Matriks merupakan susunan bilangan pada baris dan kolom yang diapit oleh kurung biasa atau kurung siku. Ada cukup banyak jenis matriks, di antaranya adalah matriks persegi, matriks persegi panjang, matriks kolom, matriks baris, matriks nol, matriks diagonal, matriks identitas, dan lain-lain.
Khusus pada matriks persegi, terdapat istilah khusus yang disebut sebagai determinan. Determinan (determinant) adalah nilai karakteristik berupa bilangan real yang khusus dimiliki oleh matriks persegi. Misalkan $A$ adalah matriks persegi, maka determinan dari matriks $A$ ditulis $\det(A)$ atau menggunakan notasi garis tegak $|A|.$ Notasi determinan juga bisa dituliskan seperti bentuk matriks, tetapi bukan menggunakan kurung biasa ( ) maupun kurung siku [ ], melainkan garis tegak | |, seperti contoh berikut.
$$\begin{aligned} A & = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \\ \det(A) & = |A| = \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \end{aligned}$$
Determinan Matriks 2 × 2
Nilai determinan matriks berordo $2 \times 2$ ditentukan dengan mengurangkan hasil kali entri di diagonal utama dengan hasil kali entri di diagonal samping. Misalkan ada matriks $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$. Determinannya dinyatakan oleh
$$\boxed{\large \det (A) = a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}$$Sebagai contoh:
Jika $A = \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, maka determinannya adalah
$$\begin{aligned} \det (A) & = (-3)(-2) -(1)(4) \\ & = 6 -4= 2 \end{aligned}$$Jika $B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}$, maka determinannya adalah $$\begin{aligned} \det (B) &= (0)(-5) -(2)(3)\\ & = 0-6 = -6 \end{aligned}$$
Determinan Matriks 3 × 3
Berbeda dengan cara menentukan determinan pada matriks berordo $2 \times 2$, pada matriks berordo $3 \times 3$ determinannya tidak serta merta selisih hasil kali entri di diagonal seperti sebelumnya. Determinan matriks berordo $3 \times 3$ dapat ditentukan dengan beberapa cara, antara lain sebagai berikut.
Aturan/Metode Sarrus (Rule of Sarrus): Jika ada matriks $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},$ maka nilai determinannya menurut Aturan Sarrus ditentukan dengan skema “kali hujan” seperti berikut.
Pertama, tuliskan notasi matriksnya dengan garis tegak sebagai pengapitnya. Tuliskan entri kolom pertama dan kedua di sebelah kanan luar garis. Kalikan setiap entri secara diagonal (panah merah) dengan tanda nilai +, lalu kalikan setiap entri secara diagonal (panah biru) dengan tanda nilai -. Determinan $A$ dinyatakan oleh
$$\boxed{\large \det(A) = a_{11} a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}}$$ Aturan Sarrus dapat dimodifikasi dengan mengganti dua kolom yang ditambah di sebelah kanan luar garis tadi menjadi yang lain, misalnya menggunakan kolom kedua dan ketiga untuk ditambah di sebelah kiri luar garis. Modifikasi seperti ini disebut sebagai aturan Sarrus-Kino. Untuk lebih jelasnya, perhatikan soal dan pembahasan nomor 5 di bawah.
Metode ekspansi kofaktor (cofactor expansion): Sebelumnya, ada dua istilah yang perlu diketahui ketika menggunakan metode ini, yaitu minor dan kofaktor.
Minor suatu entri matriks ($M_{ij}$) adalah determinan yang dihasilkan setelah terjadi penghapusan baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ sesuai dengan letak entri tersebut. Contoh: Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.$
Minor dari $a_{22}$ atau ditulis dengan $M_{22}$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} M_{22} & = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \\ & = a_{11} \cdot a_{33}-a_{31} \cdot a_{13} \end{aligned}$$Kofaktor dari suatu entri ($K_{ij})$ adalah minor entri itu beserta tanda + atau – secara selang-seling tergantung dari letaknya mengikuti aturan $K_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}$ atau seperti yang tampak pada gambar di bawah (untuk matriks ukuran $3 \times 3$).
Determinan matriks $A$ yang berukuran $n \times n$ dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil perkalian yang dihasilkan, yakni untuk setiap $1 \leq i \leq n$ dan $1 \leq j \leq n$, maka determinan matriks $A$ menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-$j$ dinyatakan oleh
$$\det (A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj}$$dan determinan matriks $A$ menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-$i$ dinyatakan oleh
$$\det (A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in}.$$ Ekspansi kofaktor sepanjang baris dan kolom apapun pada suatu matriks menghasilkan nilai determinan matriks tersebut. Dengan kata lain, kita bisa memilih baris atau kolom yang diinginkan. Biasanya kita memilih baris atau kolom yang entri $0$-nya lebih banyak karena akan lebih mudah dihitung. Sebagai contoh:
Diketahui $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}.$
Kita akan mencari nilai determinan $A$ dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor.
Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama:
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{3} & \colorbox{lightgray}{-2} & \colorbox{lightgray}{4} \\ 3 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} & = 3 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}-(-2) \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ & = 3(3-0)+2(-9-0)+4(3+2) \\ & = 9-18+20 = 11 \end{aligned}$$Ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua:
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} 3 & -2 & 4 \\ \colorbox{lightgray}{3} & \colorbox{lightgray}{-1} & \colorbox{lightgray}{0} \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} & = -3 \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}+(-1) \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & -3 \end{vmatrix}-0 \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ & = -3(6-4)-1(-9-8)-0 \\ & = -6+17 = 11 \end{aligned}$$Ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga:
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} 3 & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 0 \\ \colorbox{lightgray}{2} & \colorbox{lightgray}{1} & \colorbox{lightgray}{-3} \end{vmatrix} & = 2 \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}-1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}+(-3) \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \\ & = 2(0+4)-1(0-12)-3(-3+6) \\ & = 8+12-9 = 11 \end{aligned}$$Ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama:
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{3} & -2 & 4 \\ \colorbox{lightgray}{3} & -1 & 0 \\ \colorbox{lightgray}{2} & 1 & -3 \end{vmatrix} & = 3 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}-3 \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}+2 \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \\ & = 3(3-0)-3(6-4)+2(0+4) \\ & = 9-6+8 = 11 \end{aligned}$$Ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua:
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} 3 & \colorbox{lightgray}{-2} & 4 \\ 3 & \colorbox{lightgray}{-1} & 0 \\ 2 & \colorbox{lightgray}{1} & -3 \end{vmatrix} & = -(-2) \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -3 \end{vmatrix}-1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & -3 \end{vmatrix}-1 \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} \\ & = 2(-9-0)-1(-9-8)-1(0-12) \\ & = -18+17+12 = 11 \end{aligned}$$Ekspansi kofaktor sepanjang kolom ketiga:
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} 3 & -2 & \colorbox{lightgray}{4} \\ 3 & -1 & \colorbox{lightgray}{0} \\ 2 & 1 & \colorbox{lightgray}{-3} \end{vmatrix} & = 4 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}-0 \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}+(-3) \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \\ & = 4(3+2)-0-3(-3+6) \\ & = 20-9 = 11 \end{aligned}$$Berikut ini merupakan soal dan pembahasan terkait determinan matriks. Soal didominasi dari buku paket Matematika Wajib Kurikulum 2013 Kelas XI Semester 1 karya Sukino. Untuk soal matriks secara umum, bisa dilihat pada tautan berikut. Soal pada bagian berikutnya merupakan soal determinan yang berkaitan dengan operasi baris elementer. Kebanyakan soal diambil dari buku Aljabar Linear karya Howard Anton.
Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks
Today Quote
Soal Nomor 1
Hitunglah masing-masing determinan berikut.
a. $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$
b. $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$
c. $\begin{vmatrix} -8 & -3 \\ 4 & -5 \end{vmatrix}$
d. $\begin{vmatrix} -3 & -8 \\ -5 & 4 \end{vmatrix}$
e. $\begin{vmatrix} 2 & -17 \\ 1 & 6 \end{vmatrix}$
f. $\begin{vmatrix} 1 & 6 \\ -2 & 17 \end{vmatrix}$
Determinan matriks ukuran $2 \times 2$ dihitung dengan cara mengurangkan hasil kali entri di diagonal utama dengan diagonal sampingnya.
Jawaban a)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & = 1(1)-0(0) \\ & = 1-0 = 1 \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & = 0(1)-0(1) \\ & = 0-0 = 0 \end{aligned}$$Jawaban c)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} -8 & -3 \\ 4 & -5 \end{vmatrix} & = (-8)(-5)-(4)(-3) \\ & = 40-(-12) = 52 \end{aligned}$$Jawahan d)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} -3 & -8 \\ -5 & 4 \end{vmatrix} & = (-3)(4)-(-5)(-8) \\ & = -12-40 = -52 \end{aligned}$$Jawaban e)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & -17 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} & = 2(6)-(1)(17) \\ & = 12+17 = 29 \end{aligned}$$Jawaban f)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ -2 & 17 \end{vmatrix} & = 1(17)-(-2)(6) \\ & = 17+12 = 29 \end{aligned}$$
Soal Nomor 2
Tentukan nilai determinan dari masing-masing matriks di bawah ini.
a. $A = \begin{pmatrix} \sqrt2-1 & \sqrt2 \\ \sqrt2 & \sqrt2+1 \end{pmatrix}$
b. $B = \begin{pmatrix} \sqrt3+\sqrt2 & 1+\sqrt5 \\ 1-\sqrt5 & \sqrt3-\sqrt2 \end{pmatrix}$
Jawaban a)
$$\begin{aligned} |A| & = (\sqrt2-1)(\sqrt2+1)-(\sqrt2)(\sqrt2) \\ & = (2-1)-2 = -1 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinan $A$ adalah $\boxed{-1}$
Jawaban b)
$$\begin{aligned} |B| & = (\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)-(1-\sqrt5)(1+\sqrt5) \\ & = (3-2)-(1-5) \\ & = 1-(-4) = 5 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinan $B$ adalah $\boxed{5}$
Soal Nomor 3
Carilah determinan di bawah ini menggunakan aturan Sarrus.
a. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix}$
b. $\begin{vmatrix} 5 & 10 & 15 \\ 1 & 2 & 3 \\ -9 & 11 & 7 \end{vmatrix}$
Jawaban a)
Perhatikan skema aturan Sarrus untuk menghitung nilai determinan matriks berikut.
Dengan menggunakan Aturan Sarrus, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} & = 1(-1)(2)+(2)(1)(4)+(-1)(2)(0)-(4)(-1)(-1)-(0)(1)(1)-(2)(2)(2) \\ & = -2 + 8+0-4-0-8 = -6 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinan matriks tersebut adalah $\boxed{-6}$
Jawaban b)
Perhatikan skema aturan Sarrus untuk menghitung nilai determinan matriks berikut.
Dengan menggunakan aturan Sarrus, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 5 & 10 & 15 \\ 1 & 2 & 3 \\ -9 & 11 & 7 \end{vmatrix} & = (5)(2)(7)+(10)(3)(-9)+(15)(1)(11)-(-9)(2)(15)-(11)(3)(5)-(7)(1)(10) \\ & = 70-270+165+270-165-70 = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinan matriks tersebut adalah $\boxed{0}$
Bagi yang sedang mencari soal-soal latihan matriks yang lebih menantang,
silakan kunjungi tautan berikut.
Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks Versi HOTS dan Olimpiade
Soal Nomor 4
Diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.$ Cari nilai determinan $A$ dengan ekspansi kofaktor sepanjang:
a. baris kedua;
b. baris ketiga;
c. kolom pertama; dan
d. kolom ketiga.
Diketahui $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.$
Jawaban a)
Nilai determinan menggunakan ekspansi kofaktor $A$ sepanjang baris kedua dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \require{color}\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \colorbox{lightgray}{4} & \colorbox{lightgray}{5} & \colorbox{lightgray}{6} \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} & = -4 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}+5 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}-6 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \\ & = -4(18-24)+5(9-21)-6(8-14) \\ & = 24-60+36 = 0 \end{aligned}$$Jawaban b)
Nilai determinan menggunakan ekspansi kofaktor $A$ sepanjang baris ketiga dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \require{color}\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \colorbox{lightgray}{7} & \colorbox{lightgray}{8} & \colorbox{lightgray}{9} \end{vmatrix} & = 7 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}-8\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}+9 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} \\ & = 7(12-15)-8(6-12)+9(5-8) \\ & = -21+48-27 = 0 \end{aligned}$$Jawaban c)
Nilai determinan menggunakan ekspansi kofaktor $A$ sepanjang kolom pertama dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \require{color}\begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{1} & 2 & 3 \\ \colorbox{lightgray}{4} & 5 & 6 \\ \colorbox{lightgray}{7} & 8 & 9 \end{vmatrix} & = 1 \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}-4 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}+7 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} \\ & = 1(45-48)-4(18-24)+7(12-15) \\ & = -3+24-21 = 0 \end{aligned}$$Jawaban d)
Nilai determinan menggunakan ekspansi kofaktor $A$ sepanjang kolom ketiga dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \require{color}\begin{vmatrix} 1 & 2 & \colorbox{lightgray}{3} \\ 4 & 5 & \colorbox{lightgray}{6} \\ 7 & 8 & \colorbox{lightgray}{9} \end{vmatrix} & = 3 \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}-6\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}+9 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} \\ & = 3(32-35)-6(8-14)+9(5-8) \\ & = -9 + 36-27 = 0 \end{aligned}$$Jadi, dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris dan kolom tersebut, nilai determinan matriks tersebut adalah $\boxed{0}$
Soal Nomor 5
Tentukan nilai determinan di bawah menggunakan aturan Sarrus-Kino. Jawaban a)
a. Sarrus Kino: pindahkan kolom pertama ke sebelah kanan dan kolom ketiga ke sebelah kiri sesuai arah panah.
b. Sarrus Kino: pindahkan baris pertama ke sebelah bawah dan baris ketiga ke sebelah atas sesuai arah panah.
c. Sarrus Kino: pindahkan baris pertama ke baris keempat dan baris kedua ke baris kelima sesuai arah panah.
Berdasarkan aturan Sarrus-Kino yang dimaksud, kita dapat membuat sketsa penulisannya sebagai berikut.
Misalkan matriks yang nilai determinannya akan dicari di atas adalah $A$. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \det (A) & = (1)(1)(-2) + (3)(0)(3) + (2)(1)(-2)-(3)(1)(2)-(-2)(0)(1)-(-2)(1)(3) \\ & = -2 + 0- 4-6+0+6 = -6 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinannya adalah $\boxed{-6}$
Jawaban b)
Berdasarkan aturan Sarrus-Kino yang dimaksud, kita dapat membuat sketsa penulisannya sebagai berikut.
Misalkan matriks yang nilai determinannya akan dicari di atas adalah $B$. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \det (B) & = (0)(2)(-9) + (1)(5)(1) + (4)(0)(-3)-(4)(2)(1)-(0)(5)(-3)-(1)(0)(-9) \\ & = 0+5+0-8+0+0 = -3 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinannya adalah $\boxed{-3}$
Jawaban c)
Berdasarkan aturan Sarrus-Kino yang dimaksud, kita dapat membuat sketsa penulisannya sebagai berikut.
Misalkan matriks yang nilai determinannya akan dicari di atas adalah $C$. Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \det (C) & = (1)(5)(1) + (4)(0)(-3) + (0)(2)(-9)-(0)(5)(-3)-(1)(0)(-9)-(4)(2)(1) \\ & = 5+0+0+0+0-8 = -3 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinannya adalah $\boxed{-3}$
Soal Nomor 6
Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} -6 & 3 & 8 \\ 5 & -4 & 1 \\ 10 & 9 & -10 \end{pmatrix}.$ Tentukan:
a. minor dari $a_{12}$;
b. minor dari $a_{33}$;
c. kofaktor dari $a_{12}$; dan
d. kofaktor dari $a_{33}$.
Diketahui $A = \begin{pmatrix} -6 & 3 & 8 \\ 5 & -4 & 1 \\ 10 & 9 & -10 \end{pmatrix}.$
Jawaban a)
$a_{12}$ merupakan entri matriks $A$ pada baris pertama kolom kedua sehingga minornya merupakan determinan setelah baris pertama dan kolom kedua dihapus.
$$\require{color} \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{-6} & \colorbox{lightgray}{3} & \colorbox{lightgray}{8} \\ 5 & \colorbox{lightgray}{-4} & 1 \\ 10 & \colorbox{lightgray}{9} & -10 \end{vmatrix}$$Kita peroleh
$$\begin{aligned} M_{12} & = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 10 & -10 \end{vmatrix} \\ & = (5)(-10)-(10)(1) \\ & = -50-10 = -60 \end{aligned}$$Jadi, minor dari $a_{12}$ adalah $\boxed{-60}$
Jawaban b)
$a_{33}$ merupakan entri matriks $A$ pada baris ketiga kolom ketiga sehingga minornya merupakan determinan setelah baris ketiga dan kolom ketiga dihapus.
$$\require{color} \begin{vmatrix} -6 & 3 & \colorbox{lightgray}{8} \\ 5 & -4 & \colorbox{lightgray}{1} \\ \colorbox{lightgray}{10} & \colorbox{lightgray}{9} & \colorbox{lightgray}{-10} \end{vmatrix}$$Kita peroleh
$$\begin{aligned} M_{33} & = \begin{vmatrix}-6 & 3 \\ 5 & -4 \end{vmatrix} \\ & = (-6)(-4)-(5)(3) \\ & = 24-15 = 9 \end{aligned}$$Jadi, minor dari $a_{33}$ adalah $\boxed{9}$
Jawaban c)
$a_{12}$ merupakan entri matriks $A$ pada baris pertama kolom kedua. Kofaktor dari suatu entri matriks adalah minor entri itu berikut tanda $\pm$ di depan mengikuti rumus $K_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}.$
$$\begin{aligned} K_{12} & = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 10 & -10 \end{vmatrix} \\ & = -((5)(-10)-(10)(1)) \\ & = -(-50-10) = 60 \end{aligned}$$Jadi, kofaktor dari $a_{12}$ adalah $\boxed{60}$
Jawaban d)
$a_{33}$ merupakan entri matriks $A$ pada baris ketiga kolom ketiga. Kofaktor dari suatu entri matriks adalah minor entri itu berikut tanda $\pm$ di depan mengikuti rumus $K_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}.$
$$\begin{aligned} K_{33} & = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix}-6 & 3 \\ 5 & -4 \end{vmatrix} \\ & = 1((-6)(-4)-(5)(3)) \\ & = 1(24-15) = 9 \end{aligned}$$Jadi, kofaktor dari $a_{33}$ adalah $\boxed{9}$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Cramer
Soal Nomor 7
Cari nilai determinan dari masing-masing matriks berikut.
a. $A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$
b. $B = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}$
c. $C = \begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}$, $(t \neq 0)$
Jawaban a)
Diketahui $A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}.$Determinan $A$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} |A| & =(\cos \theta)(\cos \theta)-(\sin \theta)(-\sin \theta) \\ & = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \\ & = 1 && (\text{Identitas Pythagoras}) \end{aligned}$$Jadi, nilai determinan matriks tersebut adalah $\boxed{1}$
Jawaban b)
Diketahui $B = \begin{pmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{pmatrix}.$
Determinan $B$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} |B| & =(\cos 2\theta)(-\cos 2\theta)-(\sin 2\theta)(\sin 2\theta) \\ & = -\cos^2 2\theta-\sin^2 \theta \\ & = -(\cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta) \\ & = -1 && (\text{Identitas Pythagoras}) \end{aligned}$$Jadi, nilai determinan matriks tersebut adalah $\boxed{-1}$
Jawaban c)
Diketahui $C = \begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & t^{-1} \end{pmatrix}$, $(t \neq 0).$
Determinan $C$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} |C| & = (t)(t^{-1})-(0)(0) \\ & = 1-0 = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai determinan matriks tersebut adalah $\boxed{1}$
Soal Nomor 8
Carilah nilai $x$ dari masing-masing persamaan di bawah ini.
a. $\begin{vmatrix} x & 10 \\ 2 & x-1 \end{vmatrix} = 0$
b. $\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 6 & x & 10 \\ 0 & 2 & x-1 \end{vmatrix} = 12$
Jawaban a)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} x & 10 \\ 2 & x-1 \end{vmatrix} & = 0 \\ (x)(x-1)-(2)(10) & = 0 \\ x^2-x-20 & = 0 \\ (x-5)(x+4) & = 0 \\ x = 5~\text{atau}~x & = -4 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x = 5~\text{atau}~x = -4}$
Jawaban b)
Determinan pada ruas kiri akan dicari dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama.
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{3} & \colorbox{lightgray}{0} & \colorbox{lightgray}{1} \\ 6 & x & 10 \\ 0 & 2 & x-1 \end{vmatrix} & = 12 \\ 3 \begin{vmatrix} x & 10 \\ 2 & x-1 \end{vmatrix}-0+1 \begin{vmatrix} 6 & x \\ 0 & 2 \end{vmatrix} & = 12 \\ 3((x)(x-1)-20)+1((6)(2)-(0)(x)) & = 12 \\ 3(x^2-x-20) + 12 & = 12 \\ 3(x^2-x-20) & = 0 \\ x^2-x-20 & = 0 \\ (x-5)(x+4) & = 0 \\ x = 5~\text{atau}~x & = -4 \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan itu adalah $\boxed{x = 5~\text{atau}~x = -4}$
Soal Nomor 9
Carilah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan berikut.
a. $\begin{vmatrix} x-4 & 0 & 0 \\ 0 & x+4 & 0 \\ 0 & 0 & x+1 \end{vmatrix} = 0$
b. $\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 0 \end{vmatrix} = 0$
Jawaban a)
Bentuk matriks pada ruas kiri persamaan merupakan matriks diagonal sehingga determinannya merupakan hasil kali setiap entri pada diagonal utama.
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} x-4 & 0 & 0 \\ 0 & x+4 & 0 \\ 0 & 0 & x+1 \end{vmatrix} & = 0 \\ (x-4)(x+4)(x+1) & = 0 \\ x = 4~\text{atau}~x & = -4~\text{atau}~x = -1 \end{aligned}$$Jadi, semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x = -4, -1, 4}$
Jawaban b)
Determinan matriks pada ruas kiri persamaan akan dicari dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga.
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \colorbox{lightgray}{4} & \colorbox{lightgray}{5} & \colorbox{lightgray}{0} \end{vmatrix} & = 0 \\ 4 \begin{vmatrix} x & x^2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}-5\begin{vmatrix} 1 & x^2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}+0 & = 0 \\ 4(x-x^2)-5(1-x^2) & = 0 \\ 4x-4x^2-5+5x^2 & = 0 \\ x^2+4x-5 & = 0 \\ (x+5)(x-1) & = 0 \\ x = -5~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Jadi, semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $\boxed{x = -5, 1}$
Soal Nomor 10
Tunjukkanlah:
a. $$\begin{vmatrix} a_1 + A_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 + A_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 + A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A_1 & b_1 & c_1 \\ A_2 & b_2 & c_2 \\ A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$
b. $$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1+kb_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+kb_2 & b_2 & c_2 \\ a_3+kb_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$
Jawaban a)
Akan dibuktikan bahwa $$\begin{vmatrix} a_1 + A_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 + A_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 + A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A_1 & b_1 & c_1 \\ A_2 & b_2 & c_2 \\ A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$Pembuktian dimulai dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a_1 + A_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 + A_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 + A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} & = (a_1+A_1) \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}-(a_2+A_2) \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} + (a_3+A_3) \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\ & = \left[a_1 \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}- a_2\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}+a_3\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}\right]+\left[A_1 \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}- A_2\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}+A_3\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}\right] \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A_1 & b_1 & c_1 \\ A_2 & b_2 & c_2 \\ A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\boxed{\begin{vmatrix} a_1 + A_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 + A_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 + A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} A_1 & b_1 & c_1 \\ A_2 & b_2 & c_2 \\ A_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}}$$Jawaban b)
Akan dibuktikan bahwa $$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1+kb_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+kb_2 & b_2 & c_2 \\ a_3+kb_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$Pembuktian dari ruas kanan.
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a_1+kb_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+kb_2 & b_2 & c_2 \\ a_3+kb_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} & = (a_1+kb_1) \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}-(a_2+kb_2) \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}+(a_3+kb_3) \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} \\ & = \left[a_1 \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}-a_2 \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}+a_3 \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}\right] \\ & ~~~~~~ +k\left[b_1 \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}-b_2 \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix}+b_3 \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}\right] \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + k(\color{red}{b_1b_2c_3}\color{blue}{-b_1b_3c_2}\color{red}{-b_1b_2c_3}\color{green}{+b_2b_3c_1}\color{blue}{+b_1b_3c_2}\color{green}{-b_2b_3c_1}) \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + k(0) \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\boxed{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1+kb_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+kb_2 & b_2 & c_2 \\ a_3+kb_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}}$$
Soal Nomor 11
Nyatakan nilai $x$ dalam $a$, $b$, dan $c$.
$$\begin{vmatrix} a & a & x \\ c & c & c \\ b & x & b \end{vmatrix} = 0, (a > b, c \neq 0)$$
Determinan pada ruas kiri akan dicari menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama.
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a & a & x \\ c & c & c \\ b & x & b \end{vmatrix} & = 0 \\ a \begin{vmatrix} c & c \\ x & b \end{vmatrix}-a \begin{vmatrix} c & c \\ b & b \end{vmatrix} + x \begin{vmatrix} c & c \\ b & x \end{vmatrix} & = 0 \\ a(bc-cx)-a(\cancel{bc-bc})+x(cx-bc) & = 0 \\ abc-acx+cx^2-bcx & = 0 \\ cx^2-(ac+bc)x + abc & = 0 \end{aligned}$$Persamaan terakhir merupakan persamaan kuadrat sehingga nilai $x$ dapat dicari dengan menggunakan rumus ABC.
$$\begin{aligned} x & = \dfrac{-\bf{b} \pm \sqrt{\bf{b}^2-4\bf{ac}}}{2\bf{a}} \\ & = \dfrac{(ac + bc) \pm \sqrt{(-(ac + bc))^2-4(c)(abc)}}{2c} \\ & = \dfrac{c(a + b) \pm \sqrt{a^2c^2 + 2abc^2+b^2c^2-4abc^2}}{2c} \\ & = \dfrac{\cancel{c}(a + b) \pm \cancel{c}\sqrt{a^2 -2ab+b^2}}{2\cancel{c}} \\ & = \dfrac{a + b \pm \sqrt{a^2 -2ab+b^2}}{2} \\ & = \dfrac{a + b \pm \sqrt{(a-b)^2}}{2} \\ & = \dfrac{a + b \pm (a-b)}{2} && (\text{Ingat}~a > b) \\ x_1 & = \dfrac{a + b + (a-b)}{2} = a \\ x_2 & = \dfrac{a+b-(a-b)}{2} = b \end{aligned}$$Jadi, nilai $x$ bila dinyatakan dalam $a$, $b$, dan $c$ adalah $\boxed{x = a~\text{atau}~x = b}$
Soal Nomor 12
Tunjukkan bahwa persamaan $$\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ 1 & m & 0 \end{vmatrix} = 0$$merepresentasikan persamaan garis yang bergradien $m$ dan melalui titik $(x_1, y_1).$
Akan dibuktikan bahwa $$\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ 1 & m & 0 \end{vmatrix} = 0$$ekuivalen dengan rumus persamaan garis bergradien $m$ dan melalui titik $(x_1, y_1)$, yakni
$$y = m(x-x_1)+y_1.$$Dengan menggunakan aturan Sarrus, kita peroleh
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ 1 & m & 0 \end{vmatrix} & = 0 \\ x(y_1) \cdot 0 + y \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot x_1 \cdot m & -1 \cdot y_1 \cdot 1-m \cdot 1 \cdot x-0 \cdot x_1 \cdot y = 0 \\ y + x_1m -y_1-mx & = 0 \\ y & = mx-x_1m+y_1 \\ y & = m(x-x_1)+y_1 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa persamaan determinan tersebut merepresentasikan persamaan garis yang bergradien $m$ dan melalui titik $(x_1, y_1)$.
Soal Nomor 13
Tunjukkan bahwa $\det(A) = \det(A^T)$ untuk $A = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ dan $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 5 & -3 & 6 \end{pmatrix}.$
Perhatikan bahwa
$$A = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow A^T = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$sehingga determinannya adalah
$$\begin{aligned} |A| & = (-2)(4)-1(3) = -11 \\ |A^T| & = (-2)(4)-3(1) = -11 \end{aligned}$$Berikutnya, perhatikan bahwa
$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 5 & -3 & 6 \end{pmatrix} \Rightarrow A^T = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ -1 & 2 & -3 \\ 3 & 4 & 6 \end{pmatrix}$$sehingga determinannya adalah
$$\require{color} \begin{aligned} |A| & = (24 + (-20) + (-9))-(30+(-24)+(-6)) = \colorbox{lightgray}{-5} \\ |A^T| & = (24 + (-9) + (-20))-(30 + (-24) + (-6)) = \colorbox{lightgray}{-5} \end{aligned}$$Catatan: Perhitungan determinan di atas menggunakan metode Sarrus.
Jadi, terbukti bahwa $\det(A) = \det(A^T)$ untuk dua matriks $A$ tersebut.
Soal Nomor 14
Tunjukkan bahwa $\det (kA) = k^n \det (A)$ untuk $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}; k = 2$ dan $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}; k = -2.$
Diketahui $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}; k = 2.$
Matriks ini merupakan matriks persegi berukuran $2 \times 2$ sehingga $n = 2.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \det (2A) & = \det \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} = -2(8)-4(6) = -40 \\ 2^2 \det (A) & = 4 \det \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 4(-1(4)-2(3)) = -40. \end{aligned}$$Diketahui $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}.$
Matriks ini merupakan matriks persegi berukuran $3 \times 3$ sehingga $n = 3.$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \det (-2A) & = \det \begin{pmatrix} -4 & 2 & -6 \\ -6 & -4 & -2 \\ -2 & -8 & -10 \end{pmatrix} \\ & = (-160 + 8 + (-288))-(-48 + (-64) + 120) \\ & = -440-8 = -448 \\ \text{dan} \\ (-2)^3 \det (A) & = -8 \det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 5 \end{pmatrix} \\ & = -8((20 + (-1) + 36)-(6+8+(-15)) \\ & = -8(55+1) = -448. \end{aligned}$$Catatan: Perhitungan determinan di atas menggunakan metode Sarrus.
Jadi, terbukti bahwa $\det (kA) = k^n \det (A)$ berlaku untuk matriks $A$ yang diberikan tersebut.
Soal Nomor 15
Tunjukkan bahwa $\det (AB) = \det (A) \det (B)$ untuk $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \\ 5 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$
Kita akan menentukan determinan dengan menggunakan metode Sarrus (tidak terbatas pada ini).
Perhatikan bahwa $$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \\ 5 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -1 & 8 \\ 31 & 1 & 17 \\ 10 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$sehingga
$$\begin{aligned} \det (AB) & = \det \begin{pmatrix} 9 & -1 & 8 \\ 31 & 1 & 17 \\ 10 & 0 & 2 \end{pmatrix} \\ & = (18 + (-170) + 0)-(80 + 0 + (-62)) \\ & = -170. \end{aligned}$$Di lain sisi,
$$\begin{aligned} \det (A) & = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \\ & = (16+0+0)-(0+0+6) = 10 \\ \text{dan} \\ \det(B) & = \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \\ 5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ & = (1 + (-10) + 0)-(15 + 0 + (-7)) = -17. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\color{red}{\det (AB) = \det (A) \det (B)}$ sebagaimana $-170 = 10 \cdot (-17).$
Soal Nomor 16
Tentukan matriks mana yang dapat dibalik.
a. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 9 & -1 & 4 \\ 8 & 9 & -1 \end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix} 4 & 2 & 8 \\ -2 & 1 & -4 \\ 3 & 1 & 6 \end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix} \sqrt2 & -\sqrt7 & 0 \\ 3\sqrt2 & -3\sqrt7 & 0 \\ 5 & -9 & 0 \end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix} -3 & 0 & 1 \\ 5 & 0 & 6 \\ 8 & 0 & 3 \end{pmatrix}$
Suatu matriks dapat dibalik (memiliki invers) jika dan hanya jika determinannya TIDAK bernilai nol. Jadi, fokus kita adalah mencari determinan matriksnya, lalu tarik kesimpulan.
Jawaban a)
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 9 & -1 & 4 \\ 8 & 9 & -1 \end{pmatrix} & = (1 + 0 + (-81))-(8 + 36 + 0) \\ & = -80-44 = -124 \end{aligned}$$Karena determinannya tidak bernilai nol, maka matriks yang bersangkutan dapat dibalik.
Jawaban b)
Diketahui entri kolom ketiga merupakan dua kalinya dari entri kolom pertama pada baris yang bersesuaian sehingga dikatakan proporsional. Jadi, determinannya pasti bernilai nol sehingga matriks yang bersangkutan tidak dapat dibalik.
Jawaban c dan d)
Perhatikan bahwa kedua matriks memiliki kolom nol sehingga determinannya juga pasti bernilai nol.
Jadi, dua matriks yang bersangkutan tidak dapat dibalik.
Soal Nomor 17
Dengan mencongak, jelaskan mengapa $\det(A) = 0$ dengan $A = \begin{pmatrix} -2 & 8 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 5 & 1 \\ 1 & 0 & 7 & 0 \\ 4 & -6 & 4 & -3 \end{pmatrix}.$
Salah satu teorema dalam penentuan determinan dari suatu matriks persegi adalah dengan melihat hubungan entri pada baris dan/atau kolomnya. Apabila ditemukan baris dan/atau kolom yang memuat entri yang berkelipatan (proporsional), maka determinan matriks tersebut pasti nol.
Diketahui $A = \begin{pmatrix} -2 & 8 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 5 & 1 \\ 1 & 0 & 7 & 0 \\ 4 & -6 & 4 & -3 \end{pmatrix}.$
Perhatikan bahwa entri kolom kedua merupakan dua kalinya dari entri kolom keempat pada baris yang bersesuaian sehingga dikatakan proporsional. Oleh karena itu, kita simpulkan dengan mencongak bahwa $\det(A) = 0.$
Soal Nomor 18
Tanpa menghitung secara langsung, tunjukkan bahwa $x = 0$ dan $x = 2$ memenuhi $\begin{vmatrix} x^2 & x & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -5 \end{vmatrix} = 0.$
Jika $x = 0,$ maka kita punya matriks $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa entri baris pertama dan baris ketiga proporsional, begitu juga dengan entri kolom pertama dan kolom kedua. Karena proporsionalitas tersebut, maka determinan matriks tersebut adalah $0.$
Jika $x = 2,$ maka kita punya matriks $\begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}.$ Perhatikan bahwa entri baris pertama dan baris kedua proporsional, begitu juga dengan entri kolom pertama dan kolom kedua. Karena proporsionalitas tersebut, maka determinan matriks tersebut adalah $0.$
Soal Nomor 19
Buktikan kesamaan berikut ini tanpa menghitung determinannya.
$$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & a_1 + b_1 + c_1 \\ a_2 & b_2 & a_2 + b_2 + c_2 \\ a_3 & b_3 & a_3 + b_3 + c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$
Akan dibuktikan bahwa $$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & a_1 + b_1 + c_1 \\ a_2 & b_2 & a_2 + b_2 + c_2 \\ a_3 & b_3 & a_3 + b_3 + c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}.$$
Uraikan bentuk determinan matriks pada ruas kiri sesuai dengan entri kolom ketiganya yang memuat tiga suku.
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & a_1 + b_1 + c_1 \\ a_2 & b_2 & a_2 + b_2 + c_2 \\ a_3 & b_3 & a_3 + b_3 + c_3 \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{$a_1$} & b_1 & \colorbox{lightgray}{$a_1$} \\ \colorbox{lightgray}{$a_2$} & b_2 & \colorbox{lightgray}{$a_2$} \\ \colorbox{lightgray}{$a_3$} & b_3 & \colorbox{lightgray}{$a_3$} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & \colorbox{lightgray}{$b_1$} & \colorbox{lightgray}{$b_1$} \\ a_2 & \colorbox{lightgray}{$b_2$} & \colorbox{lightgray}{$b_2$} \\ a_3 & \colorbox{lightgray}{$b_3$} & \colorbox{lightgray}{$b_3$} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\ & (\text{Latar abu-abu menunjukkan proporsionalitas entri}) \\ & = 0 + 0 + \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & a_1 + b_1 + c_1 \\ a_2 & b_2 & a_2 + b_2 + c_2 \\ a_3 & b_3 & a_3 + b_3 + c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}.$$
Soal Nomor 20
Buktikan kesamaan berikut ini tanpa menghitung determinannya.
$$\begin{vmatrix} a_1 + b_1 & a_1-b_1 & c_1 \\ a_2 + b_2 & a_2-b_2 & c_2 \\ a_3+b_3 & a_3-b_3 & c_3 \end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$
Akan dibuktikan bahwa $$\begin{vmatrix} a_1 + b_1 & a_1-b_1 & c_1 \\ a_2 + b_2 & a_2-b_2 & c_2 \\ a_3+b_3 & a_3-b_3 & c_3 \end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}.$$Uraikan bentuk determinan matriks pada ruas kiri sesuai dengan entri kolom pertama dan keduanya yang memuat dua suku.
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} a_1 + b_1 & a_1-b_1 & c_1 \\ a_2 + b_2 & a_2-b_2 & c_2 \\ a_3+b_3 & a_3-b_3 & c_3 \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{$a_1$} & \colorbox{lightgray}{$a_1$} & c_1 \\ \colorbox{lightgray}{$a_2$} & \colorbox{lightgray}{$a_2$} & c_2 \\ \colorbox{lightgray}{$a_3$} & \colorbox{lightgray}{$a_3$} & c_3 \end{vmatrix}- \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1 & a_1 & c_1 \\ b_2 & a_2 & c_2 \\ b_3 & a_3 & c_3 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{$b_1$} & \colorbox{lightgray}{$b_1$} & c_1 \\ \colorbox{lightgray}{$b_2$} & \colorbox{lightgray}{$b_2$} & c_2 \\ \colorbox{lightgray}{$b_3$} & \colorbox{lightgray}{$b_3$} & c_3 \end{vmatrix} \\ & (\text{Latar abu-abu menunjukkan proporsionalitas entri}) \\ & = 0- \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \underbrace{\begin{vmatrix} b_1 & a_1 & c_1 \\ b_2 & a_2 & c_2 \\ b_3 & a_3 & c_3 \end{vmatrix}}_{b_1 \leftrightarrow b_2}-0 \\ & (\text{Penukaran baris menegatifkan nilai det}) \\ & = – \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \\ & = -2\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\begin{vmatrix} a_1 + b_1 & a_1-b_1 & c_1 \\ a_2 + b_2 & a_2-b_2 & c_2 \\ a_3+b_3 & a_3-b_3 & c_3 \end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}.$$
Soal Nomor 21
Buktikan kesamaan berikut ini tanpa menghitung determinannya.
$$\begin{vmatrix} a_1 + b_1t & a_2 + b_2t & a_3 + b_3t \\ a_1t + b_1 & a_2t + b_2 & a_3t + b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = (1-t^2) \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$$
Akan dibuktikan bahwa $$\begin{vmatrix} a_1 + b_1t & a_2 + b_2t & a_3 + b_3t \\ a_1t + b_1 & a_2t + b_2 & a_3t + b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = (1-t^2) \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.$$Uraikan bentuk determinan matriks pada ruas kiri sesuai dengan entri baris pertama dan keduanya yang memuat dua suku.
$$\begin{aligned} \require{color} \begin{vmatrix} a_1 + b_1t & a_2 + b_2t & a_3 + b_3t \\ a_1t + b_1 & a_2t + b_2 & a_3t + b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_1t & a_2t & a_3t \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1t & b_2t & b_3t \\ a_1t & a_2t & a_3t \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1t & b_2t & b_3t \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \\ & = t \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{$a_1$} & \colorbox{lightgray}{$a_2$} & \colorbox{lightgray}{$a_3$} \\ \colorbox{lightgray}{$a_1$} & \colorbox{lightgray}{$a_2$} & \colorbox{lightgray}{$a_3$} \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + t^2 \underbrace{\begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}}_{b_1 \leftrightarrow b_2} + t \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{$b_1$} & \colorbox{lightgray}{$b_2$} & \colorbox{lightgray}{$b_3$} \\ \colorbox{lightgray}{$b_1$} & \colorbox{lightgray}{$b_2$} & \colorbox{lightgray}{$b_3$} \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \\ & = t(0) + \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} -t^2 \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + t(0) \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} -t^2 \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \\ & = (1-t^2) \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\begin{vmatrix} a_1 + b_1t & a_2 + b_2t & a_3 + b_3t \\ a_1t + b_1 & a_2t + b_2 & a_3t + b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = (1-t^2) \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.$$
Soal Nomor 22
Buktikan kesamaan berikut ini tanpa menghitung determinannya.
$$\begin{vmatrix} a_1 & b_1+ta_1 & c_1+rb_1 + sa_1 \\ a_2 & b_2+ta_2 & c_2+rb_2 + sa_2 \\ a_3 & b_3+ta_3 & c_3+rb_3 + sa_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$
Akan dibuktikan bahwa $$\begin{vmatrix} a_1 & b_1+ta_1 & c_1+rb_1 + sa_1 \\ a_2 & b_2+ta_2 & c_2+rb_2 + sa_2 \\ a_3 & b_3+ta_3 & c_3+rb_3 + sa_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}.$$
Uraikan bentuk determinan matriks pada ruas kiri sesuai dengan entri kolom kedua dan ketiganya yang berturut-turut memuat dua dan tiga suku.
$$\require{color} \begin{aligned} \begin{vmatrix} a_1 & b_1+ta_1 & c_1+rb_1 + sa_1 \\ a_2 & b_2+ta_2 & c_2+rb_2 + sa_2 \\ a_3 & b_3+ta_3 & c_3+rb_3 + sa_3 \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & rb_1 \\ a_2 & b_2 & rb_2 \\ a_3 & b_3 & rb_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & sa_1 \\ a_2 & b_2 & sa_2 \\ a_3 & b_3 & sa_3 \end{vmatrix} \\ & \begin{vmatrix} a_1 & ta_1 & c_1 \\ a_2 & ta_2 & c_2 \\ a_3 & ta_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & ta_1 & rb_1 \\ a_2 & ta_2 & rb_2 \\ a_3 & ta_3 & rb_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & ta_1 & sb_1 \\ a_2 & ta_2 & sb_2 \\ a_3 & ta_3 & sb_3 \end{vmatrix} \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + r \begin{vmatrix} a_1 & \colorbox{lightgray}{$b_1$} & \colorbox{lightgray}{$b_1$} \\ a_2 & \colorbox{lightgray}{$b_2$} & \colorbox{lightgray}{$b_2$} \\ a_3 & \colorbox{lightgray}{$b_3$} & \colorbox{lightgray}{$b_3$} \end{vmatrix} + s \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{$a_1$} & b_1 & \colorbox{lightgray}{$a_1$} \\ \colorbox{lightgray}{$a_2$} & b_2 & \colorbox{lightgray}{$a_2$} \\ \colorbox{lightgray}{$a_3$} & b_3 & \colorbox{lightgray}{$a_3$} \end{vmatrix} \\ & t \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{$a_1$} & \colorbox{lightgray}{$a_1$} & c_1 \\ \colorbox{lightgray}{$a_2$} & \colorbox{lightgray}{$a_2$} & c_2 \\ \colorbox{lightgray}{$a_3$} & \colorbox{lightgray}{$a_3$} & c_3 \end{vmatrix} + tr \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{$a_1$} & \colorbox{lightgray}{$a_1$} & b_1 \\ \colorbox{lightgray}{$a_2$} & \colorbox{lightgray}{$a_2$} & b_2 \\ \colorbox{lightgray}{$a_3$} & \colorbox{lightgray}{$a_3$} & b_3 \end{vmatrix} + ts \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{$a_1$} & \colorbox{lightgray}{$a_1$} & b_1 \\ \colorbox{lightgray}{$a_2$} & \colorbox{lightgray}{$a_2$} & b_2 \\ \colorbox{lightgray}{$a_3$} & \colorbox{lightgray}{$a_3$} & b_3 \end{vmatrix} \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + r(0) + s(0) + t(0) + tr(0) + ts(0) \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\begin{vmatrix} a_1 & b_1+ta_1 & c_1+rb_1 + sa_1 \\ a_2 & b_2+ta_2 & c_2+rb_2 + sa_2 \\ a_3 & b_3+ta_3 & c_3+rb_3 + sa_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}.$$
Operasi Baris Elementer (Aljabar Linear)
Soal Nomor 23
Tentukan determinan berikut ini dengan mencongak (menghitung di luar kepala).
a. $\begin{pmatrix} 3 & -17 & 4 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix} \sqrt2 & 0 & 0 & 0 \\ -8 & \sqrt2 & 0 & 0 \\ 7 & 0 & -1 & 0 \\ 10 & 5 & 6 & 1 \end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 \\ 1 & -7 & 4 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -4 & 6 \\ 5 & -8 & 1 \end{pmatrix}$
Jawaban a)
Matriks $\begin{pmatrix} 3 & -17 & 4 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ adalah matriks segitiga atas sehingga determinannya ditentukan hanya dengan mengalikan semua entri pada diagonal utama, yaitu
$$\require{color} \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{3} & -17 & 4 \\ 0 & \colorbox{lightgray}{5} & 1 \\ 0 & 0 & \colorbox{lightgray}{-2} \end{vmatrix} = 3(5)(-2) = -30.$$Jadi, determinan matriks itu adalah $\boxed{-30}$
Jawaban b)
Matriks $\begin{pmatrix} \sqrt2 & 0 & 0 & 0 \\ -8 & \sqrt2 & 0 & 0 \\ 7 & 0 & -1 & 0 \\ 10 & 5 & 6 & 1 \end{pmatrix}$ adalah matriks segitiga bawah sehingga determinannya ditentukan hanya dengan mengalikan semua entri pada diagonal utama, yaitu
$$\require{color}\begin{aligned} \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{$\sqrt2$} & 0 & 0 & 0 \\ -8 & \colorbox{lightgray}{$\sqrt2$} & 0 & 0 \\ 7 & 0 & \colorbox{lightgray}{-1} & 0 \\ 10 & 5 & 6 & \colorbox{lightgray}{1} \end{vmatrix} = (\sqrt2)(\sqrt2)(-1)(1) = -2 \end{aligned}$$Jadi, determinan matriks itu adalah $\boxed{-2}$
Jawaban c)
Entri baris pertama dan ketiga pada matriks $\begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 \\ 1 & -7 & 4 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ proporsional (entrinya sama) sehingga determinan matriks itu adalah $\boxed{0}$
Jawaban d)
Entri baris pertama dan kedua pada matriks $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & -4 & 6 \\ 5 & -8 & 1 \end{pmatrix}$ proporsional (entri baris kedua merupakan dua kalinya dari entri baris pertama) sehingga determinan matriks itu adalah $\boxed{0}$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Operasi Baris Elementer dan Eliminasi Gauss-Jordan
Soal Nomor 24
Cari determinan matriks-matriks berikut dengan mencongak.
a. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Jawaban a)
Perhatikan bahwa matriks $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ merupakan matriks segitiga sehingga determinannya dapat dicari dengan hanya mengalikan semua entri pada diagonal utamanya, yaitu
$$\require{color} \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \colorbox{lightgray}{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \colorbox{lightgray}{-5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \colorbox{lightgray}{1} \end{vmatrix} = 1(1)(-5)(1) = -5.$$Jawaban b)
Perhatikan bahwa matriks $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ adalah matriks elementer dengan melakukan operasi penukaran baris kedua dan ketiga pada matriks identitas berukuran $4 \times 4.$
$$\begin{aligned} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & \xrightarrow[]{b_2 \leftrightarrow b_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Determinan dari matriks identitas adalah $1.$ Karena matriks yang dimaksud merupakan matriks hasil operasi baris elementer berupa penukaran baris, maka determinannya adalah negatifnya dari determinan matriks mula-mula, yaitu $-1.$
Jawaban c)
Matriks $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ merupakan matriks segitiga atas sehingga determinannya dapat dicari dengan hanya mengalikan semua entri pada diagonal utamanya, yaitu
$$\require{color} \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \colorbox{lightgray}{1} & 0 & -9 \\ 0 & 0 & \colorbox{lightgray}{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \colorbox{lightgray}{1} \end{vmatrix} = 1(1)(1)(1) = 1.$$
Soal Nomor 25
Hitung determinan dari matriks $\begin{pmatrix} -3 & 6 & -9 \\ 0 & 0 & -2 \\ -2 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ dengan menggunakan reduksi baris.
Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita peroleh determinan matriks tersebut, yaitu
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} -3 & 6 & -9 \\ 0 & 0 & -2 \\ -2 & 1 & 5 \end{vmatrix} & = -3 \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \\ -2 & 1 & 5 \end{vmatrix} && \left(-\frac13b_1\right) \\ & = -3 \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -3 & 11 \end{vmatrix} && \left(b_3+2b_1\right) \\ & = 3 \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -3 & 11 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} && \left(b_2 \leftrightarrow b_3\right) \\ & = 3(1)(-3)(-2) \\ & = 18 \end{aligned}$$Jadi, determinan matriks tersebut adalah $\boxed{18}$
Soal Nomor 26
Hitung determinan dari matriks $\begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ dengan menggunakan reduksi baris.
Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita peroleh determinan matriks tersebut, yaitu
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} & = -\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix} && \left(b_1 \leftrightarrow b_2\right) \\ & = -\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} && \left(b_3-3b_1\right) \\ & = -\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -\frac53 \end{vmatrix} && \left(b_3 + \frac13b_2\right) \\ & = -(1)(3)\left(-\dfrac53\right) \\ & = 5 \end{aligned}$$Jadi, determinan matriks tersebut adalah $\boxed{5}$
Soal Nomor 27
Hitung determinan dari matriks $\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ -2 & 4 & 1 \\ 5 & -2 & 2 \end{pmatrix}$ dengan menggunakan reduksi baris.
Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita peroleh determinan matriks tersebut, yaitu
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & -3 & 0 \\ -2 & 4 & 1 \\ 5 & -2 & 2 \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 13 & 2 \end{vmatrix} && \left(b_2 + 2b_1; b_3-5b_1\right) \\ & = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & \frac{17}{2} \end{vmatrix} && \left(b_3+\frac{13}{2}b_2\right) \\ & = (1)(-2)\left(\dfrac{17}{2}\right) \\ & = -17 \end{aligned}$$Jadi, determinan matriks tersebut adalah $\boxed{-17}$
Soal Nomor 28
Hitung determinan dari matriks $\begin{pmatrix} 3 & -6 & 9 \\ -2 & 7 & -2 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ dengan menggunakan reduksi baris.
Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita peroleh determinan matriks tersebut, yaitu
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 & -6 & 9 \\ -2 & 7 & -2 \\ 0 & 1 & 5 \end{vmatrix} & = 3 \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 7 & -2 \\ 0 & 1 & 5 \end{vmatrix} && \left(\frac13b_1\right) \\ & = 3 \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \end{vmatrix} && \left(b_2+2b_1\right) \\ & = 3 \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & \frac{11}{3} \end{vmatrix} && \left(b_3-\frac13b_2\right) \\ & = 3(1)(3)\left(\dfrac{11}{3}\right) \\ & = 33 \end{aligned}$$Jadi, determinan matriks tersebut adalah $\boxed{33}$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Pengantar Sistem Persamaan Linear (Bidang Aljabar Linear)
Soal Nomor 29
Hitung determinan dari matriks $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 5 & -9 & 6 & 3 \\ -1 & 2 & -6 & -2 \\ 2 & 8 & 6 & 1 \end{pmatrix}$ dengan menggunakan reduksi baris.
Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita peroleh determinan matriks tersebut, yaitu
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 5 & -9 & 6 & 3 \\ -1 & 2 & -6 & -2 \\ 2 & 8 & 6 & 1 \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -9 & -2 \\ 0 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & 12 & 0 & -1 \end{vmatrix} && \left(b_2-5b_1; b_3+b_1; b_4-2b_1\right) \\ & = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -9 & -2 \\ 0 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 108 & 23 \end{vmatrix} && \left(b_4-12b_2\right) \\ & = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -9 & -2 \\ 0 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -13 \end{vmatrix} && \left(b_4+36b_3\right) \\ & = (1)(1)(-3)(-13) \\ & = 39 \end{aligned}$$Jadi, determinan matriks tersebut adalah $\boxed{39}$
Soal Nomor 30
Hitung determinan dari matriks $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ dengan menggunakan reduksi baris.
Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita peroleh determinan matriks tersebut, yaitu
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} & = -\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3\end{vmatrix} && \left(b_1 \leftrightarrow b_2\right) \\ & = -\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} && \left(b_2-2b_1\right) \\ & = -\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} && \left(b_3-2b_2; b_4-b_2\right) \\ & = -\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} && \left(b_4 + b_3\right) \\ & = -(1)(1)(-1)(6) \\ & = 6 \end{aligned}$$Jadi, determinan matriks tersebut adalah $\boxed{6}$
Soal Nomor 31
Hitung determinan dari matriks $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ \frac12 & \frac12 & 1 & \frac12 \\ \frac23 & \frac13 & \frac13 & 0 \\ -\frac13 & \frac23 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ dengan menggunakan reduksi baris.
Dengan menggunakan operasi baris elementer, kita peroleh determinan matriks tersebut, yaitu
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ \frac12 & \frac12 & 1 & \frac12 \\ \frac23 & \frac13 & \frac13 & 0 \\ -\frac13 & \frac23 & 0 & 0 \end{vmatrix} & = \left(\dfrac12\right)\left(\dfrac13\right)\left(\dfrac13\right) \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} && \left(2b_2; 3b_3; 3b_4\right) \\ & = -\dfrac{1}{18} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} && \left(b_1 \leftrightarrow b_2 \right) \\ & = -\dfrac{1}{18} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -3 & -2 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} && \left(b_3-2b_1; b_4+b_1 \right) \\ & = -\dfrac{1}{18} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} && \left(b_3 + b_2; b_4-3b_2 \right) \\ & = -\dfrac{1}{18} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac32 \end{vmatrix} && \left(b_4-\frac12b_3 \right) \\ & = -\dfrac{1}{18}(1)(1)(-2)\left(-\dfrac32\right) \\ & = -\dfrac16 \end{aligned}$$Jadi, determinan matriks tersebut adalah $\boxed{-\dfrac16}$
Soal Nomor 32
Diketahui bahwa $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -6.$ Carilah nilai dari
a. $\begin{vmatrix} d & e & f \\ g & h & i \\ a & b & c \end{vmatrix}$
b. $\begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ -d & -e & -f \\ 4g & 4h & 4i \end{vmatrix}$
c. $\begin{vmatrix} a + g & b + h & c + i \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}$
d. $\begin{vmatrix} -3a & -3b & -3c \\ d & e & f \\ g-4d & h-4e & i-4f \end{vmatrix}$
Diketahui $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = -6.$
Untuk mencari determinan yang diminta, kita dapat menggunakan operasi baris elementer dengan tujuan memunculkan entri-entri yang bersesuaian dengan baris dan kolomnya.
Jawaban a)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} d & e & f \\ g & h & i \\ a & b & c \end{vmatrix} & = -\begin{vmatrix} a & b & c \\ g & h & i \\ d & e & f \end{vmatrix} && \left(b_1 \leftrightarrow b_3\right) \\ & = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{vmatrix} && \left(b_2 \leftrightarrow b_3\right) \\ & = -6 \end{aligned}$$Jadi, determinan dari $\begin{vmatrix} d & e & f \\ g & h & i \\ a & b & c \end{vmatrix}$ adalah $\boxed{-6}$
Jawaban b)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ -d & -e & -f \\ 4g & 4h & 4i \end{vmatrix} & = (3)(-1)(4) \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} && \left(\frac13b_1; -b_2; \frac14b_3\right) \\ & = (3)(-1)(4)(-6) \\ & = 72 \end{aligned}$$Jadi, determinan dari $\begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ -d & -e & -f \\ 4g & 4h & 4i \end{vmatrix}$ adalah $\boxed{72}$
Jawaban c)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a + g & b + h & c + i \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} & = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} && \left(b_1-b_3\right) \\ & =-6 \end{aligned}$$Jadi, determinan dari $\begin{vmatrix} a + g & b + h & c + i \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}$ adalah $\boxed{-6}$
Jawaban d)
$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} -3a & -3b & -3c \\ d & e & f \\ g-4d & h-4e & i-4f \end{vmatrix} & = (-3) \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g-4d & h-4e & i-4f \end{vmatrix} && \left(-\frac13b_1\right) \\ & = (-3) \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} && \left(b_3 + 4b_2\right) \\ & = -3(-6) = 18 \end{aligned}$$Jadi, determinan dari $\begin{vmatrix} -3a & -3b & -3c \\ d & e & f \\ g-4d & h-4e & i-4f \end{vmatrix}$ adalah $\boxed{18}$
Soal Nomor 33
Gunakan reduksi baris untuk menunjukkan bahwa
$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b).$$
Akan ditunjukkan bahwa
$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b).$$Kita akan mereduksi matriks pada ruas kiri persamaan tersebut menjadi matriks segitiga bawah dengan menggunakan operasi baris elementer, kemudian menentukan determinannya dengan mengalikan entri-entri pada diagonal utama.
$$\require{color} \begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} & = -\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & b-a & c-a \\ 0 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix} && \left(b_2-a \cdot b_1; b_3-a^2 \cdot b_1\right) \\ & = \begin{vmatrix} \colorbox{lightgray}{1} & 1 & 1 \\ 0 & \colorbox{lightgray}{$b-a$} & c-a \\ 0 & 0 & \colorbox{lightgray}{$(c^2-a^2)-(b+a)(c-a)$} \end{vmatrix} && \left(b_3-(b+a) \cdot b_2\right) \end{aligned}$$Dengan demikian, determinannya adalah
$$\begin{aligned} 1(b-a)((c^2-a^2)-(b+a)(c-a)) & = (b-a)((c+a){\color{red}{(c-a)}}-(b+a){\color{red}{(c-a)}}) \\ & = (b-a)(c-a)((c+\cancel{a})-(b+\cancel{a})) \\ & = (b-a)(c-a)(c-b). \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b).$$
Soal Nomor 34
Anggap $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}.$ Dengan mengasumsikan bahwa $\det(A) = -7,$ carilah nilai dari
a. $\det(3A)$
b. $\det(A^{-1})$
c. $\det (2A^{-1})$
d. $\det ((2A)^{-1})$
e. $\det \begin{pmatrix} a & g & d \\ b & h & e \\ c & i & f \end{pmatrix}$
Diketahui $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ dan $\det(A) = -7.$ Perhatikan bahwa $A$ merupakan matriks persegi berukuran $3 \times 3.$
Jawaban a)
$$\begin{aligned} \det(3A) & = 3^3 \det (A) \\ & = 27(-7) = -189 \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} \det (A^{-1}) & = \dfrac{1}{\det (A)} \\ & = -\dfrac17 \end{aligned}$$Jawaban c)
$$\begin{aligned} \det (2A^{-1}) & = 2^3 \det (A^{-1}) \\ & = 8 \cdot \dfrac{1}{\det(A)} \\ & = -\dfrac87 \end{aligned}$$Jawaban d)
$$\begin{aligned} \det ((2A)^{-1}) & = \dfrac{1}{\det (2A)} \\ & = \dfrac{1}{2^3 \det (A)} \\ & = \dfrac{1}{8(-7)} = -\dfrac{1}{56} \end{aligned}$$Jawaban e)
$$\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} a & g & d \\ b & h & e \\ c & i & f \end{pmatrix} & = -\det \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix} && (k_2 \leftrightarrow k_3) \\ & = -\det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{pmatrix} && (\text{transpos tidak mengubah nilai det}) \\ & = -(-7) = 7 \end{aligned}$$
Soal Nomor 35
Tanpa menghitung secara langsung, tunjukkan bahwa $\det \begin{pmatrix} b + c & c + a & b+a \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 0.$
Diketahui matriks $\begin{pmatrix} b + c & c + a & b+a \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$ Kita akan menunjukkan determinan matriks ini sama dengan nol.
Lakukan satu kali operasi baris elementer, yaitu tambahkan entri baris kedua pada baris pertama. Operasi baris elementer ini tidak mengubah nilai determinan.
$$\begin{pmatrix} b + c & c + a & b+a \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow[]{b_1+b_2} \begin{pmatrix} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$Perhatikan bahwa entri baris pertama dan baris ketiga proporsional sehingga determinan matriks ini pasti bernilai $0.$
Jadi, terbukti bahwa $\det \begin{pmatrix} b + c & c + a & b+a \\ a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 0.$
Soal Nomor 36
Dengan melibatkan penggunaan operasi baris elementer, tunjukkan bahwa $\begin{pmatrix} \sin^2 \alpha & \sin^2 \beta & \sin^2 \gamma \\ \cos^2 \alpha & \cos^2 \beta & \cos^2 \gamma \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ tidak dapat dibalik untuk sembarang nilai $\alpha, \beta,$ dan $\gamma.$
Setiap matriks yang tidak dapat dibalik pasti memiliki nilai determinan nol. Jadi, kita harus menunjukkan bahwa determinan dari matriks $\begin{pmatrix} \sin^2 \alpha & \sin^2 \beta & \sin^2 \gamma \\ \cos^2 \alpha & \cos^2 \beta & \cos^2 \gamma \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ bernilai nol.
Operasi baris elementer yang kita gunakan adalah dengan menjumlahkan entri baris kedua pada baris pertama. Perhatikan bahwa operasi baris elementer ini tidak mengubah nilai determinan matriks.
$$\require{color} \begin{aligned} \begin{pmatrix} \sin^2 \alpha & \sin^2 \beta & \sin^2 \gamma \\ \cos^2 \alpha & \cos^2 \beta & \cos^2 \gamma \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} & \xrightarrow[]{b_1+b_2} \begin{pmatrix} \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha & \sin^2 \beta + \cos^2 \beta & \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma \\ \cos^2 \alpha & \cos^2 \beta & \cos^2 \gamma \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \colorbox{lightgray}{1} & \colorbox{lightgray}{1} & \colorbox{lightgray}{1} \\ \cos^2 \alpha & \cos^2 \beta & \cos^2 \gamma \\ \colorbox{lightgray}{1} & \colorbox{lightgray}{1} & \colorbox{lightgray}{1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$Catatan: Identitas Pythagoras dalam trigonometri mengatakan bahwa $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ untuk setiap $x \in \mathbb{R}.$
Perhatikan bahwa entri baris pertama dan ketiga matriks terakhir adalah proporsional sehingga determinan matriks tersebut pasti bernilai nol. Akibatnya, kita telah membuktikan bahwa matriks $\begin{pmatrix} \sin^2 \alpha & \sin^2 \beta & \sin^2 \gamma \\ \cos^2 \alpha & \cos^2 \beta & \cos^2 \gamma \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ tidak dapat dibalik untuk sembarang nilai $\alpha, \beta,$ dan $\gamma.$