Soal dan Pembahasan – Asimtot Fungsi Aljabar

Diketahui fungsi $f$ dengan $f(x) = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-4x+3}.$ Akan diperiksa asimtot vertikal dan asimtot horizontal dari fungsi rasional tersebut.
Asimtot Vertikal:
Perhatikan bahwa $$f(x) = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-4x+3} = \dfrac{(x-2)(x-5)}{(x-1)(x-3)}.$$Pembilang dan penyebut fungsi rasional tersebut tidak memiliki faktor bersama. Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebutnya tersebut sama dengan nol.
$$\begin{aligned} x^2-4x+3 & = 0 \\ (x-1)(x-3) & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $f$ memiliki dua asimtot vertikal, yakni $x = 1$ dan $x = 3.$
Asimtot Horizontal:
Diketahui $f(x) = \dfrac{\color{blue}{1x^2}-7x+10}{\color{red}{1x^2}-4x+3}.$
Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{1}{1} = 1.$ Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni $y = 1.$
(Jawaban C)

Diketahui $y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}.$ Akan diperiksa asimtot yang dimiliki oleh fungsi rasional tersebut.
Asimtot Vertikal:
Jelas bahwa pembilang dan penyebut fungsi rasional itu tidak memiliki faktor bersama. Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. Dengan kata lain, kita mencari penyelesaian dari persamaan $x^2 + 1 = 0,$ padahal persamaan ini tidak memiliki penyelesaian real (tidak ada nilai $x$ yang memenuhi). Jadi, fungsi rasional tersebut tidak memiliki asimtot vertikal.
Asimtot Horizontal:
Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{1x^2}}{\color{red}{1x^2}+1}.$
Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{1}{1} = 1.$ Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni $y = 1.$
Asimtot Miring:
Suatu fungsi rasional memiliki asimtot miring jika derajat pembilangnya satu lebih tinggi dari derajat penyebutnya. Karena kondisi ini tidak terpenuhi untuk fungsi rasional $y = \dfrac{x^2}{x^2+1},$ disimpulkan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki asimtot miring.
Jadi, fungsi $y = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}$ hanya memiliki satu asimtot.
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa $$f(x) = \dfrac{2x-8}{x^2-7x+12} = \dfrac{2(x-4)}{(x-3)(x-4)}.$$ $(x-4)$ merupakan faktor bersama bagi pembilang dan penyebut fungsi rasional itu.
Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol.
$$\begin{aligned} x^2-7x+12 & = 0 \\ (x-3)(x-4) & = 0 \\ x = 3~\text{atau}~x & = 4 \end{aligned}$$Namun, karena $(x-4)$ merupakan faktor bersama, $x = 4$ bukanlah asimtot vertikal.  Jadi, fungsi $f$ hanya memiliki satu asimtot vertikal, yakni $x = 3.$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x) = \dfrac{x^2+3x+3}{x+1}.$ Tampak bahwa derajat pembilang satu lebihnya dari derajat penyebut (pembilang: 2 dan penyebut: 1) sehingga fungsi tersebut memiliki asimtot miring. Asimtot miringnya diwakili oleh hasil bagi ketika kita membagi $x^2 + 3x + 3$ dengan $x + 1$ (bisa menggunakan skema pembagian bersusun, metode Horner, atau yang lainnya). Berikut ini kita gunakan skema pembagian bersusun.
Diperoleh hasil baginya adalah $x + 2.$ Jadi, dapat disimpulkan bahwa asimtot miringnya adalah $\boxed{y = x + 2}$
(Jawaban E)

Diketahui $g(x) = \dfrac{3x^5+x^4+2x^2+1}{x^4+3}.$ Tampak bahwa derajat pembilang satu lebihnya dari derajat penyebut (pembilang: 5 dan penyebut: 4) sehingga fungsi tersebut memiliki asimtot miring. Asimtot miringnya diwakili oleh hasil bagi ketika kita membagi $3x^5+x^4+2x^2+1$ dengan $x^4 + 3$ (bisa menggunakan skema pembagian bersusun atau yang lainnya). Berikut ini kita gunakan skema pembagian bersusun.

Diperoleh hasil baginya adalah $3x + 1.$ Jadi, dapat disimpulkan bahwa asimtot miringnya adalah $\boxed{y = 3x + 1}$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x) = \dfrac{x^3+2x+1}{x^3-x}.$ Akan diperiksa asimtot vertikal dan horizontal yang dimiliki oleh fungsi rasional tersebut.
Asimtot Vertikal:
Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. $$\begin{aligned} x^3-x & = 0 \\ x(x^2-1) & = 0 \\ x(x+1)(x-1) & = 0 \end{aligned}$$Diperoleh penyelesaiannya adalah $x = -1, 0, 1.$ Jadi, fungsi tersebut memiliki tiga asimtot vertikal, yakni $x = -1$, $x = 0$, dan $x = 1.$
Asimtot Horizontal:
Diketahui $f(x) = \dfrac{\color{blue}{x^3}+2x+1}{\color{blue}{x^3}-x}.$
Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi itu sama-sama berderajat tiga. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{1}{1} = 1.$ Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni $y = 1.$
Jadi, fungsi tersebut memiliki asimtot vertikal $x = -1$, $x = 0$, dan $x = 1$, sedangkan asimtot horizontalnya adalah $y = 1.$
(Jawaban D)

Diketahui $f(x) = \dfrac{6}{x^2-4}.$ Akan diperiksa asimtot yang dimiliki oleh fungsi rasional tersebut.
Asimtot Vertikal:
Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. $$\begin{aligned} x^2-4 & = 0 \\ (x-2)(x+2) & = 0 \\ x = 2~\text{dan}~x & = -2 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $f$ memiliki dua asimtot vertikal, yakni $x = \pm 2.$
Asimtot Horizontal:
Tampak bahwa derajat pembilang lebih rendah dibandingkan derajat penyebut (pembilang: 0 dan penyebut: 2) sehingga dapat langsung disimpulkan bahwa asimtot horizontal fungsi rasional tersebut adalah sumbu $X$ atau persamaan $y = 0.$
Asimtot Miring:
Suatu fungsi rasional memiliki asimtot miring jika derajat pembilangnya satu lebih tinggi dari derajat penyebutnya. Karena kondisi ini tidak terpenuhi untuk fungsi rasional $f(x) = \dfrac{6}{x^2-4},$ maka disimpulkan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki asimtot miring.
Jadi, grafik $f(x) = \dfrac{6}{x^2-4}$ memiliki sumbu $X$ sebagai asimtot horizontal dan $x = \pm 2$ sebagai asimtot vertikal.
(Jawaban C)

Hanya fungsi rasional (fungsi pecahan) yang memiliki asimtot horizontal. Syaratnya adalah derajat pembilang lebih rendah atau sama dengan derajat penyebutnya.
Cek Opsi A:
Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{x}-5}{\color{blue}{x}+5}.$ Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat satu. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{1}{1} = 1.$ Jadi, fungsi itu memiliki asimtot horizontal $y = 1.$
Cek Opsi B:
Diketahui $y = 5x.$ Fungsi ini bukan fungsi rasional (melainkan fungsi linear) sehingga tidak memiliki asimtot.
Cek Opsi C:
Diketahui $y = \dfrac{1}{x-5}.$ Tampak bahwa derajat pembilang lebih rendah dibandingkan derajat penyebut (pembilang: 0 dan penyebut: 1) sehingga dapat langsung disimpulkan bahwa asimtot horizontal fungsi rasional tersebut adalah sumbu $X$ atau persamaan $y = 0.$
Cek Opsi D:
Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{5x}}{1\color{blue}{-x}}.$ Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat satu. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{5}{-1} = -5.$ Jadi, fungsi itu memiliki asimtot horizontal $y = -5.$
Cek Opsi E:
Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{20x^2}-x}{1+\color{blue}{4x^2}}.$ Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi $f$ sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{20}{4} = 5.$ Jadi, fungsi itu memiliki asimtot horizontal $y = 5.$
Jadi, $y = 5$ adalah asimtot horizontal dari fungsi $\boxed{y = \dfrac{20x^2-x}{1+4x^2}}$
(Jawaban E)

Hanya fungsi rasional yang memiliki asimtot vertikal. Asimtot vertikal ditemukan ketika kita membuat penyebut sama dengan nol.
Cek Opsi A:
Diketahui $y = \dfrac{x+2}{x^2-3} = \dfrac{x+2}{(x+\sqrt3)(x-\sqrt3)}.$ Bentuk terakhir sudah paling sederhana karena tidak memiliki faktor bersama pada pembilang dan penyebutnya. Diperoleh asimtot vertikalnya adalah $x = -\sqrt3$ dan $x = \sqrt3.$
Cek Opsi B:
Diketahui $y = \dfrac{x}{(x-2)^2}.$ Bentuk ini sudah paling sederhana karena tidak memiliki faktor bersama pada pembilang dan penyebutnya. Diperoleh asimtot vertikalnya adalah $x = 2.$
Cek Opsi C:
Diketahui
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{x^2-9}{x+3} \\ y & = \dfrac{\cancel{(x + 3)}(x-3)}{\cancel{x+3}} \\ y & = x-3 && x \neq -3 \end{aligned}$$Jadi, fungsi ini bukanlah fungsi rasional, melainkan fungsi linear yang tidak terdefinisi di $x = -3.$ Ini artinya, fungsi ini tidak memiliki asimtot vertikal.
Cek Opsi D:
Diketahui $y = -\dfrac{3}{x}.$ Bentuk ini sudah paling sederhana karena tidak memiliki faktor bersama pada pembilang dan penyebutnya. Diperoleh asimtot vertikalnya adalah $x = 0.$
Cek Opsi E:
Diketahui $y = \dfrac{x-3}{x^2-4} = \dfrac{x-3}{(x+2)(x-2}.$ Bentuk terakhir sudah paling sederhana karena tidak memiliki faktor bersama pada pembilang dan penyebutnya. Diperoleh asimtot vertikalnya adalah $x = -2$ dan $x = 2.$
Jadi, fungsi yang tidak memiliki asimtot vertikal adalah $\boxed{y = \dfrac{x^2-9}{x+3}}$
(Jawaban C)

Diketahui $y = \dfrac{2x^2+4}{2+7x-4x^2}.$ Akan diperiksa asimtot yang dimiliki oleh fungsi rasional tersebut.
Asimtot Vertikal:
Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol. $$\begin{aligned} 2 + 7x-4x^2 & = 0 \\ 4x^2-7x-2 & = 0 \\ (4x+1)(x-2) & = 0 \\ x = -\dfrac14~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Jadi, fungsi tersebut memiliki dua asimtot vertikal, yakni $x = -\dfrac14$ dan $x = 2.$
Asimtot Horizontal:
Diketahui $y = \dfrac{\color{blue}{2x^2}+4}{2+7x\color{blue}{-4x^2}}.$
Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi itu sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis $y = \dfrac{2}{-4} = -\dfrac12.$ Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni $y = -\dfrac12.$
Asimtot Miring:
Suatu fungsi rasional memiliki asimtot miring jika derajat pembilangnya satu lebih tinggi dari derajat penyebutnya. Karena kondisi ini tidak terpenuhi untuk fungsi rasional itu, disimpulkan bahwa fungsi tersebut tidak memiliki asimtot miring.
Berdasarkan opsi yang ada, pernyataan yang benar adalah garis $x = -\dfrac14$ sebagai asimtot vertikal.
(Jawaban A)

Diketahui bahwa fungsi $f$ yang akan dibuat adalah fungsi rasional.
Persamaan asimtot vertikal adalah $x = 2$, artinya ada faktor $(x-2)$ pada penyebut. Untuk sementara, kita tuliskan
$$f(x) = \dfrac{1}{x-2}$$Persamaan asimtot horizontal adalah $y = 8.$ Dengan menyamakan derajat pembilang dan penyebut, kita dapat tuliskan
$$f(x) = \dfrac{8x}{x-2}$$atau bisa juga berbentuk
$$f(x) = \dfrac{x}{x-2} + 8$$Kurva tidak kontinu pada titik $(3, 9)$, artinya pembilang dan penyebut sama-sama memiliki faktor $(x-3).$ Dengan menyesuaikan opsi pilihan ganda yang diberikan, kita peroleh bahwa fungsi
$$f(x) = \dfrac{x-3}{(x-3)(x-2)} + 8$$memenuhi ketiga kriteria tersebut.
(Jawaban C)

Cek Opsi A:
Diberikan $y = \dfrac{3x^2-6x+9}{x^2+3x+2}.$
Dapat kita faktorkan menjadi
$$ y = \dfrac{3(x^2-2x+3)}{(x+2)(x+1)}$$Dari penyebut, kita ketahui bahwa asimtot vertikalnya ada dua, yaitu $x = -2$ dan $x = -1.$ Karena pembilang dan penyebut berderajat sama, asimtot horizontalnya merupakan hasil bagi koefisien derajat tertinggi pembilang dan penyebut, yaitu $y = \dfrac31 = 3.$
Jadi, kriteria tidak terpenuhi.
Cek Opsi B:
Diberikan $y = \dfrac{3}{x-2}.$
Jelas dari penyebut, asimtot vertikalnya adalah $x = 2.$ Karena derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, asimtot horizontalnya adalah $y = 0.$
Jadi, kriteria tidak terpenuhi.
Cek Opsi C:
Diberikan $y = \dfrac{x+3}{x^2-4}.$
Dapat kita faktorkan menjadi
$$y = \dfrac{x+3}{(x+2)(x-2)}$$Dari penyebut, kita ketahui bahwa asimtot vertikalnya ada dua, yaitu $x = -2$ dan $x = 2.$ Karena derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut, asimtot horizontalnya adalah $y = 0.$
Jadi, kriteria tidak terpenuhi.
Cek Opsi D:
Diberikan $y = \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4}.$
Dapat kita faktorkan menjadi
$$y = \dfrac{(x+3)(x-3)}{(x-2)(x-2)}$$Dari penyebut, kita ketahui bahwa asimtot vertikalnya hanya ada satu, yaitu $x = 2.$ Karena pembilang dan penyebut berderajat sama, asimtot horizontalnya merupakan hasil bagi koefisien derajat tertinggi pembilang dan penyebut, yaitu $y = \dfrac11 = 1.$
Jadi, kriteria tidak terpenuhi.
Cek Opsi E:
Diberikan $y = \dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}.$
Dapat kita faktorkan menjadi
$$\begin{aligned} y &= \dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x-1)} \\ & = \dfrac{x+2}{x-1} \end{aligned}$$Dari penyebut, kita ketahui bahwa asimtot vertikalnya hanya ada satu, yaitu $x = 1.$ Karena pembilang dan penyebut berderajat sama, asimtot horizontalnya merupakan hasil bagi koefisien derajat tertinggi pembilang dan penyebut, yaitu $y = \dfrac11 = 1.$
Jadi, kriteria tidak terpenuhi.
(Jawaban D)

Diketahui $y = \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10}.$
Tampak bahwa $y$ adalah fungsi rasional dengan pembilang dan penyebut merupakan polinomial berderajat tiga. Karena derajatnya sama, asimtot datarnya merupakan hasil bagi koefisien pangkat tertinggi pembilang dan penyebut, yaitu
$$y = \dfrac11 = 1$$Sekarang, substitusikan $y = 1.$
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10} \\ \Rightarrow 1 & = \dfrac{x^3+x^2+1}{x^3+10} \\ x^3+10 & = x^3+x^2+1 \\ x^2-9 & = 0 \\ (x+3)(x-3) & = 0 \\ x = -3~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Jadi, asimtot datar dipotong oleh kurva pada dua titik, yaitu di koordinat $(-3, 1)$ dan $(3, 1).$ 
(Jawaban B)

Dari grafik tersebut, tampak bahwa kurva memiliki satu asimtot vertikal dengan persamaan $x = 2$ sehingga penyebut fungsi memiliki faktor $(x-2).$
Kurva juga terlihat memiliki satu asimtot horizontal dengan persamaan $y = 2$. Ini menunjukkan bahwa derajat pembilang dan penyebut fungsi sama dengan perbandingan koefisien $2 : 1.$
Kurva memotong sumbu $X$ di $(1, 0)$ dan $(3, 0).$ Artinya ada bentuk $(x-1)$ dan $(x-3)$ pada pembilang fungsi.
Agar memiliki derajat yang sama dengan pembilang, $(x-2)$ pada penyebut harus dipangkatkan dua.
Fungsi yang sesuai dengan kriteria tersebut adalah $f(x)=\dfrac{2(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}$
(Jawaban D)

Suatu fungsi rasional memiliki asimtot miring jika derajat pembilangnya satu lebih tinggi dari derajat penyebutnya.
Cek Opsi A:
Diketahui $f(x)=\dfrac{x^5+2}{x^4-4x^2+4}.$ Derajat pembilang = 5 dan derajat penyebut = 4. Kondisi terpenuhi sehingga fungsi ini memiliki asimtot miring.
Cek Opsi B:
Diketahui $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^3+x^2+1}.$ Derajat pembilang = 2 dan derajat penyebut = 3. Kondisi tidak terpenuhi sehingga fungsi ini  tidak memiliki asimtot miring.
Cek Opsi C:
Diketahui $f(x)=\dfrac{4x^2+x+2}{x^2}.$ Derajat pembilang = 2 dan derajat penyebut = 2. Kondisi tidak terpenuhi sehingga fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.
Cek Opsi D:
Diketahui $f(x)=\dfrac{x^5}{x^2-1}.$ Derajat pembilang = 5 dan derajat penyebut = 2. Kondisi tidak terpenuhi sehingga fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.
Cek Opsi E:
Diketahui $f(x)=\dfrac{4x^2-1}{x^4-1}.$ Derajat pembilang = 2 dan derajat penyebut = 4. Kondisi tidak terpenuhi sehingga fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.
Jadi, fungsi berikut ini yang memiliki asimtot miring adalah $\boxed{f(x)=\dfrac{x^5+2}{x^4-4x^2+4}}$
(Jawaban A)

Kriteria 1:
Memiliki sebuah lubang memiliki arti bahwa ada satu faktor yang sama pada pembilang dan penyebut fungsi.
Opsi A tidak memenuhi karena $x^2-1 = (x+1)(x-1),$ sedangkan $(x+1)$ maupun $(x-1)$ bukanlah faktor dari $x^3+x^2+1.$
Kriteria 2:
Memiliki titik potong terhadap sumbu $X$, artinya pembilang memiliki satu faktor lain yang tidak dimiliki oleh penyebut.
Opsi B tidak memenuhi karena pembilangnya memiliki dua faktor lain, yaitu $(x^2-1) = (x+1)(x-1).$
Opsi C masih memenuhi karena $x^3-4 = 0$ jelas memiliki satu penyelesaian real, yakni $x = \sqrt[4]{3}.$
Opsi D tidak memenuhi karena pembilangnya memiliki dua faktor lain, yaitu $(x^2-2) = (x+\sqrt2)(x-\sqrt2).$
Opsi E tidak memenuhi karena tidak memiliki faktor lain selain faktor bersama.
Kriteria 3:
Grafik fungsi memiliki asimtot miring jika bentuknya pecahan dengan derajat pembilang satu lebihnya dari derajat penyebut. Opsi C memenuhi kondisi bahwa fungsi tidak memiliki asimtot miring karena derajat pembilangnya $4,$ sedangkan derajat penyebutnya $2.$
(Jawaban C)

Agar tidak memiliki asimtot vertikal, pembilang dan penyebut fungsi tersebut harus saling berkelipatan (memiliki faktor persekutuan). Karena berderajat sama, akan ada $k \neq 0$ sehingga berlaku $k(2x + a)  = 3x + b.$
Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat ditulis menjadi
$$\dfrac23k\left(3x + \dfrac32a\right) = 3x + b$$Dengan mengabaikan konstanta pembanding $\dfrac23k$, kita peroleh bahwa $\boxed{b = \dfrac32a}$
(Jawaban E)

Perhatikan bahwa $y = \dfrac{5+2^x}{1-2^x}$ bukan merupakan fungsi rasional karena pembilang/penyebut bukan polinomial. Untuk menentukan asimtot horizontalnya, kita dapat mencari nilai limit fungsi ketika $x$ mendekati takhingga dan $x$ mendekati negatif takhingga. Kita tuliskan
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{5+2^x}{1-2^x} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{5}{2^x}+1}{\dfrac{1}{2^x}-1} \\ & = \dfrac{0 + 1}{0-1} \\ & = \dfrac{1}{-1} = -1 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{5+2^x}{1-2^x} & = \dfrac{5 + 0}{1-0} \\ & = 5 \end{aligned}$$Jadi, asimtot horizontal fungsi aljabar tersebut adalah $y = -1$ dan $y = 5.$
(Jawaban E)

Pertama, faktorkan pembilang dan penyebut fungsi rasional tersebut terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} f(x) & = \dfrac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)} \\ & = \dfrac{(x+2)^k\cancel{(x+1)}\bcancel{(x-1)}}{(x+2)\bcancel{(x-1)}(x+2)\cancel{(x+1)}} \\ & = \dfrac{(x+2)^k}{(x+2)(x+2)} \end{aligned}$$Perhatikan bahwa pembilang dan penyebut akan memiliki faktor yang sama untuk $k \geq 1.$ Agar memiliki satu asimtot tegak, penyebut harus memiliki satu faktor setelah disederhanakan. Ini menunjukkan bahwa $k = 1$ akan membuat $f(x) = \dfrac{(x+2)^1}{(x+2)(x+2)} = \dfrac{1}{x+2}.$
Nilai $k$ yang lain akan membuat fungsi tidak memiliki asimtot tegak.
Catatan: Perhatikan bahwa $k$ adalah bilangan asli sehingga $k = 0$ tidak memenuhi meskipun membuat fungsi juga memiliki satu asimtot tegak.
(Jawaban B)

Tampak bahwa $f(x)$ adalah fungsi rasional. Karena hanya memiliki satu asimtot tegak, hanya ada satu nilai $x$ yang membuat penyebutnya bernilai $0$, atau ditulis
$$\begin{aligned} \sqrt{x^2 + bx + 1} &= 0 \\ x^2+bx+1 & = 0 \end{aligned}$$Dengan kata lain, persamaan kuadrat tersebut hanya memiliki satu akar sehingga diskriminannya bernilai $0.$
$$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ b^2-4(1)(1) & = 0 \\ b^2 & = 4 \\ b & = \pm 2 \end{aligned}$$Karena diketahui $b < 0,$ maka nilai $b$ yang memenuhi adalah $b = -2.$
Jadi, sekarang kita tuliskan
$$f(x)= \dfrac{ax + 5}{\sqrt{x^2-2x+1}}$$Selanjutnya, asimtot datarnya dapat dicari dengan menggunakan konsep limit takhingga. Diketahui bahwa asimtot datarnya adalah $y = -3,$ artinya nilai limit takhingganya adalah $-3.$
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) & = -3 \\ \lim_{x \to \infty} \dfrac{ax + 5}{\sqrt{x^2-2x+1}} & = -3 \\ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{ax}{x} + \dfrac{5}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}}} & = -3 \\ \dfrac{a + 0}{\sqrt{1-0+0}} & = -3 \\ \dfrac{a}{1} & = -3 \\ a & = -3 \end{aligned}$$atau
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) & = -3 \\ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{ax + 5}{\sqrt{x^2-2x+1}} & = -3 \\ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\dfrac{ax}{x} + \dfrac{5}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}}} & = -3 \\ \dfrac{-a + 0}{\sqrt{1-0+0}} & = -3 \\ \dfrac{-a}{1} & = -3 \\ a & = 3 \end{aligned}$$Karena diketahui $a > 0,$ maka nilai $a$ yang dipilih adalah $a = 3.$
Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai dari $\boxed{a+2b=3+2(-2)=-1}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x) = \dfrac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}}.$
Asimtot Tegak (Vertikal):
Asimtot tegak ditemukan ketika penyebut fungsi sama dengan nol.
$$\begin{aligned} \sqrt{x^2-3x+2} & = 0 \\ x^2-3x+2 & = 0 \\ (x-1)(x-2) & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Jadi, asimtot tegak fungsi tersebut adalah $x = 1$ dan $x = 2.$
Asimtot Datar (Horizontal):
Kita gunakan konsep limit takhingga sesuai dengan definisi asimtot horizontal.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x}{x}-\dfrac{5}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{2}{x^2}}} \\ & = \dfrac{1-0}{\sqrt{1-0+0}} \\ & = \dfrac{1}{1} = 1 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}} & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{x}{x}-\dfrac{5}{x}}{\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{3x}{x^2}+\dfrac{2}{x^2}}} \\ & = \dfrac{-1-0}{\sqrt{1-0+0}} \\ & = \dfrac{-1}{1} = -1 \end{aligned}$$Jadi, asimtot datar fungsi tersebut adalah $y = 1$ dan $y = -1.$

Asimtot Tegak (Vertikal):
Fungsi tersebut tidak memiliki asimtot tegak karena berdasarkan definisinya, tidak ada bilangan $a$ yang memenuhi
$$\displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt{4x^2-2x+1}-\sqrt{4x^2+2x-5} = \infty$$Asimtot Datar (Horizontal):
Fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan dengan cara merasionalkan seperti berikut.
$$\begin{aligned} f(x) & = \sqrt{4x^2-2x+1}-\sqrt{4x^2+2x-5} \times \dfrac{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \\ & = \dfrac{(4x^2-2x+1)-(4x^2+2x-5)}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \\ & = \dfrac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \end{aligned}$$Kita gunakan konsep limit takhingga sesuai dengan definisi asimtot horizontal.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{-4x}{x}+\dfrac{6}{x}}{\sqrt{\dfrac{4x^2}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}} + \sqrt{\dfrac{4x^2}{x^2}+\dfrac{2x}{x^2}-\dfrac{5}{x^2}}} \\ & = \dfrac{-4 + 0}{\sqrt{4-0+0} + \sqrt{4+0-0}} \\ & = \dfrac{-4}{4} = -1 \end{aligned}$$dan
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2-2x+1}+\sqrt{4x^2+2x-5}} \\ & = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{-4x}{x}+\dfrac{6}{x}}{\sqrt{\dfrac{4x^2}{x^2}-\dfrac{2x}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}} + \sqrt{\dfrac{4x^2}{x^2}+\dfrac{2x}{x^2}-\dfrac{5}{x^2}}} \\ & = \dfrac{4 + 0}{\sqrt{4-0+0} + \sqrt{4+0-0}} \\ & = \dfrac{4}{4} = 1 \end{aligned}$$Jadi, asimtot datar fungsi tersebut adalah $y = -1$ dan $y = 1.$

Perhatikan bahwa persamaan kurva $y$ dapat kita tuliskan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} y & = \dfrac{x^3-3x+2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} \\ & = \dfrac{x^3-3x+2}{\frac{1}{a}x^3-x^2-\frac{6x}{a}} \end{aligned}$$Karena pembilang dan penyebut merupakan polinomial berderajat tiga, asimtot datarnya merupakan hasil bagi koefisien pangkat tertinggi, yaitu $y = \dfrac{1}{\frac{1}{a}} = a.$
Kita harus mencari nilai $a$ untuk menentukan asimtot datar kurva tersebut.
Dikatakan bahwa kurva memiliki dua asimtot tegak padahal penyebutnya berderajat tiga sehingga ada satu faktor yang sama antara pembilang dan penyebut.
Perhatikan bentuk pembilang.
$$\begin{aligned} x^3-3x+2 & = (x^3-x^2)+(x^2-3x+2) \\ & = x^2(x-1)+(x-1)(x-2) \\ & = (x-1)(x^2+x-2) \\ & = (x-1)(x-1)(x+2) \end{aligned}$$Kita tuliskan
$$y = \dfrac{(x-1)(x-1)(x+2)}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)}$$Kemungkinan Pertama:
Misalkan faktor yang sama adalah $(x-1).$ Artinya $x = 1$ merupakan penyelesaian dari penyebutnya.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{a}x(x^2-ax-6) & = 0 \\ \Rightarrow \dfrac{1}{a}(1)((1)^2-a(1)-6) & = 0 \\ -a-5 & = 0 \\ a & = -5 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a = -5$ dan asimtot datarnya adalah $y = -5$ seperti yang tampak pada sketsa grafik berikut untuk kurva $y = \dfrac{x^3-3x+2}{-\frac15x(x^2+5x-6)}.$

Kemungkinan Kedua:
Misalkan faktor yang sama adalah $(x+2).$ Artinya $x = -2$ merupakan penyelesaian dari penyebutnya.
$$\begin{aligned} \dfrac{1}{a}x(x^2-ax-6) & = 0 \\ \Rightarrow \dfrac{1}{a}(-2)((-2)^2-a(-2)-6) & = 0 \\ -2+2a & = 0 \\ a & = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $a = 1$ dan asimtot datarnya adalah $y = 1$ seperti yang tampak pada sketsa grafik berikut untuk kurva $y = \dfrac{x^3-3x+2}{x(x^2-x-6)}.$