Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Soal Cerita (Aplikasi) Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

           Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) merupakan salah satu materi matematika (wajib / peminatan) yang dipelajari saat tingkat SMA, tepatnya di kelas X. Materi ini sebenarnya merupakan lanjutan dari materi SPLDV yang sudah dipelajari saat tingkat SMP. Oleh karenanya, pembaca disarankan sudah menguasai metode penyelesaian SPLDV terlebih dahulu.
       Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTVdiartikan sebagai kumpulan persamaan linear yang memuat tiga variabel dengan bentuk umum
$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{cases}$
            Untuk memantapkan pemahaman tentang materi SPLTV ini, berikut disajikan sejumlah soal beserta pembahasannya yang super lengkap dengan tipe berupa soal cerita (aplikasi).

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Soal Ingatan & Pemahaman Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Today Quote

Thank you, Teacher, for guiding us, for inspiring us, for making us what we are today.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1 
Diketahui keliling segitiga $ABC$ $70$ cm. Panjang $AC$ adalah $2$ cm lebihnya dari panjang $AB$. Panjang $BC$ adalah $6$ cm kurangnya dari panjang $AC$. Jika $x$ menyatakan panjang $AB$, $y$ menyatakan panjang $BC$, dan $z$ menyatakan panjang $AC$, maka SPLTV dari hubungan panjang sisi-sisi segitiga $ABC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{cases} x+y+z & = 35 \\ x-z & = -2 \\ y-z & = -6 \end{cases}$
B. $\begin{cases} x+y+z & = 35 \\ x-z & = 2 \\ y-z & = 6 \end{cases}$
C. $\begin{cases} x+y+z & = 70 \\ x-z & = 2 \\ y-z & = 6 \end{cases}$
D. $\begin{cases} x+y+z & = 70 \\ x-z & = -2 \\ y-z & = 6 \end{cases}$
E. $\begin{cases} x+y+z & = 70 \\ x-z & = -2 \\ y-z & = -6 \end{cases}$

Pembahasan

Dimisalkan bahwa $x = |AB|, y = |BC|, z = |AC|$ dalam satuan cm (notasi garis tegak menyatakan panjang).
Diketahui keliling segitiga $ABC$ $70$ cm. Keliling adalah jumlah dari semua panjang sisi-sisi bangun datar. Untuk itu, kita peroleh persamaan
$\boxed{x + y + z = 70}$
Panjang $AC$ $(z)$ adalah $2$ cm lebihnya dari panjang $AB$ $(x)$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{z = x + 2 \Leftrightarrow x-z =-2}$
Panjang $BC$ $(y)$ adalah $6$ cm kurangnya dari panjang $AC$ $(z)$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{y = z-6 \Leftrightarrow y-z = -6}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} x+y+z & = 70 \\ x-z & = -2 \\ y-z & = -6 \end{cases}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2 
Bu Sari mempunyai uang pecahan lima ribuan, sepuluh ribuan, dan dua puluh ribuan. Jumlah uang tersebut adalah Rp160.000,00. Uang pecahan sepuluh ribuan $6$ lembar lebih banyak daripada uang pecahan lima ribuan. Banyak lembar uang pecahan dua puluh ribuan dua kali banyak lembar uang pecahan lima ribuan. Jika $x$ menyatakan banyak lembar uang lima ribuan, $y$ menyatakan banyak lembar uang sepuluh ribuan, dan $z$ menyatakan banyak lembar uang dua puluh ribuan, maka SPLTV yang menyatakan hubungan pecahan-pecahan uang tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{cases} x+2y+4z & = 16 \\ x-y & = -6 \\ 2x-z & = 0 \end{cases}$
B. $\begin{cases} x+2y+4z & = 32 \\ x-y & = -6 \\ 2x-z & = 0 \end{cases}$
C. $\begin{cases} x+2y+4z & = 32 \\ x-y & = 6 \\ 2x-z & = 0 \end{cases}$
D. $\begin{cases} x+2y+4z & = 32 \\ x-y & = 6 \\ x-2z & = 0 \end{cases}$
E. $\begin{cases} x+2y+4z & = 16 \\ x-y & = -6 \\ x-2z & = 0 \end{cases}$

Pembahasan

Dimisalkan bahwa $x, y, z$ berturut-turut menyatakan banyak lembar uang lima ribuan, sepuluh ribuan, dan dua puluh ribuan.
Jumlah uang Bu Sari adalah Rp160.000,00. Secara matematis, ditulis
$5.000x + 10.000y + 20.000z = 160.000$
dan disederhanakan menjadi
$\boxed{x + 2y + 4z = 32}$
Uang pecahan sepuluh ribuan $6$ lembar lebih banyak daripada uang pecahan lima ribuan. Secara matematis, ditulis
$\boxed{y = x + 6 \Leftrightarrow x-y = -6}$
Banyak lembar uang pecahan dua puluh ribuan dua kali banyak lembar uang pecahan lima ribuan. Secara matematis, ditulis
$\boxed{z = 2x \Leftrightarrow 2x-z = 0}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} x+2y+4z & = 32 \\ x-y & = -6 \\ 2x-z & = 0 \end{cases}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 3
Sebuah toko alat tulis menyediakan spidol aneka warna. Perbandingan antara banyak spidol biru dan spidol merah adalah $3 : 4$. Perbandingan antara banyak spidol merah dan spidol hitam adalah $4 : 5$. Jumlah ketiga jenis spidol tersebut adalah $430$ buah. Jika $x, y, z$ berturut-turut menyatakan banyak spidol biru, merah, dan hitam, maka SPLTV yang menyatakan hubungan ketiga jenis spidol adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{cases} x & = \frac34 y \\ y & = \frac45 z \\ x + y + z & = 430 \end{cases}$
B. $\begin{cases} x & = \frac34 y \\ y & = \frac54 z \\ x + y + z & = 430 \end{cases}$
C. $\begin{cases} x & = \frac43 y \\ y & = \frac45 z \\ x + y + z & = 430 \end{cases}$
D. $\begin{cases} 4x & = 3y \\ 4y & = 5z \\ x + y + z & = 430 \end{cases}$
E. $\begin{cases} 3x & = 4y \\ 4y & = 5z \\ x + y + z & = 430 \end{cases}$

Pembahasan

Dimisalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan banyak spidol biru, merah, dan hitam.
Perbandingan antara banyak spidol biru $(x)$ dan spidol merah $(y)$ adalah $3 : 4$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{\dfrac{x}{y} = \dfrac34 \Leftrightarrow x = \dfrac34y}$
Perbandingan antara banyak spidol merah $(y)$ dan spidol hitam $(z)$ adalah $4 : 5$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{\dfrac{y}{z} = \dfrac45 \Leftrightarrow y = \dfrac45z}$
Jumlah ketiga jenis spidol tersebut adalah $430$ buah. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x + y + z = 430}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} x & = \frac34y \\ y & = \frac45z \\ x + y + z & = 430 \end{cases}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 4
Diketahui Deksa $4$ tahun lebih tua dari Elisa. Diketahui juga bahwa Elisa $3$ tahun lebih tua dari Firda. Jika jumlah umur Deksa, Elisa, dan Frida adalah $58$ tahun, maka jumlah umur Deksa dan Firda adalah $\cdots \cdot$
A. $52$ tahun                     D. $39$ tahun
B. $45$ tahun                     E. $35$ tahun
C. $42$ tahun

Pembahasan

Misalkan umur Deksa, Elisa, dan Firda sekarang berturut-turut dinotasikan dengan $D, E$, dan $F$.
Diketahui Deksa $4$ tahun lebih tua dari Elisa. Secara matematis, ditulis
$\boxed{D = E + 4}$
Diketahui juga bahwa Elisa $3$ tahun lebih tua dari Firda. Secara matematis, ditulis
$\boxed{E = F + 3}$
Jumlah umur Deksa, Elisa, dan Frida adalah $58$ tahun, sehingga ditulis
$\boxed{D + E + F = 58}$
Sekarang, kita memperoleh SPLTV
$\begin{cases} D & = E + 4 && (\cdots 1) \\ E & = F + 3 && (\cdots 2) \\ D + E + F & = 58 && (\cdots 3) \end{cases}$
Substitusi persamaan $(2)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} D & = \color{red}{E} + 4 \\ D & = (F + 3)+4 = F + 7 && (\cdots 4) \end{aligned}$
Substitusi persamaan $(2)$ dan $(4)$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} \color{blue}{D}+\color{red}{E}+F & = 58 \\ (F+7)+(F+3)+F & = 58 \\ 3F+10&=58 \\ 3F & = 48 \\ F & = 16 \end{aligned}$
Karena $F = 16$, maka
$D = \color{red}{16} + 7 = 23$
Jadi, jumlah umur Deksa dan Firda adalah $\boxed{D+F=23+16=39~\text{tahun}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 5
Diketahui harga $4$ kg salak, $1$ kg jambu, dan $2$ kg kelengkeng adalah Rp54.000,00. Harga $1$ kg salak, $2$ kg jambu, dan $2$ kg kelengkeng adalah Rp43.000,00. Harga $3$ kg salak, $1$ kg jambu, dan $1$ kg kelengkeng adalah Rp37.750,00. Harga $1$ kg jambu adalah $\cdots \cdot$
A. Rp6.500,00                   D. Rp9.250,00
B. Rp7.000,00                   E. Rp9.750,00
C. Rp8.500,00

Pembahasan

Misalkan harga salak, jambu, dan kelengkeng per kilogram berturut-turut dinotasikan dengan $S, J$, dan $K$. Dari keterangan yang diberikan, dapat dibuat SPLTV
$\begin{cases} 4S + J + 2K & = 54.000 && (\cdots 1) \\ S + 2J + 2K & = 43.000 && (\cdots 2) \\ 3S + J + K & = 37.750 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $K$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4S + J + 2K & = 54.000 \\ S + 2J + 2K & = 43.000 \end{aligned} \\ \rule{4.2 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} 3S-J & = 11.000 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $K$ dari persamaan $(1)$ dan $(3)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4S+J+2K & = 54.000 \\ 3S + J + K & = 37.750 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4S+J+2K& = 54.000 \\~6S+2J+2K& = 75.500 \end{aligned} \\ & \rule{4.6 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 2S + J & = 21.500 && (\cdots 5) \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $S$ dari persamaan $(4)$ dan $(5)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3S-J & = 11.000 \\ 2S + J & = 21.500 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6S-2J& = 22.000 \\ 6S+3J& =64.500 \end{aligned} \\ & \rule{3.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -5J & = -42.500 \\ J & = 8.500 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, harga $1$ kg jambu adalah Rp8.500,00.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jumlah tiga bilangan adalah $75$. Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah dua bilangan lain. Bilangan kedua sama dengan $\dfrac14$ dari jumlah dua bilangan lain. Bilangan pertamanya adalah $\cdots \cdot$
A. $15$                C. $30$                  E. $40$
B. $20$                D. $35$

Pembahasan

Misalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan bilangan pertama, kedua, dan ketiga.
Jumlah tiga bilangan itu adalah $75$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x + y + z = 75}$
Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah dua bilangan lain. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x = (y + z) + 5 \Leftrightarrow x-y-z = 5}$
Bilangan kedua sama dengan $\dfrac14$ dari jumlah dua bilangan lain. Secara matematis, ditulis
$\boxed{y = \dfrac14(x+z) \Leftrightarrow x-4y+z = 0}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} x+y+z & = 75 && (\cdots 1) \\ x-y-z & = 5 && (\cdots 2) \\ x-4y+z & = 0 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dan $z$ sekaligus dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y+z & = 75 \\ x-y-z & = 5 \end{aligned} \\ \rule{3.2 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2x & = 80 \\ x & = 40 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, bilangan pertamanya adalah $\boxed{40}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui bilangan tiga angka $\overline{xyz}$. Nilai $x$ ditambah $y$ hasilnya $10$. Nilai $x$ dikurangi $z$ hasilnya $5$. Nilai $y$ dikurangi $z$ hasilnya $3$. Bilangan $\overline{xyz}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $641$                        D. $461$
B. $514$                        E. $416$
C. $513$

Pembahasan

SPLTV yang sesuai dengan permasalahan di atas adalah
$\begin{cases} x+y & = 10 && (\cdots 1) \\ x-z & = 5 && (\cdots 2) \\ y-z & = 3 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y & = 10 \\ x-z & = 5 \end{aligned} \\ \rule{2.5 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} y + z & = 5 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $z$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} y-z & = 3 \\ y+z & = 5 \end{aligned} \\ \rule{2.5 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2y & = 8 \\ y & = 4 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $\color{red}{y=4}$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} x + \color{red}{y} & = 10 \\ x + 4 & = 10 \\ x & = 6 \end{aligned}$
Substitusi $\color{red}{y=4}$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} \color{red}{y}-z & = 3 \\ 4-z & = 3 \\ z & = 1 \end{aligned}$
Jadi, bilangan itu adalah $\boxed{\overline{xyz} = 641}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Farly mempunyai kelereng merah, biru, dan hijau. Perbandingan antara banyak kelereng merah dan biru adalah $3 : 4$. Jumlah kelereng merah dan hijau adalah $27$. Jika dua kali banyak kelereng biru ditambah banyak kelereng hijau sama dengan $37$, maka banyak kelereng merah, biru, dan hijau berturut-turut yang dimiliki Farly adalah $\cdots \cdot$
A. $12, 16$, dan $20$
B. $12, 16$, dan $18$
C. $12, 16$, dan $15$
D. $6, 8$, dan $21$
E. $6, 8$, dan $15$

Pembahasan

Misalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan banyaknya kelereng merah, biru, dan hijau.
Perbandingan antara banyak kelereng merah $(x)$ dan biru $(y)$ adalah $3 : 4$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{\dfrac{x}{y} = \dfrac34 \Leftrightarrow 4x-3y = 0}$
Jumlah kelereng merah $(x)$ dan hijau $(z)$ adalah $27$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x + z = 27}$
Dua kali banyak kelereng biru $(y)$ ditambah banyak kelereng hijau $(z)$ sama dengan $37$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{2y + z = 37}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} 4x-3y & = 0 && (\cdots 1) \\ x + z & = 27 && (\cdots 2) \\ 2y + z & = 37 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4x-3y & = 0 \\ x+z & = 27 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 4 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4x-3y & = 0 \\ 4x+4z & = 108 \end{aligned} \\ & \rule{3.3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 3y + 4z & = 108 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2y + z & = 37 \\ 3y+4z & = 108 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~8y+4z & = 148 \\ 3y+4z & = 108 \end{aligned} \\ & \rule{3.3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 5y & = 40 \\ y & = 8 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $\color{red}{y = 8}$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} 2\color{red}{y} + z & = 37 \\ 2(8) + z & = 37 \\ 16+z & = 37 \\ z & = 21 \end{aligned}$
Substitusi $\color{blue}{z = 21}$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} x + \color{blue}{z} & = 27 \\ x + 21 & = 27 \\ x & = 6 \end{aligned}$
Jadi, banyaknya kelereng merah, biru, dan hijau berturut-turut adalah $\boxed{6, 8,~\text{dan}~21}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 9
Harga $3$ buku tulis, $2$ pensil, dan $3$ bolpoin adalah Rp15.700,00. Harga $2$ buku tulis dan $3$ pensil adalah Rp9.200,00. Harga $4$ pensil dan $3$ bolpoin adalah Rp11.000,00. Jika seorang siswa membeli $2$ buku, $1$ pensil, dan $1$ bolpoin, maka ia harus membayar uang sebesar $\cdots \cdot$
A. Rp5.700,00                  D. Rp8.800,00
B. Rp6.700,00                  E. Rp10.700,00
C. Rp8.200,00

Pembahasan

Misalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan harga $1$ buku tulis, pensil, dan bolpoin dalam rupiah.
SPLTV yang sesuai dengan permasalahan di atas adalah
$\begin{cases} 3x+2y+3z & = 15.700 && (\cdots 1) \\ 2x + 3y & = 9.200 && (\cdots 2) \\ 4y + 3z & = 11.000 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x+2y+3z & = 15.700 \\ 2x + 3y & = 9.200 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6x+4y+6z & = 31.400 \\ 6x+9y & = 27.600 \end{aligned} \\ & \rule{4.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -5y+6z & = 3.800 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4y+3z & = 11.000 \\ -5y + 6z & = 3.800 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 2 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~8y + 6z & = 22.000 \\ -5y + 6z & = 3.800 \end{aligned} \\ & \rule{3.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 13y & = 18.200 \\ y & = 1.400 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $\color{red}{y = 1.400}$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 2x + 3\color{red}{y} & = 9.200 \\ 2x + 3(1.400) & = 9.200 \\ 2x + 4.200 & = 9.200 \\ 2x & = 5.000 \\ x & = 2.500 \end{aligned}$
Substitusi $\color{red}{y = 1.400}$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} 4\color{red}{y} + 3z & = 11.000 \\ 4(1.400) + 3z & = 11.000 \\ 5.600 + 3z & = 11.000 \\ 3z & = 5.400 \\ z & = 1.800 \end{aligned}$
Jadi, harga $1$ buku tulis, pensil, dan bolpoin berturut-turut adalah Rp2.500,00; Rp1.400,00; dan Rp1.800,00.
Seorang siswa membeli $2$ buku, $1$ pensil, dan $1$ bolpoin. Uang yang harus dibayar olehnya adalah
$\begin{aligned} 2x+y+z & = 2(2.500)+1.400+1.800 \\ & = \text{Rp}8.200,00 \end{aligned}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 10
Resty mempunyai pita hias berwarna merah, ungu, dan kuning. Jumlah panjang ketiga pita hias tersebut adalah $275$ cm. Panjang pita ungu $5$ cm kurangnya dari panjang pita kuning. Panjang pita kuning $20$ cm lebihnya dari panjang pita merah. Jika pita kuning dipakai sepanjang $35$ cm, maka panjang pita kuning tersisa adalah $\cdots \cdot$
A. $45$ cm                     D. $75$ cm
B. $50$ cm                     E. $80$ cm
C. $65$ cm

Pembahasan

Misalkan $M, U, K$ berturut-turut menyatakan panjang pita merah, ungu, dan kuning dalam satuan cm.
Jumlah panjang ketiga pita hias tersebut adalah $275$ cm. Secara matematis, ditulis
$\boxed{M + U + K = 275}$
Panjang pita ungu $5$ cm kurangnya dari panjang pita kuning. Secara matematis, ditulis
$\boxed{U = K-5}$
Panjang pita kuning $20$ cm lebihnya dari panjang pita merah. Secara matematis, ditulis
$\boxed{K = M+20 \Leftrightarrow M = K-20}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} M + U + K & = 275 && (\cdots 1) \\ U & = K-5 && (\cdots 2) \\ M & = K-20 && (\cdots 3) \end{cases}$
Substitusi persamaan $(2)$ dan $(3)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} \color{red}{M} + \color{blue}{U} + K & = 275 \\ (K-20)+(K-5)+K & = 275 \\ 3K-25 & = 275 \\ 3K & = 300 \\ K & = 100 \end{aligned}$
Jadi, panjang pita kuning adalah $100$ cm. Karena dipakai sepanjang $35$ cm, maka panjang sisa pita kuning adalah $\boxed{65~\text{cm}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Tiga tahun lalu, jumlah usia Hengki, Vio, dan Sunarti adalah $33$ tahun. Sekarang, usia Hengki $2$ tahun kurangnya dari usia Vio, sedangkan jumlah usia Vio dan Sunarti adalah $30$ tahun. Jika sekarang tahun $2020$, maka Hengki lahir pada tahun $\cdots \cdot$
A. $2009$                       D. $2005$
B. $2008$                       E. $2003$
C. $2007$

Pembahasan

Misalkan usia Hengki, Vio, dan Sunarti (dalam satuan tahun) sekarang berturut-turut dinotasikan dengan $H, V$, dan $S$
Tiga tahun lalu, jumlah usia Hengki, Vio, dan Sunarti adalah $33$ tahun. Secara matematis, ditulis
$\begin{aligned} (H-3)+(V-3)+(S-3) & = 33 \\ H+V+S-9 & = 33 \\ H+V+S & = 42 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh persamaan $\boxed{H+V+S = 42}$
Sekarang, usia Hengki $2$ tahun kurangnya dari usia Vio. Secara matematis, ditulis

$\boxed{H = V-2 \Leftrightarrow V = H+2}$
Jumlah usia Vio dan Sunarti adalah $30$ tahun. Secara matematis, ditulis
$\boxed{V + S = 30}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} H+V+S & = 42 && (\cdots 1) \\ V & = H+2 && (\cdots 2) \\ V+S & = 30 && (\cdots 3) \end{cases}$
Substitusi persamaan $(2)$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} \color{red}{V}+S & = 30 \\ (H+2)+S & = 30 \\ S & = 28-H && (\cdots 4) \end{aligned}$
Substitusi persamaan $(2)$ dan $(4)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} H+V+S & = 42 \\ H+(\cancel{H}+2)+(28-\cancel{H}) & = 42 \\ H + 30 & = 42 \\ H & = 12 \end{aligned}$
Jadi, usia Hengki sekarang adalah $12$ tahun. Jika sekarang tahun $2020$, maka Hengki lahir pada tahun $\boxed{2008}$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Empat tahun mendatang, jumlah umur Sukardi, Dennis, dan Willy adalah $52$ tahun. Enam tahun yang lalu, perbandingan umur Sukardi dan Dennis adalah $1 : 3$, sedangkan umur Dennis dan Willy berbanding $3 : 7$. Umur Willy sekarang adalah $\cdots \cdot$
A. $8$ tahun                      D. $16$ tahun
B. $10$ tahun                    E. $20$ tahun
C. $12$ tahun

Pembahasan

Misalkan $S, D, W$ berturut-turut menyatakan umur Sukardi, Dennis, dan Willy sekarang (dalam satuan tahun).
Empat tahun mendatang, jumlah umur Sukardi, Dennis, dan Willy adalah $52$ tahun. Secara matematis, ditulis
$\begin{aligned} (S+4)+(D+4)+(W+4) & = 52 \\ S+D+W+12 & = 52 \\ S+D+W & = 40 \end{aligned}$
Diperoleh persamaan $\boxed{S+D+W=40}$
Enam tahun yang lalu, perbandingan umur Sukardi dan Dennis adalah $1 : 3$.
Secara matematis, ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{S-6}{D-6} & = \dfrac13 \\ 3(S-6) & = D-6 \\ 3S-18 & = D-6 \\ 3S-D & = 12 \end{aligned}$
Diperoleh persamaan $\boxed{3S-D=12}$
Enam tahun yang lalu, umur Dennis dan Willy berbanding $3 : 7$.
Secara matematis, ditulis
$\begin{aligned} \dfrac{D-6}{W-6} & = \dfrac37 \\ 7(D-6) & = 3(W-6) \\ 7D-42 & = 3W-18 \\ 7D-3W & = 24 \end{aligned}$
Diperoleh persamaan $\boxed{7D-3W = 42}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} S+D+W & = 40 && (\cdots 1) \\ 3S-D & = 12 && (\cdots 2) \\ 7D-3W & = 24 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $S$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} S+D+W & = 40 \\ 3S-D & = 12 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3S+3D+3W & = 120 \\~3S-D & = 12\end{aligned} \\ & \rule{4.3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 4D+3W & = 108 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $D$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 7D-3W & = 24 \\ 4D+3W & = 108 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 4 \\ \times 7 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~28D-12W & = 96 \\~28D+21W & = 756 \end{aligned} \\ & \rule{3.8cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -33W & = -660 \\ W & = 20 \end{aligned} \end{aligned}$
Jadi, umur Willy sekarang adalah $\boxed{20~\text{tahun}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 13
Pak Sukardi mempunyai uang Rp150.000,00 yang terdiri atas $a$ lembar uang lima ribuan, $b$ lembar uang sepuluh ribuan, dan $c$ lembar uang dua puluh ribuan. Pak Sintan mempunyai uang Rp330.000,00 yang terdiri atas $b$ lembar uang dua puluh ribuan dan $c$ lembar uang lima puluh ribuan. Pak Ridwan mempunyai uang Rp600.000,00 yang terdiri atas $a$ lembar uang lima puluh ribuan dan $c$ lembar uang seratus ribuan. Jika Pak Akwila hanya mempunyai $c$ lembar uang seratus ribuan, maka uang Pak Akwila sebanyak $\cdots \cdot$
A. Rp400.000,00
B. Rp500.000,00
C. Rp700.000,00
D. Rp1.000.000,00
E. Rp1.500.000,00

Pembahasan

Perhatikan bahwa $a, b, c$ menyatakan variabel yang mewakili banyaknya lembaran uang tertentu.
Pak Sukardi mempunyai uang Rp150.000,00 yang terdiri atas $a$ lembar uang lima ribuan, $b$ lembar uang sepuluh ribuan, dan $c$ lembar uang dua puluh ribuan.
Secara matematis, ditulis
$5.000a + 10.000b + 20.000c = 150.000$
dan dapat disederhanakan menjadi
$\boxed{a + 2b + 4c = 30}$
Pak Sintan mempunyai uang Rp330.000,00 yang terdiri atas $b$ lembar uang dua puluh ribuan dan $c$ lembar uang lima puluh ribuan.
Secara matematis, ditulis
$20.000b + 50.000c = 330.000$
dan dapat disederhanakan menjadi
$\boxed{2b + 5c = 33}$
Pak Ridwan mempunyai uang Rp600.000,00 yang terdiri atas $a$ lembar uang lima puluh ribuan dan $c$ lembar uang seratus ribuan.
Secara matematis, ditulis
$50.000a + 100.000c = 600.000$
dan dapat disederhanakan menjadi
$\boxed{a + 2c = 12}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} a + 2b + 4c & = 30 && (\cdots 1) \\ 2b + 5c & = 33 && (\cdots 2) \\ a + 2c & = 12 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $b$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+2b+4c & = 30 \\ 2b+5c & = 33 \end{aligned} \\ \rule{3.1 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} a-c & = -3 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $a$ pada persamaan $(3)$ dan $(4)$ untuk mendapatkan nilai $c$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+2c & = 12 \\ a-c & = -3 \end{aligned} \\ \rule{2.7 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} 3c & = 15 \\ c & = 5 \end{aligned} \end{aligned}$
Jika Pak Akwila hanya mempunyai $c$ lembar uang seratus ribuan, maka ini berarti uang Pak Akwila sebanyak $\boxed{100.000c = 100.000(5) = \text{Rp}500.000,00}$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 14
Sebuah pertunjukan seni disaksikan oleh $20\%$ penonton anak-anak, sepertiga penonton pria dewasa, dan sisanya penonton wanita dewasa. Jika banyak penonton wanita dewasa $200$ lebihnya dari banyak penonton pria dewasa, maka jumlah penonton seluruhnya pada pertunjukan seni tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $1.000$ orang                         D. $1.600$ orang
B. $1.200$ orang                         E. $1.800$ orang
C. $1.500$ orang

Pembahasan

Misalkan $A, P, W$ berturut-turut menyatakan banyak penonton anak-anak, penonton pria dewasa, dan penonton wanita dewasa.
Pertunjukan seni itu disaksikan oleh $20\% = \frac15$ penonton anak-anak, $\frac13$ penonton pria dewasa, dan sisanya penonton wanita dewasa, yaitu
$1-\dfrac15-\dfrac13 = \dfrac{15-3-5}{15} = \dfrac{7}{15}$
Dengan demikian, perbandingannya adalah
$\begin{aligned} A : P : W & = \dfrac15 : \dfrac13 : \dfrac{7}{15} \\ & = 3 : 5 : 7 \end{aligned}$
Dari perbandingan di atas, dapat ditulis
$\boxed{\dfrac{P}{W} = \dfrac{5}{7} \Leftrightarrow 5W = 7P}$
dan juga
$\boxed{\dfrac{A}{P} = \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow 5A= 3P}$
Banyak penonton wanita dewasa $200$ lebihnya dari banyak penonton pria dewasa. Secara matematis, ditulis
$\boxed{W = P + 200}$
Diperoleh SPLTV
$\begin{cases} 5W & = 7P && (\cdots 1) \\ 5A & = 3P && (\cdots 2) \\ W & = P + 200 && (\cdots 3) \end{cases}$
Substitusi persamaan $(3)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{cases} 5\color{red}{W} & = 7P \\ 5(P + 200) & = 7P \\ 5P + 1.000 & = 7P \\ 2P & = 1.000 \\ P & = 500 \end{cases}$
Substitusi $\color{blue}{P = 500}$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} W & = \color{blue}{P} + 200 \\ & = 500+200 = 700 \end{aligned}$
Substitusi $\color{blue}{P = 500}$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 5A & = 3P \\ 5A & = 3(500) = 1.500 \\ A & = 300 \end{aligned}$
Jadi, banyak penonton anak-anak $300$ orang, penonton pria dewasa $500$ orang, dan penonton wanita dewasa $700$ orang, dengan total keseluruhan sebanyak $\boxed{300+500+700=1.500}$ penonton.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Diketahui segitiga $ABC$ dengan besar sudut terkecil sama dengan besar $\dfrac13$ sudut menengah. Besar sudut terbesarnya dua kali jumlah besar dua sudut lainnya. Besar sudut-sudut segitiga $ABC$ tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $15^{\circ}, 30^{\circ}$, dan $135^{\circ}$
B. $15^{\circ}, 45^{\circ}$, dan $120^{\circ}$
C. $30^{\circ}, 45^{\circ}$, dan $105^{\circ}$
D. $30^{\circ}, 60^{\circ}$, dan $90^{\circ}$
E. $45^{\circ}, 60^{\circ}$, dan $75^{\circ}$

Pembahasan

Misalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan besar sudut terkecil, sudut menengah, dan sudut terbesar (dalam satuan derajat) pada segitiga $ABC$.
Diketahui segitiga $ABC$ dengan besar sudut terkecil $(x)$ sama dengan besar $\dfrac13$ sudut menengah $(y)$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x = \dfrac13y \Leftrightarrow 3x-y = 0}$
Besar sudut terbesarnya $(z)$ dua kali jumlah besar dua sudut lainnya. Secara matematis, ditulis
$\boxed{z = 2(x + y) \Leftrightarrow 2x+2y-z = 0}$
Ingat bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^{\circ}$. Untuk itu, ditulis
$\boxed{x + y + z = 180}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} 3x-y & = 0 && (\cdots 1) \\ 2x+2y-z & = 0 && (\cdots 2) \\ x+y+z & = 180 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dan $z$ dari persamaan $(2)$ dan $(3)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+2y-z & = 0 \\ x +y+z & = 180 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~2x+2y-z& = 0 \\ 2x+2y+2z & = 360 \end{aligned} \\ & \rule{3.8 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -3z & = -360 && \\ z & = 120 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $\color{red}{z = 120}$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 2x+2y-\color{red}{z} & = 0 \\ 2x+2y-120 & = 0 \\ 2x + 2y & = 120 \\ x + y & = 60 && (\cdots 4) \end{aligned}$
Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 3x-y & = 0 \\ x+y& = 60 \end{aligned} \\ \rule{2.6 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 4x & = 60 \\ x & = 15 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $\color{blue}{x=15}$ pada persamaan $(4)$.
$\begin{aligned} \color{blue}{x}+y & = 60 \\ 15+y & = 60 \\ y & = 45 \end{aligned}$
Jadi, besar sudut pada segitiga $ABC$ dimulai dari sudut terkecilnya adalah $15^{\circ}, 45^{\circ}$, dan $120^{\circ}$.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Untuk suatu acara pertunjukan dijual tiket dengan harga tiket dewasa Rp33.000,00, tiket remaja Rp24.000,00, dan tiket anak-anak Rp9.000,00. Pada hari pembukaan, jumlah tiket anak-anak dan remaja yang terjual $30$ lebih banyak dari $\dfrac12$ jumlah tiket dewasa yang terjual. Jumlah tiket remaja yang terjual $5$ lebih banyak dari $4$ kali jumlah tiket anak-anak yang terjual. Jika jumlah hasil penjualan tiket seluruhnya Rp89.820.000,00, maka remaja yang menonton pertunjukan pada hari pembukaan sebanyak $\cdots \cdot$
A. $210$ orang                          D. $2.050$ orang
B. $845$ orang                          E. $2.100$ orang
C. $1.025$ orang

Pembahasan

Misalkan harga masing-masing tiket dewasa, remaja, dan anak-anak adalah $D, R$, dan $A$.
Diketahui harga tiket dewasa Rp33.000,00, tiket remaja Rp24.000,00, dan tiket anak-anak Rp9.000,00 dan hasil penjualan tiket seluruhnya Rp89.820.000,00. Secara matematis, ditulis
$\begin{aligned} 33.000D & + 24.000R + 9.000A \\ & = 89.820.000 \end{aligned}$
Sederhanakan (bagi $1.000$).
$\boxed{33D+24R+9A = 89.820}$
Jumlah tiket anak-anak dan remaja yang terjual $30$ lebih banyak dari $\dfrac12$ jumlah tiket dewasa yang terjual. Secara matematis, ditulis
$A+R = \dfrac12 D + 30$
yang ekuivalen dengan
$\boxed{-D+2R+2A = 60}$
Jumlah tiket remaja yang terjual $5$ lebih banyak dari $4$ kali jumlah tiket anak-anak yang terjual. Secara matematis, ditulis
$\boxed{R = 4A + 5 \Leftrightarrow R-4A = 5}$
Dengan demikian, diperoleh SPLDV
$\begin{cases} 33D+24R+9A & = 89.820 && (\cdots 1) \\ -D+2R+2A & = 60 && (\cdots 2) \\ R-4A & = 5 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $D$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 33D+24R+9A & = 89.820 \\ -D+2R+2A & = 60 \end{aligned} \left| \begin{aligned} \times 1 \\ \times 33 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~33D+24R+9A& = 89.820 \\ -33D+66R+66A & = 1.980 \end{aligned} \\ & \rule{5.3 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 90R + 75A & =91.800 \\ 6R + 5A & = 6.120 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $A$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} R-4A & = 5 \\ 6R+5A & = 6.120 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 5 \\ \times 4 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~5R-20A& = 25 \\ 24R+20A & = 24.480 \end{aligned} \\ & \rule{4.1 cm}{0.6pt} + \\ & \! \begin{aligned} 29R & = 24.505 \\ R & = 845 \end{aligned} \end{aligned}$$Jadi, remaja yang menonton pertunjukan pada hari pembukaan sebanyak $\boxed{845}$ orang.
(Jawaban B)

[collapse]

Bagian Esai

Soal Nomor 17
Sebuah tempat wisata mempunyai $3$ lahan parkir. Lahan parkir pertama memuat $x$ unit kendaraan. Lahan parkir kedua memuat $y$ unit kendaraan. Lahan parkir ketiga memuat $z$ unit kendaraan. Jumlah kendaraan di lahan pertama dan kedua $110$ unit. Banyak kendaraan di lahan pertama $22$ kurangnya dari banyak kendaraan di lahan ketiga. Jika seperenam dari banyak kendaraan di lahan ketiga telah pergi, banyak kendaraan di lahan kedua dan lahan ketiga menjadi sama banyak.
Tentukan:
a. SPLTV dari permasalahan tersebut;
b. Jumlah kendaraan yang diparkir seluruhnya (saat mula-mula).

Pembahasan

Jawaban a)
Dimisalkan bahwa $x, y, z$ berturut-turut menyatakan banyaknya kendaraan yang terparkir di lahan pertama, kedua, dan ketiga.
Jumlah kendaraan di lahan pertama dan kedua $110$ unit. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x + y = 110}$
Banyak kendaraan di lahan pertama $22$ kurangnya dari banyak kendaraan di lahan ketiga. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x = z-22 \Leftrightarrow x-z = -22}$
Jika seperenam dari banyak kendaraan di lahan ketiga telah pergi (berarti tersisa $\frac56$), banyak kendaraan di lahan kedua dan lahan ketiga menjadi sama banyak. Secara matematis, ditulis
$\boxed{y = \dfrac56z \Leftrightarrow 6y-5z = 0}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} x + y & = 110 && (\cdots 1) \\ x-z & = -22 && (\cdots 2) \\ 6y-5z & = 0 && (\cdots 3) \end{cases}$
Jawaban b)
Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+y & = 110 \\ x-z& = -22 \end{aligned} \\ \rule{2.6 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} y+z & = 132 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $y$ pada persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 6y-5z & = 0 \\ y+z & = 132 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 6 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6y-5z& = 0 \\~6y+6z & = 792 \end{aligned} \\ & \rule{3 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} -11z & = -792 \\ z & = 72 \end{aligned} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} x + y + z & = \color{red}{(x + y)} + z \\ & = 110 + 72 = 182 \end{aligned}$
Jadi, jumlah kendaraan yang diparkir adalah $\boxed{182}$ unit.

[collapse]

Soal Nomor 18
Tempat parkir sebuah pusat grosir memuat $x$ unit mobil, $y$ unit sepeda motor roda tiga, dan $z$ unit sepeda motor roda dua. Jumlah roda ketiga jenis kendaraan adalah $63$. Jumlah mobil dan sepeda motor roda tiga sebanyak $11$ unit. Jumlah mobil dan sepeda motor roda dua $18$ unit. Tentukan banyak setiap jenis kendaraan.

Pembahasan

Dimisalkan bahwa $x, y, z$ berturut-turut menyatakan banyaknya mobil, sepeda motor roda tiga, dan sepeda motor roda dua.
Jumlah roda ketiga jenis kendaraan adalah $63$. Mobil $(x)$ ada $4$ roda, sepeda motor roda tiga $(y)$ ada $3$ roda, dan sepeda motor roda dua $(z)$ ada $2$. Secara matematis, ditulis
$\boxed{4x + 3y + 2z = 63}$
Jumlah mobil dan sepeda motor roda tiga sebanyak $11$ unit. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x + y = 11}$
Jumlah mobil dan sepeda motor roda dua $18$ unit. Secara matematis, ditulis
$\boxed{x + z = 18}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} 4x + 3y + 2z & = 63 && (\cdots 1) \\ x+y & = 11 && (\cdots 2) \\ x+z & = 18 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 4x+3y+2z & = 63 \\ x + y & = 11 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 1 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~4x+3y+2z& = 63 \\ 3x+3y & = 33 \end{aligned} \\ & \rule{3.7 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} x+2z & = 30 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} x+z & = 18 \\ x+2z& = 30 \end{aligned} \\ \rule{2.6 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} z & = 12 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $\color{red}{z=12}$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} x + \color{red}{z} & = 18 \\ x + 12 & = 18 \\ x & = 6 \end{aligned}$
Substitusi $\color{blue}{x=6}$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} \color{blue}{x} + y & = 11 \\ 6+y & = 11 \\ y & = 5 \end{aligned}$
Jadi, banyak mobil sebanyak $6$ unit, banyak sepeda motor roda tiga sebanyak $5$ unit, dan banyak sepeda motor roda dua ada $12$ unit.

[collapse]

Soal Nomor 19
Sebuah pabrik lensa memiliki $3$ unit mesin, yaitu $A, B$, dan $C$. Jika ketiganya bekerja, maka $5.700$ lensa dapat dihasilkan dalam waktu satu minggu. Jika hanya mesin $A$ dan $B$ yang bekerja, maka $3.400$ lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu. Jika hanya mesin $A$ dan $C$ yang bekerja, maka $4.200$ lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu. Berapa banyak lensa yang dihasilkan tiap-tiap mesin dalam waktu satu minggu?

Pembahasan

Dimisalkan bahwa $a, b, c$ berturut-turut menyatakan banyaknya lensa yang dihasilkan oleh mesin A, B, dan C dalam waktu seminggu.
Jika ketiganya bekerja, maka $5.700$ lensa dapat dihasilkan dalam waktu satu minggu. Secara matematis, ditulis
$\boxed{a + b + c = 5.700}$
Jika hanya mesin $A$ dan $B$ yang bekerja, maka $3.400$ lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu. Secara matematis, ditulis
$\boxed{a + b = 3.400}$
Jika hanya mesin $A$ dan $C$ yang bekerja, maka $4.200$ lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu. Secara matematis, ditulis
$\boxed{a + c = 4.200}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} a+b+c & = 5.700 && (\cdots 1) \\ a+b & = 3.400 && (\cdots 2) \\ a+c & = 4.200 && (\cdots 3) \end{cases}$
Substitusi persamaan $(3)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} (\color{red}{a+c})+b & = 5.700 \\ 4.200 + b & = 5.700 \\ b & = 1.500 \end{aligned}$
Substitusi persamaan $(2)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} (\color{red}{a+b})+c & = 5.700 \\ 3.400 + c & = 5.700 \\ c & = 2.300 \end{aligned}$

Substitusi $c = 2.300$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} a + \color{red}{c} & = 4.200 \\ a + 2.300 & = 4.200 \\ a & = 1.900 \end{aligned}$
Jadi, banyak lensa yang dihasilkan oleh mesin A, B, dan C berturut-turut adalah $1.900$, $1.500$, dan $2.300$ lensa.

[collapse]

Soal Nomor 20
Sebuah bilangan terdiri atas tiga angka yang berjumlah $9$. Angka satuannya tiga lebihnya dari angka puluhan. Jika angka ratusan dan angka puluhan ditukar letaknya, maka diperoleh bilangan yang sama. Tentukan bilangan tersebut!

Pembahasan

Misalkan bilangan itu ditulis sebagai $\overline{xyz}$.
Bilangan ini terdiri dari tiga angka berjumlah $9$, sehingga ditulis $x + y + z = 9$.
Angka satuannya, yaitu $z$, tiga lebihnya dari angka puluhan $(y)$, ditulis $z = y + 3$.
Karena angka ratusan $(x)$ dan puluhan $(y)$ ditukar tetap menghasilkan bilangan yang sama, maka ini berarti $x = y$.
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} x + y + z & = 9 && (\cdots 1) \\ z & = y + 3 && (\cdots 2) \\ x & = y && (\cdots 3) \end{cases}$
Substitusi persamaan $(2)$ dan $(3)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} x + y + z & = 9 \\ \Rightarrow y + y + (y + 3) & = 9 \\ 3y & = 6 \\ y & = 2 \end{aligned}$
Didapat $y = \color{red}{2}$, sehingga $x = 2$ dan $z = \color{red}{2} + 3 = 5$.
Jadi, bilangan itu adalah $\boxed{\overline{xyz} = 225}$

[collapse]

Soal Nomor 21
Seorang pengusaha memiliki modal sebesar Rp420.000.000,00 dan membaginya dalam tiga bentuk investasi, yaitu tabungan dengan suku bunga $5\%$, deposito berjangka dengan suku bunga $7\%$, dan surat obligasi dengan pembayaran $9\%$. Adapun total pendapatan tahunan dari ketiga investasi sebesar Rp26.000.000,00 dan pendapatan dari investasi tabung kurang Rp2.000.000,00 dari total pendapatan dua investasi lainnya. Tentukan besar modal untuk setiap investasi.

Pembahasan

Misalkan besar modal untuk investasi berupa tabungan, deposito, dan surat obligasi berturut-turut adalah $x, y$, dan $z$, dalam satuan jutaan rupiah.
Jumlah modal yang dimiliki adalah Rp420.000.000. Penulisan nominal uang ini kita singkat menjadi $420$. Diperoleh persamaan
$\boxed{x + y + z = 420}$
Bentuk investasinya berupa tabungan dengan suku bunga $5\%$, deposito berjangka dengan suku bunga $7\%$, dan surat obligasi dengan pembayaran $9\%$, serta total pendapatan tahunannya $26$ juta rupiah. Secara matematis, ditulis
$\dfrac{5}{100}x + \dfrac{7}{100}y + \dfrac{9}{100}z = 26$
dan disederhanakan menjadi
$\boxed{5x + 7y + 9z = 2.600}$
Diketahui juga bahwa pendapatan dari investasi tabung kurang Rp2.000.000,00 dari total pendapatan dua investasi lainnya. Secara matematis, ditulis
$\dfrac{5}{100}x = \dfrac{7}{100}y + \dfrac{9}{100}z-2$
dan disederhanakan menjadi
$\boxed{5x-7y-9y = 200}$
Sekarang, kita memperoleh SPLTV
$\begin{cases} x+y+z & = 420 && (\cdots 1) \\ 5x+7y+9z & = 2.600 && (\cdots 2) \\ 5x-7y-9z & = 200 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $y$ dan $z$ dari persamaan $(2)$ dan $(3)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5x+7y+9z & = 2.600 \\ 5x-7y-9z & = 200 \end{aligned} \\ \rule{3.7 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 10x & = 2.800 \\ x & = 280 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $x = 280$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} \color{red}{x}+y+z & = 420 \\ \Rightarrow 280+y+z & = 420 \\ y & = 140-z && (\cdots 4) \end{aligned}$
Substitusi persamaan $(4)$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 5x+7y+9z & = 2.600 \\ \Rightarrow 5(280) + 7(140-z) + 9z & = 2.600 \\ 1.400 + 980-7z+9z & = 2.600 \\ 2z & = 220 \\ z & = 110 \end{aligned}$
Ini berarti, $y = 140-\color{red}{110} = 30$.
Jadi, besar modal untuk investasi berupa tabungan, deposito, dan surat obligasi berturut-turut adalah Rp280 juta rupiah, Rp30 juta rupiah, dan Rp110 juta rupiah.

[collapse]

Soal Nomor 22
Sebuah toko mempunyai persediaan air mineral dalam kemasan botol kecil, sedang, dan besar. Volume $2$ botol kecil dan $3$ botol sedang adalah $3.450$ ml. Volume $3$ botol kecil dan $4$ botol besar adalah $7.800$ ml. Volume $2$ botol sedang dan $3$ botol besar adalah $6.000$ ml. Tentukan volume setiap jenis botol air mineral tersebut.

Pembahasan

Misalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan volume $1$ botol kecil, botol sedang, dan botol besar.
Volume $2$ botol kecil dan $3$ botol sedang adalah $3.450$ ml. Secara matematis, ditulis
$\boxed{2x + 3y = 3.450}$
Volume $3$ botol kecil dan $4$ botol besar adalah $7.800$ ml. Secara matematis, ditulis
$\boxed{3x + 4z = 7.800}$
Volume $2$ botol sedang dan $3$ botol besar adalah $6.000$ ml. Secara matematis, ditulis
$\boxed{2y + 3z = 6.000}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} 2x + 3y & = 3.450 && (\cdots 1) \\ 3x + 4z & = 7.800 && (\cdots 2) \\ 2y + 3z & = 6.000 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2x+3y & = 3.450 \\ 3x + 4z & = 7.800 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~6x+9y & = 10.350 \\ 6x + 8z & = 15.600 \end{aligned} \\ & \rule{4 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 9y-8z & = -5.250 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$$Eliminasi $y$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 2y + 3z & = 6.000 \\ 9y-8z & = -5.250 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 9 \\ \times 2 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~18y + 27z & = 54.000 \\ 18y-16z & = -10.500 \end{aligned} \\ & \rule{4.5 cm}{0.6pt} – \\ & \! \begin{aligned} 43z & = 64.500 \\ z & = 1.500 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusi $\color{red}{z = 1.500}$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} 3x + 4\color{red}{z} & = 7.800 \\ 3x + 4(1.500) & = 7.800 \\ 3x + 6.000 & = 7.800 \\ 3x & = 1.800 \\ x & = 600 \end{aligned}$
Substitusi $\color{blue}{x = 600}$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} 2\color{blue}{x} + 3y & = 3.450 \\ 2(600) + 3y & = 3.450 \\ 1.200 + 3y & = 3.450 \\ 3y & = 2.250 \\ y & = 750 \end{aligned}$
Jadi, volume botol kecil $600$ ml, botol sedang $750$ ml, dan botol besar $1.500$ ml.

[collapse]

Soal Nomor 23
Panjang, lebar, dan tinggi sebuah balok berturut-turut adalah $a$ cm, $b$ cm, dan $c$ cm. Keliling alas balok $76$ cm, keliling sisi tegak depan $80$ cm, dan keliling sisi samping kanan $68$ cm. Tentukan volume balok tersebut.

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar balok berikut.

Sisi pada balok berbentuk persegi panjang. Diketahui keliling alas balok $76$ cm, sehingga
$\boxed{2(a + b) = 76 \Leftrightarrow a + b = 38}$
Diketahui keliling sisi tegak depan balok $80$ cm, sehingga
$\boxed{2(a + c) = 80 \Leftrightarrow a + c = 40}$
Diketahui keliling sisi samping kanan balok $68$ cm, sehingga
$\boxed{2(b + c) = 68 \Leftrightarrow b + c = 34}$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\begin{cases} a+b & = 38 && (\cdots 1) \\ a + c & = 40 && (\cdots 2) \\ b + c & = 34 && (\cdots 3) \end{cases}$
Eliminasi $a$ dari persamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a+b & = 38 \\ a+c & = 40 \end{aligned} \\ \rule{2.7 cm}{0.6pt} – \\ \! \begin{aligned} b-c& = -2 && (\cdots 4) \end{aligned} \end{aligned}$
Eliminasi $c$ dari persamaan $(3)$ dan $(4)$.
$\begin{aligned} \! \begin{aligned} b+c & = 34 \\ b-c & = -2 \end{aligned} \\ \rule{2.7 cm}{0.6pt} + \\ \! \begin{aligned} 2b & = 32 \\ b & = 16 \end{aligned} \end{aligned}$
Substitusi $\color{red}{b=16}$ pada persamaan $(3)$.
$\begin{aligned} \color{red}{b} + c & = 34 \\ \Rightarrow 16+c & = 34 \\ c & = 18 \end{aligned}$
Substitusi $\color{red}{b=16}$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} a + \color{red}{b} & = 38 \\ \Rightarrow a+16 & = 38 \\ a & = 22 \end{aligned}$
Volume balok dapat dihitung dengan mengalikan panjang, lebar, dan tingginya.
$\boxed{V = abc = 22 \times 16 \times 18 = 6.336~\text{cm}^3}$ 

[collapse]

Soal Nomor 24 ($\bigstar$ HOTS $\bigstar$)
Tiga tukang cat bernama Joni, Deni, dan Ari biasanya bekerja secara bersama-sama. Mereka dapat mengecat eksterior (bagian luar) sebuah rumah dalam waktu $10$ jam kerja. Deni dan Ari pernah bersama-sama mengecat rumah yang serupa dalam waktu $15$ jam kerja. Suatu hari, ketiga tukang cat ini bekerja mengecat rumah serupa selama $4$ jam kerja. Setelah itu, Ari pergi karena ada keperluan mendadak. Joni dan Doni memerlukan tambahan waktu $8$ jam kerja lagi untuk menyelesaikan pengecatan rumah. Tentukan waktu yang dibutuhkan masing-masing tukang cat jika masing-masing bekerja sendirian.

Pembahasan

Misalkan $x, y, z$ berturut-turut menyatakan lamanya waktu (dalam satuan jam kerja) yang dibutuhkan Joni, Deni, dan Ari untuk menyelesaikan pengecatan rumah (bila dikerjakan sendiri-sendiri).
Mereka bertiga dapat menyelesaikan pengecatan bagian eksterior rumah selama $10$ jam kerja, sehingga kita tulis
$\boxed{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{10}}$
Deni dan Ari pernah bersama-sama mengecat rumah yang serupa dalam waktu 15 jam kerja. Secara matematis, kita tulis
$\boxed{\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{15}}$
Suatu hari, ketiga tukang cat ini bekerja mengecat rumah serupa selama $4$ jam kerja (masih ada waktu $6$ jam atau $60\%$ untuk menyelesaikan pengecatan). Setelah itu, Ari pergi karena ada keperluan mendadak. Joni dan Doni memerlukan tambahan waktu $8$ jam kerja lagi (sisa pengecatannya masih $60\%$) untuk menyelesaikan pengecatan rumah.
Apabila Joni dan Doni dianggap mengerjakan $100\%$ pengecatannya, maka lama waktu yang dibutuhkan adalah
$\dfrac{100}{60} \times 8 = \dfrac{40}{3}~\text{jam}$
Dengan demikian, diperoleh persamaan
$\boxed{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{\frac{40}{3}} = \dfrac{3}{40}}$
Sekarang, kita telah memperoleh SPLTV
$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} & = \dfrac{1}{10} && (\cdots 1) \\ \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} & = \dfrac{1}{15} && (\cdots 2) \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} & = \dfrac{3}{40} && (\cdots 3) \end{cases}$
Substitusi persamaan $(2)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{x} + \color{red}{\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} & = \dfrac{1}{10} \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{15} & = \dfrac{1}{10} \\ \dfrac{1}{x} & = \dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{15} = \dfrac{1}{30} \\ x & = 30 \end{aligned}$
Substitusi persamaan $(3)$ pada persamaan $(1)$.
$\begin{aligned} \color{red}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} + \dfrac{1}{z} & = \dfrac{1}{10} \\ \dfrac{3}{40} + \dfrac{1}{z} & = \dfrac{1}{10} \\ \dfrac{1}{z} & = \dfrac{1}{10}-\dfrac{3}{40} = \dfrac{1}{40} \\ z & = 40 \end{aligned}$
Selanjutnya, substitusi $z = 40$ pada persamaan $(2)$.
$\begin{aligned} \dfrac{1}{y} + \color{red}{\dfrac{1}{z}} & = \dfrac{1}{15} \\ \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{40} & = \dfrac{1}{15} \\ \dfrac{1}{y} & = \dfrac{1}{15}-\dfrac{1}{40} = \dfrac{5}{120} \\ y & = \dfrac{120}{5} = 24 \end{aligned}$
Jadi, waktu yang dibutuhkan Joni, Deni, dan Ari jika masing-masing bekerja sendirian berturut-turut adalah $30$ jam, $24$ jam, dan $40$ jam.

[collapse]

CategoriesSPLTVTags, , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *