Soal dan Pembahasan – Transformasi Geometri (Tingkat SMA/Sederajat)

Transformasi Geometri adalah salah satu materi matematika bidang geometri yang mempelajari perubahan posisi dan ukuran benda dengan menggunakan konsep matematis. Ada 5 macam transformasi geometri yang dipelajari di tingkat SMA, yaitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dilatasi (perubahan ukuran), dan transformasi oleh matriks. Untuk membantu pemahaman siswa/siswi, berikut penulis sajikan sejumlah soal terkait transformasi geometri.
Semoga dapat bermanfaat!

Soal Nomor 1
Diketahui titik P'(3,-13) adalah bayangan titik P oleh translasi T = \begin{pmatrix} -10 \\ 7 \end{pmatrix}. Koordinat titik P adalah …
A. (13,-20)            D. (-5,-4)
B. (13,-4)              E. (-5,-20)
C. (4,20)

Penyelesaian

Konsep translasi: Misalkan titik (x, y) ditranslasikan oleh T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, sehingga koordinat bayangannya adalah
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
Diketahui: P'(3,-13) ditranslasi oleh \begin{pmatrix} -10 \\ 7 \end{pmatrix}, sehingga
\begin{aligned} \begin{pmatrix} 3 \\ -13 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 \\ -13 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} -10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 13 \\ -20 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, koordinat titik P adalah \boxed{(13,-20)}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 2
Bayangan titik P(a,b) oleh rotasi terhadap titik pusat (0,0) sebesar -90\degree adalah P'(-10,-2). Nilai a+2b = \cdots
A. -18       B. -8        C. 8         D. 18        E. 22

Penyelesaian

Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik (x, y) bila dirotasikan pada pusat (0,0) sebesar sudut \theta berlawanan jarum jam adalah
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} 
Untuk (x', y') = (-10,-2) dan \theta = -90\degree, diperoleh
\begin{aligned} \begin{pmatrix} -10 \\ -2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos (-90\degree) & -\sin (-90\degree) \\ \sin (-90\degree) & \cos (-90\degree) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -10 \\ -2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -10 \\ -2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix} \end{aligned}
Diperoleh y = -10 dan x = 2. Dengan demikian, koordinat titik P adalah (2, -10). Untuk itu, a=2 dan b=-10, sehingga \boxed{a+2b=2+2(-10)=-18}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Bayangan titik A dengan A(-1,4) jika direfleksikan terhadap garis y=-x adalah …
A. A'(4,1)                D. A'(4,3)
B. A'(-4,1)              E. A'(-4,-1)
C. A'(4,-1)

Penyelesaian

Apabila titik A(x, y) direfleksikan terhadap garis y = -x, maka bayangan titik A adalah A' = (-y, -x)
Jadi, bayangan titik A(-1,4) adalah A'(-4,1) (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 4
Bayangan titik P(5,4) jika didilatasikan terhadap pusat (-2,-3) dengan faktor skala -4 adalah …
A. (-30,-31)                D. (-14,-1)
B. (-30,7)                   E. (-14,-7)
C. (-26,-1)

Penyelesaian

Diketahui P(x, y) = P(5,4). Pusat dilatasi di (a, b) = (-2,-3) dan k = -4
Misalkan bayangan titik P berada di koordinat (x', y'), maka
\begin{aligned} x' & = k(x-a) + a \\ & = -4(5 -(-2)) + (-2) \\ & = -4(7)-2 = -30 \end{aligned}
\begin{aligned} y' & = k(y-b) + b \\ & = -4(4-(-3)) - 3 \\ & = -4(7)-3= -31 \end{aligned}
Jadi, koordinat bayangan titik P adalah (-30,-31) (Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Titik B(3,-2) dirotasikan sebesar 90\degree terhadap titik pusat P(-1,1). Bayangan titik B adalah …
A. B'(-4,3)             D. B'(1,4)
B. B'(-2,1)             E. B'(2,5)
C. B'(-1,2)

Penyelesaian

Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik (x, y) bila dirotasikan pada pusat (a, b) sebesar sudut \theta berlawanan jarum jam adalah
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} 
Untuk (x, y) = (3,-2) dan rotasi dengan pusat (-1,1) sebesar \theta = 90\degree, diperoleh
\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90\degree & -\sin 90\degree \\ \sin 90\degree & \cos 90\degree \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3-(-1) \\ -2-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, koordinat bayangan titik B adalah \boxed{B'(2,5)}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 6
Bayangan titik P(2,-3) oleh rotasi R[O,90\degree] adalah …
A. P'(3,2)             D. P'(-3,2)
B. P'(2,3)             E. P'(-3,-2)
C. P'(-2,3)

Penyelesaian

Konsep rotasi:
Koordinat bayangan titik (x, y) bila dirotasikan pada pusat (0,0) sebesar sudut \theta berlawanan jarum jam adalah
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} 
Untuk (x, y) = (2,-3) dan rotasi dengan pusat di titik asal sebesar \theta = 90\degree, diperoleh
\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90\degree & -\sin 90\degree \\ \sin 90\degree & \cos 90\degree \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}
Jadi, koordinat bayangan titik P adalah \boxed{P'(3,2)}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 7
Diketahui koordinat titik P(-8,12). Dilatasi [P,1] memetakan titik (-4,8) ke titik …
A. (-4,8)               D. (4,-16)
B. (-4,16)             E. (4,-8)
C. (-4,-8)

Penyelesaian

Konsep dilatasi: Jika titik (x,y) didilatasikan dengan pusat (a,b) dan faktor skala k, maka bayangan titiknya berada di koordinat (k(x-a)+a, k(y-b)+b).
Bayangan titik (-4, 8)) setelah didilatasikan dengan pusat (-8, 12) dan faktor skala 1 adalah
(1(-4-(-8))+(-8), 1(8-12)+12) = (-4, 8) 
Dilatasi [P,1] memetakan titik (-4,8) ke titik \boxed{(-4, 8)}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 8
Bayangan titik B(4,8) direfleksikan terhadap sumbu X kemudian dilanjutkan dengan dilatasi \left[O, \dfrac{1}{2}\right] adalah \cdots
A. (-2, 4)                  D. (-8, 4)
B. (2, -4)                  E. (-8, -4)
C. (8, -2)

Penyelesaian

Konsep dilatasi: Jika titik (x,y) didilatasikan dengan pusat (0,0) dan faktor skala k, maka bayangan titiknya berada di koordinat (kx, ky).
Konsep refleksi: Jika titik (x, y) direfleksikan (dicerminkan) terhadap sumbu X, maka bayangan titiknya berada di koordinat (x,-y).
Untuk itu, dapat dibuat skema panah dari proses refleksi terhadap sumbu X terhadap titik B berikut.
B(4, 8) \xrightarrow{R_X} B'(4, -8)
Selanjutnya, buatlah skema panah proses dilatasi terhadap titik B seperti berikut.
B'(4, -8) \xrightarrow{D\left[O, \dfrac{1}{2}\right]} P'(\dfrac{1}{2} \times 4, \dfrac{1}{2} \times -8) = P''(2, -4)
Jadi, koordinat bayangan titik B adalah (2, -4) (Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Diketahui koordinat titik T(-1,5). Bayangan titik T oleh transformasi yang diwakili oleh matriks \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, dilanjutkan refleksi terhadap garis x = 8 adalah \cdots
A. T'(30, -7)               D. T'(3, -7)
B. T'(19, 23)                E. T'(-3, -7)
C. T'(19, -22)

Penyelesaian

Bayangan titik T(-1, 5) oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema:
\begin{aligned} T\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}} & T'\left[\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \right] \\ & = T' \begin{pmatrix} -4(-1) + 3(5) \\ 2(-1) + (-1)(5) \end{pmatrix} \\ & = T'\begin{pmatrix} 19 \\ -7 \end{pmatrix} \end{aligned}
Transformasi titik dilanjutkan oleh refleksi terhadap garis \color{red} {x=8} sehingga diperoleh
\begin{aligned} T'\begin{pmatrix} 19 \\ -7 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{x = -8}} & T''\begin{pmatrix} 2(\begingroup \color{red} 8 \endgroup)- 19 \\ -7 \end{pmatrix} \\ & = T''\begin{pmatrix} -3 \\ -7 \end{pmatrix} \end{aligned} 
Jadi, koordinat bayangan titik T adalah \boxed{(-3, -7)}
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Segitiga KLM dengan K(6,4), L(-3, 1), M(2, -2) didilatasi dengan pusat (-2, 3) dan faktor skala 4. Koordinat bayangan \triangle KLM adalah \cdots
A. K(30, 7), L(-6, -5), M(14, -17)
B. K(30, 7), L(-6, -5), M(10, -12)
C. K(30, 7), L(-3, -7), M(14, -17)
D. K(7, 24), L(-5, -6), M(14, 8)
E. K(7, 24), L(-6, -5), M(7, 30)

Penyelesaian

Konsep dilatasi: Jika titik (x,y) didilatasikan dengan pusat (a,b) dan faktor skala k, maka bayangan titiknya berada di koordinat (k(x-a)+a, k(y-b)+b).
Bayangan titik K(6, 4) setelah didilatasikan dengan pusat (-2, 3) dan faktor skala 4 adalah

K'(4(6+2)-2, 4(4-3)+3) = K'(30, 7)
Bayangan titik L(-3, 1) setelah didilatasikan dengan pusat (-2, 3) dan faktor skala 4 adalah
L'(4(-3+2)-2, 4(1-3)+3) = L'(-6, -5)
Bayangan titik M(2, -2) setelah didilatasikan dengan pusat (-2, 3) dan faktor skala 4 adalah
M'(4(2+2)-2, 4(-2-3)+3) = M'(14, -17)
Jadi, koordinat bayangan \triangle KLM adalah \boxed{K(30, 7), L(-6, -5), M(14, -17)} (Jawaban A) 

[collapse]

Soal Nomor 11
Segitiga ABC dengan titik A(-2,3), B(2,3), dan C(0,-4) didilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 4. Luas segitiga setelah didilatasi adalah … 
A. 120                 D. 480
B. 240                 E. 600
C. 280               

Penyelesaian

Konsep dilatasi: Jika titik (x,y) didilatasikan dengan pusat (0,0) dan faktor skala k, maka bayangan titiknya berada di koordinat (kx, ky).
Bayangan titik A(-2,3) setelah didilatasikan dengan pusat (0,0 ) dan faktor skala 4 adalah
A'(4(-2), 4(3)) = (-8, 12)
Bayangan titik B(2,3) setelah didilatasikan dengan pusat (0,0) dan faktor skala 4 adalah
B'(4(2), 4(3)) = (8, 12)
Bayangan titik C(0,-4) setelah didilatasikan dengan pusat (0,0) dan faktor skala 4 adalah
C'(4(0), 4(-4)) = (0, -16) 
Gambarkan ketiga bayangan titik tersebut dalam sistem koordinat Kartesius, lalu hubungkan sehingga terbentuk segitiga.

Segitiga tersebut memiliki luas
L = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{16 \times 30}{2} = 240
(Jawaban B) 

[collapse]

Soal Nomor 12
Suatu vektor \overline{a} = (-3,4) berturut-turut merupakan pencerminan terhadap garis y=x dan rotasi sebesar 90\degree searah jatum jam. Vektor awalnya sebelum ditransformasi adalah \cdots
A. (3,4)               D. (4,-3)
B. (-3,-4)           E. (-3,4)
C. (-4,3)

Penyelesaian

Misalkan vektor awalnya adalah (a, b), maka pencerminan terhadap garis y = x dapat dinyatakan dalam skema berikut. 
\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \xrightarrow{M_{y=x}} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}
Transformasi dilanjutkan oleh rotasi sebesar 90\degree searah jarum jam, sama artinya dengan 270\degree berlawanan arah jarum jam, sehingga dapat dibuat skema berikut. 
\begin{aligned} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \xrightarrow{R[O, 270\degree]} & \begin{pmatrix} \cos 270\degree & -\sin 270\degree \\ \sin 270\degree & \cos 270\degree \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a \\ -b \end{pmatrix} \end{aligned}
Diperoleh hasil transformasi vektor berbentuk (a, -b). Karena diketahui vektor \overline{a} = (-3,4) merupakan hasil transformasinya, maka diperoleh a=-3 dan b=-4
Jadi, vektor awalnya adalah \boxed{\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 13
Jika persamaan garis lurus y = 2x+3, maka persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (3, 2) adalah \cdots
A. y = 3x                        D. y = 2x - 4
B. y = 2x + 6                  E. y = 2x - 1
C. y = 2x - 6

Penyelesaian

Ambil satu titik yang dilalui garis itu, misalkan titik (x,y). Koordinat bayangan titik ini setelah ditranslasikan oleh T(3, 2) ditunjukkan oleh skema panah berikut.
(x, y) \xrightarrow{T(3, 2)} (x+3, y+2)
Dengan demikian, dapat ditulis x' = x + 3 dan y' = y + 2, atau

\begin{cases} x = x' - 3 \\ y = y' - 2 \end{cases}
Substitusikan kedua bentuk ini pada persamaan garis y=2x+3.
\begin{aligned} y & = 2x + 3 \\ y' - 2 & = 2(x'-3) + 3 \\ y' & = 2x' - 6 + 3 + 2 \\  y' & = 2x' - 1 \end{aligned}
Jadi, bayangan garis y = 2x+3 setelah ditranslasikan oleh T(3,2) adalah \boxed{y=2x-1}  (Jawaban E)   

[collapse]

Soal Nomor 14
Persamaan bayangan garis 2x+y-1=0 ditransformasikan oleh matriks \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu-X adalah \cdots
A. 3x+y-1=0
B. 5x-y+1=0
C. 3x+y+1=0
D. 5x+y-1=0
E. 5x+y+1=0

Penyelesaian

Bayangan titik (x, y) oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema:
\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = \left[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right] \\ & = \begin{pmatrix} x + y \\ x + 2y \end{pmatrix} \end{aligned}
Transformasi titik dilanjutkan oleh pencerminan (refleksi) terhadap sumbu-X sehingga diperoleh
\begin{aligned} \begin{pmatrix} x + y \\ x + 2y \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{x}} \begin{pmatrix} x + y \\ -x - 2y \end{pmatrix} \end{aligned} 
Diperoleh x'' = x + y dan y'' = -x - 2y
Dengan menggunakan konsep penyelesaian SPLDV, diperoleh 
\begin{cases} -y = x'' + y'' \\ x = 2x'' + y'' \end{cases}
Substitusikan ke 2x+y-1=0, sehingga diperoleh
\begin{aligned} 2(2x'' + y'') - (x'' + y'') - 1 & = 0 \\ 3x'' + y'' - 1 & = 0 \end{aligned}
Dengan menghilangkan tanda double aksen, diperole persamaan bayangan garisnya, yakni \boxed{3x+y-1=0}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 15
Bayangan garis 3x-y+2=0 apabila dicerminkan terhadap garis y=x dan dilanjutkan dengan rotasi sebesar 90\degree dengan pusat (0,0) adalah \cdots
A. 3x+y+2=0
B. 3x+y-2=0
C. -3x+y+2=0
D. -x+3y+2=0
E. x-3y+2=0

Penyelesaian

Bayangan titik (x, y) oleh refleksi terhadap garis y = x dapat dinyatakan oleh skema:
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{y=x}} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} 
Transformasi titik kemudian dilanjutkan oleh rotasi sebesar 90\degree dengan pusat O:
\begin{aligned} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \xrightarrow{R[O, 90\degree]} & \begin{pmatrix} \cos 90\degree & -\sin 90\degree \\ \sin 90\degree & \cos 90\degree \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned}
Diperoleh x'' = -x dan y''= y
Substitusikan ke 3x-y+2=0, diperoleh
3(-x'') - y'' + 2 = 0 \Leftrightarrow 3x'' + y'' - 2 = 0
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan garisnya, yakni \boxed{3x+y-2=0}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 16
Garis 3x+2y=6 ditranslasikan oleh T (3, -4), lalu dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2. Hasil bayangan transformasinya adalah \cdots
A. 3x+2y=14         D. 3x+y=7
B. 3x+2y=7           E. x+3y=14
C. 3x+y=14

Penyelesaian

Misalkan titik (x, y) ditranslasikan oleh T(3, -4), sehingga diperoleh
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{T(3, -4)} \begin{pmatrix} x + 3 \\ y - 4 \end{pmatrix}
Transformasi titik dilanjutkan oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2, sehingga diperoleh
\begin{pmatrix} x + 3 \\ y - 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{D[O, 2]} \begin{pmatrix} 2x + 6 \\ 2y - 8 \end{pmatrix}
Diperoleh:
\begin{cases} x'' = 2x + 6 \Leftrightarrow x = \dfrac{x''-6}{2} \\ y'' = 2y - 8 \Leftrightarrow y = \dfrac{y''+8}{2} \end{cases}
Substitusikan ke 3x+2y=6 untuk mendapatkan
\begin{aligned} 3\left(\dfrac{x''-6}{2}\right) + 2\left(\dfrac{y''+8}{2}\right) & = 6 \\ \text{Kali kedua ruas dengan 2}& \\ 3(x'' - 6) + 2(y'' + 8) & = 12 \\ 3x'' - 18 + 2y'' + 16 & = 12 \\ 3x'' + 2y'' & = 14 \end{aligned}
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan garisnya adalah \boxed{3x+2y=14}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 17
Garis y=2x-3 ditranslasikan oleh T = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}. Persamaan bayangan garis tersebut adalah …
A. y=2x+4          D. y=-2x+4
B. y=2x-4           E. y=-2x-3
C. y=2x-3

Penyelesaian

Konsep translasi: Misalkan titik (x, y) ditranslasikan oleh T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, sehingga koordinat bayangannya adalah
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} 
Untuk T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}, diperoleh
\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x' + 2\\ y' - 3\end{pmatrix} \end{aligned}
Substitusikan x = x'+2 dan y =y'-3 pada y=2x-3, sehingga diperoleh
\begin{aligned} y'-3 & = 2(x'+2)-3 \\ y'-3 & =2x'+1 \\ y' & = 2x'+4 \end{aligned}
Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah \boxed{y=2x+4}
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 18
Bayangan kurva y=x^2+3x+3 jika dicerminkan terhadap sumbu-X dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah \cdots
A. x^2+9x-3y+27=0
B. x^2+9x+3y+27=0 
C. 3x^2+9x-y+27=0
D. 3x^2+9x+y+27=0
E. 3x^2+9x+27=0

Penyelesaian

Hasil pencerminan terhadap sumbu-X dapat dinyatakan dalam skema berikut. 
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{M_{\text{Sumbu}~X}} \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix} 
Hasil dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 dapat dinyatakan dalam skema berikut. 
\begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix} \xrightarrow{D[O, 3]} \begin{pmatrix} 3x \\ -3y \end{pmatrix}
Diperoleh x'' = 3x dan y'' = -3y, sehingga ditulis \begin{cases} x = \dfrac13x'' \\ y = -\dfrac13y'' \end{cases}
Substitusikan ke y=x^2+3x+3, sehingga didapat
\begin{aligned}& -\dfrac13y'' = \left(\dfrac13x''\right)^2 + 3\left(\dfrac13x''\right) + 3 \\ & \text{Kali kedua ruas dengan 9} \\ & -3y'' = (x'')^2 + 9x'' + 27 \\ & (x'')^2 + 9x'' + 3y'' + 27 = 0 \end{aligned}
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan kurvanya, yakni \boxed{x^2 + 9x + 3y + 27 = 0}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 19
Kurva y = x^2+3 didilatasikan dengan pusat P(-1,2) dan faktor skala 3, lalu dirotasikan sejauh -\dfrac12 \pi dengan pusat O(0,0). Persamaan bayangan kurva tersebut adalah \cdots
A. 3y=x^2+4x+19
B. 3x=y^2+4y+19
C. y=x^2+4x+19
D. x=y^2 + 4y + 19
E. x=y^2+19

Penyelesaian

Misalkan titik (x, y) didilatasikan dengan pusat P(-1, 2) dan faktor skala 3, maka dapat dibuat skema transformasi seperti berikut. 
T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{D[P(-1,2), 3]} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}
dengan
\begin{aligned} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} & = k\begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ & = 3 \begin{pmatrix} x-(-1)\\ y - 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3x + 2\\ 3y - 4\end{pmatrix} \end{aligned}
Transformasi titik (x', y') dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat O sebesar -\dfrac12\pi radian atau -90\degree, sehingga dapat dibuat skema transformasi berikut. 
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \xrightarrow{R[O, -90\degree]} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix}
dengan
\begin{aligned} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos (-90\degree) & -\sin (-90\degree) \\ \sin (-90\degree) & \cos (-90\degree) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3x+2 \\ 3y-4 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3y-4 \\ -3x-2\end{pmatrix} \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh
\begin{cases} x'' = 3y - 4 \Leftrightarrow y = \dfrac{x'' + 4}{3} \\ y'' = -3x-2 \Leftrightarrow x =\dfrac{y'' + 2}{-3} \end{cases}
Substitusikan nilai x, y pada persamaan kurva y = x^2+3, sehingga diperoleh
\begin{aligned} \dfrac{x''+4}{3} & = \left(\dfrac{y''+2}{-3}\right)^2+3 \\ \text{Kali kedua ruas}~&\text{dengan 9} \\ 3(x''+4) = & (y''+2)^2 + 27 \\ 3x'' + 12 & = (y'')^2 + 4y'' + 31 \\ 3x'' & = (y'')^2 + 4y'' + 19 \end{aligned}
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan kurvanya, yaitu \boxed{3x = y^2+4y+19}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 20
Transformasi T merupakan pencerminan terhadap garis y=\dfrac13x dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = -3x. Matriks penyajian T adalah \cdots
A. \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}           D. \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
B. \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}          E. \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
C. \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Penyelesaian

Pencerminan terhadap garis y = mx dapat diwakili oleh matriks penyajian berbentuk \begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & m \end{pmatrix}
Untuk pencerminan terhadap garis y = \dfrac13x, matriks penyajiannya berupa
T_1 = \begin{pmatrix} \dfrac13 & 0 \\ 0 & \dfrac13 \end{pmatrix}
Untuk pencerminan terhadap garis y = \-3x, matriks penyajiannya berupa
T_1 = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}
Dengan demikian, matriks penyajian T dinyatakan oleh
\begin{aligned} T & = T_2 \cdot T_1 \\ & = \begin{pmatrix} \dfrac13 & 0 \\ 0 & \dfrac13 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 21
Sebuah mesin fotokopi dapat membuat salinan gambar/tulisan dengan ukuran berbeda. Suatu gambar persegi panjang difotokopi dengan setelan tertentu. Jika setelan tersebut dapat disamakan dengan proses transformasi terhadap matriks \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, kemudian didilatasi dengan titik pusat (0,0) dan faktor skala 3, maka luas gambar persegi panjang itu akan menjadi \cdots kali dari luas semula. 
A. 12       B. 18       C. 24       D. 30        E. 36

Penyelesaian

Perhatikan bahwa penyajian matriks untuk dilatasi berpusat di O dan faktor skala 3 adalah \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}
Diketahui:
T_1 =\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}~~~~T_2 =\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} 
Transformasi oleh kedua matriks tersebut dinyatakan oleh
\begin{aligned} T_2 \cdot T_1 & = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 12 & 9 \end{pmatrix} \end{aligned}
Luas gambar yang baru dinyatakan oleh
\begin{aligned} L & = \left|\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 12 & 9 \end{pmatrix}\right| \times~\text{Luas Awal} \\ & = \left|54-36\right| \times~\text{Luas Awal} \\ & = 18 \times~\text{Luas Awal} \end{aligned}
Jadi, luas gambar persegi panjang itu akan menjadi \boxed{18 \times~\text{Luas Awal}} 
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 22
Sebuah kamera memproses gambar dengan mentransformasikan gambar tersebut terhadap matriks \begin{pmatrix} \frac14 & \frac58 \\ \frac12 & 2 \end{pmatrix}. Selanjutnya, gambar tersebut ditransformasi lagi terhadap matriks \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}. Jika kamera tersebut mengambil gambar suatu benda dengan luas 32~\text{cm}^2, maka luas benda hasil potretan adalah \cdots
A. 24~\text{cm}^2            D. 36~\text{cm}^2
B. 28~\text{cm}^2            E. 40~\text{cm}^2
C. 34~\text{cm}^2

Penyelesaian

Diketahui:
T_1 = \begin{pmatrix} \frac14 & \frac58 \\ \frac12 & 2 \end{pmatrix}~~~~T_2 = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}
Transformasi oleh kedua matriks tersebut dinyatakan oleh
\begin{aligned} T_2 \cdot T_1 & = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac14 & \frac58 \\ \frac12 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \frac32 & \frac92 \\ \frac52 & 7 \end{pmatrix} \end{aligned}
Luas benda hasil potretan dinyatakan oleh
\begin{aligned} L & = \left|\begin{vmatrix} \frac32 & \frac92 \\ \frac52 & 7 \end{vmatrix}\right| \times~\text{Luas Gambar} \\ & = \left|\dfrac{21}{2} - \dfrac{45}{4}\right| \times 32~\text{cm}^2 \\ & = \left|-\dfrac34\right| \times 32~\text{cm}^2 = 24~\text{cm}^2 \end{aligned}
Jadi, luas benda hasil potretan adalah \boxed{24~\text{cm}^2} 
(Jawaban A)

[collapse]

Ayo Beri Rating Postingan Ini