Soal dan Pembahasan – Kesebangunan dan Kekongruenan

Perhatikan gambar berikut.

Dari gambar di atas, terdapat $5$ pasang segitiga yang kongruen.
(Jawaban B)

Diketahui: $\triangle ABC \cong \triangle CDE.$
Pasangan sisi yang sama panjang adalah $AB = DE, BC = CE$, dan $AC = CD$.
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa jumlah dari besar sudut sepihak dalam jajar genjang adalah $180^{\circ}$. Dari gambar yang diberikan, besar salah satu sudut jajar genjang itu adalah $65^{\circ}$. Ini artinya, sudut lain yang sepihak dengannya memiliki besar $180^{\circ}-65^{\circ} = 115^{\circ}$. Berdasarkan opsi jawaban yang diberikan, hanya opsi D yang memenuhi kriteria ini (panjang sisinya juga sesuai/tepat sama). 
(Jawaban D)

Berdasarkan prinsip kekongruenan, diperoleh:
$\begin{aligned} QR & = AC = 24~\text{cm}, \\ PR & = AB = 20~\text{cm}, \\ PQ & = BC = 25~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $BC$ adalah $\boxed{25~\text{cm}}$
(Jawaban A)

Diketahui: $\triangle ABC \cong \triangle DEF.$
Pasangan sisi yang sama panjang adalah $AB = DF = 5~\text{cm},$ $AC = DE = 6~\text{cm},$ dan $BC = EF =7~\text{cm}.$
Jadi, panjang $EF$ adalah $\boxed{7~\text{cm}}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar kedua segitiga berikut.

Dari gambar di atas, kita peroleh $AB = DF, AC = DE$, dan $BC = FE$. Pernyataan yang benar ditandai oleh nomor $1$ dan $3$.
(Jawaban A) 

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Karena $\triangle ABC$ dan $\triangle KLM$ kongruen, kita peroleh $\angle A = \angle M, \angle B = \angle L$, dan $\angle C = \angle K.$
(Jawaban D)

Diketahui: $ABC \cong POT.$ Kedua segitiga memiliki sisi yang sama panjang, yaitu $AB = PO.$ $AC = PT,$ dan $BC = OT$ dan sudut yang sama besar, yaitu:
$\begin{aligned} \angle BAC & = \angle OPT,  \\ \angle ABC & = \angle POT,  \\ \angle ACB & = \angle PTO. \end{aligned}$
(Jawaban C)

Kedua segitiga memiliki satu pasang sudut yang sama besar, yaitu $\angle BAD = \angle ABC$. Sisi yang mengapit sudut tersebut juga sama panjang, yaitu sisi $AD = BC$ dan sisi $AB$ berimpit. Jadi, kedua segitiga kongruen karena memenuhi syarat: sisi, sudut, sisi (posisi “sudut” di tengah karena sudut yang sama besar itu diapit oleh sisi yang sama panjang).
(Jawaban A)

Diketahui $\triangle ABC \sim BCD$ sehingga $AB \sim BD, BC \sim CD$, dan $AC \sim BC.$ Dengan demikian, berlaku perbandingan $\dfrac{AB}{BD} = \dfrac{BC}{CD} = \dfrac{AC}{BC}.$
(Jawaban A)

Diketahui: $DE = 8~\text{cm}; CE = 10~\text{cm}.$
Karena $DE : AB = 2 : 3$, maka
$AB = \dfrac{3}{2} \times 8 = 12~\text{cm}.$
Pada segitiga siku-siku $CDE$, berlaku Teorema Pythagoras.
$\begin{aligned} CD & = \sqrt{CE^2- DE^2} \\ & = \sqrt{10^2-8^2} = \sqrt{36} = 6~\text{cm} \end{aligned}$
$\triangle CDE$ dan $\triangle ABC$ sebangun dengan $CD \sim CB$ dan $DE \sim BA$ sehingga
$\begin{aligned} \dfrac{CD} {CB} & = \dfrac{DE} {BA} \\ \dfrac{6}{6 + BD} & = \dfrac{8}{12} \\ 6 + BD & = \dfrac{6 \times 12}{8} = 9 \\ BD & = 9- 6 = 3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $BD$ adalah $\boxed{3~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Karena trapesium $KLMN \sim ABCD$, maka berlaku $MN \sim AD$ dan $KL \sim BC$ sehingga
$\begin{aligned} \dfrac{MN} {AD} & = \dfrac{KL} {BC} \\ \dfrac{MN} {24} & = \dfrac{15}{18} \\ MN & = \dfrac{15 \times 24}{18} = 20~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $MN$ adalah $\boxed{20~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Segitiga $ABD$ dan segitiga $ADE$ kongruen menurut syarat: sudut, sudut, sisi, sehingga berlaku $AB = AE = 3~\text{cm}; BD = DE$. Karena segitiga $ABC$ siku-siku, maka berlaku Teorema Pythagoras, yaitu
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2 + BC^2} \\ & = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian, $EC = AC- AE = (3\sqrt{2}- 3)~\text{cm}.$
Karena $ECD$ segitiga sama kaki dengan $EC = DE$, dan juga karena $DE = BD$, maka panjang $BD$ adalah $\boxed{(3\sqrt{2}- 3)~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Segitiga $ABC$ dan segitiga $BCD$ sebangun.
Diketahui: $AB = 9~\text{cm}, AD = 5~\text{cm}.$
Panjang $DB = AB- AD = 9-5 = 4~\text{cm}.$
Untuk itu, berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{AB}{BC} & = \dfrac{BC}{DB} \Rightarrow \dfrac{9}{BC} = \dfrac{BC}{4} \\ BC^2 & = 9 \times 4 \Leftrightarrow BC = 6~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $BC$ adalah $\boxed{6~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Perhatikan gambar.
Tinggi trapesium $A$ dapat dihitung dengan menerapkan rumus Pythagoras, yaitu
$t_A = \sqrt{10^2-6^2} = \sqrt{64} = 8~\text{cm}$
Pada trapesium $B$, sisi atas dapat ditentukan dengan perbandingan, yaitu
$\dfrac{12}{18} = \dfrac{6}{x} \Leftrightarrow x = \dfrac{6 \times 18}{12} = 9~\text{cm}$
Tinggi trapesium $B$ juga dapat ditentukan dengan perbandingan.
$\dfrac{12}{18} = \dfrac{8}{t_B} \Leftrightarrow t_B = \dfrac{18 \times 8}{12} = 12~\text{cm}$
Dengan demikian, luas trapesium $B$ adalah
$\begin{aligned} L_B & = \dfrac{(18 + 9)\times \cancelto{6}{12}}{\cancel{2}} \\ & = 27 \times 6 = 162~\text{cm}^2 \end{aligned}$
(Jawaban B)

Posisikan titik $P$ seperti pada gambar di mana $BP = CD = 18~\text{cm}$ dan $BC = PD = 18~\text{cm}$.
Perhatikan bahwa segitiga $APE$ dan segitiga $ABF$ sebangun sehingga berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{AB} {AP} & = \dfrac{BF} {PE} \\ \dfrac{18}{18+18} & = \dfrac{BF} {18+12} \\ \dfrac12 & = \dfrac{BF} {30} \\ BF & = 15 \end{aligned}$
Jadi, panjang $BF$ adalah $\boxed{15~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Dari gambar di atas, dapat kita buat garis $HB$ yang sejajar dengan garis $AF$ seperti berikut. Perhatikan bahwa panjang $GH$ sama dengan panjang $FD$, yaitu $5~\text{cm}$, sedangkan panjang $GB$ sama dengan panjang $AD$, yaitu $3~\text{cm}$ sehingga panjang $HB$ adalah $5+3=8~\text{cm}$.
Segitiga $BCG$ dan segitiga $BEH$ merupakan segitiga yang sebangun sehingga berlaku perbandingan alas-alas dan sisi kanan-sisi kanan. 
$\begin{aligned} \dfrac{CG}{EH} & = \dfrac{GB}{HB} \\ \dfrac{x+5}{10+5} & = \dfrac{3}{8} \\ \dfrac{x+5}{15} & = \dfrac{3}{8} \\ 8(x+5) & = 15(3) \\ 8x+40 & = 45 \\ 8x & = 5 \\ x & = \dfrac58 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{x = \dfrac58~\text{cm}}$
(Jawaban C)

Gunakan perhitungan skematik berikut.
Misalkan panjang $AE = EC = x$ sehingga
$\begin{aligned} EF & = \dfrac{AB \times EC- CD \times AE} {AE + EC} \\ & = \dfrac{18x- 12x} {x + x} \\ & = \dfrac{6x} {2x} = 3~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $\boxed{EF = 3~\text{cm}}$
(Jawaban A)

Karena $\angle KNP$ dan $\angle PNL$ berpelurus, maka
$\angle PNL = 180^{\circ}- \angle KNP$ $= 180^{\circ}- 105^{\circ} = 75^{\circ}.$
Perhatikan gambar segitiga $MLK$ dan $PLN$ berikut.
Kedua tersebut saling sebangun dengan perbandingan sisi yang bersesuaian, yaitu $MK \sim NP, ML \sim NL$, dan $KL \sim PL$. 
Misalkan panjang $KN = x~\text{cm}$, maka $NL = (24-x)~\text{cm}$.
Dengan prinsip kesebangunan, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{KM}{NP} & = \dfrac{ML}{NL} \Rightarrow \dfrac{\cancel{15}}{10} = \dfrac{\cancelto{2}{30}}{24- x} \\ 24- x & = 20 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Jadi, panjang $KN$ adalah $\boxed{4~\text{cm}}$ 
(Jawaban A)

Dari gambar yang diberikan, panjang dari persegi panjang pertama sebanding dengan lebar persegi panjang kedua, dan sebaliknya. Diketahui bahwa lebar persegi panjang pertama sama dengan lebar persegi panjang kedua, yaitu $x$ cm. Berdasarkan prinsip kesebangunan, kita peroleh
$\begin{aligned} \dfrac{x}{9} & = \dfrac{4}{x} \\ x^2 & = 4 \times 9 = 36 \\ x & = 6 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $\boxed{6,0}$
(Jawaban B)

Perbandingan panjang dan lebar karton Ali adalah $p : l = 12~\text{cm} : 16~\text{cm} = 3 : 4$.
Persegi panjang lain dapat sebangun dengan karton tersebut jika memiliki nilai perbandingan yang sama: $4 : 3$ atau $3 : 4.$
Cek I:
Perbandingan panjang dan lebarnya adalah
$p : l = 36~\text{m} : 27~\text{m} = 4 : 3.$
Bidang tanah ini sebangun dengan karton Ali.
Cek II:
Perbandingan panjang dan lebarnya adalah
$p : l = 6~\text{m} : 4,5~\text{m} = 4 : 3.$
Bidang tanah ini sebangun dengan karton Ali.
Cek III:
Perbandingan panjang dan lebarnya adalah
$p : l = 48~\text{m} : 24~\text{m} = 2 : 1.$
Bidang tanah ini tidak sebangun dengan karton Ali.
Cek IV:
Perbandingan panjang dan lebarnya adalah
$p : l = 24~\text{m} : 18~\text{m} = 4 : 3.$
Bidang tanah ini sebangun dengan karton Ali.
Jadi, bidang tanah yang sebangun adalah I, II, dan IV.
(Jawaban D)

Misalkan tinggi gedung sebenarnya adalah $x$.
Dengan menggunakan konsep kesebangunan, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{Tinggi Siswa}} {\text{Tinggi Gedung}} & = \dfrac{\text{Panjang Bayangan Siswa}} {\text{Panjang Bayangan Gedung}} \\ \dfrac{1,5}{x} & = \dfrac{3,5}{56} \\ x & = \dfrac{56 \times 1,5}{3,5} = 24~\text{m} \end{aligned}$$Jadi, tinggi gedung itu adalah $\boxed{24~\text{m}}$
(Jawaban D)

Misalkan tinggi gedung adalah $x$.
Panjang bayangan tiang diketahui $150~\text{cm} = 1,5~\text{m}.$
Dengan menggunakan konsep kesebangunan, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{Tinggi Tiang}} {\text{Tinggi Gedung}} & = \dfrac{\text{Panjang Bayangan Tiang}} {\text{Panjang Bayangan Gedung}} \\ \dfrac{2}{x} & = \dfrac{1,5}{24} \\ x & = \dfrac{24 \times 2}{1,5} = 32~\text{m} \end{aligned}$$Jadi, tinggi gedung itu adalah $\boxed{32,0~\text{m}}$
(Jawaban A)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dalam sketsa gambar di atas, dimisalkan $x$ sebagai lebar bagian atas dan bawah karton terhadap foto. Karena karton dan foto sebangun, maka berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{30}{40} & = \dfrac{24}{40-2x} \\ \dfrac34 & = \dfrac{24}{40-2x} \\ 3(40-2x) & = 4(24) \\ 120- 6x & = 96 \\ 6x & = 24 \\ x & = 4 \end{aligned}$
Lebar foto = $40-2x=40-2(4)$ $=32~\text{cm}.$
Luas karton yang tidak tertutup foto adalah luas karton dikurangi luas foto, yaitu
$\begin{aligned} L & = L_{\text{karton}}- L_{\text{foto}} \\ & = (30 \times 40)- (24 \times 32) \\ & = 1.200- 768 = 432~\text{cm}^2 \end{aligned}$
(Jawaban C) 

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Alas karton = $16 + 2 + 2 = 20~\text{cm}$ dan tinggi karton = $24 + 2 + x$ $= (26 + x)~\text{cm}.$ Karena foto dan karton sebangun, maka berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{16}{20} & = \dfrac{24}{26+x} \Leftrightarrow \dfrac45 = \dfrac{24}{26+x} \\ 26 + x & = \dfrac{5 \times \cancelto{6}{24}}{\cancel{4}} = 30 \\ x & = 30- 26 = 4 \end{aligned}$
Jadi, lebar karton di bagian bawah foto adalah $\boxed{4~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Misalkan titik pada pohon itu kita sebut sebagai titik $E$.
Segitiga $DCE$ dan $ABE$ sebangun dan kita akan mencari panjang $DE$ yang merupakan lebar sungai. Karena $AB \sim DC$ dan $AE \sim DE$, maka berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{AB}{DC} & = \dfrac{AE}{DE} \Rightarrow \dfrac{\cancelto{4}{8}}{\cancelto{3}{6}} = \dfrac{DE + 4}{DE} \\ 4DE & = 3(DE + 4) \\ 4DE & = 3DE + 12 \\ DE&  = 12~\text{m} \end{aligned}$
Jadi, lebar sungai tersebut adalah $\boxed{12~\text{m}}$ 
(Jawaban B)

Misalkan lebar sungai $= CQ = x.$
Perhatikan bahwa segitiga $ABQ$ sebangun dengan segitiga $ECQ$ sehingga berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{AB}{EC} & = \dfrac{BQ}{CQ} \Rightarrow \dfrac43 = \dfrac{6 + x}{x} \\ 4x & = 3(6 + x) \\ 4x & = 18 + 3x \\ x & = 18 \end{aligned}$
Sekarang, perhatikan bahwa segitiga $ECB$ sebangun dengan segitiga $PQB$ sehingga berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{PQ}{EC} & = \dfrac{QB}{CB} \Rightarrow \dfrac{PQ}{3} = \dfrac{18 + 6}{6} \\ \dfrac{PQ}{3} & = 4 \\ PQ & = 12~\text{m} \end{aligned}$
Jadi, jarak kedua pohon itu adalah $\boxed{12~\text{m}}$
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan $x$ adalah panjang $DE$ (diameter alas kerucut kecil).
Dengan menggunakan konsep kesebangunan segitiga, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{AE}{AC} & = \dfrac{DE}{BC} \\ \dfrac{\cancelto{4}{12}}{\cancelto{5}{15}} & = \dfrac{x}{9} \\ x & = \dfrac{4 \times 9}{5} = \dfrac{36}{5} \end{aligned}$
Dengan demikian, keliling alas kerucut kecil adalah
$\begin{aligned} k & = \pi \times d \\ & = \pi \times \dfrac{36}{5} = \dfrac{36}{5}\pi~\text{cm}. \end{aligned}$
(Jawaban C)

Tarik garis dari titik $C$ sehingga tegak lurus dengan garis $DE$. Misalkan titik potongnya diberi nama titik $F$ seperti tampak pada gambar di bawah.
Dari sini, diketahui bahwa panjang $DF = AB = 12$ dan panjang $CF = AD -BC = 15-10 = 5$. Perhatikan bahwa segitiga siku-siku $ADE$ dan segitiga siku-siku $CFE$ merupakan dua segitiga yang saling sebangun sehingga berlaku
$\begin{aligned} \dfrac{AD}{CF} & = \dfrac{DE}{FE} \\ \dfrac{15}{5} & = \dfrac{12 + FE}{FE} \\ 3 & = \dfrac{12 + FE}{FE} \\ 3FE & = 12 + FE \\ 2FE & = 12 \\ FE & = 6 \end{aligned}$
Akibatnya, $DE = 12 + 6 = 18$.
Luas segitiga $CDE$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L_{\triangle CDE} & = \dfrac{DE \times CF}{2} \\ & = \dfrac{\cancelto{9}{18} \times 5}{\cancel{2}} = 45 \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga $CDE$ adalah $\boxed{45}$
(Jawaban A)

Misalkan $D$ terletak pada $BC$ sehingga $OD \perp BC$.
Sudut $C$ menghadap diameter lingkaran sehingga besarnya $90^{\circ}$. Misalkan juga $AO = OB = r$ dan $OD = t$.
Segitiga siku-siku $ODB$ dan $ACB$ sebangun sehingga
$\begin{aligned} \dfrac{OD}{OB} & = \dfrac{AC}{AB} \\ \dfrac{t}{\cancel{r}} & = \dfrac{12}{2\cancel{r}} \\ t & = 6 \end{aligned}$
Dengan demikian, luas segitiga $CPO$ adalah
$\begin{aligned} L_{\triangle CPO} & = \dfrac12 \times OD \times CP \\ & = \dfrac12 \times 6 \times 9 = 27 \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga $COP$ adalah $\boxed{27}$
(Jawaban D)

Misalkan panjang jari-jari lingkaran kecil, tengah, dan besar berturut-turut adalah $r, x$, dan $R$. Tarik garis lurus yang melalui ketiga pusat lingkaran seperti berikut.
Sekarang dapat dibuat perbandingan berdasarkan kesebangunan segitiga $ABC$ dan $ADE$.
$$\begin{aligned} \dfrac{x-r}{x+r} & = \dfrac{R-r}{r + 2x + R} \\ (x-r)(r+2x+R) & = (x+r)(R-r) \\ rx + 2x^2 + Rx-r^2-2rx-rR & = Rx-rx+rR-r^2 \\ 2x^2 & = 2rR \\ x^2 & = rR \end{aligned}$$Karena luas lingkaran kecil dan besar masing-masing adalah $a^2$ dan $b^2$ sehingga
$$\begin{aligned} a^2 & = \pi r^2 \Leftrightarrow r^2 = \dfrac{a^2}{\pi} \Leftrightarrow r = \dfrac{a}{\sqrt{\pi}} && (\cdots 1) \\ b^2 & = \pi R^2 \Leftrightarrow R^2 = \dfrac{b^2}{\pi} \Leftrightarrow R = \dfrac{b}{\sqrt{\pi}} && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh luas lingkaran tengah, yaitu
$$\begin{aligned} L_T & = \pi x^2 \\ & = \pi (rR) \\ & = \pi \cdot \dfrac{a}{\sqrt{\pi}} \cdot \dfrac{b}{\sqrt{\pi}} \\ & = \cancel{\pi} \cdot \dfrac{ab}{\cancel{\pi}} \\ & = ab \end{aligned}$$Jadi, luas lingkaran tengah adalah $\boxed{ab}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa $\angle TSR$ dan $\angle TPQ$ merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama sehingga $\angle TSR = \angle TPQ.$
Perhatikan juga bahwa $\angle SRT$ dan $\angle PRQ$ saling berseberangan sehingga besarnya sama. Karena ada dua sudut yang sama besar, maka ini cukup untuk mengatakan bahwa $\triangle SRT$ dan $\triangle PRQ$ sebangun.
Dengan demikian, berlaku
$$\begin{aligned} \dfrac{TR}{QR} & = \dfrac{SR}{PR} = \dfrac{ST}{PQ} \\ \dfrac{18}{36} & = \dfrac{m}{26} = \dfrac{n}{40} \\ \dfrac12 & = \dfrac{m}{26} = \dfrac{n}{40} \end{aligned}$$Sesuai persamaan di atas, diperoleh $m = 13$ dan $n = 20.$
Jadi, nilai $\boxed{m+n=13+20=33}$
(Jawaban D)

Panjang bayangan pada dinding pembatas akan menambah panjang benda (nilai $t$) secara langsung.
Misalkan $x$ adalah tinggi benda ketika bayangan “benda yang panjang” tidak sampai menyentuh dinding di belakangnya.
Menurut prinsip kesebangunan, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{x}{6} & = \dfrac23 \\ x & = \dfrac23 \times 6 = 4. \end{aligned}$$Dengan demikian, nilai $t$ adalah $\boxed{x+4=4+4=8}$
(Jawaban B)

Diketahui:
$$\begin{aligned} AD & = 1 + 1 + 1 = 3 \\ CD & = 1 \\ AF & = 1 +1+1+1+1 = 5 \\ EF & = 1 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa $\triangle ADG$ dan $\triangle CDH$ sebangun karena ketiga sudut yang bersesuaian sama besar, yakni $\angle ADG = \angle CDH,$ $\angle DCH = \angle DAG,$ dan berakibat sudut lainnya juga besarnya sama. Oleh karena itu, berlaku perbandingan berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{AD}{AG} & = \dfrac{CD}{HC} \\ \dfrac{3}{AG} & = \dfrac{1}{HC} && (\cdots 1) \end{aligned}$$Segitiga $AFG$ dan $EFJ$ juga sebangun dengan prinsip yang sama seperti di atas. Oleh karena itu, berlaku perbandingan berikut.
$$\begin{aligned} \dfrac{AF}{AG} & = \dfrac{EF}{JE} \\ \dfrac{5}{AG} & = \dfrac{1}{JE} \\ \dfrac{AG}{5} & = JE && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dengan mengalikan kedua persamaan itu sesuai ruasnya, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{3}{AG} \cdot \dfrac{AG}{5} & = \dfrac{1}{HC} \cdot JE \\ \dfrac35 & = \dfrac{JE}{HC} \\ \dfrac{HC}{JE} & = \dfrac53. \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\dfrac{HC}{JE}$ adalah $\boxed{\dfrac53}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Panjang $AB$ dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} AB & = \sqrt{AC^2 + BC^2} \\ & = \sqrt{4^2 + 3^2} \\ & = \sqrt{25} = 5~\text{m} \end{aligned}$
Dengan menggunakan prinsip kesebangunan pada segitiga siku-siku $ABC$ dan $AED$, yaitu memakai perbandingan panjang hipotenusa dan tinggi segitiganya, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{BC}{ED} & = \dfrac{AB}{AE} \\ \Rightarrow \dfrac{3}{t} & = \dfrac{5}{5 + 1.540} \\ \dfrac{3}{t} & = \dfrac{1}{309} \\ t & = 3 \times 309 = 927~\text{m} \end{aligned}$
Jadi, tinggi bukit tersebut diperkirakan $\boxed{927~\text{m}}$

Dari gambar, diketahui bahwa $\triangle ABC$ sebangun dengan $\triangle EBD$.
Perhatikan bahwa $L_{\triangle EBD} = L_{\triangle ABC} + L_{ACDE}$.
Karena luas segitiga $ABC$ sama dengan luas trapesium $ACDE$, maka diperoleh
$L_{\triangle EBD} = 2L_{\triangle ABC}$, artinya $L_{\triangle EBD} : L_{\triangle ABC} = 2 : 1$.
Berdasarkan prinsip kesebangunan bangun datar, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{L_{\triangle ABC}}{L_{\triangle EBD}} & = \dfrac{AC^2}{ED^2} \\ \dfrac12 & = \dfrac{AC^2}{(\sqrt8)^2} \\ \dfrac12 & = \dfrac{AC^2}{8} \\ AC^2 & = \dfrac{8}{2} = 4 \\ AC & = \sqrt4 = 2~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $\boxed{AC = 2~\text{cm}}$

Posisikan titik $X, Y, Z, A, B, C$ seperti gambar berikut.
$\triangle XYZ$ sebangun dengan $\triangle ABC$ dengan perbandingan sisi yang bersesuaian $XY \sim AB$ dan $YZ \sim BC$. Akibatnya,
$YZ = \dfrac12 = \dfrac16BC$ dan juga $XY = \dfrac16AB$.
Oleh karena itu,
$\begin{aligned} L_{\triangle XYZ} & = \dfrac12 \cdot \left(\dfrac16 \cdot 2\right) \cdot \left(\dfrac16 \cdot 3\right) \\ & =  \dfrac12 \cdot \dfrac 13 \cdot \dfrac12 = \dfrac{1}{12} \end{aligned}$
Jadi, luas segi lima yang diarsir adalah $\boxed{1-\dfrac{1}{12}=\dfrac{11}{12}}$