Setelah mempelajari perbandingan trigonometri dasar, sudut istimewa, identitas trigonometri, aturan sinus, aturan kosinus, dan persamaan trigonometri, selanjutnya kita akan mempelajari aplikasi trigonometri. Sebelumnya, kita disarankan untuk menguasai terlebih dahulu submateri sebelumnya agar lebih mudah memahami penyelesaian soal mengenai aplikasi trigonometri.
Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di . Folder soal tersebut tidak hanya berisi soal UTBK-SNBT, melainkan juga soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi, soal kompetensi matematika, dan masih banyak lagi.
Baca: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri (Dasar)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Berikut ini penulis sajikan soal-soal beserta pembahasannya tentang aplikasi (soal cerita) materi Trigonometri. Soal-soal berikut dikumpulkan dari berbagai sumber, kemudian penulis rangkum pada pos ini. Semoga bermanfaat.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Pembuktian Identitas Trigonometri
Today Quote
BAGIAN PILIHAN GANDA
Soal Nomor 1
Seekor kelinci yang berada di lubang tanah tempat persembunyiannya melihat seekor elang yang sedang terbang dengan sudut $60^{\circ}$ (lihat gambar). Jika jarak antara kelinci dan elang adalah $18$ meter, maka tinggi elang dari atas tanah adalah $\cdots \cdot$ meter.
A. $\sqrt{3}$ D. $9\sqrt{3}$
B. $3\sqrt{3}$ E. $12\sqrt{3}$
C. $6\sqrt{3}$
Jika dilihat dari gambar, yang ditanya adalah panjang sisi depan sudut $60^{\circ},$ sedangkan panjang hipotenusa diketahui. Dengan demikian, perbandingan trigonometri yang dapat digunakan adalah sinus, yakni
$\begin{aligned} \sin 60^{\circ} & = \dfrac{x}{18} \\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3} & = \dfrac{x}{18} \\ x & = 18 \times \dfrac{1}{2}\sqrt{3} = 9\sqrt{3}. \end{aligned}$
Jadi, tinggi elang dari atas tanah adalah $9\sqrt{3}$ meter.
(Jawaban D)
Soal Nomor 2
Perhatikan gambar di bawah ini.
Diketahui seseorang yang berada di atas mercusuar dengan tinggi $45\sqrt{3}$ meter sedang mengamati sebuah objek di bawahnya dengan jarak antara objek dan mercusuar sejauh $135$ meter. Sudut depresi yang terbentuk adalah $\cdots \cdot$
A. $30^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ E. $180^{\circ}$
B. $45^{\circ}$ D. $90^{\circ}$
Perhatikan gambar berikut.
Besar $\angle ABC$ sama dengan sudut $\alpha^{\circ}$ karena saling berseberangan. Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh
$\tan \alpha^{\circ} = \dfrac{45\sqrt{3}}{135} = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \Rightarrow \alpha^{\circ} = 30^{\circ}.$
Jadi, sudut depresi yang terbentuk adalah $\boxed{30^{\circ}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 3
Seorang anak yang memiliki tinggi badan $155$ cm (terukur sampai ke mata) berdiri pada jarak $12$ m dari tiang bendera. Ia melihat puncak tiang bendera dengan sudut elevasi $45^{\circ}$. Tinggi tiang bendera itu adalah $\cdots \cdot$
A. $12,\!00$ m D. $21,\!50$ m
B. $12,\!55$ m E. $27,\!50$ m
C. $13,\!55$ m
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh
$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} & = \dfrac{BC} {AC} \\ BC & = AC \times \tan 45^{\circ} \\ BC & = 12 \times 1 = 12. \end{aligned}$
Tinggi tiang bendera ($t$) adalah jumlah dari panjang $BC$ dengan tinggi anak itu (yang terukur sampai mata), yaitu $t = 12 + 1,\!55 = 13,\!55~\text{m}.$
Catatan: $155$ cm = $1,\!55$ m.
Jadi, tinggi tiang bendera tersebut adalah $\boxed{13,\!55~\text{meter}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 4
Dari ujung-ujung landasan pacu Bandara Kuala Namu yang sedang dibangun horizontal, tampak puncak suatu bukit yang dilihat dengan sudut elevasi $53^{\circ}$ dan $14^{\circ}$. Jarak ujung landasan yang lebih dekat sepanjang lereng bukit adalah $870$ meter. Jika $\sin 53^{\circ} = 0,\!8$ dan $\tan 14^{\circ} = 0,\!25,$ maka panjang landasan pacu tersebut adalah $\cdots$ m.
A. $3.550$ D. $3.800$
B. $3.750$ E. $3.950$
C. $3.770$
Permasalahan di atas dapat direpresentasikan oleh sketsa gambar berikut.
Karena $\sin 53^{\circ} = 0,\!8 = \dfrac{4}{5},$ maka $\tan 53^{\circ} = \dfrac{4}{\sqrt{5^2-4^2}} = \dfrac{4}{3}.$
Pada $\triangle ABD$, panjang $AD$ dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 53^{\circ} & = \dfrac{AD} {AB} \\ AD & = AB \times \tan 53^{\circ} \\ AD & = 870 \times \dfrac{4}{3} = 1.160~\text{meter}. \end{aligned}$
Pada $\triangle ACD$, panjang $AC$ dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 14^{\circ} & = \dfrac{AD} {AC} \\ AC & = \dfrac{AD} {\tan 14^{\circ}} \\ AC & = \dfrac{1.160}{0,\!25} = 4.640~\text{meter}. \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned}BC & = AC- AB \\ & = 4.640- 870 = 3.770.~\text{meter} \end{aligned}$
Jadi, panjang landasan pacu tersebut adalah $\boxed{3.770~\text{meter}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 5
Sebuah kapal berlayar dari Pelabuhan A ke Pelabuhan B sejauh $200$ mil dengan arah $35^{\circ}$. Dari Pelabuhan B, kapal itu berlayar sejauh $300$ mil menuju Pelabuhan C dengan arah $155^{\circ}$. Jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\cdots$ mil.
A. $100\sqrt{2}$ D. $100\sqrt{13}$
B. $100\sqrt{3}$ E. $100\sqrt{19}$
C. $100\sqrt{7}$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
(Titik awal penarikan sudut selalu dimulai dari bagian sumbu-$X$ positif)
Panjang $AC$ selanjutnya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 60^{\circ} \\ AC^2 & = (200)^2 + (300)^2-2 \cdot 200 \cdot 300 \cdot \dfrac{1}{2} \\ AC^2 & = 40.000 + 90.000-60.000 \\ AC^2 & = 70.000 \\ AC & = \sqrt{70.000} = 100\sqrt{7} \end{aligned}$$Jadi, jarak antara Pelabuhan A ke Pelabuhan C adalah $\boxed{100\sqrt{7}~\text{mil}}$
(Jawaban C)
Jasa Les Privat (Daring)
Soal Nomor 6
Sebuah kapal laut berlayar ke arah timur sejauh $120$ km, kemudian memutar kemudi pada jurusan $30^{\circ}$ sejauh $100$ km hingga berhenti. Jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah $\cdots$ meter.
A. $25\sqrt{50}$ D. $27\sqrt{66}$
B. $20\sqrt{91}$ E. $24\sqrt{70}$
C. $24\sqrt{66}$
Perhatikan gambar berikut.
Misalkan titik $A$ adalah titik mula-mula dan titik $C$ merupakan titik pemberhentian kapal.
Perhatikan bahwa $\angle ABC = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}.$
Karena diketahui sisi-sudut-sisi, untuk mencari jarak yang dimaksud, yakni panjang $AC$, dapat menggunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC \\ & = 120^2 + 100^2-2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot \cos 120^{\circ} \\ & = 14.400 + 10.000-2 \cdot 120 \cdot 100 \cdot \left(-\dfrac12\right) \\ & = 24.400 + 12.000 \\ & = 36.400 = 100 \times 4 \times 91 \\ AC & = \sqrt{100 \times 4 \times 91} \\ & = 10 \times 2 \times \sqrt{91} = 20\sqrt{91}. \end{aligned}$$Jadi, jarak kapal dari mula-mula titik berlayar ke tempat pemberhentian adalah $\boxed{20\sqrt{91}}$ meter.
(Jawaban B)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Trigonometri
Soal Nomor 7
Sebuah mobil melaju dari tempat A sejauh $16$ km dengan arah $40^{\circ}$, kemudian berbelok sejauh $24$ km ke tempat B dengan arah $160^{\circ}$. Jarak A dan B adalah $\cdots$ km.
A. $21$ D. $32$
B. $8\sqrt{7}$ E. $8\sqrt{19}$
C. $8\sqrt{10}$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pada segitiga $ABC$ di atas, diketahui $AC = 16~\text{km},$ $CB = 24~\text{km},$ dan $\angle ACB = 60^{\circ}.$ Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh
$$\begin{aligned} AB^2 & = AC^2 + CB^2-2 \cdot AC \cdot CB \cdot \cos 60^{\circ} \\ AB^2 & = (16)^2 + (24)^2-2 \cdot 16 \cdot 24 \cdot \dfrac{1}{2} \\ AB^2 & = 256 + 576-384 \\ AB^2 & = 448 \\ AB & = \sqrt{448} = 8\sqrt{7}. \end{aligned}$$Jadi, jarak A ke B adalah $\boxed{8\sqrt{7}~\text{km}}$
(Jawaban B)
[Soal Tipe Asesmen Kompetensi Minimum (AKM) Bagian Numerasi]
Bacalah stimulus berikut untuk menjawab soal nomor 8 dan 9.
Berlibur ke Rumah Nenek
Hari libur atau liburan adalah suatu kondisi seseorang dapat meluangkan waktu dan terbebas dari pekerjaan atau tugas-tugas sekolah. Pada umumnya, hari libur terjadi pada pertengahan atau akhir tahun, juga pada hari raya. Pada kondisi khusus seperti bencana alam, pemerintah dapat menetapkan hari libur lain.
Dalam mengisi hari libur sekolah, Jessica mengunjungi rumah nenek yang terletak di dataran tinggi, yaitu Desa Bojong. Ia pergi diantar oleh ayahnya dengan menggunakan mobil. Ia berangkat dari Kota Tegal menuju Kota Slawi dengan melalui jarak sejauh $10$ km. Sepanjang $2$ km dari Kota Tegal, jalan menanjak dengan sudut kemiringan $12^\circ,$ sedangkan jalan Kota Slawi ke Desa Bojong menanjak sejauh $3$ km dengan sudut kemiringan yang sama. Jarak Kota Slawi dengan Desa Bojong adalah $12$ km seperti tampak pada gambar berikut.
(Keterangan: $\sin 12^\circ = 0,\!20;$ $\cos 12^\circ = 0,\!97;$ $\tan 12^\circ = 0,\!21$)
Soal Nomor 8
Berdasarkan stimulus di atas, ketinggian Kota Slawi dari Kota Tegal adalah $\cdots \cdot$
A. $400$ m D. $2.000$ m
B. $420$ m E. $2.100$ m
C. $490$ m
Perhatikan segitiga siku-siku pada bagian yang diberi kotak.
Diketahui bahwa panjang sisi miring pada segitiga siku-siku tersebut adalah $2$ km. Untuk mencari panjang sisi tinggi $h,$ gunakan perbandingan sinus.
$$\begin{aligned} \sin 12^\circ & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} \\ 0,20 & = \dfrac{h}{2} \\ h & = 2 \cdot 0,\!20 \\ h & = 0,\!4~\text{km} = 400~\text{m} \end{aligned}$$Jadi, ketinggian Kota Slawi dari Kota Tegal adalah $\boxed{400~\text{m}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 9
Jessica ingin menghitung ketinggian rumah nenek dari Kota Tegal. Ketinggian rumah nenek Jessica dari Kota Tegal adalah $\cdots \cdot$
A. $600$ m D. $1.400$ m
B. $1.000$ m E. $2.000$ m
C. $1.200$ m
Sebelumnya, kita sudah mengetahui bahwa ketinggian Kota Tegal dari Kota Slawi adala $400~\text{m}.$
Selanjutnya, kita hanya perlu mencari ketinggian Desa Bojong dari Kota Slawi.
Perhatikan segitiga siku-siku pada bagian yang diberi kotak.
Diketahui bahwa panjang sisi miring pada segitiga siku-siku tersebut adalah $3$ km. Untuk mencari panjang sisi tinggi $h,$ gunakan perbandingan sinus.
$$\begin{aligned} \sin 12^\circ & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} \\ 0,\!20 & = \dfrac{h}{3} \\ h & = 3 \cdot 0,\!20 \\ h & = 0,\!6~\text{km} = 600~\text{m} \end{aligned}$$Jadi, ketinggian Desa Bojong dari Kota Slawi adalah $600~\text{m}.$
Dengan demikian, ketinggian rumah nenek (diwakili oleh ketinggian Desa Bojong) dari Kota Tegal adalah $\boxed{400 + 600 = 1.000~\text{m}}$
(Jawaban B)
[Soal Tipe Asesmen Kompetensi Minimum (AKM) Bagian Numerasi]
Bacalah stimulus berikut untuk menjawab soal nomor 10.
Paralaks Bintang
Paralaks bintang adalah sudut yang dibentuk oleh garis penghubung antara bintang dengan kedua ujung jari-jari lintasan Bumi. Oleh karena pergerakan Bumi mengelilingi Matahari, bintang seolah-olah terlihat bergerak dalam lintasan elips, yang disebut elips paralaktik. Sudut yang dibentuk antara Bumi-bintang-Matahari $(p^\circ)$ inilah yang disebut paralaks bintang.
Jika bintang dan Bumi semakin jauh, maka paralaksnya akan semakin kecil. Jika kita mengetahui besar paralaks bintang, jarak bintang dengan Matahari dapat ditentukan. Jarak dinyatakan dalam satuan astronomi (SA), dengan 1 SA = 150 juta km. Berdasarkan gambar di bawah, $OE$ merupakan radius orbit Bumi dan $OS$ merupakan jarak bintang terhadap Matahari. Jika jarak Matahari terhadap bintang diketahui, jarak bintang terhadap Bumi juga dapat ditentukan.
Pergeseran posisi tahunan yang terlihat terhadap bintang terdekat disebut dengan heliosentris paralaks. Ketika posisi Bumi di $E_1,$ maka bintang seolah-olah tampak berada di $S_1.$ Enam bulan kemudian ketika posisi Bumi di $E_2,$ bintang seolah-olah berada di $S_2.$ Paralaks bintang tampak sebagai pergeseran posisi yang cukup besar untuk ribuan bintang terdekat. Untuk lebih jelasnya, simak gambar berikut.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Keadaan} & \text{Besar Sudut}~(p^\circ) \\ \hline \text{Paralaks di bulan Januari–Juni} & 15^\circ \\ \hline \text{Paralaks di bulan Juli–Desember} & 20^\circ \\ \hline \end{array}$$Keterangan:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline p & \sin p & \cos p & \tan p \\ \hline 15^\circ & 0,\!25 & 0,\!96 & 0,\!26 \\ \hline 20^\circ & 0,\!34 & 0,\!93 & 0,\!36 \\ \hline \end{array}$$
Soal Nomor 10
Berdasarkan stimulus di atas, pernyataan manakah yang bernilai benar?
- Jarak bintang ke Bumi pada bulan Januari–Juni jika jarak Matahari ke Bumi $1$ SA adalah $400$ juta km.
- Jarak bintang ke Bumi pada bulan Juli–Desember jika jarak Matahari ke Bumi $1$ SA adalah $600$ juta km.
- Jarak bintang ke Bumi pada bulan Januari–Juni jika jarak Matahari ke Bumi $2$ SA adalah $1.200$ juta km.
- Jarak bintang ke Matahari pada bulan Januari–Juni jika jarak Matahari ke Bumi $2$ SA adalah $1.200$ juta km.
- Jarak bintang ke Matahari pada bulan Juli–Desember jika jarak Matahari ke Bumi $2$ SA adalah $435$ juta km.
Perhatikan bahwa garis penghubung Bumi-bintang-Matahari membentuk segitiga siku-siku sehingga hubungan jarak dan besar sudut dapat ditentukan dengan perbandingan trigonometri.
Misalkan jarak Bumi ke Matahari sama dengan $x,$ jarak Matahari ke bintang sama dengan $y,$ dan jarak Bumi ke bintang sama dengan $z.$
Cek Opsi A: Pernyataan Salah
Diketahui $x = 1~\text{SA}$ dan $p^\circ = 15^\circ.$ Untuk mencari jarak bintang ke Bumi $(z),$ gunakan perbandingan sinus.
$$\begin{aligned} \sin p^\circ & = \dfrac{x}{z} \\ \sin 15^\circ & = \dfrac{1}{z} \\ 0,\!25 & = \dfrac{1}{z} \\ z & = \dfrac{1}{0,\!25} = 4~\text{SA} \end{aligned}$$Jadi, jarak bintang ke Bumi adalah $4~\text{SA}$ atau setara dengan $$4 \times 150~\text{juta km} = 600~\text{juta km}.$$Cek Opsi B: Pernyataan Salah
Diketahui $x = 1~\text{SA}$ dan $p^\circ = 20^\circ.$ Untuk mencari jarak bintang ke Bumi $(z),$ gunakan perbandingan sinus.
$$\begin{aligned} \sin p^\circ & = \dfrac{x}{z} \\ \sin 20^\circ & = \dfrac{1}{z} \\ 0,\!34 & = \dfrac{1}{z} \\ z & = \dfrac{1}{0,\!34} \approx 2,9~\text{SA} \end{aligned}$$Jadi, jarak bintang ke Bumi kira-kira $2,9~\text{SA}$ atau setara dengan $$2,\!9 \times 150~\text{juta km} = 435~\text{juta km}.$$Cek Opsi C: Pernyataan Benar
Diketahui $x = 2~\text{SA}$ dan $p^\circ = 15^\circ.$ Untuk mencari jarak bintang ke Bumi $(z),$ gunakan perbandingan sinus.
$$\begin{aligned} \sin p^\circ & = \dfrac{x}{z} \\ \sin 15^\circ & = \dfrac{2}{z} \\ 0,\!25 & = \dfrac{2}{z} \\ z & = \dfrac{2}{0,\!25} = 8~\text{SA} \end{aligned}$$Jadi, jarak bintang ke Bumi adalah $8~\text{SA}$ atau setara dengan $$8 \times 150~\text{juta km} = 1.200~\text{juta km}.$$Cek Opsi D: Pernyataan Salah
Diketahui $x = 2~\text{SA}$ dan $p^\circ = 15^\circ.$ Untuk mencari jarak bintang ke Matahari $(y),$ gunakan perbandingan tangen.
$$\begin{aligned} \tan p^\circ & = \dfrac{x}{y} \\ \tan 15^\circ & = \dfrac{2}{y} \\ 0,\!26 & = \dfrac{2}{y} \\ y & = \dfrac{2}{0,\!26} \approx 7,\!7~\text{SA} \end{aligned}$$Jadi, jarak bintang ke Matahari sekitar $7,7~\text{SA}$ atau setara dengan $$7,\!7 \times 150~\text{juta km} = 1.155~\text{juta km}.$$Cek Opsi E: Pernyataan Salah
Diketahui $x = 2~\text{SA}$ dan $p^\circ = 20^\circ.$ Untuk mencari jarak bintang ke Matahari $(y),$ gunakan perbandingan tangen.
$$\begin{aligned} \tan p^\circ & = \dfrac{x}{y} \\ \tan 20^\circ & = \dfrac{2}{y} \\ 0,\!36 & = \dfrac{2}{y} \\ y & = \dfrac{2}{0,\!36} \approx 5,\!6~\text{SA} \end{aligned}$$Jadi, jarak bintang ke Matahari sekitar $5,\!6~\text{SA}$ atau setara dengan $$5,\!6 \times 150~\text{juta km} = 840~\text{juta km}.$$Jadi, pernyataan yang benar dari lima pilihan yang diberikan adalah pernyataan pada opsi C.
(Jawaban C)
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Seorang siswa akan mengukur tinggi pohon yang berjarak $4\sqrt{3}$ m dari dirinya. Antara mata dengan puncak pohon tersebut terbentuk sudut elevasi $30^{\circ}$. Jika tinggi siswa tersebut terukur sampai mata adalah $1,\!6$ m, berapakah tinggi pohon?
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Misalkan $x$ adalah tinggi pohon terhitung dari titik yang setara dengan mata siswa itu.
Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh
$\begin{aligned} \tan 30^{\circ} & = \dfrac{x} {4\sqrt{3}}\\ x & = 4\sqrt{3} \times \tan 30^{\circ} \\ & = 4\sqrt{3} \times \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ & = \dfrac{4}{\cancel{3}} \times \cancel{3} = 4~\text{m}. \end{aligned}$
Tinggi pohon ($t$) didapat dari jumlah $x$ dengan tinggi siswa (yang terhitung sampai mata), yaitu $t = 4 + 1,\!6 = 5,\!6~\text{m}.$
Jadi, tinggi pohon tersebut adalah $\boxed{5,\!6~\text{meter}}$
Soal Nomor 2
Suatu pesawat terbang dalam keadaan mendatar dengan ketinggian $4.000$ meter dari menara pengawas. Dalam $50$ detik, sudut elevasi pesawat berubah dari $20^{\circ}$ menjadi $52^{\circ}$ dilihat dari puncak menara pengawas. Tentukan kecepatan pesawat itu dalam satuan m/detik (Petunjuk: $\tan 20^{\circ} \approx 0,\!364$, $\tan 52^{\circ} \approx 1,\!23).$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pada $\triangle ACE$, panjang $AC$ dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 20^{\circ} & = \dfrac{CE} {AC} \\ AC & = \dfrac{CE} {\tan 20^{\circ}} \\ AC & \approx \dfrac{4.000}{0,\!364} \approx 10.989~\text{meter}. \end{aligned}$
Pada $\triangle ABD,$ panjang $AB$ juga dapat ditentukan dengan menggunakan tangen, yaitu
$\begin{aligned} \tan 52^{\circ} & = \dfrac{BD} {AB} \\ AB & = \dfrac{BD} {\tan 52^{\circ}} \\ AB & \approx \dfrac{4.000}{1,\!23} \approx 3.252~\text{meter}. \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} BC & = AC-AB \\ & = 10.989-3.252 = 7.737~\text{meter}. \end{aligned}$
Kecepatan pesawat itu adalah
$v = \dfrac{BC} {t} = \dfrac{7.737}{50} = 154,\!74~\text{m/detik}.$
Soal Nomor 3
Perhatikan gambar berikut.
Gambar di atas menunjukkan seorang anak yang berada pada jarak $32$ meter dari kaki sebuah gedung. Ia mengamati puncak gedung dan helikopter di atasnya dengan sudut elevasi masing-masing $30^{\circ}$ dan $45^{\circ}$. Hitunglah tinggi helikopter tersebut dari atas gedung.
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Ketinggian helikopter dari atas gedung adalah panjang $CD$.
Tinjau segitiga $ABC$. Dengan menggunakan konsep tangen, kita peroleh
$\begin{aligned} \tan 30^{\circ} & = \dfrac{BC} {AB} \\ BC & = \tan 30^{\circ} \times AB \\ BC & = \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \times 32 = \dfrac{32}{3}\sqrt{3}~\text{m}. \end{aligned}$
Berikutnya, tinjau segitiga $ABD$. Dengan menggunakan konsep tangen, kita peroleh
$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} & = \dfrac{BD} {AB} \\ BD & = \tan 45^{\circ} \times AB \\ BD & = 1 \times 32 = 32~\text{m}.\end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} CD & = BD-BC \\ & = 32-\dfrac{32}{3}\sqrt{3} \\ & = 32\left(1-\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right)~\text{m}. \end{aligned}$
Jadi, tinggi helikopter dari atas gedung itu adalah $\boxed{32\left(1-\dfrac{1}{3}\sqrt{3}\right)~\text{meter}}$
Soal Nomor 4
Sebuah jalan menghubungkan selatan dan utara. Dari suatu titik pertama pada jalan, suatu bangunan memiliki arah timur $36^{\circ}$ utara dan titik kedua yang berjarak $1$ km dari titik pertama ke arah utara bangunan mempunyai arah selatan $41^{\circ}$ timur. Hitung jarak terpendek dari bangunan ke jalan tersebut.
Asumsikan $\tan 41^{\circ} = 0,\!87$ dan $\tan 36^{\circ} = 0,\!73.$
Permasalahan di atas dapat direpresentasikan oleh sketsa gambar berikut ini.
Jarak terpendek dari bangunan ke jalan adalah panjang garis tinggi $CD$.
Diketahui: $AB = 1~\text{km}.$
Dengan menggunakan konsep tangen pada segitiga $BCD$, diperoleh
$\tan 41^{\circ} = \dfrac{BD} {CD}~~~~~~~(1)$
Selanjutnya, dengan menggunakan konsep tangen pada segitiga $ACD$, diperoleh
$\tan 36^{\circ} = \dfrac{AD} {CD}~~~~~~~(2)$
Dengan menjumlahkan kedua persamaan di atas, diperoleh
$$\begin{aligned} \tan 41^{\circ} + \tan 36^{\circ} & = \dfrac{BD + AD} {CD} \\ 0,\!87 + 0,\!73 & = \dfrac{AB}{CD} \\ 1,\!6 & = \dfrac{1}{CD} \\ CD & = \dfrac{1}{1,\!6} = 0,\!625. \end{aligned}$$Jadi, jarak terpendek dari bangunan ke jalan tersebut adalah $\boxed{0,625~\text{km}}$
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga Menurut Trigonometri
Soal Nomor 5
Sukardi dengan tinggi $180$ cm mengamati puncak gedung dengan sudut elevasi $45^{\circ}$. Ia kemudian berjalan sejauh $12$ meter mendekati gedung. Di posisi tersebut, Sukardi mengamati puncak gedung kembali dengan sudut elevasi $60^{\circ}$. Tentukan tinggi gedung tersebut.
Sketsa gambar berikut merepresentasikan permasalahan di atas.
Misalkan $x$ adalah jarak dari posisi baru Sukardi setelah bergerak sejauh $12$ meter ke gedung itu.
Dengan menggunakan konsep tangen pad segitiga $AOB$, diperoleh
$\begin{aligned} \tan 45^{\circ} & = \dfrac{OB} {AO} \\ OB & = AO \times \tan 45^{\circ} \\ OB & = (12 + x) \times 1 = 12 + x \\ x & = OB-12. \end{aligned}$
Selanjutnya, gunakan konsep tangen pada segitiga $COB.$
$\begin{aligned} \tan 60^{\circ} & = \dfrac{OB} {CO} \\ OB & = CO \times \tan 60^{\circ} \\ OB & = x \times \sqrt{3} = \sqrt{3}x \end{aligned}$
Dengan demikian, kita tuliskan
$$\begin{aligned} OB & = \sqrt{3}(OB- 12) \\ OB & = \sqrt{3}OB- 12\sqrt{3} \\ (\sqrt{3}-1)OB & = 12\sqrt{3} \\ OB & = \dfrac{12\sqrt{3}} {\sqrt{3}-1} \color{red} {\times \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}} \\ OB & = \dfrac{\cancelto{6}{12}\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} {\cancel{3-1}} \\ OB & = 6\sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = 18 + 6\sqrt{3}. \end{aligned}$$Tinggi gedung adalah jumlah dari tinggi Sukardi ($180$ cm = $1,\!8$ m) ditambah panjang $BO$, yaitu $t = 1,\!8 + (18 + 6\sqrt{3}) = 19,\!8 + 6\sqrt{3}.$
Jadi, tinggi gedung itu adalah $\boxed{(19,\!8 + 6\sqrt{3})~\text{meter}}$