Soal dan Pembahasan – Kompetisi Matematika Nalaria Realistik (KMNR) Tahun 2016 Babak Penyisihan Kategori Kelas 7-8

$2.016 + 6.102 = 8.118$
(Jawaban E)

Perhatikan bahwa 5 bilangan itu dapat ditulis dengan format yang sama, yaitu
$2,060~~~2,100~~~2,180~~~2,109~~~2,115$
Dengan hanya melihat angka di belakang koma, kita dapat simpulkan bahwa bilangan terbesar adalah $2,180$ atau ditulis $2,18$.
(Jawaban C)

Dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, didapat
$\begin{aligned} 20 \times 15 + 20 \times 16 & = 20 \times (15 + 16) \\ & = 20 \times 31 = 620 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $20 \times 15 + 20 \times 16$ adalah $\boxed{620}$
(Jawaban B)

Keliling bangun di atas dapat dihitung dengan cara menghitung keliling persegi panjang yang memiliki panjang $10$ cm dan lebar $5$ cm.

Keliling = $10 + 5 + 10 + 5 = 30~\text{cm}$
Jadi, keliling bangun di atas adalah $\boxed{30~\text{cm}}$
(Jawaban A)

Masalah di atas dapat diselesaikan dengan hanya menggunakan operasi dasar aritmetika.
$5 \times 24 \div 3 = 5 \times 8 = 40$
Jadi, ada $\boxed{40}$ rumah yang mendapat koran dari Bapak Fachri.
(Jawaban B).

$\begin{aligned} 2 \times 19\dfrac{1}{2} & = 2 \times 19,5 \\ & = 39 \end{aligned}$
Jadi, dua kali dari $19\dfrac{1}{2}$ adalah $\boxed{39}$
(Jawaban E)

Perhatikan gambar berikut.

Besar $\angle ABC = 180^{\circ}- p = 180^{\circ}- 120^{\circ} = 60^{\circ}$ (sudut berpelurus). Besar $\angle BAC = 45^{\circ}$ (setengah dari sudut siku-siku). Karena jumlah sudut pada segitiga adalah $180^{\circ}$, maka
$\angle O = \angle ACB = 180^{\circ}- 45^{\circ}- 60^{\circ} = 75^{\circ}$
Jadi, besar sudut $O$ adalah $\boxed{75^{\circ}}$
(Jawaban E) 

$\begin{aligned}\dfrac{2016 \div 4}{16 \div (9-1) + 19 \times 2} & = \dfrac{504}{16 \div 8 + 38} \\ & = \dfrac{504}{2 + 38} \\ & = \dfrac{504}{40} = 12,6 \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $\dfrac{2016 \div 4}{16 \div (9-1) + 19 \times 2}$ adalah $\boxed{12,6}$
(Jawaban C) 

$$\begin{aligned} & \dfrac{1990+1992+1994+1996+1998}{10} \\ & \dfrac{-2000-2002-2004-2006-2008}{10} \\ & = \dfrac{(1990-2000)+(1992-2002)+(1994-2004)}{10} \\ & \dfrac{+(1996-2006)+(1998-2008)}{10} \\ & = \dfrac{5 \times (-\cancel{10})} {\cancel{10}} =-5 \end{aligned}$$Jadi, hasilnya adalah $\boxed{-5}$
(Jawaban B)

Andi menggunakan $\dfrac{1}{3} \times \text{Rp}30.000,00 = \text{Rp}10.000,00$ untuk biaya angkutan umum ke sekolah. Sisa uangnya menjadi $\text{Rp}20.000,00$.
Lalu, ia menggunakan $\dfrac{1}{2} \times \text{Rp}20.000,00 = \text{Rp}10.000,00$ untuk jajan. Sisa uangnya sekarang menjadi $\text{Rp}10.000,00$.
Selanjutnya, ia menggunakan $\dfrac{1}{4} \times \text{Rp}10.000,00 = \text{Rp}2.500,00$ untuk disedekahkan. Sisa uangnya menjadi $\boxed{\text{Rp}7.500,00}$
(Jawaban C)

Sisa kelereng berwarna merah bila dinyatakan dalam bentuk pecahan adalah
$1- \dfrac{3}{5}- \dfrac{1}{3} = \dfrac{15}{15}- \dfrac{9}{15}- \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{15}$
Dengan demikian, tiap seperlimabelas menyatakan $15$ butir kelereng. Untuk itu, jumlah kelereng yang dimiliki oleh Edo sebanyak $\boxed{15 \times 15 = 225}$
(Jawaban C)

$$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{a^2-b^2}-c^2+a} {b+c} & = \dfrac{\sqrt{10^2-6^2}-(-5)^2+10} {6+(-5)} \\ & = \dfrac{\sqrt{64}-25 + 10}{1} \\ & = 8-25 + 10 =-7 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}-c^2+a} {b+c}$ adalah $\boxed{-7}$
(Jawaban B)

(Pilihan A) $2 \times 4- 5 + 8 = 8- 5 + 8 = 11$. Pernyataan pada pilihan A benar.
(Pilihan B) $2 + 4 \times 5- 8 = 2 + 20- 8 = 14$. Pernyataan pada pilihan B benar.
(Pilihan C) $2 + 4 + 5 \times 8 = 2 + 4 + 40 = 46$. Pernyataan pada pilihan C salah.
(Pilihan D) $3 \times 7 + 5- 8 = 21 + 5- 8 = 18$. Pernyataan pada pilihan D benar.
(Pilihan E) $2 + 7 \times 5- 9 = 2 + 35- 9 = 28$. Pernyataan pada pilihan E benar.
Jadi, jawaban yang dimaksud ada pada pilihan C.

Banyak kubus penyusun tangga mengikuti pola bilangan: $1, 2, 3, 4, 5$, dan di tengah-tengahnya ada $6$ kubus. Karena tangganya ada $4$, maka banyak kubus seluruhnya adalah
$\begin{aligned} & 4 \times (1+2+3+4+5) + 6 \\ & = 4 \times 15 + 6 = 60 + 6 = 66 \end{aligned}$
(Jawaban B)

Misalkan jumlah siswa di kelas $A$ sebanyak $x$ orang, berarti di kelas $B$ terdapat $2x$ orang. Rata-rata nilai kedua kelas bila digabungkan adalah
$\begin{aligned} \overline{x} & = \dfrac{9 \times x + 7,5 \times 2x}{x + 2x} \\ & = \dfrac{9x + 15x}{3x} \\ & = \dfrac{24\cancel{x}}{3\cancel{x}} = 8 \end{aligned}$
Jadi, rata-rata nilai kedua kelas tersebut bila digabungkan adalah $\boxed{8}$ (Jawaban C) 

Perhatikan bahwa $75$ menit = $\dfrac{75}{60}$ jam = $\dfrac{5}{4}$ jam. Jarak tempuh (s) dapat dihitung dengan mengalikan kecepatan dan waktu tempuhnya.
$\begin{aligned} s & = 80 \times 2 + 100 \times \dfrac{5}{4} \\ & = 160 + 125 = 285 \end{aligned}$
Jadi, total jarak yang sudah ditempuh Joko adalah $\boxed{285~\text{km}}$
(Jawaban D)

Misalkan titik $Q$ berada di koordinat $(x,y)$, maka
$\begin{aligned} (x_t, y_t) & = \left(\dfrac{x+x_p}{2}, \dfrac{y + y_p}{2}\right) \\ (-2,4) & = \left(\dfrac{x+2}{2}, \dfrac{y-2}{2}\right) \\ (-4,8) & = (x+2, y-2) \\ (x, y) & = (-4-2, 8+2) = (-6, 10) \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $Q$ adalah $\boxed{(-6,10)}$
(Jawaban C)

Volume balok = $p \times l \times t = 5 \times 5 \times 8 = 200~\text{cm}^3$ 
Dengan demikian, volume airnya sebanyak
$V = \dfrac{1}{16} \times 200 = 12,5~\text{cm}^3 = 12,5~\text{ml}$
(Jawaban A) 

Diketahui $p = (2x-3)~\text{cm}, l = (x+5)~\text{cm}$, dan $k = 70~\text{cm}$. Akan dicari nilai $x$ terlebih dahulu.
$\begin{aligned} k & = 2(p + l) \\ 70 & = 2(2x- 3 + x + 5) \\ 35 & = 3x + 2 \\ 3x & = 33 \\ x & = 11 \end{aligned}$
Dengan demikian,
$p = 2x- 3 = 2(11)-3= 19~\text{cm}$
dan
$l = x + 5 = 11 + 5 = 16~\text{cm}$.
Jadi, diperoleh
$L = p \times l = 19 \times 16 = 304~\text{cm}^2$
Jadi, luas persegi panjang tersebut adalah $\boxed{304~\text{cm}^2}$
(Jawaban C)

Dengan metode trial & error, duga bahwa $34$ merupakan hasil dari $x+y$, sehingga angka ajaibnya adalah $42$. Untuk itu, persegi ajaibnya dapat diisi dengan angka-angka berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline 20 & 6 & 16 \\ \hline 10 & 14 & 18 \\ \hline 12 & 22 & 8 \\ \hline \end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{x + y = 34}$
(Jawaban E)

Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan harga sebuah buku tulis dan sebatang pensil. Dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi-substitusi) dalam SPLDV, diperoleh
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4x + 3y & = 28.000 \\ 5x + y & = 29.500 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned} 4x + 3y & = 28.000 \\ 15x+3y & = 88.500 \end{aligned} \\ & \rule{3.5 cm}{0.6pt}- \\ & \! \begin{aligned} 11x & = 60.500 \\ x & = 5.500 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusikan (gantikan) $x = 5.500$ pada salah satu persamaan, misalkan pada persamaan kedua.
$\begin{aligned} 5x + y & = 29.500 \\ 5(5.500) + y & = 29.500  \\  27.500 + y & = 29.500 \\ y & = 2.000  \end{aligned}$
Diperoleh nilai $y = 2.000$.
Ini berarti, harga sebuah buku tulis adalah Rp5.500,00 dan harga sebatang pensil adalah Rp2.000,00, sehingga harga 2 buku tulis dan 1 batang pensil adalah
$\begin{aligned} 2x + y & = 2(5.500) + 2.000 \\ & = 11.000 + 2.000 = 13.000 \end{aligned}$
Jadi, harga $2$ buku tulis dan $1$ batang pensil adalah Rp13.000,00.
(Jawaban C)

Titik potong kurva dan garis tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan metode substitusi. Diketahui $y- 3x + 6 = 0$, yang dapat diubah menjadi $y = 3x- 6$. Substitusikan ini ke persamaan kurvanya.
$\begin{aligned} y & = x^2-6x+8 \\ 3x- 6 & = x^2-6x+8 \\ x^2-9x+14 & = 0 \\ (x-7)(x-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 7$ atau $x = 2$.
Untuk $x = 7$, didapat $y = 3(7)- 6 = 15$.
Untuk $x = 2$, didapat $y = 3(2)- 6)= 0$.
Jadi, titik potong kurva dan garis tersebut ada di koordinat $(2, 0)$ dan $(7, 15)$. Secara geometris, dapat dilihat grafiknya pada gambar berikut.

(Jawaban A)

Karena $12^3 = 1.728$ dan $13^3 = 2.197$, maka ini berarti,
$\begin{aligned} 1.728 < 2.016 < 2.197 \\ \sqrt[3]{1728} < \sqrt[3]{2016} < \sqrt[3]{2.197} \\ 12 < x < 13 \end{aligned}$
Jadi, jika $x = \sqrt[3]{2016}$, maka $12 < x < 13$.
(Jawaban C) 

Tinjau perhitungan pada posisi ratusannya.
$\square + \square + \square +~? = 20$
Misalkan dipilih $\square = 6$, maka $? = 2$ (ini berarti, perhitungan pada posisi puluhannya adalah $21$).
Selanjutnya, pada posisi puluhannya,
$\begin{aligned} \square + \square + \triangle +~? & = 21 \\ 6 + 6 + \triangle +~? & = 21 \\ \triangle +~? & = 9 \end{aligned}$
Misalkan dipilih $\triangle = 8$, maka $? = 1$ (ini berarti, perhitungan pada posisi satuannya adalah $16$).
Terakhir, tinjau posisi satuannya,
$\begin{aligned} \square + \bigcirc + \triangle & = 16 \\ 6 + \bigcirc + 8 & = 16 \\ \bigcirc & = 2 \end{aligned}$
(Periksa bahwa memang benar: $666 + 662 + 688 = 2.016$)
Jadi, $\boxed{(\bigcirc + \square) \div \triangle = (2 + 6) \div 8 = 1}$
(Jawaban E)

Perhatikan gambar berikut.

Jika panjang sisi suatu segitiga sama sisi adalah $a$, maka luasnya dapat dihitung dengan rumus $L = \dfrac{a^2}{4}\sqrt{3}$. Diketahui luas segitiga sama sisinya adalah $L = 36\sqrt{3}$, maka ini berarti,
$\begin{aligned} \dfrac{a^2}{4} & = 36 \\ a^2 & = 144 \\ a & = \sqrt{144} = 12 \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi segitiga itu adalah $12~\text{cm}$.
Berikutnya, jika terdapat segitiga dalam suatu lingkaran, maka jari-jari lingkarannya dapat ditentukan dengan rumus: $r=\dfrac{abc}{4L}$ dengan $a, b, c$ panjang tiap sisi segitiga dan $L$ luas segitiganya. Untuk itu, didapat
$\begin{aligned} r & = \dfrac{\cancel{12} \times \cancel{12} \times 12}{\cancel{4} \times \cancel{36}\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{12}{\sqrt{3}} \\ & = \dfrac{12}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ & = 4\sqrt{3} \end{aligned}$
Jadi, jari-jari lingkarannya adalah $4\sqrt{3}$. Ini berarti, luasnya adalah $L = \pi \times (4\sqrt{3})^2 = 48\pi~\text{cm}^2$.
Perhatikan bahwa diameter lingkaran tersebut adalah diagonal dari persegi. Misalkan panjang sisi persegi adalah $x$, maka dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} x^2 + x^2 & = d^2 \\ 2x^2 & = (8\sqrt{3})^2 \\ 2x^2 & = 192 \\ x^2 & = L = 96~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, selisih luas persegi dengan luas lingkaran adalah $\boxed{96- 48\pi = 48(2- \pi)~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)