Tag: Derajat

Diketahui:
$\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}=\sin {60}^{\circ }.$
Kemungkinan 1:
$x={60}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }$
Untuk $k=0$, diperoleh $x={60}^{\circ }(✓)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x={420}^{\circ }(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$\begin{array}{rl}x& =(180-60{)}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ x& ={120}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\end{array}$
Untuk $k=0$, diperoleh $x={120}^{\circ }(✓)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x={480}^{\circ }(\text{X})$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpunan adalah $\boxed{{\displaystyle \{{60}^{\circ },{120}^{\circ }\}}}.$ 
(Jawaban A)

Diketahui:
$\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}=\cos {60}^{\circ }.$
Kemungkinan 1:
$x={60}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }$
Untuk $k=0$, diperoleh $x={60}^{\circ }(✓)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x={420}^{\circ }(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$x=-{60}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }$
Untuk $k=0$, diperoleh $x=-{60}^{\circ }(\text{X})$
Untuk $k=1$, diperoleh $x={300}^{\circ }(✓)$
Untuk $k=2$, diperoleh $x={660}^{\circ }(\text{X})$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpunan adalah $\boxed{{\displaystyle \{{60}^{\circ },{300}^{\circ }\}}}.$ 
(Jawaban E)

Perhatikan bahwa persamaan $\sqrt{2}\sin 3x=1$ ekuivalen dengan persamaan 
$\sin 3x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}=\sin {45}^{\circ }.$
Untuk itu, didapat 2 kemungkinan berikut. 
Kemungkinan 1:
$\begin{array}{rl}3x& ={45}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ & \text{Bagi kedua ruas dengan}3\\ x& ={15}^{\circ }+k\cdot {120}^{\circ }\end{array}$
Jika $k=0$, diperoleh $x={15}^{\circ }(✓)$
Jika $k=1$, diperoleh $x={135}^{\circ }(✓)$
Jika $k=2$, diperoleh $x={255}^{\circ }(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$\begin{array}{rl}3x& =(180-45{)}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ 3x& ={135}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ & \text{Bagi kedua ruas dengan}3\\ x& ={45}^{\circ }+k\cdot {120}^{\circ }\end{array}$
Jika $k=0$, diperoleh $x={45}^{\circ }(✓)$
Jika $k=1$, diperoleh $x={165}^{\circ }(✓)$
Jika $k=2$, diperoleh $x={285}^{\circ }(\text{X})$
Jadi, HP persamaan tersebut adalah
$\boxed{{\displaystyle \{{15}^{\circ },{45}^{\circ },{135}^{\circ },{165}^{\circ }\}}}.$
(Jawaban D)

Diketahui:
$\begin{array}{rl}2\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})& =\sqrt{3}\\ \cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}\\ \cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})& =\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\end{array}$
Kemungkinan 1:
$\begin{array}{rl}x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}& ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\cdot 2\pi \\ x& ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k\cdot 2\pi \\ x& ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\cdot 2\pi \end{array}$
Untuk $k=0$, diperoleh $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(✓)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x=2{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi (\text{X})$
Kemungkinan 2:
$\begin{array}{rl}x-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}& =-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\cdot 2\pi \\ x& =–{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k\cdot 2\pi \\ x& ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\cdot 2\pi \end{array}$ 
Untuk $k=0$, diperoleh $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}(✓)$ 
Untuk $k=1$, diperoleh $x=2{\displaystyle \frac{1}{6}}\pi (\text{X})$
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle \{{\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\}}}.$ 
(Jawaban A)

Diketahui:
$\tan 2x={\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{3}=\tan {30}^{\circ }.$
Dengan demikian, ditulis
$\begin{array}{rl}2x& ={30}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ }\\ x& ={15}^{\circ }+k\cdot {90}^{\circ }\end{array}$
Untuk $k=0$, diperoleh $x={15}^{\circ }(✓)$
Untuk $k=1$, diperoleh $x={105}^{\circ }(✓)$
Untuk $k=2$, diperoleh $x={195}^{\circ }(✓)$
Untuk $k=3$, diperoleh $x={285}^{\circ }(\text{X})$ 
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpunan adalah $\boxed{{\displaystyle \{{15}^{\circ },{105}^{\circ },{195}^{\circ }\}}}.$ 
(Jawaban A)

Gunakan identitas berikut. 
$\boxed{{\displaystyle {\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x}}$
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{array}{rl}2{\cos }^{2}x+5\sin x-4& =0\\ 2(1-{\sin }^{2}x)+5\sin x-4& =0\\ -2{\sin }^{2}x+5\sin x-2& =0\\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}& -1\\ 2{\sin }^{2}x-5\sin x+2& =0\\ \text{Misalkan}\sin x& =y\\ 2y^2-5y+2& =0\\ (2y-1)(y-2)& =0\end{array}$
Dari sini, diperoleh
$2y-1=0\iff y={\displaystyle \frac{1}{2}}$
atau
$y-2=0\iff y=2.$
Substitusi kembali $y=\sin x$ sehingga diperoleh kemungkinan:
Kemungkinan 1:
$\begin{array}{rl}\sin x& ={\displaystyle \frac{1}{2}}=\sin {30}^{\circ }\\ x& ={30}^{\circ }+k({360}^{\circ })\\ x& =(180-30{)}^{\circ }+k({360}^{\circ })\end{array}$
Untuk $k=0$, selanjutnya diperoleh
$x={30}^{\circ }$ atau $x={150}^{\circ }$
Kemungkinan 2: $\sin x=2$
Karena nilai maksimum sinus adalah $1$, maka $\sin x=2$ tidak akan memiliki solusi. 
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah $\{{30}^{\circ },{150}^{\circ }\}.$
(Jawaban A)

Gunakan identitas berikut. 
$\boxed{{\displaystyle \cos 2x=1-2{\sin }^{2}x}}$
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{array}{rl}\cos 2x-\sin x& =0\\ (1-2{\sin }^{2}x)–\sin x& =0\\ -2{\sin }^{2}x-\sin x+1& =0\\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}& -1\\ 2{\sin }^{2}x+\sin x-1& =0\\ (2\sin x-1)(\sin x+1)& =0\end{array}$
Pembuat nol:
$2\sin x-1=0\iff \sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$
atau
$\sin x+1=0\iff \sin x=-1.$
Kemungkinan 1:
$$\begin{array}{rl}\sin x& ={\displaystyle \frac{1}{2}}=\sin {30}^{\circ }\\ x& ={30}^{\circ }+k({360}^{\circ })\vee x=(180-30{)}^{\circ }+k({360}^{\circ })\end{array}$$Untuk $k=0$, selanjutnya diperoleh $x={30}^{\circ }$ atau $x={150}^{\circ }$
Kemungkinan 2: $\sin x=-1$
Satu-satunya $x$ yang memenuhi $\sin x=-1$ adalah $x={270}^{\circ }$, tetapi karena di luar batas interval $x$, maka bukan termasuk penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah $\{{30}^{\circ },{150}^{\circ }\}.$
(Jawaban A)

Gunakan rumus jumlah fungsi sinus. 
$$\boxed{{\displaystyle \sin A+\sin B=2\sin {\displaystyle \frac{1}{2}}(A+B)\cos {\displaystyle \frac{1}{2}}(A-B)}}$$Untuk itu, dapat ditulis
$$\begin{array}{rl}\sin (2x+110{)}^{\circ }+\sin (2x-10{)}^{\circ }& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 2\sin {\displaystyle \frac{1}{2}}(2x+110+2x-10{)}^{\circ }\\ \cos {\displaystyle \frac{1}{2}}(2x+110-2x+10{)}^{\circ }& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 2\sin (2x+50{)}^{\circ }\cos {60}^{\circ }& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \cancel{2}\sin (2x+50{)}^{\circ }\cdot {\displaystyle \frac{1}{\cancel{2}}}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sin (2x+50{)}^{\circ }& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sin (2x+50{)}^{\circ }& =\sin {30}^{\circ }\end{array}$$Gunakan persamaan bentuk sinus: $\sin px=\sin \theta$, dengan penyelesaiannya, yakni
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}px& =\theta +k\cdot {360}^{\circ }\\ px& =({180}^{\circ }-\theta )+k\cdot {360}^{\circ }.\end{array}}}$
Kemungkinan 1:
$\begin{array}{rl}(2x+50{)}^{\circ }& ={30}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ 2x^{\circ }& =-{20}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ x^{\circ }& =-{10}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ }\end{array}$
Pilih $k=1$ atau $k=2$ sehingga diperoleh $x={170}^{\circ }$ atau $x={350}^{\circ }.$
Kemungkinan 2:
$\begin{array}{rl}(2x+50{)}^{\circ }& =(180-30{)}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ 2x^{\circ }& ={100}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ x^{\circ }& ={50}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ }\end{array}$
Pilih $k=0$ atau $k=1$ sehingga diperoleh $x={50}^{\circ }$ atau $x={230}^{\circ }.$
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah $\{{50}^{\circ },{170}^{\circ },{230}^{\circ },{350}^{\circ }\}.$
(Jawaban C)

Gunakan identitas sudut ganda. 
$\boxed{{\displaystyle \cos 2x=1-2{\sin }^{2}x}}$ 
Untuk itu, dapat ditulis
$\begin{array}{rl}\cos 2x+\sin x-1& =0\\ (1-2{\sin }^{2}x)+\sin x-1& =0\\ -2{\sin }^{2}x+\sin x& =0\\ \sin x(-2\sin x+1)& =0.\end{array}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$\sin x=0⟹x={180}^{\circ }\vee {360}^{\circ }.$
Perhatikan bahwa $x\ne 0^{\circ }$, meskipun $\sin 0^{\circ }=0$ karena di luar batas nilai interval $x.$
$\begin{array}{rl}-2\sin x+1& =0\\ \sin x& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x& ={30}^{\circ }\vee x={150}^{\circ }\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan trigonometri tersebut dalam bentuk himpunan adalah $\boxed{{\displaystyle \{{30}^{\circ },{150}^{\circ },{180}^{\circ },{360}^{\circ }\}}}$
(Jawaban A)

Dengan menggunakan bentuk umum rumus sudut ganda sinus, yaitu
$\boxed{{\displaystyle \sin 2ax=2\sin ax\cos ax}}$
diperoleh
$\begin{array}{rl}\sin 4x-\cos 2x& =0\\ (2\sin 2x\cos 2x)-\cos 2x& =0\\ \cos 2x(2\sin 2x-1)& =0.\end{array}$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa
$\cos 2x=0⟹x={45}^{\circ }\vee {135}^{\circ }$
atau
$\begin{array}{rl}2\sin 2x-1& =0\\ \sin 2x& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ x& ={15}^{\circ }\vee x={75}^{\circ }.\end{array}$
Jadi, HP persamaan trigonometri tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle \{{15}^{\circ },{45}^{\circ },{75}^{\circ },{135}^{\circ }\}}}.$
(Jawaban C)

Gunakan identitas:
$\boxed{{\displaystyle \cos 2x=2{\cos }^{2}x-1}}$
Dengan demikian, dapat ditulis
$\begin{array}{rl}\cos 2x-5\cos x–2& =0\\ (2{\cos }^{2}x-1)-5\cos x-2& =0\\ 2{\cos }^{2}x-5\cos x-3& =0\\ (2\cos x+1)(\cos x-3)& =0.\end{array}$
Diperoleh $2\cos x+1=0$ (yang ekuivalen dengan $\cos x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$) atau $\cos x-3=0$ (yang ekuivalen dengan $\cos x=3$, tetapi tidak memiliki penyelesaian karena nilai maksimum kosinus adalah $1$). 
Tinjau persamaan $\cos x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, yang dapat ditulis menjadi
$\cos x=\cos {120}^{\circ }.$
Kemungkinan 1:
$x={120}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }$
Untuk $k=0$, diperoleh $x={120}^{\circ }<\pi (\text{X})$
Untuk $k=1$, diperoleh $x={480}^{\circ }(\text{X})$
Kemungkinan 2:
$x=-{120}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }$
Untuk $k=0$, diperoleh $x=-{120}^{\circ }<\pi (\text{X})$
Untuk $k=1$, diperoleh $x={240}^{\circ }(✓)$
Untuk $k=2$, diperoleh $x={600}^{\circ }(\text{X})$
Jadi, satu-satunya nilai $x$ yang menjadi penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah $x={240}^{\circ }$ sehingga $\boxed{{\displaystyle \tan x=\tan {240}^{\circ }=\sqrt{3}}}.$
(Jawaban A)

Gunakan identitas:
$\boxed{{\displaystyle \cos 4x=2{\cos }^{2}2x-1}}$
Lakukan penyederhanaan, lalu ubah bentuk variabelnya dalam $\cos 2x$. 
$$\begin{array}{rl}\sqrt{3-3{\cos }^{2}2x}-\cos 4x& =2\\ \sqrt{3-3{\cos }^{2}2x}& =2+\cos 4x\\ \sqrt{3-3{\cos }^{2}2x}& =2+(2{\cos }^{2}2x–1)\\ \sqrt{3-3{\cos }^{2}2x}& =1+2{\cos }^{2}2x\\ \text{Kuadratkan kedua}& \text{ruas}\\ 3-3{\cos }^{2}2x& =(1+2{\cos }^{2}2x{)}^2\\ \text{Misalkan}a& ={\cos }^{2}2x\\ 3-3a& =(1+2a{)}^2\\ 3-3a& =1+4a+4a^2\\ 4a^2+7a-2& =0\\ (4a-1)(a+2)& =0\end{array}$$Diperoleh $a={\displaystyle \frac{1}{4}}$ atau $a=-2.$
Syarat akar:
$$\begin{array}{r}3-3{\cos }^{2}2x\ge 0\\ -3{\cos }^{2}2x\ge -3\\ {\cos }^{2}2x\le 1\end{array}$$Substitusi kembali $a={\cos }^{2}2x$. Jadi, dapat ditulis
${\cos }^{2}2x={\displaystyle \frac{1}{4}}$ atau ${\cos }^{2}2x=-2.$
Persamaan kedua tidak memiliki solusi karena bentuk kuadrat tidak mungkin menghasilkan bilangan negatif. 
Sekarang, tinjau persamaan ${\cos }^{2}2x={\displaystyle \frac{1}{4}}$ (memenuhi syarat akar) yang ekuivalen dengan $\cos 2x=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}.$ 
Untuk $\cos 2x={\displaystyle \frac{1}{2}}=\cos {60}^{\circ }$ akan ada 2 kemungkinan.
Kemungkinan 1:
$\begin{array}{rl}2x& ={60}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ x& ={30}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ }\end{array}$
Substitusi $k=0$ dan $k=1$ untuk memperoleh $x={30}^{\circ }$ dan $x={210}^{\circ }$. 
Kemungkinan 2:
$\begin{array}{rl}2x& =-{60}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ x& =-{30}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ }\end{array}$
Substitusi $k=1$ dan $k=2$ untuk memperoleh $x={150}^{\circ }$ dan $x={330}^{\circ }$.
Untuk $\cos 2x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}=\cos {120}^{\circ }$ akan ada 2 kemungkinan.
Kemungkinan 1:
$\begin{array}{rl}2x& ={120}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ x& ={60}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ }\end{array}$
Substitusi $k=0$ dan $k=1$ untuk memperoleh $x={60}^{\circ }$ dan $x={240}^{\circ }$.
Kemungkinan 2:
$\begin{array}{rl}2x& =-{120}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ x& =-{60}^{\circ }+k\cdot {180}^{\circ }\end{array}$
Substitusi $k=1$ dan $k=2$ untuk memperoleh $x={120}^{\circ }$ dan $x={300}^{\circ }$. 
Jadi, HP persamaan tersebut adalah $$\boxed{{\displaystyle \{{30}^{\circ },{60}^{\circ },{120}^{\circ },{120}^{\circ },{150}^{\circ },{210}^{\circ },{240}^{\circ },{300}^{\circ },{330}^{\circ }\}}}$$Jadi, yang bukan termasuk anggota HP persamaan trigonometri tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle {180}^{\circ }}}.$
(Jawaban D)

Hubungan sinus dan kosinus pada kuadran I dinyatakan oleh:
$\sin (90-x{)}^{\circ }=\cos x^{\circ }$
Oleh karena itu, persamaan $\sin (-x+5{)}^{\circ }=\cos (25-3x{)}^{\circ }$ dapat ditulis menjadi
$\begin{array}{rl}\cos (90-(-x+5){)}^{\circ }& =\cos (25-3x{)}^{\circ }\\ \cos (x+85{)}^{\circ }& =\cos (25-3x{)}^{\circ }\end{array}$
Selanjutnya, dengan menggunakan konsep persamaan dasar trigonometri untuk kosinus, kita peroleh dua kemungkinan untuk mencari penyelesaian persamaan tersebut.
Kemungkinan 1:
$\begin{array}{rl}(x+85{)}^{\circ }& =(25-3x{)}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ 4x^{\circ }& =-{60}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ x^{\circ }& =-{15}^{\circ }+k\cdot {90}^{\circ }\end{array}$
Untuk nilai $k$ tertentu, kita peroleh nilai $x$.
$$\begin{array}{|ccc|}\hline \text{Nilai}k& \text{Nilai}x& \text{Keterangan}\\ 0& -15& \text{Tidak Memenuhi}\\ 1& 75& \text{Memenuhi}\\ 2& 165& \text{Tidak Memenuhi}\\ \hline\end{array}$$Catatan: Nilai $x$ yang diperoleh dianggap memenuhi bila dalam interval $0^{\circ }\le x^{\circ }\le {90}^{\circ }$.
Kemungkinan 2:
$\begin{array}{rl}(x+85{)}^{\circ }& =-(25-3x{)}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ -2x^{\circ }& =-{110}^{\circ }+k\cdot {360}^{\circ }\\ x^{\circ }& ={55}^{\circ }-k\cdot {180}^{\circ }\end{array}$
Untuk nilai $k$ tertentu, kita peroleh nilai $x$.
$$\begin{array}{|ccc|}\hline \text{Nilai}k& \text{Nilai}x& \text{Keterangan}\\ 0& 55& \text{Memenuhi}\\ 1& 125& \text{Tidak Memenuhi}\\ \hline\end{array}$$Jadi, himpunan penyelesaian untuk nilai $x$ adalah $\{55,75\}.$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa sekan merupakan bentuk kebalikan dari kosinus sehingga dapat ditulis
$\begin{array}{rl}\sec x-2-15\cos x& =0\\ {\displaystyle \frac{1}{\cos x}}-2-15\cos x& =0\\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}& \cos x\\ 1-2\cos x-15{\cos }^{2}x& =0.\end{array}$
Kita peroleh bentuk persamaan kuadrat apabila permisalan $a=\cos x$ diberlakukan sehingga menjadi $-15a^2-2a+1=0.$
Karena $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar (solusi) persamaan tersebut, maka hasil kali kedua akarnya adalah
$x_1\cdot x_2={\displaystyle \frac{\text{Konstan}}{\text{Koef.}{a}^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{15}}.$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{\cos x_1\cdot \cos x_2}}=-15}}.$
(Jawaban B)

Gunakan identitas/rumus trigonometri berikut. 
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{\sin ax}{\cos ax}}=\tan ax\\ & {\displaystyle \frac{\cos ax}{\sin ax}}=\cot ax\\ & \cot 2x={\displaystyle \frac{1-{\tan }^{2}x}{2\tan x}}\\ & \tan (A+B)={\displaystyle \frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}}\end{array}}}$ 
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{2\sin x\cos 2x}{\cos x\sin 2x}}-5\tan x+5& =0\\ 2\cdot {\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}\cdot {\displaystyle \frac{\cos 2x}{\sin 2x}}-5\tan x+5& =0\\ 2\tan x\cot 2x-5\tan x+5& =0\\ \cancel{2\tan x}\cdot {\displaystyle \frac{1-{\tan }^{2}x}{\cancel{2\tan x}}}-5\tan x+5& =0\\ 1-{\tan }^{2}x-5\tan x+5& =0\\ {\tan }^{2}x+5\tan x-6& =0\\ (\tan x+6)(\tan x-1)& =0\end{array}$$Selanjutnya diperoleh $\tan x_1=-6$ atau $\tan x_2=1.$ 
Dengan demikian, 
$\begin{array}{rl}\tan (x_1+x_2)& ={\displaystyle \frac{\tan x_1+\tan x_2}{1-\tan x_1\tan x_2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-6+1}{1-(-6)(1)}}\\ & =-{\displaystyle \frac{5}{7}}.\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle \tan (x_1+x_2)=–{\displaystyle \frac{5}{7}}}}.$ 
(Jawaban A)

Gunakan identitas/rumus trigonometri berikut. 
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{\sin ax}{\cos ax}}=\tan ax\\ & \sec ax={\displaystyle \frac{1}{\cos ax}}\end{array}}}$ 
Dengan demikian, dapat ditulis
$$\begin{array}{rl}-2\tan x\sec x-2\tan x+5\sin x& =0\\ -2\tan x(\sec x+1)+5\sin x& =0\\ 5\sin x& =2\tan x(\sec x+1)\\ 5\cancel{\sin x}& ={\displaystyle \frac{2\cancel{\sin x}}{\cos x}}({\displaystyle \frac{1}{\cos x}}+1)\\ 5& ={\displaystyle \frac{2}{{\cos }^{2}x}}+{\displaystyle \frac{2}{\cos x}}\\ \text{Kalikan kedua}& \text{ruas dengan}{\cos }^{2}x\\ 5{\cos }^{2}x& =2+2\cos x\\ 5{\cos }^{2}x-2\cos x-2& =0.\end{array}$$Dengan menggunakan rumus ABC (rumus kuadrat), diperoleh akar-akar penyelesaian
$$\begin{array}{rl}\cos x& ={\displaystyle \frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2{)}^2-4(5)(-2)}}{2(5)}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{44}}{10}}\end{array}$$Selanjutnya, akan diperiksa apakah kedua solusi tersebut terpenuhi di interval $0<x<\pi$. 
Untuk $0<x<\pi$, kita peroleh interval nilai $\cos x$ yang mungkin adalah $-1<\cos x<1$ (perhatikan kembali grafik fungsi kosinus). Bentuk $-1<\cos x<1$ ekuivalen dengan $|\cos x|<1$
Selanjutnya, perhatikan bahwa
$$|\cos x|=\left|{\displaystyle \frac{2+\sqrt{44}}{10}}\right|<\left|{\displaystyle \frac{2+\sqrt{49}}{10}}\right|={\displaystyle \frac{9}{10}}<1$$(Terpenuhi) 
$$|\cos x|=\left|{\displaystyle \frac{2–\sqrt{44}}{10}}\right|<\left|{\displaystyle \frac{2–\sqrt{49}}{10}}\right|={\displaystyle \frac{5}{10}}<1$$(Terpenuhi) 
Jadi, ada $\boxed{{\displaystyle 2}}$ solusi yang memenuhi persamaan trigonometri di atas (Jawaban C)