asask
Soal Nomor 1
Seseorang melempar dua koin sebanyak 40 kali. Frekuensi harapan munculnya satu angka dan satu gambar adalah $\cdots$ kali.
A. $5$ C. $15$ E. $25$
B. $10$ D. $20$
Dari sebuah kantong berisi 3 bola merah, 2 bola kuning, dan 5 bola hijau, secara acak diambil dua bola satu per satu tanpa dikembalikan. Tentukan peluang kedua bola yang diambil berwarna hijau.
Perhatikan bahwa bola pertama dan bola kedua yang diinginkan berwarna hijau. Ini berarti, kasus tersebut merupakan kejadian majemuk dengan kata penghubung “dan”.
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian terambilnya bola hijau pada pengambilnya pertama dan kedua. Dengan demikian,
$$P(A) = \dfrac{\text{jumlah bola hijau}}{\text{jumlah semua bola}} = \dfrac{5}{3+2+5} = \dfrac{5}{10} = \dfrac12$$dan
$$P(B) =\dfrac{\text{jumlah bola hijau}}{\text{jumlah semua bola}} = \dfrac{5-1}{3+2+5-1} = \dfrac49$$ karena jumlah bola hijau berkurang $1,$ begitu juga dengan jumlah semua bola. Selanjutnya,
$$\begin{aligned} P(A \cap B)& = P(A) \times P(B) \\ & = \dfrac12 \times \dfrac49 = \dfrac29. \end{aligned}$$Jadi, peluang kedua bola yang diambil berwarna hijau adalah $\boxed{\dfrac29.}$ [/spoiler]
Soal Nomor 2
Seseorang melempar dua koin sebanyak 40 kali. Frekuensi harapan munculnya satu angka dan satu gambar adalah $\cdots$ kali.
A. $5$ C. $15$ E. $25$
B. $10$ D. $20$
Di dalam kotak terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng biru. Diambil dua kelereng satu per satu tanpa pengembalian. Hitung peluang terambilnya kelereng merah pada pengambilan pertama dan kelereng biru pada pengambilan kedua.
Jelas bahwa kasus ini merupakan kejadian majemuk dengan kata penghubung “dan”.
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian terambilnya kelereng merah pada pengambilan pertama dan kelereng biru pada pengambilan kedua. Dengan demikian,
$$P(A) = \dfrac{\text{jumlah kelereng merah}}{\text{jumlah semua kelereng}} = \dfrac{4}{4+6} = \dfrac{2}{5}$$dan
$$P(B) =\dfrac{\text{jumlah kelereng biru}}{\text{jumlah semua kelereng}} = \dfrac{6}{4+6-1} = \dfrac23$$ karena $1$ bola merah telah diambil. Selanjutnya,
$$\begin{aligned} P(A \cap B)& = P(A) \times P(B) \\ & = \dfrac25 \times \dfrac23 = \dfrac{4}{15}. \end{aligned}$$Jadi, peluang terambilnya kelereng merah pada pengambilan pertama dan kelereng biru pada pengambilan kedua adalah $\boxed{\dfrac{4}{15}}.$ [/spoiler]
Dalam sebuah kotak terdapat 8 kelereng, terdiri dari 3 merah, 2 biru, dan 3 putih. Dua kelereng diambil satu per satu tanpa dikembalikan. Hitung peluang bahwa tidak ada kelereng biru yang terambil.
Perhatikan bahwa kelereng pertama dan kelereng kedua yang diinginkan adalah kelereng yang bukan berwarna biru. Ini berarti, kasus tersebut merupakan kejadian majemuk dengan kata penghubung “dan”.
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian terambilnya kelereng bukan biru (artinya, merah atau putih) pada pengambilan pertama dan kedua. Dengan demikian,
$$P(A) = \dfrac{\text{jumlah kelereng merah+putih}}{\text{jumlah semua kelereng}} = \dfrac{3+3}{3+2+3} = \dfrac{3}{4}$$dan
$$P(B) =\dfrac{\text{jumlah kelereng merah+putih}}{\text{jumlah semua kelereng}} = \dfrac{3+3-1}{3+2+3-1} = \dfrac{5}{7}$$ karena $1$ kelereng bukan biru telah diambil. Selanjutnya,
$$\begin{aligned} P(A \cap B)& = P(A) \times P(B) \\ & = \dfrac34 \times \dfrac57 = \dfrac{15}{28}. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa tidak ada kelereng biru yang terambil adalah $\boxed{\dfrac{15}{28}}.$ [/spoiler]
Sebuah kotak berisi 10 kartu bernomor 1 sampai 10. Diambil dua kartu satu per satu tanpa dikembalikan. Tentukan peluang bahwa kedua kartu yang diambil bernomor genap.
Perhatikan bahwa kartu pertama dan kartu kedua yang diinginkan bernomor genap. Ini berarti, kasus tersebut merupakan kejadian majemuk dengan kata penghubung “dan”.
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian terambilnya kartu bernomor genap pada pengambilan pertama dan kedua. Dari $1$ sampai $10,$ total ada $5$ nomor genap, yaitu $2, 4, 6, 8,$ dan $10.$ Dengan demikian,
$$P(A) = \dfrac{\text{jumlah kartu bernomor genap}}{\text{jumlah semua kartu}} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$$dan
$$P(B) =\dfrac{\text{jumlah kartu bernomor genap}}{\text{jumlah semua kartu}} = \dfrac{5-1}{10-1} = \dfrac49$$ karena $1$ kartu bernomor genap telah diambil. Selanjutnya,
$$\begin{aligned} P(A \cap B)& = P(A) \times P(B) \\ & = \dfrac12 \times \dfrac49 = \dfrac{2}{9}. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa kedua kartu yang diambil bernomor genap adalah $\boxed{\dfrac29}.$ [/spoiler]
Dalam kantong terdapat 2 dadu kecil berwarna merah dan biru. Sebuah dadu dilempar satu per satu. Hitung peluang mata dadu pertama genap dan mata dadu kedua ganjil.
Jelas bahwa kasus ini merupakan kejadian majemuk dengan kata penghubung “dan”.
Misalkan $A$ dan $B$ berturut-turut menyatakan kejadian munculnya mata dadu pertama genap dan mata dadu kedua ganjil. Ada $3$ mata dadu genap, yaitu $2, 4,$ dan $6$, begitu juga dengan mata dadu ganjil, yaitu $1, 3,$ dan $5.$ Dengan demikian,
$$P(A) = \dfrac{\text{banyaknya mata dadu genap}}{\text{banyaknya mata dadu berbeda}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac12$$dan
$$P(B) =\dfrac{\text{banyaknya mata dadu ganjil}}{\text{banyaknya mata dadu berbeda}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$sehingga diperoleh
\begin{aligned} P(A \cap B)& = P(A) \times P(B) \\ & = \dfrac12 \times \dfrac12 = \dfrac{1}{4}. \end{aligned}$$Jadi, peluang mata dadu pertama genap dan mata dadu kedua ganjil adalah$\boxed{\dfrac{1}{4}}.$ [/spoiler]
Tentukan banyaknya himpunan bagian dari $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ yang memuat himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ atau $\{4, 5, 6\}.$
Misalkan $S = \{1, 2, 4, 4, 5, 6, 7\}.$ Misalkan juga $A$ menyatakan himpunan bagian dari $S$ yang memuat $\{1, 2, 3, 4, 5\},$ sedangkan $B$ menyatakan himpunan bagian dari $S$ yang memuat $\{4, 5, 6\}.$ Dalam hal ini, kita hendak menentukan
$$|A \cup B| = |A|+|B|-|A \cap B|.$$Langkah 1: Menentukan nilai $|A|.$
Perhatikan bahwa $A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \cup X$ dengan $X \subseteq \{6, 7\}.$ Masing-masing anggota $X$ memiliki dua kondisi, muncul atau tidak muncul. Karena $X$ terdiri atas dua anggota, banyak kemungkinannya adalah $|A| = |X| = 2^2 = 4,$ yaitu $X = \{ \},$ $X = \{6\},$ $X = \{7\},$ dan $X = \{6, 7\}.$
Langkah 2: Menentukan nilai $|B|.$
Perhatikan bahwa $B = \{4, 5, 6\} \cup Y$ dengan $Y \subseteq \{1, 2, 3, 7\}.$ Masing-masing anggota $Y$ memiliki dua kondisi, muncul atau tidak muncul. Karena $Y$ terdiri atas empat anggota, banyak kemungkinannya adalah $|B| = |Y| = 2^4 = 16.$
Langkah 3: Menentukan nilai $|A \cup B|.$
Perhatikan bahwa $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \cup Z$ dengan $Z \subseteq \{7\}.$ Masing-masing anggota $Z$ memiliki dua kondisi, muncul atau tidak muncul. Karena $Z$ terdiri atas satu anggota, banyak kemungkinannya adalah $|A \cup B| = |Z| = 2^1 = 2.$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} |A \cup B| & = |A|+|B|-|A \cap B| \\ & = 4 + 16 -2 = 18. \end{aligned}$$Jadi, banyaknya himpunan bagian dari $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ yang memuat himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ atau $\{4, 5, 6\}$ adalah $\boxed{18}.$ [/spoiler]