Tag: Garis Singgung

Persamaan hiperbolanya adalah $\dfrac{(x-5)^2}{16}-\dfrac{(y-2)^2}{9} = 1.$
Diketahui $a = \sqrt{16} = 4$, $b = \sqrt{9} = 3$, dan pusatnya di $(5, 2).$
Karena koefisien $x^2$ pada persamaan hiperbola bernilai positif, maka hiperbola ini termasuk hiperbola horizontal dan puncaknya di $(5 \pm a, 2)$. Untuk $a = 4$, diperoleh puncak hiperbola di $(9, 2)$ dan $(1, 2)$.
(Jawaban A)

Karena nilai $c$ memengaruhi koordinat titik fokus dari titik pusat dengan $c = \sqrt{13}$, maka hiperbola ini termasuk hiperbola horizontal.
Karena hiperbola ini horizontal, maka persamaan asimtotnya menggunakan rumus $y = \pm \dfrac{b}{a}x.$
Diketahui persamaan asimtot hiperbola $y = \dfrac{3}{2}x.$
Ini berarti, $a = 2, b =3$, dan verifikasi menunjukkan bahwa benar $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}.$
Jadi, persamaan hiperbolanya adalah
$$\boxed{\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \dfrac{x^2}{4}- \dfrac{y^2}{9} = 1}$$(Jawaban B)

Persamaan hiperbola tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya dengan membagi kedua ruasnya dengan $144$ sehingga diperoleh
$\boxed{\dfrac{(x-5)^2}{9}-\dfrac{(y+1)^2}{16} = 1}$
Dari sini, didapat
$\begin{aligned} & a = \sqrt{9}= 3 \\ & b =\sqrt{16}=4 \\ & c = \sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{3^2+4^2}=5 \\ & \text{Pusat di}~P(5,-1). \end{aligned}$
Karena koefisien $x^2$ pada persamaan hiperbola bernilai positif, maka hiperbola ini termasuk hiperbola horizontal.
Untuk itu, persamaan asimtotnya ditentukan oleh
$\begin{aligned} y-y_p & = \pm \dfrac{b}{a}(x-x_p) \\ y + 1 & = \pm \dfrac{4}{3}(x-5) \\ 3(y + 1) & = \pm 4(x-5) \\ 3y + 3 & = \pm (4x- 20) \\ 3y + 3 \pm (4x-20) & = 0. \end{aligned}$
Diperoleh dua persamaan asimtot:
$\begin{cases} 3y-4x + 23 & = 0 \\ 3y + 4x-17 & = 0 \end{cases}$
(Jawaban E)

Ubah persamaan hiperbola tersebut ke bentuk kanonik. 
$\begin{aligned} 9x^2-4y^2 +8y-40 & = 0 \\ 9x^2-4(y^2-2y)-40 & = 0 \\ 9x^2-4((y-1)^2-1)-40 & = 0 \\ 9x^2-4(y-1)^2 & = 36 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}&~36 \\ \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{(y-1)^2}{9} & = 1. \end{aligned}$
Diperoleh $a = \sqrt{4}=2, b = \sqrt{9} = 3$, dan pusat di $(0, 1)$. 
Persamaan asimtot hiperbola horizontal (karena koefisien $x^2$ bernilai positif) tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} y-y_p & = \pm \dfrac{b} {a} (x-x_p) \\ y-1 & = \pm \dfrac{3}{2}(x-0) \\ 2(y-1) & = \pm 3x \\ \pm 3x + 2y-2 & = 0. \end{aligned}$
Diperoleh dua persamaan asimtot hiperbola, yakni $\boxed{3x+2y-2=0}$ dan $\boxed{-3x+2y-2=0}$. 
Perhatikan bahwa persamaan $-3x+2y-2=0$ ekuivalen dengan $3x-2y+2=0$.
(Jawaban B)

Dari persamaan hiperbola $\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{9} = 1$, diketahui $a^2= 25, b^2 = 9$, dan pusat di $(0,0)$. 
Gradien garis $y-2x+4 = 0$ adalah $m_g =-\dfrac{-2}{1} = 2.$
Karena garis singgung sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgung juga $m = 2$. 
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{25(2)^2- 9} \\ y & = 2x \pm \sqrt{91}. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung hiperbola tersebut yang sejajar dengan garis $y-2x+4=0$ adalah $\boxed{y = 2x \pm \sqrt{91}}$
(Jawaban E)

Dari persamaan hiperbola vertikal $\dfrac{(y+4)^2}{16}-\dfrac{(x-2)^2}{9}=1,$ diketahui $a^2 = 9,$ $b^2 = 16$, dan pusat di $(2,-4)$. 
Gradien garis $3x+y+4=0$ adalah $m_g =-\dfrac{3}{1} =-3$. 
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m =-\dfrac{1}{-3} = \dfrac{1}{3}.$
Persamaan garis singgung hiperbola vertikal tersebut dirumuskan oleh
$$\begin{aligned} y-y_p & = m(x-x_p) \pm \sqrt{b^2- a^2m^2} \\ y + 4& = \dfrac{1}{3}(x-2) \pm \sqrt{16- 9\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} \\ y + 4& = \dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3} \pm \sqrt{15} \\ y & = \dfrac{1}{3}x-\dfrac{14}{3} \pm \sqrt{15}. \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung hiperbola $\dfrac{(y+4)^2}{16}-\dfrac{(x-2)^2}{9}=1$ yang tegak lurus garis $3x+y+4=0$ adalah $\boxed{y = \dfrac{1}{3}x- \dfrac{14}{3} \pm \sqrt{15}}$
(Jawaban D)

Persamaan garis singgung yang melalui titik $(x_1, y_1) = (3,3)$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \dfrac{(y-y_p)(y_1-y_p)}{b^2}-\dfrac{(x-x_p)(x_1-x_p)}{a^2} & =1 \\ \dfrac{(y+1)(3+1)} {8}-\dfrac{(x-1)(3-1)} {4} & = 1 \\ \dfrac{1}{2}(y+1)-\dfrac{1}{2}(x-1) & = 1 \\ \text{Kalikan 2 pada kedua ruas}& \\ (y+1)- (x-1) & = 2 \\ y + 1-x + 1 & = 2 \\ y = x. \end{aligned}$$Jadi, Persamaan garis singgung hiperbola $\dfrac{(y+1)^2}{8}- \dfrac{(x-1)^2}{4}=1$ di titik $(3,3)$ adalah $\boxed{y=x}$
(Jawaban A)

Ubah bentuk persamaan hiperbolanya terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} 6x^2-15y^2+12x+30y-99 & =0 \\ 6(x^2+2x)-15(y^2-2y)-99 & = 0 \\ 6((x+1)^2-1)-15((y-1)^2-1)-99&=0 \\ 6(x+1)^2-6-15(y-1)^2 + 15-99 & = 0 \\ 6(x+1)^2- 15(y-1)^2 & = 90 \end{aligned}$$Persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik $(x_1, y_1) = (4,3)$ selanjutnya dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} b^2(x-x_p)(x_1-x_p)-a^2(y-y_p)(y_1-y_p) & = a^2b^2 \\ 6(x+1)(4+1)-15(y-1)(3-1) & = 90 \\ 30(x+1)-30(y-1) & = 90 \\ \text{Bagi 30 pada kedua ruas} & \\ (x + 1)-(y-1) & = 3 \\ x-y-1 & = 0. \end{aligned}$$Persamaan garis singgung hiperbola $6x^2-15y^2+12x+30y-99=0$ di titik $(4,3)$ adalah $\boxed{x-y-1=0}$
(Jawaban B)

Persamaan hiperbola tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya dengan membagi kedua ruasnya dengan $144$ sehingga diperoleh
$$\boxed{\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16} = 1}$$Dari sini, didapat
$\begin{aligned} & a = \sqrt{9}=3 \\ & b =\sqrt{16}=4 \\ & c = \sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{3^2+4^2}=5 \\ & \text{Pusat di}~P(0,0). \end{aligned}$
(Koordinat titik puncak)
Karena koefisien $x^2$ pada persamaan hiperbola bernilai positif, maka hiperbola ini termasuk hiperbola horizontal dan puncaknya di $(0 \pm a, 0)$, yaitu $(3,0), (-3,0).$
(Koordinat titik fokus)
Koordinat titik fokusnya adalah $(0 \pm c, 0)$, yaitu $(5,0)$ dan $(-5,0)$.
(Panjang latus rektum)
Karena hiperbola ini horizontal, maka panjang latus rektumnya adalah $|LR|= \dfrac{2b^2}{a} =\dfrac{2(4)^2}{3}=\dfrac{32}{3}.$
(Persamaan direktriks)
Karena hiperbola ini horizontal, maka persamaan direktriksnya adalah $x = \pm \dfrac{a^2}{c} =\pm \dfrac{9}{5}.$
(Eksentrisitas)
Karena hiperbola ini horizontal, maka eksentrisitasnya adalah $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{3}.$
(Persamaan asimtot)
Karena hiperbola ini horizontal, maka persamaan asimtotnya adalah $y = \pm \dfrac{b}{a}x =\pm \dfrac{4}{3}x.$
Secara geometris, representasi grafiknya sebagai berikut.

Persamaan hiperbola tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya dengan membagi kedua ruasnya dengan $144$ sehingga diperoleh
$$\boxed{\dfrac{y^2}{9}-\dfrac{x^2}{16} = 1}$$Dari sini, didapat
$\begin{aligned} & a = \sqrt{16}=4 \\ & b =\sqrt{9}=3 \\ & c = \sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{4^2+3^2}=5 \\ & \text{Pusat di}~P(0,0). \end{aligned}$
(Koordinat titik puncak)
Karena koefisien $x^2$ pada persamaan hiperbola bernilai negatif, maka hiperbola ini termasuk hiperbola vertikal dan puncaknya di $(0, 0 \pm b)$, yaitu $(0,3)$ dan $(0,-3).$
(Koordinat titik fokus)
Koordinat titik fokusnya adalah $(0, 0 \pm c)$, yaitu $(0,5)$ dan $(0,-5)$.
(Panjang latus rektum)
Karena hiperbola ini vertikal, maka panjang latus rektumnya adalah $|LR|= \dfrac{2a^2}{b} =\dfrac{2(4)^2}{3}=\dfrac{32}{3}.$
(Persamaan direktriks)
Karena hiperbola ini vertikal, maka persamaan direktriksnya adalah $y = \pm \dfrac{b^2}{c} =\pm \dfrac{9}{5}.$
(Eksentrisitas)
Karena hiperbola ini vertikal, maka eksentrisitasnya adalah $e = \dfrac{c}{b} = \dfrac{5}{3}.$
(Persamaan asimtot)
Karena hiperbola ini vertikal, maka persamaan asimtotnya adalah $y = \pm \dfrac{b}{a}x =\pm \dfrac{3}{4}x.$
Secara geometris, representasi grafiknya sebagai berikut.

Persamaan hiperbola tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya dengan membagi kedua ruasnya dengan $144$ sehingga diperoleh
$$\boxed{\dfrac{(x+2)^2}{16}-\dfrac{(y-3)^2}{9} = 1}$$Dari sini, didapat
$\begin{aligned} & a = \sqrt{16}=4 \\ & b =\sqrt{9}=3 \\ & c = \sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{3^2+4^2}=5 \\ & \text{Pusat di}~P(-2,3). \end{aligned}$
(Koordinat titik puncak)
Karena koefisien $x^2$ pada persamaan hiperbola bernilai positif, maka hiperbola ini termasuk hiperbola horizontal dan puncaknya di $(-2 \pm a, 3) \Rightarrow (-2 \pm 4, 3)$, yaitu $(2,3)$ dan $(-6,3).$
(Koordinat titik fokus)
Koordinat titik fokusnya adalah $(-2 \pm c, 3) \Rightarrow (-2 \pm 5, 3)$, yaitu $(3,3)$ dan $(-7,3).$
(Panjang latus rektum)
Karena hiperbola ini horizontal, maka panjang latus rektumnya adalah
$|LR|= \dfrac{2b^2}{a} =\dfrac{2(3)^2}{4}=\dfrac{9}{2}.$
(Persamaan direktriks)
Karena hiperbola ini horizontal, maka persamaan direktriksnya adalah
$$\boxed{x = x_p \pm \dfrac{a^2}{c}}$$yakni
$\begin{cases} x & =-2 + \frac{4^2}{5} = \frac{6}{5} \\ x & =-2- \frac{4^2}{5} =- \frac{26}{5} \end{cases}$
(Eksentrisitas)
Karena hiperbola ini horizontal, maka eksentrisitasnya adalah $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{4}.$
(Persamaan asimtot)
Karena hiperbola ini horizontal, maka persamaan asimtotnya menggunakan rumus berikut:
$$\boxed{y- y_p = \pm \dfrac{b}{a}(x-x_p)}$$yakni
$$\begin{cases} y- 3 = \dfrac{3}{4}(x + 2) \Leftrightarrow 4y- 3x = 18 \\ y- 3 =-\dfrac{3}{4}(x + 2) \Leftrightarrow 4y + 3x = 6 \end{cases}$$Secara geometris, representasi grafiknya sebagai berikut.

Persamaan hiperbola tersebut harus diubah menjadi bentuk umumnya sebagai berikut.
$\begin{aligned} 3x^2-2y^2+4y-26 & =0 \\ 3x^2- 2(y^2- 2y)-26 & = 0 \\ 3x^2- 2((y-1)^2- 1)- 26 & = 0 \\ 3x^2- 2(y-1)^2 & = 24 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}~&24 \\ \dfrac{x^2}{8}- \dfrac{(y-1)^2}{12} & = 1. \end{aligned}$
Dari sini, didapat
$\begin{aligned} & a= \sqrt{8} \\ & b =\sqrt{12}\\ & c = \sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{8+12}=\sqrt{20} \\ & \text{Pusat di}~P(0,1). \end{aligned}$
(Koordinat titik puncak)
Karena koefisien $x^2$ pada persamaan hiperbola bernilai positif, maka hiperbola ini termasuk hiperbola horizontal dan puncaknya di $(x_p \pm a, y_p) \Rightarrow (0 \pm \sqrt{8}, 1)$, yaitu $(\sqrt{8}, 1)$ dan $(-\sqrt{8}, 1)$.
(Koordinat titik fokus)
Koordinat titik fokusnya adalah $(x_p \pm c, y_p) \Rightarrow (0 \pm \sqrt{20}, 1)$, yaitu $(\sqrt{20}, 1)$ dan $(-\sqrt{20}, 1)$.
(Panjang latus rektum)
Karena hiperbola ini horizontal, maka panjang latus rektumnya adalah $|LR|= \dfrac{2b^2}{a} =\dfrac{2(12)}{\sqrt{8}}=\dfrac{24}{\sqrt{8}} = 6\sqrt{2}.$
(Persamaan direktriks)
Karena hiperbola ini horizontal, maka persamaan direktriksnya adalah $x = x_p \pm \dfrac{a^2}{c} = 0 \pm \dfrac{8}{\sqrt{20}} = \pm \dfrac{4}{5}\sqrt{5}.$
(Eksentrisitas)
Karena hiperbola ini horizontal, maka eksentrisitasnya adalah $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{8}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{10}.$
(Persamaan asimtot)
Karena hiperbola ini horizontal, maka persamaan asimtotnya menggunakan rumus berikut:
$$\boxed{y-y_p = \pm \dfrac{b}{a}(x-x_p)}$$yakni
$$\begin{cases} y-1 = \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{8}}(x + 0) \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}\sqrt{6}x + 1 \\ y-1 =-\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{8}}(x + 0) \Leftrightarrow y =-\dfrac{1}{2}\sqrt{6}x + 1 \end{cases}$$Secara geometris, representasi grafiknya sebagai berikut.

Jawaban a) 
Pusat hiperbola di $(-2, 5)$. 
Jawaban b)
Diketahui persamaan hiperbola horizontal (karena koefisien $x^2$ positif) ini memiliki nilai $a^2 = 8$ dan $b^2 = 4$. 
Dengan demikian,  $c =\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{8+4} = 2\sqrt{3}.$
Titik fokus hiperbola didapat dari titik pusat yang absisnya dipengaruhi oleh nilai $c$, yakni $(-2 \pm c, 5)$. Untuk $c = 2\sqrt{3}$, didapat koordinat dua titik fokus hiperbola:
$\begin{aligned} F_1 & = (-2 + 2\sqrt{3}, 5); \\ F_2 & = (-2-2\sqrt{3}, 5). \end{aligned}$
Jawaban c) 
Karena hiperbola ini horizontal, maka koordinat titik puncak didapat dari titik pusat yang absisnya dipengaruhi oleh nilai $a$, yakni $(-2 \pm a, 5)$. Untuk $a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, diperoleh koordinat dua titik puncak hiperbola:
$\begin{aligned} A_1 & = (-2 + 2\sqrt{2}, 5); \\ A_2 & = (-2-2\sqrt{2}, 5). \end{aligned}$
Perhatikan grafiknya pada gambar di bawah.

Jawaban a)
Diketahui: $P(2, 0), F_1(10,0), A_1(6,0)$
Perhatikan bahwa nilai $c$ memengaruhi absis titik pusat untuk mendapatkan koordinat $F_1$. Ini berarti hiperbolanya horizontal.
Dari sini, diketahui $c = 10-2 = 8$.
Nilai $a$ juga memengaruhi absis titik pusat untuk mendapatkan koordinat $A_1$.
Nilai $a = 6-2 = 4$.
Untuk itu,
$\begin{aligned} b^2 & = c^2-a^2 \\ & =8^2-4^2= 48. \end{aligned}$
Persamaan hiperbola dengan titik pusat $(x_p, y_p)$ dinyatakan oleh
$ \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2} + \dfrac{(y-y_p)^2}{b^2} = 1.$
Untuk pusat di $(2,0)$, $a^2 = 4^2 = 16$, dan $b^2 = 48$, diperoleh persamaan hiperbola
$$\boxed{\dfrac{(x-2)^2}{16} + \dfrac{y^2}{48} = 1}$$Jawaban b)
Karena sumbu khayal (imajiner) berada pada sumbu $X$, maka hiperbola ini dipastikan vertikal. Ordinat pusat di $y = 0$. Karena titik puncak diketahui di $(6,5)$, maka titik pusatnya di $(6,0)$.
Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan asimtot, diperoleh
$\begin{aligned} y-y_p & = \pm \dfrac{b}{a} (x-x_p) \\ y- 0 & = \pm \dfrac{b} {a} (x-6) \\ ay & = \pm b(x-6). \end{aligned}$
Berturut-turut didapat dua persamaan asimtot:
$\begin{cases} bx-ay-6b = 0 \\ bx + ay-6b = 0 \end{cases}$
Diketahui persamaan asimtot hiperbola ini adalah $5x-6y-30=0$ dan $5x+6y-30=0$. Ini berarti, nilai $a = 6$ dan $b = 5$.
Jadi, persamaan hiperbolanya adalah $$\boxed{\dfrac{y^2}{25}-\dfrac{(x-6)^2}{36} = 1}$$

Karena ordinat fokus tetap, maka bentuk persamaan hiperbolanya adalah $\dfrac{(x-x_p) ^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2} = 1.$
Diketahui:
$\begin{aligned} F_1(x_p + c, y_p) & = F_1(-6,0) \\ F_2(x_p- c, y_p) & = F_2(4,0). \end{aligned}$
Diperoleh $x_p =-1, y_p = 0, c = 5$. 
Persamaan hiperbolanya menjadi $\dfrac{(x+1) ^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} = 1.$
Karena hiperbola memotong sumbu $X$ di $(3,0)$, maka substitusinya menghasilkan $\dfrac{(3+1)^2}{a^2}-0 = 1$ sehingga $a = \sqrt{16} = 4.$ Jadi, kita peroleh $b = \sqrt{c^2-a^2} = \sqrt{5^2-4^2} = 3.$
Persamaan asimtot hiperbolanya adalah
$\begin{aligned} y-y_p & = \pm \dfrac{b} {a} (x-x_p) \\ y & = \pm \dfrac{3}{4}(x+1) \\ 4y & = \pm (3x + 3). \end{aligned}$

Jawaban a) 
Dari persamaan hiperbola $\dfrac{(x-3)^2}{144}-\dfrac{(y+4)^2}{25}=1$, diketahui $a = \sqrt{144} = 12, b = \sqrt{25} = 5$ dengan titik pusat di $(3,-4)$. 
Persamaan asimtot hiperbola horizontal (karena koefisien $x^2$ positif) ini ditentukan oleh
$\begin{aligned} y-y_p & = \pm \dfrac{b} {a} (x-x_p) \\ y + 4 & = \pm \dfrac{5}{12}(x-3) \\ 12(y+4) & = \pm (5x-15). \end{aligned}$
Berturut-turut didapat dua persamaan asimtot hiperbola:
$\begin{cases} 12y-5x & =-63 \\ 12y + 5x & =-33 \end{cases}$

Jawaban b) 
Ubah persamaan hiperbolanya dalam bentuk kanonik. 
$$\begin{aligned} 6x^2-15y^2+12x+30y-99 & =0 \\ 6(x^2+2x)-15(y^2-2y)-99 & = 0 \\ 6((x+1)^2-1)-15((y-1)^2-1)-99&=0 \\ 6(x+1)^2-6-15(y-1)^2 + 15-99 & = 0 \\ 6(x+1)^2-15(y-1)^2 & = 90 \\ \dfrac{(x+1)^2}{15}-\dfrac{(y-1)^2}{6} & = 1. \end{aligned}$$Diperoleh $a = \sqrt{15}, b = \sqrt{6}$, dan titik pusat hiperbola di $(-1,1)$. 
Persamaan asimtot hiperbola horizontal (karena koefisien $x^2$ positif) ini ditentukan oleh
$\begin{aligned} y-y_p & = \pm \dfrac{b} {a} (x-x_p) \\ y-1 & = \pm \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}}(x +1) \\ y & = \pm \sqrt{\dfrac{2}{5}}(x+1) + 1 \\ y & = \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{10}(x+1)+1. \end{aligned}$
Berturut-turut didapat dua persamaan asimtot hiperbola:
$\begin{cases} y & = \dfrac{1}{5}\sqrt{10}(x+1)+1 \\ y &=- \dfrac{1}{5}\sqrt{10}(x+1)+1 \end{cases}$

Karena sumbu mayor sejajar dengan sumbu $X$, maka dapat dipastikan bahwa hiperbolanya horizontal dengan persamaan umumnya $\dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}=1$. 
Diketahui sumbu mayor berjarak $6$, berarti $2a = 6 \Leftrightarrow a = 3.$
Diketahui juga salah satu titik fokusnya $(0,0)$ dan fokus yang lain berjarak $10$. Ini berarti, koordinat titik fokus yang lain di $(10,0)$ atau $(-10,0)$. 
Misalkan titik pusat hiperbolanya di $(x_p, y_p) $. Karena hiperbolanya horizontal, maka nilai $c$ memengaruhi absis titik pusat untuk mendapatkan koordinat titik fokus, yaitu
$(x_p \pm c, y_p)$. 
Jadi, $x_p = \pm 5, c = 5, y_p = 0.$
Selain itu, didapat juga $b = \sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{25-9}=4.$
Ada 2 kemungkinan titik pusat hiperbola, yakni di $(5, 0)$ atau $(-5,0)$, berturut-turut persamaannya sebagai berikut. 
$$\boxed{\begin{aligned} \dfrac{(x-5)^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}&=1 \\ \dfrac{(x+5)^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}&=1 \end{aligned}}$$

Karena sumbu sekawan $x = 12$ sejajar dengan sumbu $Y$, maka dapat dipastikan bahwa hiperbolanya horizontal. Titik pusatnya di $(12, y_p)$. 
Karena hiperbola menyinggung sumbu $Y$ di $(0,-2)$, maka titik $(0,-2)$ akan menjadi titik puncak hiperbola karena bila tidak, kurvanya justru akan memotong sumbu $Y$.
Jarak titik puncak $(0,-2)$ ke titik pusat $(12, y_p)$ dengan $y_p =-2$ adalah $a = 12$. 
Diketahui sumbu minor berjarak $10$, berarti $2b = 10 \Leftrightarrow b = 5.$
Persamaan hiperbolanya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}& =1 \\ \Rightarrow \dfrac{(x-12)^2}{144}-\dfrac{(y+2)^2}{25} & = 1. \end{aligned}$

Misalkan $(x_0, y_0)$ merupakan titik sembarang pada hiperbola.
Jarak titik tersebut ke titik api (titik fokus) $F(-2,-3)$ adalah $\sqrt{(x_0 + 2)^2 + (y_0 + 3)^2},$ sedangkan jarak titik tersebut ke direktriks $x+1=0$ adalah $d =-1-x_0.$
Karena kurvanya hiperbola, maka perbandingan antara kedua jarak ini haruslah konstan, yakni
$$j = \dfrac{\sqrt{(x_0 + 2)^2 + (y_0 + 3)^2}}{-1-x_0}$$untuk suatu bilangan real positif $j$.
Substitusikan titik $A(-3,-5)$, dengan $x_0 =-3$ dan $y_0 =-5$ untuk memperoleh
$\begin{aligned} j & = \dfrac{\sqrt{(-3+2)^2 + (-5+3)^2}}{-1-(-3)} \\ & = \dfrac{1}{2}\sqrt{5}. \end{aligned}$
Dengan demikian, persamaan hiperbolanya berbentuk seperti berikut (ubah $x_0, y_0$ menjadi $x,y$)
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\sqrt{5} & = \dfrac{\sqrt{(x_0 + 2)^2 + (y_0 + 3)^2}}{-1-x_0} \\ \dfrac{1}{2}\sqrt{5}(1-x_0) & = \sqrt{(x_0 + 2)^2 + (y_0 + 3)^2} \\ \text{Kuadratkan}~& \text{kedua ruas} \\ \dfrac{5}{4}(1-x_0)^2 & = (x_0 + 2)^2 + (y_0 + 3)^2 \\ x^2-4y^2-6x-24y- 47 & = 0. \end{aligned}$$Jadi, persamaan hiperbolanya adalah $\boxed{x^2-4y^2-6x-24y-47 = 0}$

Karena kedua titik fokus (titik api) terletak pada sumbu $Y$ simetris terhadap $O$ (titik asal), maka dapat dipastikan bahwa hiperbolanya vertikal dengan titik pusat di $(0,0)$. 
Diketahui $2c = 4\sqrt{3}$, berarti $c = 2\sqrt{3}.$
Diketahui juga $e = \sqrt{3}$. Ini berarti, 
$\begin{aligned} e & = \dfrac{c} {b} \\ \sqrt{3} & = \dfrac{2\sqrt{3}} {b} \\ b & = 2. \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} a^2 & = c^2-b^2 \\ & =(2\sqrt{3})^2-2^2 \\ & = 12-4=8. \end{aligned}$
Jadi, persamaan hiperbolanya adalah
$\begin{aligned} \dfrac{(y-y_p)^2}{b^2}-\dfrac{(x-x_p)^2}{a^2}&=1 \\ \dfrac{y^2}{4}-\dfrac{x^2}{8} &=1. \end{aligned}$

Dari persamaan hiperbola $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1$, diketahui $a = \sqrt{4} = 2, b = \sqrt{9} = 3$, dan titik pusat hiperbola di $(0,0)$. 
Persamaan asimtot hiperbola horizontal (karena koefisien $x^2$ positif) ini ditentukan oleh
$\begin{aligned} y- y_p & = \pm \dfrac{b} {a} (x-x_p) \\ y & = \pm \dfrac{3}{2}x. \end{aligned} $
Asimtot $y = \dfrac{3}{2}x, y =-\dfrac{3}{2}x$, dan garis $9x+2y-24=0$ membentuk suatu segitiga yang secara geometris digambarkan sebagai berikut.

Titik sudut segitiganya adalah $A(2, 3), B(0, 0)$, dan $C(4,-6)$.
Luas segitiga $ABC$ dapat ditentukan dengan beberapa cara. 
Salah satu caranya adalah dengan menggunakan determinan matriks.
$\begin{aligned} L & = \dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \end{vmatrix} \\ & =  \dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \\ 3 & 0 &-6 \end{vmatrix} \\ & = \dfrac{1}{2}(0 + 12 + 0-0-0- (-12)) \\ & = 12 \end{aligned}$
Jadi, luas segitiga yang terbentuk oleh asimtot dan garis tersebut adalah $\boxed{12}$

Dari persamaan hiperbola $\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{36} = 1$, diketahui
$a^2 = 64$, $b^2 = 36$, serta titik pusat hiperbola di $(0,0)$.
Jawaban a)
Gradien garis $x-2y = 0$ adalah $m_g = \dfrac{1}{2}.$
Karena garis singgung sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgung juga $m = \dfrac{1}{2}$.
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2} \\ y & = \dfrac{1}{2}x \pm \sqrt{64\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-36} \\ y & = \dfrac{1}{2}x \pm \sqrt{-20}. \end{aligned}$
Kita dapatkan bentuk akar yang tidak terdefinisi di himpunan bilangan real, karena radikan (bilangan di bawah tanda akar) bernilai negatif.
Dapat disimpulkan bahwa tidak ada garis singgung hiperbola yang sejajar dengan garis $x-2y =0$.
Jawaban b)
Gradien garis $x-2y = 0$ adalah $m_g = \dfrac{1}{2}.$
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m =-\dfrac{1}{m_g} =-2.$
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2} \\ y & =-2x \pm \sqrt{64(-2)^2-36} \\ y & =-2x \pm \sqrt{220} \\ y & =-2x \pm 2\sqrt{55}. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung hiperbola yang tegak lurus garis $x-2y=0$ ada dua, yaitu $\boxed{y =-2x + 2\sqrt{55}} $ dan $\boxed{y =-2x-2\sqrt{55}}$

Dari persamaan hiperbola $\dfrac{y^2}{36}- \dfrac{x^2}{64} = 1$, diketahui
$a^2 = 64, b^2 = 36$, dan titik pusat hiperbola di $(0,0)$ (hiperbolanya vertikal karena koefisien $x^2$ negatif).
Jawaban a)
Gradien garis $4y-x+1=0$ adalah $m_g = \dfrac{1}{4}.$
Karena garis singgung sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgung juga $m = \dfrac{1}{4}$.
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{b^2- a^2m^2} \\ y & = \dfrac{1}{4}x \pm \sqrt{36- 64\left(\dfrac{1}{4}\right)^2} \\ y & = \dfrac{1}{4}x \pm \sqrt{36- 4} \\ y & = \dfrac{1}{4}x \pm \sqrt{32} \\ y &= \dfrac{1}{4}x \pm 4\sqrt{2}. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $y = \dfrac{1}{4}x \pm 4\sqrt{2}$.

Jawaban b)
Gradien garis $4x+2y-7=0$ adalah $m_g = \dfrac{-4}{2} =-2.$
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m =-\dfrac{1}{m_g} = \dfrac{1}{2}.$
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{b^2- a^2m^2} \\ y & = \dfrac{1}{2}x \pm \sqrt{36- 64\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} \\ y & = \dfrac{1}{2}x \pm \sqrt{36- 16} \\ y & = \dfrac{1}{2}x \pm \sqrt{20} \\ y &= \dfrac{1}{2}x \pm 2\sqrt{5}. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $y = \dfrac{1}{2}x \pm 2\sqrt{5}.$

Dari persamaan hiperbola $\dfrac{x^2}{20}- \dfrac{y^2}{5} = 1$, diketahui $a^2 = 20$, $b^2 = 5$, dan pusat di $(0,0)$.
Gradien garis $4x + 3y-7 = 0$ adalah $m_g = \dfrac{-4}{3}$.
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m =-\dfrac{1}{m_g} = \dfrac{3}{4}.$
Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2} \\ y & = \dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{20\left(\dfrac{3}{4}\right)^2-5} \\ y & = \dfrac{3}{4}x \pm \sqrt{\dfrac{100}{16}} \\ y & = \dfrac{3}{4}x \pm \dfrac{5}{2}. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung hiperbola yang tegak lurus garis $4x+3y-7=0$ ada dua, yaitu $\boxed{y =\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{2}} $ dan $\boxed{y = \dfrac{3}{4}x-\dfrac{5}{2}}$

Ubah persamaan hiperbolanya menjadi bentuk kanonik: $\dfrac{y^2}{1}-\dfrac{x^2}{\frac{1}{4}} = 1.$
Diperoleh: $a^2 = \dfrac{1}{4}, b^2 = 1$, dan pusat di $(0,0)$. 
Persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik $\left(\dfrac{1}{2}, \sqrt{2}\right)$ (gradiennya tak diketahui) dinyatakan oleh $\dfrac{yy_1}{b^2}-\dfrac{xx_1}{a^2} = 1.$
Substitusikan $x_1 = \dfrac{1}{2}, y_1 = \sqrt{2}, a^2=\dfrac{1}{4}$, dan $b^2=1$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\sqrt{2}y} {1}-\dfrac{\frac{1}{2}x} {\frac{1}{4}} & = 1 \\ \sqrt{2}y-2x & = 1. \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung pada hiperbola $4x^2-y^2 =-1$ di titik $\left(\dfrac{1}{2}, \sqrt{2}\right)$ adalah $\boxed{\sqrt{2}y-2x = 1}$

Dengan meninjau koordinat titik fokusnya, absisnya berbeda karena dipengaruhi oleh nilai $c$. Ini berarti, hiperbolanya horizontal.
Perhatikan bahwa koordinat titik fokusnya ditentukan oleh $(x_p \pm c, y_p)$.
Diketahui: $y_p = 0$ sehingga diperoleh SPLDV:
$\begin{cases} x_p-c & =-3 \\ x_p + c & = 3 \end{cases}$
Selesaikan sistem tersebut untuk mendapatkan $x_p = 0$ dan $c = 3$.
Selanjutnya, kita peroleh persamaan:
$a^2 + b^2 = c^2 = 9~~\bigstar$
Hiperbola tersebut bersinggungan dengan garis $2x-y-4=0$ yang gradiennya $m_g =-\dfrac{2}{-1} = 2$. Persamaan garis singgung tersebut ekuivalen dengan $y = 2x- 4.$
Dengan menggunakan rumus PGS: $\boxed{y = mx \pm \sqrt{a^2m^2- b^2}}$ dan membandingkan hasilnya dengan $y = 2x- 4$, kita simpulkan
$m = 2$ dan $\sqrt{a^2m^2-b^2} = 4$.
Akan dicari nilai $a$ dan $b$ sebagai berikut.
$\begin{aligned} \sqrt{a^2m^2-b^2} & = 4 \\a^2(2)^2-b^2 & = 16 \\ 4a^2- b^2 & = 16 \end{aligned}$ 
Kita peroleh SPL:
$\begin{cases} a^2 + b^2 = 9 \\ 4a^2-b^2 = 16 \end{cases}$
Eliminasi $b^2$ untuk memperoleh
$5a^2 = 25$ sehingga didapat nilai $a^2 = 5$.
Substitusi nilai ini ke persamaan $a^2 + b^2 = 9$ sehingga diperoleh $b^2 = 9-5 = 4$.
Jadi, persamaan hiperbolanya adalah
$\boxed{\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{4} = 1}$

Persamaan hiperbola itu ekuivalen dengan $4x^2-y^2 = 36$.
Substitusikan $y = \dfrac{5}{2}x + p$ pada persamaan hiperbola di atas. 
$\begin{aligned} 4x^2-y^2 & = 36 \\ 4x^2-\left(\dfrac{5}{2}x + p\right)^2 & = 36 \\ 4x^2-\left(\dfrac{25}{4}x^2 + 5px + p^2\right) & = 36 \\-\dfrac{9}{4}x^2-5px-p^2-36 & = 0 \end{aligned}$
Agar menyinggung, persamaan kuadrat di atas harus memiliki diskriminan $0$. 
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ (-5p)^2-\cancel{4}\left(-\dfrac{9}{\cancel{4}}\right)(-p^2-36) & = 0 \\ 25p^2 + 9(-p^2-36) & = 0 \\ 16p^2-324 & = 0 \\ p^2 & = \dfrac{324}{16} \\ p & = \pm \dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2}. \end{aligned}$$Jadi, nilai $p$ yang memenuhi adalah $\boxed{p = \pm \dfrac{9}{2}}$

Dari koordinat titik fokus, kita dapat mengetahui bahwa hiperbola ini horizontal dengan pusat di $(0,0)$ dan $c = 3$. Dari sini, diketahui juga bahwa $c^2 = a^2+b^2 = 9.$
Garis singgung itu ekuivalen dengan $y = 2x-4$. Gradien garis adalah $m = 2$. 
Untuk itu, persamaan garis singgung tersebut ditentukan oleh
$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{4a^2-b^2}. \end{aligned}$
Agar diperoleh garis singgung dengan persamaan $y = 2x- 4$, maka diambil tanda $-$ dan haruslah $\sqrt{4a^2-b^2} = 4$ yang bila dikuadratkan kedua ruasnya menghasilkan $4a^2-b^2=16$. 
Kita peroleh SPL:
$\begin{cases} a^2+b^2 & =9 \\ 4a^2-b^2 & =16 \end{cases}$
Selesaikan sistem di atas untuk mendapatkan $a^2=5$ dan $b^2=4$. 
Jadi, persamaan hiperbolanya adalah $\boxed{\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{4}=1}$

Cari garis singgung hiperbola yang melalui titik $M$ terlebih dahulu. Garis singgung tersebut harus sejajar dengan $3x+2y+1=0$.
Diketahui gradien garis $3x+2y+1=0$ adalah $m_g =-\dfrac{3}{2}$. Karena sejajar, maka gradien garis singgung juga $m =-\dfrac{3}{2}$.
Dari persamaan hiperbola yang diberikan, diketahui $a^2 = 24$, $b^2 = 18$, dan pusat di $(0,0)$.
Dengan menggunakan rumus PGS, diperoleh
$$\begin{aligned} y- y_p & = m(x-x_p) \pm \sqrt{a^2m^2-b^2} \\ y & =-\dfrac{3}{2}x \pm \sqrt{24\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2-18} \\ 2y & =-3x \pm 2\sqrt{36} \\ 3x + 2y & = \pm 12. \end{aligned}$$Diperoleh dua persamaan garis singgung, yaitu $3x + 2y = 12$ dan $3x+2y=-12$.
Garis yang terdekat dengan $3x+2y+1=0$ adalah $3x+2y=-12$.
Perhatikan bahwa $3x+2y=-12$ ekuivalen dengan $y =-\dfrac{3}{2}x-6$.
Untuk mencari titik singgung $M$, substitusikan $y =-\dfrac{3}{2}x-6$ ke persamaan hiperbola.
$\begin{aligned} \dfrac{x^2}{24}-\dfrac{y^2}{18} & = 1 \\ 3x^2-4\left(\dfrac{3}{2}x-6\right)^2 & = 72 \\ 3x^2-4\left(\dfrac{9}{4}x^2 + 18x + 36\right) & = 72 \\-6x^2-72x-144&=72 \\ x^2+12x+36&=0 \\ (x+6)^2 & = 0 \end{aligned}$
Didapat $x =-6.$
Substitusikan $x=-6$ pada persamaan $y =-\dfrac{3}{2}x-6$.
$y =-\dfrac{3}{2}(-6)-6 = 3.$
Jadi, koordinat titik $M$ adalah $\boxed{(-6,3)}$

Bentuk kanonik persamaan hiperbola itu didapat dengan membagi $32$ pada kedua ruasnya sehingga menjadi $\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1$ dengan $a^2=8$ dan $b^2=4.$
Persamaan garis bergradien $m$ dan melalui titik $(-1,1)$ dirumuskan oleh
$\begin{aligned} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-1 & = m (x+1) \\ y & = mx + m + 1. \end{aligned}$
Persamaan garis singgung bergradien $m$ pada hiperbola $\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1$ dirumuskan oleh
$$\begin{aligned} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2-b^2} \\ \text{Substitusikan}~&y = mx+m+1 \\ \cancel{mx} + m + 1 & = \cancel{mx} \pm \sqrt{8m^2-4} \\ (m+1)^2 & = 8m^2-4 \\ m^2+2m+1 & = 8m^2-4 \\ 7m^2-2m-1 & = 0 \\ (7m+5)(m-1) & = 0. \end{aligned}$Diperoleh $m =-\dfrac{5}{7}$ atau $m=1.$
Substitusikan masing-masing nilai $m$ pada persamaan $y = mx + m + 1$ sehingga didapat 
$\begin{cases} y =-\dfrac{5}{7}x-\dfrac{5}{7} + 1 =-\dfrac{5}{7}x + \dfrac{2}{7} \\ y = x + 1 + 1 = x + 2 \end{cases}$
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
$\boxed{y =-\dfrac{5}{7}x + \dfrac{2}{7}}$ dan $\boxed{y=x+2}$

Persamaan tali busur (garis yang menghubungkan titik-titik singgung) dari $T(2,-5)$ terhadap hiperbola $\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1$ dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2} & = 1 \\ \dfrac{2x}{8}- \dfrac{-5y}{4} & = 1 \\ \text{Kalikan 8 pada}~&4~\text{kedua ruas} \\ x + 5y-4 & = 0. \end{aligned}$
Jarak $T(2,-5)$ ke tali busur tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis.
$$\begin{aligned} \left|\dfrac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right| & = \left|\dfrac{1(2) + 5(-5)- 4}{\sqrt{1^2 + (-5)^2}}\right| \\ & = \left|\dfrac{2-25-4}{\sqrt{1 + 25}}\right| \\ & = \left|\dfrac{-27}{\sqrt{26}}\right| = \dfrac{27}{26}\sqrt{26} \end{aligned}$$Jadi, jarak $T$ ke garis yang menghubungkan titik-titik singgung adalah $\boxed{\dfrac{27}{26}\sqrt{26}}$

Ubah persamaan hiperbolanya ke bentuk kanonik. 
$\begin{aligned} 9y^2-16x^2 & =14.400 \\ \text{Bagi 14.400 pada kedua}~&\text{ruas} \\ \dfrac{9}{14.400}y^2-\dfrac{16}{14.400}x^2 & = 1 \\ \dfrac{y^2}{1.600}-\dfrac{x^2}{900} &=1 \\ \dfrac{y^2}{40^2}-\dfrac{x^2}{30^2} &=1. \end{aligned}$
Dari sini, diketahui bahwa $a = 30$, yang merupakan jarak titik puncak hiperbola ke titik pusatnya. Jadi, ketinggian minimum pesawat adalah $\boxed{30~\text{meter}}$ ketika lewat di atas target.

Jarak minimum antara kedua sisi menara adalah jarak antara kedua titik puncak hiperbola. 
Ubah persamaan hiperbola ke dalam bentuk kanonik. 
$$\begin{aligned} 1.600x^2-400(y-50)^2 & =640.000 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}&~640.000 \\ \dfrac{1.600}{640.000}x^2-\dfrac{400}{640.000}(y-50)^2 & = 1 \\ \dfrac{x^2}{400}-\dfrac{(y-50)^2}{1.600} &=1. \end{aligned}$$Diperoleh $a = \sqrt{400} = 20$ kaki. 
Ini berarti, jarak kedua puncaknya adalah $2a = 2(20) = 40$ kaki.
Jadi, jarak minimum kedua sisi menara tersebut adalah $\boxed{40~\text{kaki}}$ atau sekitar $12,2$ meter (1 kaki = 0,3048 m).

Misalkan matahari merupakan titik fokus hiperbola. Jarak komet ke matahari itu merupakan jarak titik puncak hiperbola ke titik fokusnya. 
Ubah persamaan hiperbola ke dalam bentuk kanonik. 
$\begin{aligned} 2.116x^2-400y^2 & = 846.400 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan}&~846.400 \\ \dfrac{2.116}{846.400}x^2-\dfrac{400}{846.400}y^2 & = 1 \\ \dfrac{x^2}{400}- \dfrac{y^2}{2.116} &=1 \end{aligned}$ 
Dengan demikian, diperoleh $a^2 = 400$ dan $b^2=2.116$. Untuk itu, 
$\begin{aligned} c & = \sqrt{a^2+b^2} \\ & = \sqrt{400+2.116} \\ &= \sqrt{2.516} \approx 50,16. \end{aligned}$
Karena $a = \sqrt{400} = 20$, maka jarak titik fokus ke titik puncak hiperbola adalah $$\boxed{c- a = 50,16-20=30,16~\text{juta mil}}$$Perhatikan ilustrasi berikut untuk lebih jelasnya.

Misalkan $M_1$ dan $M_2$ berturut-turut merupakan ahli meteorologi pertama dan kedua. Karena $M_1$ mendengar suara petir $9$ detik lebih lama dari $M_2$, maka lokasi $M_1 = 9 \times 340 = 3.060$ meter lebih jauh dari $M_2$ terhadap lokasi badai. 
Jika $S$ merupakan titik terjadinya badai, maka berlaku $|M_1S|-|M_2S| = 3.060.$
Himpunan semua titik $S$ yang memenuhi persamaan di atas akan membentuk grafik berupa hiperbola (ini sejalan dengan definisi hiperbola), dengan $M_1$ dan $M_2$ menjadi titik fokus hiperbola tersebut. 
Misalkan hiperbola ini berpusat di titik asal, $M_1$ dan $M_2$ terletak pada sumbu $X$ seperti tampak pada gambar di bawah.
Diketahui selisih konstannya $3.060$, yang berarti $2a = 3.060 \Leftrightarrow a = 1.530$
Karena jarak kedua titik fokus $4.000$, maka $2c = 4.000 \Leftrightarrow c = 2.000$. Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} b^2 & = c^2-a^2 \\ & = 2.000^2-1.530^2 \\ & = 1.659.100 \\ & \approx 1.288^2. \end{aligned}$
Untuk itu, persamaan lokasi dari badai tersebut dapat dimodelkan oleh persamaan hiperbola $\dfrac{x^2}{1.530^2}-\dfrac{y^2}{1.288^2}=1.$

Misalkan $R_1$ dan $R_2$ berturut-turut menyatakan pusat radio pertama dan kedua. Jika $K$ adalah posisi kapal laut, maka haruslah
$|R_1K| = 300 \times 0,4 = 120$
dan
$|R_2K| = 300 \times 0,5 = 150.$
Dengan demikian, $|R_2K|-|R_1K| = 150-120=30.$
Himpunan semua titik $K$ yang memenuhi persamaan di atas akan membentuk grafik berupa hiperbola (ini sejalan dengan definisi hiperbola), dengan $R_1$ dan $R_2$ menjadi titik fokus hiperbola tersebut. 
Misalkan hiperbola ini berpusat di titik asal, garis pantainya adalah sumbu $X$, serta $R_1$ dan $R_2$ terletak pada sumbu $X$.
Karena selisih konstannya $30$, maka ditulis
$2a = 30 \Leftrightarrow a = 15 \Leftrightarrow a^2 = 225.$
Diketahui jarak antara kedua pusat radio tersebut $100$ km, maka jarak masing-masing pusat radio ke titik pusat hiperbola adalah 
$c = \dfrac{100}{2} = 50 \Leftrightarrow c^2 = 2.500.$
Untuk itu, 
$\begin{aligned} b^2 & = c^2-a^2 \\ & = 2.500- 225 \\ & = 2.275. \end{aligned}$
Posisi kapal laut tersebut dapat dimodelkan sebagai persamaan hiperbola
$\dfrac{x^2}{225}- \dfrac{y^2}{2.275}=1.$
Perhatikan ilustrasi berikut.

Selanjutnya, akan ditentukan koordinat dari kapal laut tersebut. 
Karena jarak kapal laut dari garis pantai adalah $60$ km ($y=60$), maka substitusinya menghasilkan
$\begin{aligned} \dfrac{x^2}{225}-\dfrac{(60)^2}{2.275} & = 1 \\ \dfrac{x^2}{225} & = 1 + \dfrac{3.600}{2.275} \\ \dfrac{x^2}{225} & = \dfrac{5.875}{2.275} \\ x & \approx \pm 24,1. \end{aligned}$
Karena pusat radio $R_2$ berada lebih jauh dari posisi kapal, maka nilai $x$ yang diambil adalah $x =-24,1$ (perhatikan gambar di atas). Jadi, koordinat kapal tersebut adalah $(-24,1;60)$.