyle \sum_{i=1}^k p(B_i) \cdot p(A \mid B_i)}$$untuk $r \in \{1, 2, \cdots, k\}.$
Dengan menggunakan definisi peluang bersyarat, diketahui bahwa
$$p(B_r \mid A) = \dfrac{p(B_r \cap A)}{p(A)},$$dan dengan menggunakan teorema peluang total terkait $p(A),$ diperoleh
$$p(B_r \mid A) = \dfrac{p(B_r \cap A)}{\displaystyle \sum_{i=1}^k p(B_i \cap A)} = \dfrac{p(B_r) \cdot p(A \mid B_r)}{\displaystyle \sum_{i=1}^k p(B_i) \cdot p(A \mid B_i)}.$$ $\blacksquare$
Catatan: Pembulatan yang ditandai dengan penggunaan simbol $\approx$ dilakukan sampai $4$ (empat) angka di belakang koma, kecuali untuk kasus tertentu yang telah diberi instruksi khusus.
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Dua sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Discrete Mathematics and Its Applications” yang ditulis oleh Kenneth H. Rosen dan buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole, dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Aturan Bayes} & \text{Bayes’ Rule} \\ 2. & \text{Peluang Bersyarat} & \text{Conditional Probability} \\ 3. & \text{Teorema Peluang Total} & \text{Theorem of Total Probability} \\ 4. & \text{Saling Eksklusif} & \text{Mutually Exclusive} \\ 5. & \text{Keluaran} & \text{Outcome} \\ \hline \end{array}$$
Di bawah ini telah disediakan sejumlah soal dan pembahasan tentang aturan Bayes. Sebagian soal dibuat oleh penulis sendiri dan sebagian lainnya diadaptasi dari literatur.
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Peluang Bersyarat
Quote by James Cameron
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Suatu pabrik menggunakan tiga jenis mesin, $B_1, B_2,$ dan $B_3,$ untuk membuat produk dengan porsi berturut-turut sebesar $30\%, 45\%,$ dan $25\%.$ Pengalaman masa lalu menunjukkan bahwa $2\%, 3\%,$ dan $2\%$ produk yang diproses oleh masing-masing mesin secara berurutan merupakan produk yang cacat. Misalkan suatu produk jadi dipilih secara acak. Berapa peluang bahwa produk terpilih tersebut cacat?
Misalkan $A$ merupakan kejadian terpilihnya produk cacat. Misalkan juga $B_1, B_2,$ dan $B_3$ berturut-turut merupakan kejadian suatu produk diproses oleh mesin $B_1, B_2,$ dan $B_3.$ Dari sini, diketahui informasi berikut.
$$\begin{aligned} p(B_1) & = 30\% = 0,\!30 \\ p(B_2) & = 45\% = 0,\!45 \\ p(B_3) & = 25\% = 0,\!25 \\ p(A \mid B_1) & = 2\% = 0,\!02 \\ p(A \mid B_2) & = 3\% = 0,\!03 \\ p(A \mid B_3) & = 2\% = 0,\!02 \end{aligned}$$Dengan menggunakan teorema peluang total, akan dicari nilai dari $p(A),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(A) & = \displaystyle \sum_{i=1}^3 p(B_i) \cdot p(A \mid B_i) \\ & = (0,\!30)(0,\!02) + (0,\!45)(0,\!03) + (0,\!25)(0,\!02) \\ & = 0,\!006 + 0,\!0135 + 0,\!005 \\ & = 0,\!0245. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa produk terpilih tersebut cacat adalah $\boxed{0,\!0245}$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang (Tingkat SMP/Sederajat)
Soal Nomor 2
Diketahui perbandingan populasi laki-laki dan perempuan di dunia adalah $101 : 100.$ Di sisi lain, $80\%$ wanita menggunakan baju merah muda, sedangkan $25\%$ pria menggunakan baju merah muda. Pada suatu saat, seorang pria berbicara dengan orang berbaju merah muda. Berapa peluang bahwa orang tersebut merupakan seorang perempuan?
Misalkan $L$ dan $P$ berturut-turut merupakan kejadian bahwa orang yang diajak bicara oleh si pria merupakan laki-laki dan perempuan. Misalkan juga $M$ merupakan kejadian bahwa orang tersebut menggunakan baju merah muda. Dari sini, diketahui informasi berikut.
$$\begin{aligned} p(L) & = \dfrac{101}{101+100} =\dfrac{101}{201} \\ p(P) & = \dfrac{100}{101+100} =\dfrac{100}{201} \\ p(M \mid P) & = 80\% = \dfrac45 \\ p(M \mid L) & = 25\% = \dfrac14. \end{aligned}$$Dengan menggunakan aturan Bayes, akan dicari nilai dari $p(P \mid M),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(P \mid M) & = \dfrac{p(M \mid P) \cdot p(P)}{p(M)} \\ & = \dfrac{p(M \mid P) \cdot p(P)}{p(M \mid P) \cdot p(P) + p(M \mid L) \cdot p(L)} \\ & = \dfrac{\dfrac45 \cdot \dfrac{100}{201}}{\dfrac45 \cdot \dfrac{100}{201} + \dfrac14 \cdot \dfrac{101}{201}} \\ & = \dfrac{320}{421}. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa orang berbaju merah muda yang diajak bicara oleh si pria merupakan seorang perempuan adalah $\boxed{\dfrac{320}{421}}$
Soal Nomor 3
Sebanyak $0,\!1\%$ dari populasi kumbang di seluruh dunia merupakan subspesies langka yang umumnya memiliki pola tertentu di punggungnya. Secara spesifik, $98\%$ dari subspesies kumbang tersebut memiliki pola itu. Namun, entomolog juga menemukan fakta bahwa beberapa kumbang biasa juga memiliki pola tersebut. Secara keseluruhan, $5\%$ dari semua kumbang memiliki pola yang dimaksud.
Jika seorang entomolog menemukan seekor kumbang dengan pola tersebut di punggungnya, berapa peluang bahwa kumbang tersebut merupakan subspesies langka?
Misalkan $L$ dan $P$ berturut-turut merupakan kejadian ditemukannya seekor kumbang yang merupakan subspesies langka dan seekor kumbang yang memiliki pola tersebut di punggungnya. Dari sini, diketahui informasi berikut.
$$\begin{aligned} p(L) & = 0,\!1\% = 0,\!001 \\ p(P \mid L) & = 98\% = 0,\!98 \\ p(P) & = 5\% = 0,\!05 \end{aligned}$$Dengan menggunakan aturan Bayes, akan dicari nilai dari $p(L \mid P),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(L \mid P) & = \dfrac{p(P \mid L) \cdot p(L)}{p(P)} \\ & = \dfrac{0,\!98 \cdot 0,\!001}{0,\!05} \\ & = 0,\!0196. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa kumbang tersebut merupakan subspesies langka adalah $\boxed{0,\!0196}$
Dengan kata lain, jika kita menemukan seekor kumbang yang memiliki pola tersebut di punggungnya, hanya $1,\!96\%$ kemungkinan bahwa kumbang tersebut merupakan subspesies langka.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang dan Kombinatorika (Tingkat SMA)
Soal Nomor 4
Misalkan terdapat empat inspektur, sebutlah $A, B, C,$ dan $D,$ yang ditugaskan untuk memasang label pada setiap paket barang milik konsumen. $A$ yang memasang label sebanyak $20\%$ dari keseluruhan paket kurang teliti sehingga $1$ dari $200$ paket tidak dilabeli. $B$ memasang label sebanyak $60\%,$ tetapi $1$ dari $100$ paket tidak dilabeli. $C$ memasang label sebanyak $15\%,$ tetapi $1$ dari $50$ paket tidak dilabeli. $D$ memasang label sebanyak $5\%,$ tetapi $1$ dari $200$ paket tidak dilabeli. Jika seorang pelanggan mengeluh karena paketnya tidak dilabeli, berapa peluang bahwa paket tersebut seharusnya dilabeli oleh $A?$
Misalkan $X$ merupakan kejadian suatu paket tidak dilabeli. Misalkan juga $Y_1, Y_2, Y_3,$ dan $Y_4$ berturut-turut merupakan kejadian $A, B, C,$ dan $D$ melabeli paket tertentu.
Dari sini, diketahui informasi berikut.
$$\begin{aligned} p(Y_1) & = 20\% = 0,\!20 \\ p(Y_2) & = 60\% = 0,\!60 \\ p(Y_3) & = 15\% = 0,\!15 \\ p(Y_4) & = 5\% = 0,\!05 \\ p(X \mid Y_1) & = \dfrac{1}{200} = 0,\!005 \\ p(X \mid Y_2) & = \dfrac{1}{100} = 0,\!010 \\ p(X \mid Y_3) & = \dfrac{1}{50} = 0,\!020 \\ p(X \mid Y_4) & = \dfrac{1}{200} = 0,\!005 \\ \end{aligned}$$Dengan menggunakan aturan Bayes, akan dicari nilai dari $p(Y_1 \mid X),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(Y_1 \mid X) & = \dfrac{p(X \mid Y_1) \cdot p(Y_1)}{p(X \mid Y_1) \cdot p(Y_1) + p(X \mid Y_2) \cdot p(Y_2) + p(X \mid Y_3) \cdot p(Y_3) + p(X \mid Y_4) \cdot p(Y_4)} \\ & = \dfrac{0,\!005 \cdot 0,\!20}{0,\!005 \cdot 0,\!20 + 0,\!010 \cdot 0,\!60 + 0,\!020 \cdot 0,\!15 + 0,\!005 \cdot 0,\!05} \\ & \approx 0,\!0976. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa paket tersebut seharusnya dilabeli oleh $A$ sekitar $\boxed{0,\!0976}$
Soal Nomor 5
Departemen kepolisian di suatu kawasan berencana untuk membatasi kecepatan berkendara sepeda motor dengan menggunakan jebakan radar yang dipasang di empat lokasi berbeda. Jebakan radar pada masing-masing lokasi $L_1, L_2, L_3,$ dan $L_4$ akan beroperasi $40\%,$ $30\%,$ $20\%,$ dan $30\%$ saat itu. Jika seseorang yang mengebut memiliki peluang berturut-turut $0,\!2,$ $0,\!1,$ $0,\!5,$ dan $0,\!2$ untuk melalui empat lokasi tersebut, tentukan
- peluang bahwa ia akan mendapatkan surat tilang karena mengebut;
- peluang bahwa ia akan melewati jebakan radar yang berlokasi di $L_2$ setelah diketahui bahwa ia ternyata mendapatkan surat tilang.
Misalkan $S_1, S_2, S_3,$ dan $S_4$ berturut-turut menyatakan kejadian seseorang yang mengebut dengan melalui empat lokasi tersebut. Misalkan juga $R$ menyatakan kejadian jebakan radar beroperasi sehingga si pengebut mendapatkan surat tilang. Diketahui
$$\begin{aligned} p(S_1) & = 0,\!2 \\ p(S_2) & = 0,\!1 \\ p(S_3) & = 0,\!5 \\ p(S_4) & = 0,\!2 \\ p(R \mid S_1) & = 40\% = 0,\!4 \\ p(R \mid S_2) & = 30\% = 0,\!3 \\ p(R \mid S_3) & = 20\% = 0,\!2 \\ p(R \mid S_4) & = 30\% = 0,\!3. \end{aligned}$$Jawaban a)
Dengan menggunakan teorema peluang total, akan dicari nilai dari $p(R),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(R) & = \displaystyle \sum_{i=1}^4 p(R \mid S_i) \cdot p(S_i) \\ & = (0,\!4)(0,\!2) + (0,\!3)(0,\!1) + (0,\!2)(0,\!5) + (0,\!3)(0,\!2) \\ & = 0,\!08 + 0,\!03 + 0,\!10 + 0,\!06 \\ & = 0,\!27. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa ia akan mendapatkan surat tilang karena mengebut adalah $\boxed{0,\!27}$
Jawaban b)
Dengan menggunakan aturan Bayes, akan dicari nilai dari $p(S_2 \mid R),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(S_2 \mid R) & = \dfrac{p(S_2 \cap R)}{p(R)} \\ & = \dfrac{p(R \mid S_2) \cdot p(S_2)}{p(R)} \\ & = \dfrac{0,\!3 \cdot 0,\!1}{0,\!27} \\ & \approx 0,\!1111. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa ia akan melewati jebakan radar yang berlokasi di $L_2$ setelah diketahui bahwa ia ternyata mendapatkan surat tilang sekitar $\boxed{0,\!1111}$
Soal Nomor 6
Suatu toko menjual dua jenis cat, yaitu cat air dan cat minyak. Berdasarkan data penjualan jangka panjang, diketahui bahwa peluang seorang pelanggan membeli cat air adalah $0,\!65.$ Sebanyak $60\%$ di antara mereka juga membeli penggulung (roller). Di sisi lain, yang membeli penggulung hanya $30\%$ dari pelanggan yang membeli cat minyak. Jika seorang pelanggan dipilih secara acak dan diketahui bahwa pelanggan tersebut membeli penggulung dan sekaleng cat, berapa peluang bahwa cat yang dibeli merupakan cat air?
Misalkan $A, A^c,$ dan $B$ berturut-turut merupakan kejadian seorang pelanggan membeli cat air, cat minyak, dan penggulung. Dari sini, diketahui informasi berikut.
$$\begin{aligned} p(A) & = 0,\!65 \\ p(A^c) & = 1-p(A) = 0,\!35 \\ p(B \mid A) & = 60\% = 0,\!60 \\ p(B \mid A^c) & = 30\% = 0,\!30\end{aligned}$$Dengan menggunakan aturan Bayes, akan dicari nilai dari $p(A \mid B),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(A \mid B) & = \dfrac{p(B \mid A) \cdot p(A)}{p(B \mid A) \cdot p(A) + p(B \mid A^c) \cdot p(A^c)} \\ & = \dfrac{0,\!60 \cdot 0,\!65}{0,\!60 \cdot 0,\!65 + 0,\!30 \cdot 0,\!35} \\ & \approx 0,\!7879. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa cat yang dibeli oleh pelanggan tersebut merupakan cat air sekitar $\boxed{0,\!7879}$
Soal Nomor 7
Suatu serum kejujuran (truth serum) memiliki karakteristik bahwa sebesar $90\%$ kemungkinan tersangka yang bersalah memang akan dipersalahkan, sedangkan $10\%$ sisanya malah dinyatakan tidak bersalah. Di sisi lain, tersangka yang tidak bersalah ditetapkan bersalah sebesar $1\%$ kemungkinan. Jika seorang tersangka dipilih dalam sejumlah tersangka yang $5\%$ di antaranya melakukan tindak kejahatan dan tersangka yang dipilih tersebut ditetapkan bersalah oleh serum kejujuran, berapa peluang bahwa ia tidak bersalah?
Misalkan $B$ dan $S$ berturut-turut merupakan kejadian seorang tersangka tidak bersalah dan bersalah dalam suatu tindak kejahatan. Misalkan juga $b$ dan $s$ berturut-turut merupakan kejadian seorang tersangka ditetapkan tidak bersalah dan bersalah oleh serum kejujuran dalam suatu tindak kejahatan.
Dari sini, diketahui informasi berikut.
$$\begin{aligned} p(B) & = 95\% = 0,\!95 \\ p(s \mid B) & = 1\% = 0,\!01 \\ p(S) & = 5\% = 0,\!05 \\ p(s \mid S) & = 90\% = 0,\!90 \end{aligned}$$Dengan menggunakan aturan Bayes, akan dicari nilai dari $p(B \mid s),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(B \mid s) & = \dfrac{p(s \mid B) \cdot p(B)}{p(s \mid B) \cdot p(B) + p(s \mid S) \cdot p(S)} \\ & = \dfrac{0,\!01 \cdot 0,\!95}{0,\!01 \cdot 0,\!95 + 0,\!90 \cdot 0,\!05} \\ & \approx 0,\!1743. \end{aligned}$$Jadi, ada kemungkinan sebesar $17,\!43\%$ bahwa tersangka yang ditetapkan bersalah oleh serum kejujuran sebenarnya tidak bersalah.
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Peluang Binomial
Soal Nomor 8
Suatu penelitian menyimpulkan bahwa diperkirakan $0,\!8\%$ dari banyak penduduk negara $X$ terjangkit virus HIV. Tes diagnostik kemudian dilakukan sebagai upaya untuk mendeteksi apakah seseorang terjangkit virus tersebut atau tidak.
Berdasarkan data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu, sebanyak $99,\!99\%$ orang yang terjangkit HIV akan memperoleh hasil positif dari tes tersebut. Selain itu, sebanyak $1,\!6\%$ dari jumlah penduduk yang dites memperoleh hasil positif.
- Jika seseorang dipilih secara acak dan diketahui bahwa ia dinyatakan positif oleh tes diagnostik tersebut, tentukan peluang ia benar-benar terjangkit virus HIV.
- Jika seseorang dipilih secara acak dan diketahui bahwa ia dinyatakan negatif oleh tes diagnostik tersebut, tentukan peluang ia sebenarnya terjangkit virus HIV. Nyatakan dalam notasi ilmiah berbentuk $a \times 10^b$ dengan $a$ merupakan bilangan dengan dua angka di belakang koma.
Misalkan $H$ dan $P$ berturut-turut menyatakan kejadian seseorang terjangkit virus HIV dan mendapatkan hasil positif dari tes diagnostik sehingga diketahui $p(H) = 0,\!008,$ $p(P) = 0,\!016,$ dan $p(P \mid H) = 0,9999.$
Jawaban a)
Dengan menggunakan aturan Bayes, akan dicari nilai dari $p(H \mid P),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(H \mid P) & = \dfrac{p(P \mid H) \cdot p(H)}{p(P)} \\ & = \dfrac{0,\!9999 \cdot 0,\!008}{0,\!016} \\ & \approx 0,\!5. \end{aligned}$$Jadi, peluang orang yang terpilih tersebut benar-benar terjangkit virus HIV jika diketahui bahwa ia dinyatakan positif oleh tes diagnostik sekitar $\boxed{0,\!5}$
Jawaban b)
Karena $p(P) = 0,\!016,$ peluang kejadian seseorang mendapatkan hasil negatif dari tes diagnostik tersebut adalah $p(P^c) = 1-p(P) = 0,\!984.$
Dalam kasus ini, akan dicari nilai dari $p(H \mid P^c),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(H \mid P^c) & = \dfrac{p(H \cap P^c)}{p(P^c)} \\ & = \dfrac{p(H)-p(H \cap P)}{p(P^c)} \\ & = \dfrac{p(H)-(p(P \mid H) \cdot p(H))}{p(P^c)} \\ & = \dfrac{0,\!008-(0,\!9999 \cdot 0,\!008)}{0,\!984} \\ & \approx 8,\!13 \times 10^{-7}. \end{aligned}$$Jadi, peluang orang yang terpilih tersebut sebenarnya terjangkit virus HIV jika diketahui bahwa ia dinyatakan negatif oleh tes diagnostik sekitar $\boxed{8,\!13 \times 10^{-7}}$
Soal Nomor 9
Di suatu negara, data menunjukkan bahwa peluang memilih seorang dewasa di atas $40$ tahun yang mengidap penyakit kanker adalah $0,\!05.$ Jika peluang seorang dokter mendiagnosis secara tepat bahwa seseorang mengidap penyakit kanker adalah $0,\!78$ dan peluang salah mendiagnosis (didiagnosis mengidap penyakit kanker, padahal sebenarnya tidak) adalah $0,\!04,$ tentukan
- peluang seorang dewasa di atas $40$ tahun didiagnosis mengidap penyakit kanker;
- peluang seorang dewasa yang didiagnosis mengidap penyakit kanker ternyata memang mengidap penyakit tersebut.
Misalkan $K$ dan $D$ berturut-turut merupakan kejadian terpilihnya seorang dewasa yang mengidap penyakit kanker dan seorang dewasa yang didiagnosis mengidap penyakit kanker sehingga diketahui informasi berikut.
$$\begin{aligned} p(K) & = 0,\!05 \\ p(D \mid K) & = 0,\!78 \\ P(K^c) & = 1-0,\!05 = 0,\!95 \\ P(D \mid K^c) & = 0,\!04 \end{aligned}$$
Jawaban a)
Dalam kasus ini, akan dicari nilai dari $p(D),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(D) & = p(K \cap D) + p(K^c \cap D) \\ & = p(K) \cdot p(D \mid K) + p(K^c) \cdot p(D \mid K^c) \\ & = 0,\!05 \cdot 0,\!78 + 0,\!95 \cdot 0,\!04 \\ & = 0,\!077. \end{aligned}$$Jadi, peluang seorang dewasa di atas $40$ tahun didiagnosis mengidap penyakit kanker adalah $\boxed{0,\!077}$
Jawaban b)
Dalam kasus ini, akan dicari nilai dari $p(K \mid D),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(K \mid D) & = \dfrac{p(K \cap D)}{p(D)} \\ & = \dfrac{p(K) \cdot p(D \mid K)}{p(D)} \\ & = \dfrac{0,\!05 \cdot 0,\!78}{0,\!077} \\ & \approx 0,4063. \end{aligned}$$Jadi, peluang seorang dewasa yang didiagnosis mengidap penyakit kanker ternyata memang mengidap penyakit tersebut sekitar $\boxed{0,4063}$
Soal Nomor 10
Panitia suatu olimpiade menggunakan tiga hotel sebagai akomodasi bagi para peserta untuk bermalam selama beberapa hari. Tiga hotel tersebut adalah Hotel Mawar, Hotel Melati, dan Hotel Anggrek. Data masa lampau menunjukkan bahwa sebanyak $20\%, 50\%,$ dan $30\%$ dari banyak peserta berturut-turut ditempatkan di Hotel Mawar, Hotel Melati, dan Hotel Anggrek. Diketahui bahwa $5\%, 4\%,$ dan $8\%$ berturut-turut dari banyak kamar di Hotel Mawar, Hotel Melati, dan Hotel Anggrek mengalami masalah pada pipa wastafel.
- Tentukan peluang seorang peserta ditempatkan di kamar yang mengalami masalah pada pipa wastafel.
- Tentukan peluang seorang peserta yang ditempatkan di kamar yang mengalami masalah pada pipa wastafel berada di Hotel Anggrek.
Misalkan $W, T,$ dan $A$ berturut-turut merupakan kejadian seorang peserta ditempatkan di Hotel Mawar, Hotel Melati, dan Hotel Anggrek. Misalkan juga $M$ merupakan kejadian seorang peserta ditempatkan di kamar yang mengalami masalah pada pipa wastafel.
Dari sini, diperoleh informasi berikut.
$$\begin{aligned} p(W) & = 20\% = 0,\!2 \\ p(T) & = 50\% = 0,\!5 \\ p(A) & = 30\% = 0,\!3 \\ p(M \mid W) & = 5\% = 0,\!05 \\ p(M \mid T) & = 4\% = 0,\!04 \\ p(M \mid A) & = 8\% = 0,\!08 \end{aligned}$$Jawaban a)
Dengan menggunakan teorema peluang total, akan dicari nilai dari $p(M),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(M) & = p(W) \cdot p(M \mid W) + p(T) \cdot p(M \mid T) + p(A) \cdot p(M \mid A) \\ & = 0,\!2 \cdot 0,\!05 + 0,\!5 \cdot 0,\!04 + 0,\!3 \cdot 0,\!08 \\ & = 0,\!054. \end{aligned}$$Jadi, peluang seorang peserta ditempatkan di kamar yang mengalami masalah pada pipa wastafel adalah $\boxed{0,\!054}$
Jawaban b)
Dengan menggunakan aturan Bayes, akan dicari nilai dari $p(A \mid M),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(A \mid M) & = \dfrac{p(M \mid A) \cdot p(A)}{p(M)} \\ & = \dfrac{0,\!08 \cdot 0,\!3}{0,\!054} \\ & = \dfrac49. \end{aligned}$$Jadi, peluang seorang peserta yang ditempatkan di kamar yang mengalami masalah pada pipa wastafel berada di Hotel Anggrek adalah $\boxed{\dfrac49}$
Soal Nomor 11
Suatu perusahaan konstruksi mempekerjakan sejumlah pengelas profesional. Dari catatan sebelumnya, perusahaan mengetahui bahwa $5\%$ dari hasil pengelasan yang dilakukan oleh pengelas tidak memenuhi syarat keamanan industri. Dengan kata lain, hasil pengelasan tersebut merupakan produk cacat (C). Oleh karena itu, setiap hasil pengelasan pada setiap proyek konstruksi akan diawasi oleh inspektur perusahaan. Performa inspektur juga ikut dipantau. Observasi yang dilakukan selama beberapa tahun menunjukkan bahwa: (1) Setiap hasil pengelasan yang cacat (C) diklasifikasikan cacat (KC) oleh inspektur dengan akurasi $96\%,$ sisanya diklasifikasikan baik (KB); (2) Setiap hasil pengelasan yang baik (B) diklasifikasikan cacat (KC) sebanyak $2\%$ sepanjang waktu, sedangkan sisanya diklasifikasikan baik (KB).
- Gambarkan diagram pohon yang merepresentasikan semua keluaran yang mungkin (beserta peluangnya) dari percobaan memilih suatu hasil pengelasan secara acak untuk inspeksi dan klasifikasinya oleh inspektur.
- Jika suatu hasil pengelasan yang dipilih secara acak diklasifikasikan baik (KB) oleh inspektur, tentukan peluang bahwa hasil pengelasan tersebut sebenarnya cacat.
Misalkan $C$ merupakan kejadian terpilihnya hasil pengelasan yang cacat. Misalkan juga $KC$ merupakan kejadian suatu hasil pengelasan diklasifikasikan cacat sehingga diketahui $p(KC \mid C) = 96\% = 0,\!96$ dan $p(KC \mid C^c) = 2\% = 0,\!02.$
Jawaban a)
Diagram pohon yang dimaksud adalah seperti berikut.
Kita peroleh informasi berikut.
$$\begin{aligned} p(C \cap KC) & = 0,\!05 \cdot 0,\!96 = 0,\!048 \\ p(C \cap KC^c) & = 0,\!05 \cdot 0,\!04 = 0,\!002 \\ p(C^c \cap KC) & = 0,\!95 \cdot 0,\!02 = 0,\!019 \\ p(C^c \cap KC^c) & = 0,\!95 \cdot 0,\!98 = 0,\!931 \end{aligned}$$Jawaban b)
Dengan menggunakan aturan Bayes, akan dicari nilai dari $p(C \mid KC^c),$ yaitu
$$\begin{aligned} p(C \mid KC^c) & = \dfrac{p(C \cap KC^c)}{p(KC^c)} \\ & = \dfrac{p(C \cap KC^c)}{p(C \cap KC^c) + p(C^c \cap KC^c)} \\ & = \dfrac{0,\!002}{0,\!002 + 0,\!931} \\ & \approx 0,\!0021. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa hasil pengelasan tersebut sebenarnya cacat sekitar $\boxed{0,\!0021}$