Materi, Soal, dan Pembahasan – Determinan Matriks

Determinan matriks

Matriks merupakan susunan bilangan pada baris dan kolom yang diapit oleh kurung biasa atau kurung siku. Ada cukup banyak jenis matriks, di antaranya adalah matriks persegi, matriks persegi panjang, matriks kolom, matriks baris, matriks nol, matriks diagonal, matriks identitas, dan lain-lain.

Khusus pada matriks persegi, terdapat istilah khusus yang disebut sebagai determinan. Determinan (determinant) adalah nilai karakteristik berupa bilangan real yang khusus dimiliki oleh matriks persegi. Misalkan A adalah matriks persegi, maka determinan dari matriks A ditulis det(A) atau menggunakan notasi garis tegak |A|. Notasi determinan juga bisa dituliskan seperti bentuk matriks, tetapi bukan menggunakan kurung biasa ( ) maupun kurung siku [ ], melainkan garis tegak | |, seperti contoh berikut.
A=(3712)det(A)=|A|=|3712|

Determinan Matriks 2 × 2

Nilai determinan matriks berordo 2×2 ditentukan dengan mengurangkan hasil kali entri di diagonal utama dengan hasil kali entri di diagonal samping. Misalkan ada matriks A=(a11a12a21a22). Determinannya dinyatakan oleh
det(A)=a11a22a21a12Sebagai contoh:
Jika A=(3412), maka determinannya adalah
det(A)=(3)(2)(1)(4)=64=2Jika B=(0325), maka determinannya adalah det(B)=(0)(5)(2)(3)=06=6

Determinan Matriks 3 × 3

Berbeda dengan cara menentukan determinan pada matriks berordo 2×2, pada matriks berordo 3×3 determinannya tidak serta merta selisih hasil kali entri di diagonal seperti sebelumnya. Determinan matriks berordo 3×3 dapat ditentukan dengan beberapa cara, antara lain sebagai berikut.
Aturan/Metode Sarrus (Rule of Sarrus): Jika ada matriks A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33), maka nilai determinannya menurut Aturan Sarrus ditentukan dengan skema “kali hujan” seperti berikut.

Pertama, tuliskan notasi matriksnya dengan garis tegak sebagai pengapitnya. Tuliskan entri kolom pertama dan kedua di sebelah kanan luar garis. Kalikan setiap entri secara diagonal (panah merah) dengan tanda nilai +, lalu kalikan setiap entri secara diagonal (panah biru) dengan tanda nilai -. Determinan A dinyatakan oleh
det(A)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a31a22a13a32a23a11a33a21a12    Aturan Sarrus dapat dimodifikasi dengan mengganti dua kolom yang ditambah di sebelah kanan luar garis tadi menjadi yang lain, misalnya menggunakan kolom kedua dan ketiga untuk ditambah di sebelah kiri luar garis. Modifikasi seperti ini disebut sebagai aturan Sarrus-Kino. Untuk lebih jelasnya, perhatikan soal dan pembahasan nomor 5 di bawah.
Metode ekspansi kofaktor (cofactor expansion): Sebelumnya, ada dua istilah yang perlu diketahui ketika menggunakan metode ini, yaitu minor dan kofaktor.

Minor suatu entri matriks (Mij) adalah determinan yang dihasilkan setelah terjadi penghapusan baris ke-i dan kolom ke-j sesuai dengan letak entri tersebut. Contoh: Diketahui matriks A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33).
Minor dari a22 atau ditulis dengan M22 dinyatakan oleh

M22=|a11a13a31a33|=a11a33a31a13Kofaktor dari suatu entri (Kij) adalah minor entri itu beserta tanda + atau – secara selang-seling tergantung dari letaknya mengikuti aturan Kij=(1)i+jMij atau seperti yang tampak pada gambar di bawah (untuk matriks ukuran 3×3).

Determinan matriks A yang berukuran n×n dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil perkalian yang dihasilkan, yakni untuk setiap 1in dan 1jn, maka determinan matriks A menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j dinyatakan oleh
det(A)=a1jC1j+a2jC2j++anjCnjdan determinan matriks A menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i dinyatakan oleh
det(A)=ai1Ci1+ai2Ci2++ainCin.    Ekspansi kofaktor sepanjang baris dan kolom apapun pada suatu matriks menghasilkan nilai determinan matriks tersebut. Dengan kata lain, kita bisa memilih baris atau kolom yang diinginkan. Biasanya kita memilih baris atau kolom yang entri 0-nya lebih banyak karena akan lebih mudah dihitung. Sebagai contoh:
Diketahui A=(324310213).
Kita akan mencari nilai determinan A dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor.
Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama:
|3-24310213|=3|1013|(2)|3023|+4|3121|=3(30)+2(90)+4(3+2)=918+20=11Ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua:
|3243-10213|=3|2413|+(1)|3423|0|3221|=3(64)1(98)0=6+17=11Ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga:
|32431021-3|=2|2410|1|3430|+(3)|3231|=2(0+4)1(012)3(3+6)=8+129=11Ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama:
|324310213|=3|1013|3|2413|+2|2410|=3(30)3(64)+2(0+4)=96+8=11Ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua:
|3-243-10213|=(2)|3023|1|3423|1|3430|=2(90)1(98)1(012)=18+17+12=11Ekspansi kofaktor sepanjang kolom ketiga:
|32431021-3|=4|3121|0|3221|+(3)|3231|=4(3+2)03(3+6)=209=11Berikut ini merupakan soal dan pembahasan terkait determinan matriks. Soal didominasi dari buku paket Matematika Wajib Kurikulum 2013 Kelas XI Semester 1 karya Sukino. Untuk soal matriks secara umum, bisa dilihat pada tautan berikut. Soal pada bagian berikutnya merupakan soal determinan yang berkaitan dengan operasi baris elementer. Kebanyakan soal diambil dari buku Aljabar Linear karya Howard Anton.

Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_SoalFolder soal tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.

Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Today Quote

Jika kamu ingin terbang tinggi, lepaskan semua hal yang selama ini membebani. Maafkan semua orang, maafkan masa lalumu, kamu berhak bahagia hari ini. Terbanglah dengan tinggi.

Soal Nomor 1

Hitunglah masing-masing determinan berikut.
a. |1001|
b. |0101|
c. |8345|
d. |3854|
e. |21716|
f. |16217|

Pembahasan

Soal Nomor 2

Tentukan nilai determinan dari masing-masing matriks di bawah ini.
a. A=(21222+1)
b. B=(3+21+51532)

Pembahasan

Soal Nomor 3

Carilah determinan di bawah ini menggunakan aturan Sarrus.
a. |121211402|
b. |510151239117|

Pembahasan

Bagi yang sedang mencari soal-soal latihan matriks yang lebih menantang,
silakan kunjungi tautan berikut.

Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks Versi HOTS dan Olimpiade 

Soal Nomor 4

Diberikan matriks A=(123456789). Cari nilai determinan A dengan ekspansi kofaktor sepanjang:
a. baris kedua;
b. baris ketiga;
c. kolom pertama; dan
d. kolom ketiga.

Pembahasan

Soal Nomor 5

Tentukan nilai determinan di bawah menggunakan aturan Sarrus-Kino.
a. Sarrus Kino: pindahkan kolom pertama ke sebelah kanan dan kolom ketiga ke sebelah kiri sesuai arah panah.
b. Sarrus Kino: pindahkan baris pertama ke sebelah bawah dan baris ketiga ke sebelah atas sesuai arah panah.

c. Sarrus Kino: pindahkan baris pertama ke baris keempat dan baris kedua ke baris kelima sesuai arah panah.

Pembahasan

Soal Nomor 6

Diketahui matriks A=(63854110910). Tentukan:
a. minor dari a12;
b. minor dari a33;
c. kofaktor dari a12; dan
d. kofaktor dari a33.

Pembahasan

Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Cramer 

Soal Nomor 7

Cari nilai determinan dari masing-masing matriks berikut.
a. A=(cosθsinθsinθcosθ)
b. B=(cos2θsin2θsin2θcos2θ)
c. C=(t00t1), (t0)

Pembahasan

Soal Nomor 8

Carilah nilai x dari masing-masing persamaan di bawah ini.
a. |x102x1|=0
b. |3016x1002x1|=12

Pembahasan

Soal Nomor 9

Carilah semua nilai x yang memenuhi persamaan berikut.
a. |x4000x+4000x+1|=0
b. |1xx2111450|=0

Pembahasan

Soal Nomor 10

Tunjukkanlah:
a. |a1+A1b1c1a2+A2b2c2a3+A3b3c3|=|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|+|A1b1c1A2b2c2A3b3c3|
b. |a1b1c1a2b2c2a3b3c3|=|a1+kb1b1c1a2+kb2b2c2a3+kb3b3c3|

Pembahasan

Soal Nomor 11

Nyatakan nilai x dalam a, b, dan c.
|aaxcccbxb|=0,(a>b,c0)

Pembahasan

Soal Nomor 12

Tunjukkan bahwa persamaan |xy1x1y111m0|=0merepresentasikan persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x1,y1).

Pembahasan

Soal Nomor 13

Tunjukkan bahwa det(A)=det(AT) untuk A=(2314) dan A=(213124536).

Pembahasan

Soal Nomor 14

Tunjukkan bahwa det(kA)=kndet(A) untuk A=(1234);k=2 dan A=(213321145);k=2.

Pembahasan
 

Soal Nomor 15

Tunjukkan bahwa det(AB)=det(A)det(B) untuk A=(210340002) dan B=(113712501).

Pembahasan

Soal Nomor 16

Tentukan matriks mana yang dapat dibalik.
a. (101914891)
b. (428214316)
c. (27032370590)
d. (301506803)

Pembahasan

Soal Nomor 17

Dengan mencongak, jelaskan mengapa det(A)=0 dengan A=(2814325110704643).

Pembahasan

Soal Nomor 18

Tanpa menghitung secara langsung, tunjukkan bahwa x=0 dan x=2 memenuhi |x2x2211005|=0.

Pembahasan

Soal Nomor 19

Buktikan kesamaan berikut ini tanpa menghitung determinannya.
|a1b1a1+b1+c1a2b2a2+b2+c2a3b3a3+b3+c3|=|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|

Pembahasan

Soal Nomor 20

Buktikan kesamaan berikut ini tanpa menghitung determinannya.
|a1+b1a1b1c1a2+b2a2b2c2a3+b3a3b3c3|=2|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|

Pembahasan

Soal Nomor 21

Buktikan kesamaan berikut ini tanpa menghitung determinannya.
|a1+b1ta2+b2ta3+b3ta1t+b1a2t+b2a3t+b3c1c2c3|=(1t2)|a1a2a3b1b2b3c1c2c3|

Pembahasan

Soal Nomor 22

Buktikan kesamaan berikut ini tanpa menghitung determinannya.
|a1b1+ta1c1+rb1+sa1a2b2+ta2c2+rb2+sa2a3b3+ta3c3+rb3+sa3|=|a1b1c1a2b2c2a3b3c3|

Pembahasan

Operasi Baris Elementer (Aljabar Linear)

Soal Nomor 23

Tentukan determinan berikut ini dengan mencongak (menghitung di luar kepala).
a. (3174051002)
b. (20008200701010561)
c. (213174213)
d. (123246581)

Pembahasan

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Operasi Baris Elementer dan Eliminasi Gauss-Jordan

Soal Nomor 24

Cari determinan matriks-matriks berikut dengan mencongak.
a. (1000010000500001)
b. (1000001001000001)
c. (1000010900100001)

Pembahasan

Soal Nomor 25

Hitung determinan dari matriks (369002215) dengan menggunakan reduksi baris.

Pembahasan

Soal Nomor 26

Hitung determinan dari matriks (031112324) dengan menggunakan reduksi baris.

Pembahasan

Soal Nomor 27

Hitung determinan dari matriks (130241522) dengan menggunakan reduksi baris.

Pembahasan

Soal Nomor 28

Hitung determinan dari matriks (369272015) dengan menggunakan reduksi baris.

Pembahasan

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pengantar Sistem Persamaan Linear (Bidang Aljabar Linear)

Soal Nomor 29

Hitung determinan dari matriks (1231596312622861) dengan menggunakan reduksi baris.

Pembahasan

Soal Nomor 30

Hitung determinan dari matriks (2131101102100123) dengan menggunakan reduksi baris.

Pembahasan

Soal Nomor 31

Hitung determinan dari matriks (011112121122313130132300) dengan menggunakan reduksi baris.

Pembahasan

Soal Nomor 32

Diketahui bahwa |abcdefghi|=6. Carilah nilai dari
a. |defghiabc|
b. |3a3b3cdef4g4h4i|
c. |a+gb+hc+idefghi|
d. |3a3b3cdefg4dh4ei4f|

Pembahasan

Soal Nomor 33

Gunakan reduksi baris untuk menunjukkan bahwa
|111abca2b2c2|=(ba)(ca)(cb).

Pembahasan

Soal Nomor 34

Anggap A=(abcdefghi). Dengan mengasumsikan bahwa det(A)=7, carilah nilai dari
a. det(3A)
b. det(A1)
c. det(2A1)
d. det((2A)1)
e. det(agdbhecif)

Pembahasan

Soal Nomor 35

Tanpa menghitung secara langsung, tunjukkan bahwa det(b+cc+ab+aabc111)=0.

Pembahasan

Soal Nomor 36

Dengan melibatkan penggunaan operasi baris elementer, tunjukkan bahwa (sin2αsin2βsin2γcos2αcos2βcos2γ111) tidak dapat dibalik untuk sembarang nilai α,β, dan γ.

Pembahasan