Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah salah satu materi matematika bidang geometri yang mempelajari perubahan posisi dan ukuran benda dengan menggunakan konsep matematis. Ada lima macam transformasi geometri yang dipelajari di tingkat SMA, yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dilatasi (perubahan ukuran), dan transformasi oleh matriks.

Agar lebih paham, berikut disajikan sejumlah soal terkait transformasi geometri beserta pembahasan yang disusun secara lengkap dan sistematis. Tabel di bawah merupakan rangkuman materi tersebut secara umum. 

Soal juga dapat diunduh dalam PDF melalui tautan berikut: Download (PDF).

Versi Inggris: Problems of Geometry Transformation with Solutions

Baca: Soal dan Pembahasan- Gradien dan Persamaan Garis Lurus

Quote by Paulo Coelho

Jika kamu kehilangan seseorang, tetapi menemukan dirimu yang sebenarnya, maka kamu menang.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1

Diketahui titik $P'(3,-13)$ adalah bayangan titik $P$ oleh translasi $T = \begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix}$. Koordinat titik $P$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(13,-20)$              D. $(-5,-4)$
B. $(13,-4)$                E. $(-5,-20)$
C. $(4,20)$

Pembahasan

Konsep translasi: Jika titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix},$ maka koordinat bayangannya adalah $\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.$
Diketahui titik $P'(3,-13)$ ditranslasi oleh $\begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix}$ sehingga didapat
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 3 \\-13 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 \\-13 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 13 \\-20 \end{pmatrix}. \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $P$ adalah $\boxed{(13,-20)}.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2

Bayangan titik $P(a,b)$ oleh rotasi terhadap titik pusat $(0,0)$ sebesar $-90^{\circ}$ adalah $P'(-10,-2)$. Nilai dari $a+2b = \cdots \cdot$
A. $-18$                      D. $18$
B. $-8$                        E. $22$
C. $8$                                

Pembahasan

Konsep rotasi:
Jika titik $(x, y)$ dirotasikan pada pusat $(0,0)$ sebesar sudut $\theta$ dengan orientasi berlawanan arah jarum jam, maka koordinat bayangan titiknya adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$ 
Untuk $(x’, y’) = (-10,-2)$ dan $\theta =-90^{\circ}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos (-90^{\circ}) &-\sin (-90^{\circ}) \\ \sin (-90^{\circ}) & \cos (-90^{\circ}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} y \\-x \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, $y =-10$ dan $x = 2.$ Dengan demikian, koordinat titik $P$ adalah $(2,-10$). Ini berarti $a=2$ dan $b=-10$ sehingga $\boxed{a+2b=2+2(-10)=-18}.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3

Bayangan titik $A$ dengan $A(-1,4)$ jika direfleksikan terhadap garis $y=-x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $A'(4,1)$                    D. $A'(4,3)$
B. $A'(-4,1)$                 E. $A'(-4,-1)$
C. $A'(4,-1)$

Pembahasan

Konsep refleksi:
Jika titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap garis $y =-x,$ maka bayangan titik $A$ adalah $A’ = (-y,-x).$

Jadi, bayangan titik $A(-1,4)$ adalah $A'(-4,1).$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Keliling dan Luas Bangun Datar (Tingkat Lanjut) 

Soal Nomor 4

Bayangan titik $P(5,4)$ jika didilatasikan terhadap pusat $(-2,-3)$ dengan faktor skala $-4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-30,-31)$                D. $(-14,-1)$
B. $(-30,7)$                      E. $(-14,-7)$
C. $(-26,-1)$

Pembahasan

Diketahui $P(x, y) = P(5,4)$. Pusat dilatasi di $(a, b) = (-2,-3)$ dan $k =-4.$
Misalkan bayangan titik $P$ berada di koordinat $(x’, y’).$ Akibatnya, 
$\begin{aligned} x’ & = k(x-a) + a \\ & =-4(5-(-2)) + (-2) \\ & =-4(7)-2 =-30 \end{aligned}$
$\begin{aligned} y’ & = k(y-b) + b \\ & =-4(4-(-3))- 3 \\ & =-4(7)-3=-31. \end{aligned}$
Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $(-30,-31).$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Dimensi Tiga (Konsep Jarak)

Soal Nomor 5

Titik $B(3,-2)$ dirotasikan sebesar $90^{\circ}$ terhadap titik pusat $P(-1,1)$. Bayangan titik $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $B’(-4,3)$                 D. $B’(1,4)$
B. $B’(-2,1)$                 E. $B’(2,5)$
C. $B’(-1,2)$

Pembahasan

Konsep rotasi:
Jika titik $(x, y)$ dirotasikan pada pusat $(a, b)$ sebesar sudut $\theta$ dengan orientasi berlawanan arah jarum jam, maka koordinat bayangan titiknya adalah
$$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.$$Untuk $(x, y) = (3,-2)$ dan rotasi dengan pusat $(-1,1)$ sebesar $\theta = 90^{\circ},$ diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} &-\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3-(-1) \\-2-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $B$ adalah $\boxed{B'(2,5)}.$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6

Bayangan titik $P(2,-3)$ oleh rotasi $R[O,90^{\circ}]$ adalah $\cdots \cdot$
A. $P’(3,2)$                D. $P’(-3,2)$
B. $P’(2,3)$                E. $P’(-3,-2)$
C. $P’(-2,3)$

Pembahasan

Konsep rotasi:
Jika titik $(x, y)$ dirotasikan pada pusat $(0,0)$ sebesar sudut $\theta$ dengan orientasi berlawanan arah jarum jam, maka koordinat bayangan titiknya adalah
Untuk $(x, y) = (2,-3)$ dan rotasinya dengan pusat di titik asal sebesar $\theta = 90^{\circ},$ diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} &-\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $\boxed{P'(3,2)}.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7

Diketahui koordinat titik $P(-8,12)$. Dilatasi $[P,1]$ memetakan titik $(-4,8)$ ke titik $\cdots \cdot$
A. $(-4,8)$                  D. $(4,-16)$
B. $(-4,16)$                E. $(4,-8)$
C. $(-4,-8)$

Pembahasan

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(a,b)$ dan faktor skala $k,$ maka bayangan titiknya berada di koordinat $(k(x-a)+a, k(y-b)+b).$
Dengan demikian, bayangan titik $(-4, 8)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-8, 12)$ dan faktor skala $1$ adalah
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1(-4-(-8)) + (-8) \\ 1(8-12) + 12 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dilatasi $[P,1]$ memetakan titik $(-4,8)$ ke titik $\boxed{(-4, 8)}.$

(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8

Bayangan titik $B(4,8)$ direfleksikan terhadap sumbu $X$ kemudian dilanjutkan dengan dilatasi $\left[O, \dfrac{1}{2}\right]$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-2, 4)$                  D. $(-8, 4)$
B. $(2,-4)$                  E. $(-8,-4)$
C. $(8,-2)$

Pembahasan

Konsep dilatasi:
Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k,$ maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky).$
Konsep refleksi:
Jika titik $(x, y)$ direfleksikan terhadap sumbu $X,$ maka bayangan titiknya berada di koordinat $(x,-y).$
Untuk itu, dapat dibuat skema panah dari proses refleksi terhadap sumbu $X$ terhadap titik $B$ berikut.
$$B(4, 8) \xrightarrow{R_X} B'(4,-8)$$Selanjutnya, buatlah skema panah proses dilatasi terhadap titik $B$ seperti berikut.
$$\begin{aligned} B'(4,-8) \xrightarrow{D\left[O, \dfrac{1}{2}\right]} & P'(\dfrac{1}{2} \cdot 4, \dfrac{1}{2} \cdot (-8)) \\ & = P^{\prime \prime}(2,-4) \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $B$ adalah $(2,-4).$
(Jawaban B)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Dimensi Tiga (Konsep Sudut)

Soal Nomor 9

Diketahui koordinat titik $T(-1,5)$. Bayangan titik $T$ oleh transformasi yang diwakili oleh matriks $\begin{pmatrix}-4 & 3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix},$ dilanjutkan refleksi terhadap garis $x = 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $T'(30,-7)$               D. $T'(3,-7)$
B. $T'(19, 23)$                E. $T'(-3,-7)$
C. $T'(19,-22)$

Pembahasan

Bayangan titik $T(-1, 5)$ oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema berikut.
$$\begin{aligned} T\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{pmatrix}-4 & 3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}} & T’\left[\begin{pmatrix}-4 & 3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \end{pmatrix} \right] \\ & = T’ \begin{pmatrix}-4(-1) + 3(5) \\ 2(-1) + (-1)(5) \end{pmatrix} \\ & = T’\begin{pmatrix} 19 \\-7 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Transformasi titik dilanjutkan oleh refleksi terhadap garis $\color{red} {x=8}$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} T’\begin{pmatrix} 19 \\-7 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{x =-8}} & T^{\prime \prime}\begin{pmatrix} 2(\color{red}{8})- 19 \\-7 \end{pmatrix} \\ & = T^{\prime \prime}\begin{pmatrix}-3 \\-7 \end{pmatrix}. \end{aligned}$ 
Jadi, koordinat bayangan titik $T$ adalah $\boxed{(-3,-7)}.$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10

Segitiga $KLM$ dengan $K(6,4), L(-3, 1), M(2,-2)$ didilatasi dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4.$ Koordinat bayangan $\triangle KLM$ adalah $\cdots \cdot$

  1. $K'(30, 7), L'(-6,-5),$ $M'(14,-17)$
  2. $K'(30, 7), L'(-6,-5),$ $M'(10,-12)$
  3. $K'(30, 7), L'(-3,-7),$ $M'(14,-17)$
  4. $K'(7, 24), L'(-5,-6),$ $M'(14, 8)$
  5. $K'(7, 24), L'(-6,-5),$ $M'(7, 30)$

Pembahasan

Konsep dilatasi:
Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(a,b)$ dan faktor skala $k,$ maka bayangan titiknya berada di koordinat $(k(x-a)+a, k(y-b)+b).$
Bayangan titik $K(6, 4)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah

$$K'(4(6+2)-2, 4(4-3)+3) = K'(30, 7).$$Bayangan titik $L(-3, 1)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah
$L'(4(-3+2)-2, 4(1-3)+3)$ $= L'(-6,-5).$
Bayangan titik $M(2,-2)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah
$M'(4(2+2)-2, 4(-2-3)+3)$ $= M'(14,-17).$
Jadi, koordinat bayangan $\triangle KLM$ adalah $\boxed{K(30, 7), L(-6,-5), M(14,-17)}.$
(Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 11

Segitiga $ABC$ dengan titik $A(-2,3), B(2,3)$, dan $C(0,-4)$ didilatasi dengan pusat $O(0,0)$ dan faktor skala $4$. Luas segitiga setelah didilatasi adalah $\cdots \cdot$ 
A. $120$                      D. $280$
B. $224$                      E. $480$
C. $240$               

Pembahasan

Konsep dilatasi:
Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky)$.

Bayangan titik $A(-2,3)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0 )$ dan faktor skala $4$ adalah $A'(4(-2), 4(3)) = (-8, 12).$
Bayangan titik $B(2,3)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $4$ adalah $B'(4(2), 4(3)) = (8, 12).$
Bayangan titik $C(0,-4)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $4$ adalah $C'(4(0), 4(-4)) = (0,-16).$ 
Gambarkan ketiga bayangan titik tersebut dalam sistem koordinat Kartesius, lalu hubungkan sehingga terbentuk segitiga.
Bayangan segitiga pada bidang koordinatSegitiga tersebut memiliki luas $L = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{16 \times 28}{2} = 224.$
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 12

Suatu vektor $\overline{a} = (-3,4)$ berturut-turut merupakan hasil pencerminan terhadap garis $y=x$ dan rotasi dengan pusat di titik asal sebesar $90^{\circ}$ searah jarum jam. Vektor awalnya sebelum ditransformasi adalah $\cdots \cdot$
A. $(3,4)$                         D. $(4,-3)$
B. $(-3,-4)$                  E. $(-3,4)$
C. $(-4,3)$

Pembahasan

Misalkan vektor awalnya adalah $(a, b).$ Akibatnya, pencerminan terhadap garis $y = x$ dapat dinyatakan dalam skema berikut. 
$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \xrightarrow{M_{y=x}} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}$
Proses transformasi dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat di titik asal sebesar $90^{\circ}$ searah jarum jam, yang sama artinya dengan $270^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam sehingga dapat dibuat skema berikut. 
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \xrightarrow{R[O, 270^{\circ}]} & \begin{pmatrix} \cos 270^{\circ} &-\sin 270^{\circ} \\ \sin 270^{\circ} & \cos 270^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a \\-b \end{pmatrix} \end{aligned}$$Diperoleh hasil transformasi vektor berbentuk $(a,-b)$. Karena diketahui vektor $\overline{a} = (-3,4)$ merupakan hasil transformasinya, diperoleh $a=-3$ dan $b=-4.$
Jadi, vektor awalnya adalah $\boxed{\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\-4 \end{pmatrix}}.$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13

Jika persamaan garis lurus $y = 2x+3,$ maka persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi $T = (3, 2)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $y = 3x$                    D. $y = 2x-4$
B. $y = 2x + 6$             E. $y = 2x-1$
C. $y = 2x-6$

Pembahasan

Ambil sembarang titik yang dilalui garis itu, misalkan titik $(x,y).$ Koordinat bayangan titik ini setelah ditranslasikan oleh $T(3, 2)$ ditunjukkan oleh skema panah berikut.
$$(x, y) \xrightarrow{T(3, 2)} (x+3, y+2)$$Dengan demikian, dapat ditulis $x’ = x + 3$ dan $y’ = y + 2,$ atau $\begin{cases} x = x’-3 \\ y = y’-2. \end{cases}$
Substitusikan kedua bentuk ini pada persamaan garis $y=2x+3.$
$$\begin{aligned} y & = 2x + 3 \\ y’-2 & = 2(x’-3) + 3 \\ y’ & = 2x’-6 + 3 + 2 \\  y’ & = 2x’-1 \end{aligned}$$Jadi, bayangan garis $y = 2x+3$ setelah ditranslasikan oleh $T(3,2)$ adalah $\boxed{y=2x-1}.$
(Jawaban E)  

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan- Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Soal Nomor 14

Persamaan bayangan garis $2x+y-1=0$ ditransformasikan oleh matriks $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},$ kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu $X$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3x+y-1=0$
B. $5x-y+1=0$
C. $3x+y+1=0$
D. $5x+y-1=0$
E. $5x+y+1=0$

Pembahasan

Bayangan titik $(x, y)$ oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema berikut.
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \left[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right] \\ & = \begin{pmatrix} x + y \\ x + 2y \end{pmatrix} \end{aligned}$$Transformasi titik dilanjutkan oleh pencerminan (refleksi) terhadap sumbu $X$ sehingga didapat
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x + y \\ x + 2y \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{x}} \begin{pmatrix} x + y \\-x-2y \end{pmatrix} \end{aligned}$ 
Jadi, $x^{\prime \prime} = x + y$ dan $y^{\prime \prime} =-x-2y.$ 
Penyelesaian SPLDV di atas adalah sebagai berikut.
$\begin{cases}-y = x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime} \\ x = 2x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime} \end{cases}$
Substitusikan pada persamaan $2x+y-1=0$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 2(2x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime})-(x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime})-1 & = 0 \\ 3x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}- 1 & = 0. \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda aksen ganda, diperoleh persamaan bayangan garisnya, yakni $\boxed{3x+y-1=0}.$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Matriks, Determinan, dan Invers Matriks

Soal Nomor 15

Bayangan garis $3x-y+2=0$ apabila dicerminkan terhadap garis $y=x$ dan dilanjutkan dengan rotasi sebesar $90^{\circ}$ dengan pusat $(0,0)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3x+y+2=0$
B. $3x+y-2=0$
C. $-3x+y+2=0$
D. $-x+3y+2=0$
E. $x-3y+2=0$

Pembahasan

Bayangan titik $(x, y)$ oleh refleksi terhadap garis $y = x$ dapat dinyatakan oleh skema berikut.
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{y=x}} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} $ 
Transformasi titik kemudian dilanjutkan oleh rotasi sebesar $90^{\circ}$ dengan pusat $O.$
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \xrightarrow{R[O, 90^{\circ}]} & \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} &-\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}-x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned}$$Diperoleh $x^{\prime \prime} =-x$ dan $y^{\prime \prime}= y.$
Substitusikan pada persamaan $3x-y+2=0$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} & 3(-x^{\prime \prime})-y^{\prime \prime} + 2 = 0 \\ &\Leftrightarrow 3x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}-2 = 0 \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda aksen ganda, diperoleh persamaan bayangan garisnya, yakni $\boxed{3x+y-2=0}.$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16

Garis $3x+2y=6$ ditranslasikan oleh $T (3,-4)$, lalu dilanjutkan dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala $2$. Hasil bayangan transformasinya adalah $\cdots \cdot$
A. $3x+2y=14$          
B. $3x+2y=7$           
C. $3x+y=14$
D. $3x+y=7$
E. $x+3y=14$

Pembahasan

Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T(3,-4)$ sehingga diperoleh
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{T(3,-4)} \begin{pmatrix} x + 3 \\ y- 4 \end{pmatrix}.$
Transformasi titik dilanjutkan oleh dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala 2 sehingga diperoleh
$\begin{pmatrix} x + 3 \\ y-4 \end{pmatrix} \xrightarrow{D[O, 2]} \begin{pmatrix} 2x + 6 \\ 2y- 8 \end{pmatrix}.$
Dengan demikian,
$\begin{cases} x^{\prime \prime} = 2x + 6 \Leftrightarrow x = \dfrac{x^{\prime \prime}-6}{2} \\ y^{\prime \prime} = 2y-8 \Leftrightarrow y = \dfrac{y^{\prime \prime}+8}{2} \end{cases}$
Substitusikan pada persamaan $3x+2y=6$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} 3\left(\dfrac{x^{\prime \prime}-6}{2}\right) + 2\left(\dfrac{y^{\prime \prime}+8}{2}\right) & = 6 \\ \text{Kali kedua ruas dengan 2}& \\ 3(x^{\prime \prime}-6) + 2(y^{\prime \prime} + 8) & = 12 \\ 3x^{\prime \prime}-18 + 2y^{\prime \prime} + 16 & = 12 \\ 3x^{\prime \prime} + 2y^{\prime \prime} & = 14. \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda aksen ganda, diperoleh persamaan bayangan garisnya adalah $\boxed{3x+2y=14}.$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17

Garis $y=2x-3$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Persamaan bayangan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $y=2x+4$            D. $y=-2x+4$
B. $y=2x-4$            E. $y=-2x-3$
C. $y=2x-3$

Pembahasan

Konsep translasi:
Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ sehingga koordinat bayangannya adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.$ 

Untuk $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix},$ diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x’ + 2\\ y’- 3\end{pmatrix}. \end{aligned}$
Substitusikan $x = x’+2$ dan $y =y’-3$ pada $y=2x-3$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} y’-3 & = 2(x’+2)-3 \\ y’-3 & =2x’+1 \\ y’ & = 2x’+4. \end{aligned}$
Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah $\boxed{y=2x+4}.$
(Jawaban A)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Transformasi Geometri Bidang Datar (Versi Rawuh) 

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Refleksi Geometri Bidang Datar (Versi Rawuh)

Soal Nomor 18

Bayangan kurva $y=x^2+3x+3$ jika dicerminkan terhadap sumbu $X,$ lalu dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala $3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x^2+9x-3y+27=0$
B. $x^2+9x+3y+27=0$ 
C. $3x^2+9x-y+27=0$
D. $3x^2+9x+y+27=0$
E. $3x^2+9x+27=0$

Pembahasan

Hasil pencerminan terhadap sumbu $X$ dapat dinyatakan dalam skema berikut. 
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{M_{\text{Sumbu}~X}} \begin{pmatrix} x \\-y \end{pmatrix}$ 
Hasil dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala 3 dapat dinyatakan dalam skema berikut. 
$\begin{pmatrix} x \\-y \end{pmatrix} \xrightarrow{D[O, 3]} \begin{pmatrix} 3x \\-3y \end{pmatrix}$
Diperoleh $x^{\prime \prime} = 3x$ dan $y^{\prime \prime} =-3y$ sehingga ditulis $\begin{cases} x = \dfrac13x^{\prime \prime} \\ y =-\dfrac13y^{\prime \prime} \end{cases}$
Substitusikan pada persamaan $y=x^2+3x+3$ sehingga didapat
$\begin{aligned}&-\dfrac13y^{\prime \prime} = \left(\dfrac13x^{\prime \prime}\right)^2 + 3\left(\dfrac13x^{\prime \prime}\right) + 3 \\ & \text{Kali kedua ruas dengan 9} \\ &-3y^{\prime \prime} = (x^{\prime \prime})^2 + 9x^{\prime \prime} + 27 \\ & (x^{\prime \prime})^2 + 9x^{\prime \prime} + 3y^{\prime \prime} + 27 = 0. \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan kurvanya, yakni $\boxed{x^2 + 9x + 3y + 27 = 0}.$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19

Kurva $y = x^2+3$ didilatasikan dengan pusat $P(-1,2)$ dan faktor skala $3$, lalu dirotasikan sejauh $-\dfrac12 \pi$ dengan pusat $O(0,0)$. Persamaan bayangan kurva tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $3y=x^2+4x+19$
B. $3x=y^2+4y+19$
C. $y=x^2+4x+19$
D. $x=y^2 + 4y + 19$
E. $x=y^2+19$

Pembahasan

Misalkan titik $(x, y)$ didilatasikan dengan pusat $P(-1, 2)$ dan faktor skala $3$ sehingga dapat dibuat skema transformasi seperti berikut. 
$T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{D[P(-1,2), 3]} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}$
dengan
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = k\begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ & = 3 \begin{pmatrix} x-(-1)\\ y- 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3x + 2\\ 3y- 4\end{pmatrix}. \end{aligned}$
Transformasi titik $(x’, y’)$ dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat $O$ sebesar $-\dfrac12\pi$ radian atau $-90^{\circ}$ sehingga dapat dibuat skema transformasi berikut. 
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} \xrightarrow{R[O,-90^{\circ}]} \begin{pmatrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{pmatrix}$
dengan
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos (-90^{\circ}) &-\sin (-90^{\circ}) \\ \sin (-90^{\circ}) & \cos (-90^{\circ}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3x+2 \\ 3y-4 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3y-4 \\-3x-2\end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{cases} x^{\prime \prime} = 3y-4 \Leftrightarrow y = \dfrac{x^{\prime \prime} + 4}{3} \\ y^{\prime \prime} =-3x-2 \Leftrightarrow x =\dfrac{y^{\prime \prime} + 2}{-3} \end{cases}$
Substitusikan nilai $x$ dan $y$ pada persamaan kurva $y = x^2+3$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x^{\prime \prime}+4}{3} & = \left(\dfrac{y^{\prime \prime}+2}{-3}\right)^2+3 \\ \text{Kali kedua ruas}~&\text{dengan 9} \\ 3(x^{\prime \prime}+4) = & (y^{\prime \prime}+2)^2 + 27 \\ 3x^{\prime \prime} + 12 & = (y^{\prime \prime})^2 + 4y^{\prime \prime} + 31 \\ 3x^{\prime \prime} & = (y^{\prime \prime})^2 + 4y^{\prime \prime} + 19. \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda aksen ganda, diperoleh persamaan bayangan kurvanya, yaitu $\boxed{3x = y^2+4y+19}.$
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20

Sebuah mesin fotokopi dapat membuat salinan gambar/tulisan dengan ukuran berbeda. Suatu gambar persegi panjang difotokopi dengan setelan tertentu. Jika setelan tersebut dapat disamakan dengan proses transformasi terhadap matriks $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$, kemudian didilatasi dengan titik pusat $(0,0)$ dan faktor skala $3$, maka luas gambar persegi panjang itu akan menjadi $\cdots$ kali dari luas semula. 
A. $12$                   C. $24$                 E. $36$
B. $18$                   D. $30$        

Pembahasan

Perhatikan bahwa penyajian matriks untuk dilatasi berpusat di $O$ dan faktor skala 3 adalah $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}.$
Diketahui:
$T_1 =\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}~~~~T_2 =\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ 
Transformasi oleh kedua matriks tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} T_2 \cdot T_1 & = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 12 & 9 \end{pmatrix}. \end{aligned}$
Luas gambar yang baru dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L & = \left|\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 12 & 9 \end{pmatrix}\right| \times~\text{Luas Awal} \\ & = \left|54-36\right| \times~\text{Luas Awal} \\ & = 18 \times~\text{Luas Awal}. \end{aligned}$
Jadi, luas gambar persegi panjang itu akan menjadi $\boxed{18 \times~\text{Luas Awal}}.$ 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21

Sebuah kamera memproses gambar dengan mentransformasikan gambar tersebut terhadap matriks $\begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac58 \\ \dfrac12 & 2 \end{pmatrix}$. Selanjutnya, gambar tersebut ditransformasi lagi terhadap matriks $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$. Jika kamera tersebut mengambil gambar suatu benda dengan luas $32~\text{cm}^2$, maka luas benda hasil potretan adalah $\cdots \cdot$
A. $24~\text{cm}^2$                    D. $36~\text{cm}^2$
B. $28~\text{cm}^2$                    E. $40~\text{cm}^2$
C. $34~\text{cm}^2$

Pembahasan

Diketahui:
$T_1 = \begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac58 \\ \frac12 & 2 \end{pmatrix}~~~~T_2 = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$
Transformasi oleh kedua matriks tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} T_2 \cdot T_1 & = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac58 \\ \frac12 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \dfrac32 & \dfrac92 \\ \dfrac52 & 7 \end{pmatrix}. \end{aligned}$
Luas benda hasil potretan dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L & = \left|\begin{vmatrix} \dfrac32 & \dfrac92 \\ \dfrac52 & 7 \end{vmatrix}\right| \times~\text{Luas Gambar} \\ & = \left|\dfrac{21}{2}- \dfrac{45}{4}\right| \times 32~\text{cm}^2 \\ & = \left|-\dfrac34\right| \times 32~\text{cm}^2 = 24~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Jadi, luas benda hasil potretan adalah $\boxed{24~\text{cm}^2}.$ 
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 22

Jika segi empat $ABCD$ didilatasi menjadi $A’B’C’D’$ seperti gambar, maka faktor skala yang sesuai adalah $\cdots \cdot$
Dilatasi Trapesium ABCD
A. $2$                     C. $4$                    E. $9$
B. $3$                     D. $6$

Pembahasan

Tampak pada gambar bahwa proses dilatasi mengambil pusat di titik paling kiri bawah. Asumsikan sebagai titik $(0, 0)$ sehingga $A(0, 1),$ $B(3, 1),$ $C(3, 3),$ dan $D(1, 3)$. Koordinat titik hasil dilatasinya adalah $A'(3, 0),$ $B'(9, 3),$ $C'(9, 9),$ dan $D'(3, 9).$
Dari sini, kita tahu bahwa ada suatu bilangan yang menjadi pengali untuk setiap nilai koordinat. Sebagai contoh, ambil titik $B(3,1)$ yang bayangannya adalah $B'(9, 3).$ Pengalinya adalah $3,$ yang berarti faktor skala untuk dilatasi tersebut adalah $\boxed{3}.$

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 23

Perhatikan grafik berikut.
Translasi GarisSalah satu translasi yang dapat memindahkan garis $g$ ke garis $l$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix}$                      D. $\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 0 \\ -5 \end{bmatrix}$                   E. $\begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} -5 \\ 0 \end{bmatrix}$

Pembahasan

Secara geometri, kita dapat melakukan translasi pada titik ke titik yang dilalui masing-masing garis tersebut.
Dari titik $(-2, 0)$ bergeser $5$ satuan ke kanan $(+5)$ menuju titik $(3, 0)$ sehingga translasi yang sesuai adalah $\begin{bmatrix} 5 \\ 0 \end{bmatrix}$.
Selain itu, bisa juga dari titik $(0, 4)$ lalu digeser ke bawah sejauh $4$ satuan $(-4)$ dan $3$ satuan ke kanan $(+3)$ menuju titik $(3, 0)$ sehingga translasi yang sesuai adalah $\begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix}.$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 24

Perhatikan gambar garis alfabet berikut.
Garis Alfabet

Bayangan huruf E setelah didilatasi dengan pusat I dan faktor skala $-\dfrac12$ adalah $\cdots \cdot$
A. huruf A                       D. Huruf J   
B. huruf C                       E. huruf K
C. huruf G

Pembahasan

Berdasarkan garis alfabet, jarak E ke I adalah $4$. Karena nilai faktor skalanya $\dfrac12$, maka jarak bayangan E ke I adalah $\dfrac12 \times 4 = 2$. Dua huruf yang berjarak demikian terhadap I adalah huruf G dan K. Tanda faktor skalanya negatif sehingga letak benda dan bayangannya harus berseberangan terhadap titik pusat dilatasi (titik I) sehingga bayangan huruf E yang tepat adalah titik K.
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 25

Garis $y = 2ax-b$ digeser $2$ satuan ke kanan dan $1$ satuan ke bawah, lalu dicerminkan terhadap sumbu $Y$ sehingga menghasilkan garis $y=-4x.$ Nilai $a-b=\cdots \cdot$
A. $-7$                  C. $2$                 E. $11$
B. $1$                     D. $6$

Pembahasan

Garis $y=2ax-b$ digeser $2$ satuan ke kanan dan $1$ satuan ke bawah, artinya ditranslasikan oleh $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ sehingga garisnya menjadi
$\begin{aligned} (y-(-1)) & = 2a(x-2)-b \\ y+1 & = 2ax-4a-b. \end{aligned}$
Garis ini dicerminkan terhadap sumbu $Y,$ berarti kita hanya perlu mengganti $x$ menjadi $-x.$
$\begin{aligned} y+1 & = 2a\color{red}{(-x)}-4a-b \\ y & = -2ax-4a-b-1. \end{aligned}$
Karena diketahui bayangan garisnya adalah $y=-4x$, berdasarkan bentuk $y = -2ax-4a-b-1,$ kita peroleh $-2a = -4 \implies a = 2$ dan konstantanya $0$ sehingga didapat
$\begin{aligned} -4a-b-1 & = 0 \\ 4a+b+1 & = 0 \\ 4\color{red}{(2)}+b+1 & = 0 \\ b & = -9. \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $\boxed{a-b=2-(-9) = 11}.$
(Jawaban E)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Bangun Ruang (Pra-Olimpiade)

Soal Nomor 26

Koordinat bayangan titik $(1, 0)$ oleh refleksi terhadap garis $y = x+1$ adalah titik $\cdots \cdot$
A. $(0, 1)$                       D. $(-1, 1)$
B. $(-2, 2)$                    E. $(-1, 2)$
C. $(-2, 1)$

Pembahasan

Refleksi dilakukan terhadap titik $(x, y) = (1, 0)$ terhadap garis $y = \color{red}{x + 1}$, yang ekuivalen dengan $x = \color{blue}{y-1}.$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} (x’, y’) & = (\color{blue}{y-1}, \color{red}{x+1}) \\ & = (0-1, 1+1) = (-1, 2). \end{aligned}$
Jadi, koordinat bayangan titik itu adalah $\boxed{(-1, 2)}.$
(Jawaban E)

[collapse]