Penaksiran (estimation) adalah proses untuk memperkirakan nilai dari suatu parameter populasi dari sampel yang diambil. Dalam penaksiran, kita melakukan inferensi untuk menduga nilai parameter populasi yang terlibat sehingga sangat memungkinkan terjadinya galat (error). Meskipun begitu, peran statistika menjadi begitu krusial karena kita berusaha untuk meminimalisasi terjadinya galat tersebut agar bernilai sekecil-kecilnya. Lebih lanjut, parameter populasi yang dimaksud umumnya berupa rata-rata (mean), proporsi (proportion), dan varians (variance).
Pada artikel ini, kita akan memfokuskan bahasan pada penaksiran varians satu populasi.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
Misalkan terdapat sampel acak berukuran $n$ yang diambil dari suatu populasi yang berdistribusi normal dengan varians populasi $\sigma^2.$ Jika varians sampel acak tersebut adalah $s^2,$ kita memperoleh nilai statistik $S^2.$ Statistik inilah yang akan menjadi taksiran titik dari $\sigma^2.$ Oleh karena itu, statistik $S^2$ selanjutnya disebut sebagai penaksir dari $\sigma^2.$
Sementara itu, taksiran selang dari $\sigma^2$ dapat dibangun dengan menggunakan statistik
$$X^2 = \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}.$$Statistik $X^2$ tersebut berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan $n-1$ ketika sampel dipilih dari suatu populasi yang berdistribusi normal. Kita dapat menuliskannya sebagai
$$p\left(\chi^2_{1-\alpha/2;~n-1} < X^2 < \chi^2_{\alpha/2;~n-1}\right) = 1-\alpha$$dengan $\chi^2_{1-\alpha/2;~n-1}$ dan $\chi^2_{\alpha/2;~n-1}$ berturut-turut adalah nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan $n-1$ yang berasosiasi dengan luas sebesar $1-\alpha/2$ dan $\alpha/2$ ke arah kanan di bawah kurva distribusi tersebut seperti yang terlihat pada gambar berikut.
Substitusi $X^2 = \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ akan menghasilkan
$$p\left(\chi^2_{1-\alpha/2;~n-1} < \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} < \chi^2_{\alpha/2;~n-1}\right) = 1-\alpha.$$Manipulasi aljabar akan menghasilkan
$$p\left(\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2;~n-1}} < \sigma^2 < \dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~n-1}}\right) = 1-\alpha.$$Dengan rumus di atas, sampel acak berukuran $n$ dari suatu populasi berdistribusi normal yang varians sampelnya $s^2,$ nilai dari varians populasi $\sigma^2$ dapat ditaksir pada selang kepercayaan $100(1-\alpha)\%.$
Selang Kepercayaan untuk $\sigma^2$
$$\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2;~n-1}} < \sigma^2 < \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~n-1}}$$dengan $\chi^2_{1-\alpha/2;~n-1}$ dan $\chi^2_{\alpha/2;~n-1}$ berturut-turut adalah nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan $n-1$ yang berasosiasi dengan luas sebesar $1-\alpha/2$ dan $\alpha/2$ ke arah kanan di bawah kurva distribusi tersebut.
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Penaksiran} & \text{Estimation} \\ 2. & \text{Sampel Acak} & \text{Random Sample} \\ 3. & \text{Varians} & \text{Variance} \\ 4. & \text{Simpangan Baku} & \text{Standard Deviation} \\ 5. & \text{Galat} & \text{Error} \\ 6. & \text{Nilai-}\chi^2 & \chi^2\text{-Value} \\ 7. & \text{Selang Kepercayaan} & \text{Confidence Interval} \\ 8. & \text{Taraf Signifikansi} & \text{Significance Value} \\ 9. & \text{Derajat Kebebasan} & \text{Degree of Freedom} \\ 10. & \text{Distribusi Khi-Kuadrat} & \text{Chi-Squared Distribution} \\ 11. & \text{Taksiran Titik} & \text{Point Estimate} \\ 12. & \text{Taksiran Selang} & \text{Interval Estimate} \\ \hline \end{array}$$
Quote by Alexandra Stoddard
Catatan: Hasil perhitungan yang dilakukan dalam setiap soal bisa jadi sedikit berbeda karena masalah pembulatan. Anda seharusnya tidak dianggap salah jika terjadi kasus seperti itu. Lebih lanjut, silakan unduh tabel-$\chi^2$ untuk menjawab soal-soal penaksiran di bawah.
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Seorang pengusaha lampu pijar mengadakan penyelidikan dengan melakukan pengujian terhadap $30$ lampu sebagai sampel. Setelah diperiksa, simpangan baku dari masa hidup $30$ lampu tersebut adalah $55$ jam.
- Taksirlah selang kepercayaan $99\%$ untuk varians populasi dari masa hidup lampu.
- Taksirlah selang kepercayaan $95\%$ untuk varians populasi dari masa hidup lampu.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan masa hidup lampu pijar yang diproduksi oleh pengusaha tersebut (dalam jam). Diketahui $n = 30$ dan $s = 55.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$\chi^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-99\% = 1\% = 0,\!01$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!005$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=30-1=29$ adalah $\chi^2_{0,005;~29} = 52,\!335.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat dengan taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!995$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,995;~29} = 13,\!121.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; ~n-1}} \\ \dfrac{(30-1) \cdot 55^2}{52,\!335} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(30-1) \cdot 55^2}{13,\!121} \\ 1.676,\!2205 & < & \sigma_X^2 & < & 6.685,\!8471. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $99\%$ untuk varians populasi dari masa hidup lampu (dalam jam2) adalah $1.676,\!2205 < \sigma_X^2 < 6.685,\!8471.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=30-1=29$ adalah $\chi^2_{0,025; 29} = 45,\!722.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,975; 29} = 16,\!047.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2; n-1}} \\ \dfrac{(30-1) \cdot 55^2}{45,\!722} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(30-1) \cdot 55^2}{16,\!047} \\ 1.918,\!6606 & < & \sigma_X^2 & < & 5.466,\!7539. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk varians populasi dari masa hidup lampu (dalam jam2) adalah $1.918,\!6606 < \sigma_X^2 <5.466,\!7539.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas
Soal Nomor 2
Suatu meriam didesain sehingga harus memiliki jarak tembak dengan varians tertentu. Untuk menguji hal tersebut, diambil sampel sebanyak $16$ meriam dan diperoleh varians jarak tembaknya sebesar $24$ meter.
- Taksirlah selang kepercayaan $95\%$ untuk varians populasi dari jarak tembak meriam tersebut.
- Taksirlah selang kepercayaan $90\%$ untuk varians populasi dari jarak tembak meriam tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan jarak tembak meriam tersebut (dalam meter). Diketahui $n = 16$ dan $s^2 = 24.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$\chi^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=16-1=15$ adalah $\chi^2_{0,025; ~15} = 27,\!488.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,975; ~15} = 6,\!262.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(16-1) \cdot 24}{27,\!488} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(16-1) \cdot 24}{6,\!262} \\ 13,\!0966 & < & \sigma_X^2 & < & 57,\!4896 . \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk varians populasi dari jarak tembak meriam tersebut (dalam m2) adalah $13,\!0966 < \sigma^2_X < 57,\!4896.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=16-1=15$ adalah $\chi^2_{0,05;~15} = 24,\!996.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,95;~ 15} = 7,\!261.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(16-1) \cdot 24}{24,\!996} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(16-1) \cdot 24}{7,\!261} \\ 14,\!4023 & < & \sigma_X^2 & < & 49,\!5799. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk varians populasi dari jarak tembak meriam tersebut (dalam m2) adalah $14,\!4023 < \sigma^2_X < 49,\!5799.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Rata-Rata Satu Populasi
Soal Nomor 3
Abu terbang (fly ash) merupakan sisa dari hasil pembakaran batu bara pada pembangkit listrik. Abu terbang mempunyai titik lebur sekitar $1.300^\circ\text{C}$ dan mempunyai kerapatan massa (densitas) sebesar $2,\!0$–$2,\!5$ g/cm3. Sampel acak yang terdiri atas $25$ sampel abu terbang memiliki varians $2,\!03$ g2/cm6.
- Taksirlah selang kepercayaan $90\%$ untuk varians populasi dari kerapatan massa abu terbang.
- Taksirlah selang kepercayaan $80\%$ untuk varians populasi dari kerapatan massa abu terbang.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan kerapatan massa abu terbang (dalam g/cm3). Diketahui $n = 25$ dan $s^2 = 2,\!03.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$\chi^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=25-1=24$ adalah $\chi^2_{0,05; ~24} = 36,\!415.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!95$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,95; ~24} = 13,\!848.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(25-1) \cdot 2,\!03}{36,\!415} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(25-1) \cdot 2,\!03}{13,\!848} \\ 1,\!3379 & < & \sigma_X^2 & < & 3,\!5182. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk varians populasi dari kerapatan massa abu terbang (dalam g2/cm6) adalah $1,\!3379 < \sigma^2_X < 3,\!5182.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-80\% = 20\% = 0,\!2$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!1$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=25-1=24$ adalah $\chi^2_{0,1; ~24} = 33,\!196.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!9$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,9; ~24} = 15,\!659.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(25-1) \cdot 2,\!03}{33,\!196} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(25-1) \cdot 2,\!03}{15,\!659} \\ 1,\!4676 & < & \sigma_X^2 & < & 3,\!1113. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $80\%$ untuk varians populasi dari kerapatan massa abu terbang (dalam g2/cm6) adalah $1,\!4676 < \sigma^2_X < 3,\!1113.$
Soal Nomor 4
Suatu kapal mengangkut kontainer-kontainer oli. Untuk keperluan penelitian, sebanyak $10$ kontainer dipilih secara acak dan diperoleh volume oli (dalam liter) di dalam kontainer sebagai berikut.
$$\begin{array}{ccccc} \hline 10,\!2 & 9,\!7 & 10,\!1 & 10,\!3 & 10,\!1 \\ 9,\!8 & 9,\!9 & 10,\!4 & 10,\!3 & 9,\!8 \\ \hline \end{array}$$
- Taksirlah selang kepercayaan $95\%$ untuk varians populasi dari volume oli yang termuat di dalam kontainer.
- Taksirlah selang kepercayaan $90\%$ untuk varians populasi dari volume oli yang termuat di dalam kontainer.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan volume oli yang termuat di dalam kontainer (dalam liter). Diketahui $n = 10$ dan dapat dicari bahwa $s^2 \approx 0,\!06.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$\chi^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=10-1=9$ adalah $\chi^2_{0,025; ~9} = 19,\!023.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,975; ~9} = 2,\!700.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(10-1) \cdot 0,\!06}{19,\!023} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(10-1) \cdot 0,\!06}{2,\!700} \\ 0,\!0284 & < & \sigma_X^2 & < & 0,\!2000. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk varians populasi dari volume oli yang termuat di dalam kontainer (dalam liter2) adalah $0,\!0284 < \sigma^2_X < 0,\!2000.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=10-1=9$ adalah $\chi^2_{0,05; ~9} = 16,\!919.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!95$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,95; ~9} = 3,\!325.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(10-1) \cdot 0,\!06}{16,\!919} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(10-1) \cdot 0,\!06}{3,\!325} \\ 0,\!0319 & < & \sigma_X^2 & < & 0,\!1624. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk varians populasi dari volume oli yang termuat di dalam kontainer (dalam liter2) adalah $0,\!0319 < \sigma^2_X < 0,\!1624.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Kesamaan Varians dari Dua Populasi
Soal Nomor 5
Suatu sampel acak dari waktu yang diperlukan oleh $20$ mahasiswa untuk menyelesaikan suatu ujian terstandardisasi memiliki simpangan baku $s = 4,\!51$ menit.
- Taksirlah selang kepercayaan $99\%$ untuk varians populasi dari waktu yang diperlukan mahasiswa untuk menyelesaikan ujian terstandardisasi tersebut.
- Taksirlah selang kepercayaan $90\%$ untuk varians populasi dari waktu yang diperlukan mahasiswa untuk menyelesaikan ujian terstandardisasi tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan waktu yang diperlukan mahasiswa untuk menyelesaikan ujian terstandisasi tersebut (dalam menit). Diketahui $n = 20$ dan $s = 4,\!51.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$\chi^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-99\% = 1\% = 0,\!01$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!005$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=20-1=19$ adalah $\chi^2_{0,005; ~19} = 38,\!582.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!995$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,995; ~19} = 6,\!844.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(20-1) \cdot 4,\!51^2}{38,\!582} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(20-1) \cdot 4,\!51^2}{6,\!844} \\ 10,\!0166 & < & \sigma_X^2 & < & 56,\!4673. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $99\%$ untuk varians populasi dari waktu yang diperlukan mahasiswa untuk menyelesaikan ujian terstandisasi tersebut (dalam menit2) adalah $10,\!0166 < \sigma^2_X < 56,\!4673.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=20-1=19$ adalah $\chi^2_{0,05; ~19} = 30,\!144.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!95$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,95; ~19} = 10,\!117.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(20-1) \cdot 4,\!51^2}{30,\!144} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(20-1) \cdot 4,\!51^2}{10,\!117} \\ 12,\!8205 & < & \sigma_X^2& < & 38,\!1993. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $99\%$ untuk varians populasi dari waktu yang diperlukan mahasiswa untuk menyelesaikan ujian terstandisasi tersebut (dalam menit2) adalah $12,\!8205 < \sigma^2_X < 38,\!1993.$
Soal Nomor 6
Aflatoksin yang diproduksi oleh jamur pada tanaman kacang tanah akan diteliti oleh sekelompok biolog. Sampel dari $61$ tumpak (batch) tanaman kacang tanah menunjukkan kandungan aflatoksin dengan varians $4,\!25$ bagian per juta persegi (bpj2).
- Taksirlah selang kepercayaan $95\%$ untuk varians populasi dari kandungan aflotoksin yang diproduksi oleh jamur pada tanaman kacang tanah.
- Taksirlah selang kepercayaan $80\%$ untuk varians populasi dari kandungan aflotoksin yang diproduksi oleh jamur pada tanaman kacang tanah.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan kandungan aflotoksin yang diproduksi oleh jamur pada tanaman kacang tanah (dalam bpj). Diketahui $n = 61$ dan $s^2 = 4,\!25.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$\chi^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=61-1=60$ adalah $\chi^2_{0,025; ~60} = 83,\!298.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,975; ~60} = 40,\!482.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(61-1) \cdot 4,\!25}{83,\!298} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(61-1) \cdot 4,\!25}{40,\!482} \\ 3,\!0613 & < & \sigma_X^2 & < & 6,\!2991. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk varians populasi dari kandungan aflotoksin yang diproduksi oleh jamur pada tanaman kacang tanah (dalam bpj2) adalah $3,\!0613< \sigma^2_X < 6,\!2991.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-80\% = 20\% = 0,\!2$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!1$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=61-1=60$ adalah $\chi^2_{0,1; ~60} = 74,\!397.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!9$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,9; ~60} = 46,\!459.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(61-1) \cdot 4,\!25}{74,\!397} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(61-1) \cdot 4,\!25}{46,\!459} \\ 3,\!4276 & < & \sigma_X^2 & < & 5,\!4887. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk varians populasi dari kandungan aflotoksin yang diproduksi oleh jamur pada tanaman kacang tanah (dalam bpj2) adalah $3,\!4276 < \sigma^2_X < 5,\!4887.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Selisih Rata-Rata Dua Populasi Berpasangan
Soal Nomor 7
Sebanyak $25$ botol minuman ringan yang diambil secara acak dari suatu mesin dispenser memiliki volume dengan varians $2,\!03$ desiliter2.
- Taksirlah selang kepercayaan $98\%$ untuk varians populasi dari volume botol minuman ringan dari mesin dispenser tersebut.
- Taksirlah selang kepercayaan $95\%$ untuk varians populasi dari volume botol minuman ringan dari mesin dispenser tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan volume botol minuman ringan dari mesin dispenser tersebut (dalam desiliter). Diketahui $n = 25$ dan $s^2 = 2,\!03.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$\chi^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-98\% = 2\% = 0,\!02$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!01$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=25-1=24$ adalah $\chi^2_{0,01; ~24} = 42,\!980.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!99$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,99; ~24} = 10,\!856.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(25-1) \cdot 2,\!03}{42,\!980} & < & \sigma_X^2& < & \dfrac{(25-1) \cdot 2,\!03}{10,\!856} \\ 1,\!1336 & < & \sigma_X^2 & < & 4,\!4878 . \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\%$ untuk varians populasi dari volume botol minuman ringan dari mesin dispenser tersebut (dalam desiliter2) adalah $1,\!1336 < \sigma^2_X < 4,\!4878.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=25-1=24$ adalah $\chi^2_{0,025; ~24} = 39,\!364.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,975; ~24} = 12,\!401.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(25-1) \cdot 2,\!03}{39,\!364} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(25-1) \cdot 2,\!03}{12,\!401} \\ 1,\!2377 & < & \sigma_X^2 & < & 3,\!9287. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk varians populasi dari volume botol minuman ringan dari mesin dispenser tersebut (dalam desiliter2) adalah $1,\!2377 < \sigma^2_X < 3,\!9287.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Varians Satu Populasi
Soal Nomor 8
Berikut ini merupakan data tekanan darah sistolik (dalam mmHg) dari $14$ pasien yang menjalani terapi penyembuhan hipertensi.
$$\begin{array}{cc} \hline 183 & 152 & 178 & 157 & 194 & 163 & 144 \\ 194 & 163 & 114 & 178 & 152 & 118 & 158 \\ \hline \end{array}$$
- Taksirlah selang kepercayaan $95\%$ untuk varians populasi dari tekanan darah sistolik pasien.
- Taksirlah selang kepercayaan $90\%$ untuk varians populasi dari tekanan darah sistolik pasien.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan tekanan darah sistolik pasien (dalam mmHg). Diketahui $n = 14$ dan dapat dicari bahwa $s^2 \approx 598,\!4176.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$\chi^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-95\% = 5\% = 0,\!05$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=14-1=13$ adalah $\chi^2_{0,025; ~13} = 24,\!736.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!975$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,975; ~13} = 5,\!009.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(14-1) \cdot 598,\!4176}{24,\!736} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(14-1) \cdot 598,\!4176}{5,\!009} \\ 314,\!4983 & < & \sigma_X^2 & < & 1.553,\!09 . \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $95\%$ untuk varians populasi dari dari tekanan darah sistolik pasien (dalam mmHg) adalah $314,\!4983 < \sigma^2_X < 1.553,\!09.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=14-1=13$ adalah $\chi^2_{0,05; ~13} = 22,\!362.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!95$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,975; ~13} = 5,\!892.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(14-1) \cdot 598,\!4176}{22,\!362} & < & \sigma^2 & < & \dfrac{(14-1) \cdot 598,\!4176}{5,\!892} \\ 347,\!8861 & < & \sigma^2 & < & 1.320,\!3375. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk varians populasi dari dari tekanan darah sistolik pasien (dalam mmHg) adalah $347,\!8861 < \sigma^2_X < 1.320,\!3375.$
Soal Nomor 9
Berikut ini merupakan data berat $10$ paket bibit rumput yang didistribusikan oleh suatu perusahaan (dalam dag).
$$\begin{array}{ccccc} \hline 46,\!4 & 46,\!1 & 45,\!8 & 47,\!0 & 46,\!1 \\ 45,\!9 & 45,\!8 & 46,\!9 & 45,\!2 & 46,\!0 \\ \hline \end{array}$$
- Taksirlah selang kepercayaan $98\%$ untuk varians populasi dari berat paket bibit rumput tersebut.
- Taksirlah selang kepercayaan $90\%$ untuk varians populasi dari berat paket bibit rumput tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan berat paket bibit rumput tersebut (dalam dag). Diketahui $n = 10$ dan dapat dicari bahwa $s^2 \approx 0,\!2862.$ Ini merupakan kasus penaksiran varians satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$\chi^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-98\% = 2\% = 0,\!02$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!01$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=10-1=9$ adalah $\chi^2_{0,01; ~9} = 21,\!666.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!99$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,99; ~9} = 2,\!088.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(10-1) \cdot 0,\!2862}{21,\!666} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(10-1) \cdot 0,\!2862}{2,\!088} \\ 0,\!1189 & < & \sigma_X^2 & < & 1,\!2336. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\%$ untuk varians populasi dari berat paket bibit rumput tersebut (dalam dag2) adalah $0,\!1189 < \sigma^2_X < 1,\!2336.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-90\% = 10\% = 0,\!1$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=10-1=9$ adalah $\chi^2_{0,05; ~9} = 16,\!919.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!95$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,95; ~9} = 3,\!325.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}} \\ \dfrac{(10-1) \cdot 0,\!2862}{16,\!919} & < & \sigma_X^2 & < & \dfrac{(10-1) \cdot 0,\!2862}{3,\!325} \\ 0,\!1522 & < & \sigma_X^2 & < & 0,\!7747. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $90\%$ untuk varians populasi dari berat paket bibit rumput tersebut (dalam dag2) adalah $0,\!1522 < \sigma^2_X < 0,\!7747.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Berpasangan
Soal Nomor 10
Sebanyak $13$ siswa dipilih secara acak dari suatu sekolah untuk mengikuti tes psikologi. Rentang nilai yang didapat adalah dari 0 sampai 100. Data nilai mereka disajikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccccc} \hline 40 & 55 & 70 & 80 & 85 & 70 & 70 \\ 60 & 30 & 50 & 55 & 40 & 80 \\ \hline \end{array}$$
- Taksirlah selang kepercayaan $99\%$ untuk simpangan baku populasi dari nilai tes psikologi yang didapat siswa.
- Taksirlah selang kepercayaan $98\%$ untuk simpangan baku populasi dari nilai tes psikologi yang didapat siswa.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan nilai tes psikologi yang didapat siswa. Diketahui $n = 13$ dan dapat dicari bahwa $s^2 \approx 297,\!7564.$ Ini merupakan kasus penaksiran simpangan baku satu populasi. Oleh karena itu, penaksiran akan melibatkan nilai-$\chi^2.$
Jawaban a)
Diketahui $\alpha = 1-99\% = 1\% = 0,\!01$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!005$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=13-1=12$ adalah $\chi^2_{0,005; ~12} = 28,\!300.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!995$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,995; ~12} = 3,\!074.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \sqrt{\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}}} & < & \sigma_X & < & \sqrt{\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}}} \\ \sqrt{\dfrac{(13-1) \cdot 297,\!7564}{28,\!300}} & < & \sigma_X & < & \sqrt{\dfrac{(13-1) \cdot 297,\!7564}{3,\!074}} \\ 11,\!2364 & < & \sigma_X & < & 34,\!0933. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $99\%$ untuk simpangan baku populasi dari nilai tes psikologi yang didapat siswa adalah $11,\!2364 < \sigma_X < 34,\!0933.$
Jawaban b)
Diketahui $\alpha = 1-98\% = 2\% = 0,\!02$ sehingga nilai-$\chi^2$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!01$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = n-1=13-1=12$ adalah $\chi^2_{0,01; ~12} = 26,\!217.$ Lebih lanjut, nilai khi-kuadrat saat taraf signifikansi $1-\alpha/2 = 0,\!99$ dan derajat kebebasan yang sama adalah $\chi^2_{0,99; ~12} = 3,\!571.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rcccl} \sqrt{\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2; ~n-1}}} & < & \sigma_X & < & \sqrt{\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2;~ n-1}}} \\ \sqrt{\dfrac{(13-1) \cdot 297,\!7564}{26,\!217}} & < & \sigma_X & < & \sqrt{\dfrac{(13-1) \cdot 297,\!7564}{3,\!571}} \\ 11,\!6743 & < & \sigma_X & < & 31,\!6320. \end{array}$$Jadi, selang kepercayaan $98\%$ untuk simpangan baku populasi dari nilai tes psikologi yang didapat siswa adalah $11,\!6743 < \sigma_X < 31,\!6320.$