Berikut ini merupakan soal dan pembahasan babak penyisihan Olimpiade Guru Matematika Tingkat SMP/Sederajat Tahun 2021 (OGM 6) yang diselenggarakan oleh Klinik Pendidikan MIPA (KPM) Read1 Institute. Perlombaan dilaksanakan pada hari Minggu, 18 April 2021 secara daring dengan menggunakan sistem Computer Based Test (CBT). Soal berbentuk pilihan ganda sebanyak 25 butir yang perlu dikerjakan peserta dalam waktu 90 menit.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Babak Final OGM KPM Read1 Institute Tingkat SMA/Sederajat Tahun 2020
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Babak Penyisihan OGM KPM Read1 Institute Tingkat SMA/Sederajat Tahun 2021
Soal juga dapat diunduh dalam file berformat PDF melalui tautan berikut: Download (PDF). Catatan: Terdapat beberapa perubahan redaksi kalimat dan opsi jawaban pada soal tertentu, tetapi tidak mengubah inti soal tersebut.
Quote by Helen Keller
Soal Nomor 1
Bilangan $41.250$ akan disusun ulang menjadi bilangan 5-angka terbesar dan bilangan 5-angka terkecil. Selisih dari kedua bilangan yang terbentuk itu adalah $\cdots \cdot$
A. $51.965$
B. $52.965$
C. $42.965$
D. $43.965$
E. $33.965$
Dengan banyak angka yang sama, suatu bilangan akan semakin besar nilainya jika angka di sebelah kanan dibuat sebesar-besarnya. Hal yang sama juga berlaku untuk bilangan yang nilainya dibuat semakin kecil, tetapi perlu diperhatikan bahwa angka $0$ tidak boleh diletakkan di posisi paling kanan (Contoh: $02000).$
Dengan menggunakan angka $4, 1, 2, 5, 0,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{Bilangan 5-angka terbesar} & = 54.210 \\ \text{Bilangan 5-angka terkecil} & = 10.245 \\ \text{Selisih kedua bilangan} & = 54.210 -10.245 \\ & = 43.965 \end{aligned}$$Jadi, selisih dari kedua bilangan yang terbentuk itu adalah $\boxed{43.965}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 2
Jika diketahui $\overline{OGM}-\overline{MGO} = 198$ dengan $O \neq G \neq M,$ maka nilai terbesar dari $O + G + M$ adalah $\cdots \cdot$
A. $21$ C. $23$ E. $25$
B. $22$ D. $24$
Perhatikan bahwa $\overline{OGM}$ dan $\overline{GMO}$ keduanya merupakan bilangan 3-angka sehingga dapat dituliskan dalam bentuk panjang.
$$\begin{aligned} \overline{OGM}-\overline{MGO} & = 198 \\ (100O + 10G + M)-(100M+10G+O) & = 198 \\ 99O-99M & = 198 \\ O-M & = 2 \end{aligned}$$Supaya $O + G + M$ sebesar mungkin, pilih $O = 9$ sehingga $M = 7.$ Nilai $G$ sendiri boleh berapa pun selain $7$ dan $9.$ Agar hasil penjumlahannya besar, pilih $O$ sebagai angka terbesar yang mungkin, yakni $8.$
Jadi, nilai terbesar dari $O + G + M$ adalah $\boxed{9+8+7=24}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 3
Jika $a$ adalah bilangan asli dan rata-rata dari $a, 2a+1$, $3a-6,$ dan $\dfrac37a$ adalah $10,$ maka nilai dari $\sqrt{a^2}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $5$ C. $7$ E. $9$
B. $6$ D. $8$
Karena rata-rata dari keempat bilangan tersebut adalah $10,$ maka kita tuliskan
$$\begin{aligned} \dfrac{a + (2a + 1) + (3a-6) + \dfrac37a}{4} & = 10 \\ a + 2a + 1+3a-6+\dfrac37a & = 40 \\ \dfrac{45}{7}a-5 & = 40 \\ \dfrac{\cancel{45}}{7}a & = \cancel{45} \\ a & = 7 \end{aligned}$$Dengan demikian, nilai dari $\boxed{\sqrt{a^2} = \sqrt{7^2} = 7}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 4
Misalkan $n = 2^5 + 0^5 + 2^5 + 1^5.$ Berapa jumlah faktor prima dari $n$?
A. $5$ C. $32$ E. $65$
B. $18$ D. $42$
Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} n & = 2^5 + 0^5 + 2^5 + 1^5 \\ & = 32 + 0 + 32 + 1 \\ & = 65 \\ & = 5 \times 13 \end{aligned}$$Faktor prima dari $65$ ada dua, yaitu $5$ dan $13.$ Jadi, jumlah faktor primanya adalah $\boxed{5+13=18}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 5
Diketahui $$\dfrac18 + \dfrac{2}{24} + \dfrac{2}{48} + \dfrac{1}{80} = \dfrac{t}{n}$$dengan $t$ dan $n$ bilangan bulat positif. Berapa nilai terkecil dari $t + n$?
A. $35$ C. $91$ E. $111$
B. $61$ D. $101$
Jumlahkan pecahan tersebut, kemudian hasilnya disederhanakan sehingga pembilang dan penyebutnya sekecil mungkin.
$$\begin{aligned} \dfrac18 + \dfrac{2}{24} + \dfrac{2}{48} + \dfrac{1}{80} & = \dfrac18 + \color{red}{\dfrac{2}{24} + \dfrac{1}{24}} + \dfrac{1}{80} \\ & = \dfrac18 + \dfrac18 + \dfrac{1}{80} \\ & = \dfrac14 + \dfrac{1}{80} \\ & = \dfrac{21}{80} \end{aligned}$$Jadi, nilai $t = 21$ dan $n = 80$ (keduanya relatif prima) sehingga nilai terkecil dari $t+n$ adalah $\boxed{21+80=101}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 6
Nala menggambar ulang sebuah segitiga. Alas dari segitiga tersebut diperbesar $25\%,$ tetapi tingginya diperkecil $20\%.$ Perbandingan luas segitiga mula-mula dengan luas segitiga yang baru digambar Nala adalah $\cdots \cdot$
A. $1 : 1$ D. $2 : 3$
B. $1 : 2$ E. $3 : 4$
C. $1 : 3$
Misalkan panjang alas dan tinggi segitiga berturut-turut adalah $a$ dan $t$ sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\text{mula-mula}} : L_{\text{baru}} & = \cancel{\dfrac12} \cdot at : \cancel{\dfrac12} \cdot 125\%a \cdot 80\%t \\ & = at : \dfrac{125}{100}a \cdot \dfrac{80}{100} \cdot t \\ & = \color{blue}{at} : \dfrac{\bcancel{5}}{\cancel{4}} \cdot \dfrac{\bcancel{4}}{\cancel{5}} \cdot \color{blue}{at} \\ & = 1 : 1 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas segitiga mula-mula dengan luas segitiga yang baru digambar Nala adalah $\boxed{1 : 1}$ (luasnya sama).
(Jawaban A)
Soal Nomor 7
Mean, median, dan modus dari data nilai $9, 10, x, 6, 5, 20, 4$ adalah sama, yaitu $x.$ Berapa nilai dari $x$?
A. $8$ C. $12$ E. $15$
B. $9$ D. $14$
Data di atas memuat $7$ bilangan. Andaikan $x$ tidak dianggap, maka kita dapat menyusun $6$ bilangan tersisa secara berurut:
$$4, 5, \color{red}{6}, \color{blue}{9}, 10, 20$$Karena modus dan mediannya sama-sama $x,$ maka $x$ kemungkinan bernilai $6$ atau $9.$
Jika $x = 6,$ maka diperoleh rata-ratanya
$$\begin{aligned} \dfrac{4+5+6+6+9+10+20}{7} & = \dfrac{60}{7} \\ & \neq x \end{aligned}$$Tidak memenuhi karena seharusnya nilai rata-ratanya $6$ juga.
Jika $x = 9,$ maka diperoleh rata-ratanya
$$\begin{aligned} \dfrac{4+5+6+9+9+10+20}{7} & = \dfrac{63}{7} \\ & = 9 \end{aligned}$$Memenuhi karena nilai rata-ratanya juga $9.$
Jadi, nilai dari $x$ adalah $\boxed{9}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 8
Perhatikan gambar berikut.
Garis $DE$ sejajar dengan $CF$ dan $EF$ tegak lurus dengan $CB.$ Diketahui panjang $DE = 8$ cm, $CB = 12$ cm, dan $EF = 3$ cm. Berapa luas dari $\triangle ABC$?
A. $108~\text{cm}^2$ D. $48~\text{cm}^2$
B. $72~\text{cm}^2$ E. $36~\text{cm}^2$
C. $54~\text{cm}^2$
Soal Nomor 9
Nala diberi uang jajan oleh ibu tiap bulan. Pada bulan Januari, ibu memberi Nala Rp100.000,00. Bulan selanjutnya, uang jajan yang diberikan selalu bertambah $X$ dari bulan sebelumnya selama kurun waktu setahun. Jika rata-rata uang jajan Nala per bulan adalah Rp166.000,00, maka berapakah nilai $X$?
A. Rp10.000,00
B. Rp12.000,00
C. Rp15.000,00
D. Rp17.000,00
E. Rp20.000,00
Uang yang diberikan ibu kepada Nala dinyatakan dalam tabel berikut.
$$\begin{array} \hline \text{Bulan} & \text{Uang (rupiah)} \\ \hline Januari & 100.000 \\ Februari & 100.000 + X \\ Maret & 100.000 + 2X \\ April & 100.000 + 3X \\ \cdots & \cdots \\ Desember & 100.000 + 11X \\ \hline \end{array}$$Karena rata-rata uang jajan per bulan adalah Rp166.000,00, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{100.000 + (100.000+X)+(100.000+2X)+\cdots+(100.000+11X)}{12} & = 166.000 \\ 12(100.000) + (X+2X+\cdots+11X) & = 1.992.000 \\ 1.200.000 + 66X & = 1.992.000 \\ 66X & = 792.000 \\ X & = 12.000 \end{aligned}$$Jadi, nilai $X$ adalah $\boxed{\text{Rp12.000,00}}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 10
Ketika ada beberapa warga di RT 01 terjangkit Covid-19, Pak Amir harus menghindari titik merah agar tetap dapat sampai ke tempat tujuan. Banyaknya jalan tersingkat yang dapat ditempuh Pak Amir dari rumah menuju tempat tujuannya itu tanpa melalui titik merah adalah $\cdots \cdot$
B. $36$ D. $45$
Soal Nomor 11
Ada empat bilangan bulat positif berurutan. Tiga dari mereka menghasilkan nilai $44.030$ ketika dikalikan. Berapakah jumlah keempat bilangan bulat positif tersebut?
A. $104$ D. $136$
B. $106$ E. $142$
C. $124$
Faktorisasi prima dari $44.030$ adalah $2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 37.$ Perhatikan bahwa perkalian tersebut dapat kita tulis menjadi $44.030 = 34 \cdot 35 \cdot 36 \cdot 37.$ Dengan demikian, empat bilangan bulat positif berurutan tersebut adalah $34, 35, 36, 37.$ Jadi, jumlah keempatnya adalah $\boxed{34 + 35 + 36 + 37 = 142}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 12
Dua bilangan dipilih dari himpunan bilangan $\{1, 2, 3, \cdots, 12\}.$ Jika dua bilangan yang dipilih tersebut tidak relatif prima, berapa banyak cara memilih dua bilangan tersebut?
A. $16$ C. $20$ E. $22$
B. $18$ D. $21$
Bilangan bulat positif $a$ dan $b$ dikatakan relatif prima jika $\text{FPB}(a, b) = 1.$ Akan dicari pasangan dua bilangan dari $\{1, 2, 3, \cdots, 12\}$ yang tidak relatif prima, artinya $\text{FPB}(a, b) \neq 1.$
- Bilangan kelipatan $2$ ada $6$ buah, yakni $2, 4, 6, 8,$ $10, 12.$ Banyak cara memilih $2$ dari $6$ bilangan tersebut adalah $C_2^6 = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = 15.$
- Bilangan kelipatan $3$ ada $4$ buah, yakni $3, 6, 9, 12.$ Banyak cara memilih $2$ dari $4$ bilangan tersebut adalah $C_2^4 = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6.$ Namun, perhatikan bahwa $(6, 12)$ sudah kita hitung sebelumnya (pada kasus kelipatan $2$) sehingga banyak cara memilih menjadi $6-1=5.$
- Bilangan kelipatan $5$ hanya ada $2$ buah, yakni $5$ dan $10$ sehingga banyak cara memilihnya hanya ada $1.$
Dengan demikian, banyak cara memilih pasangan dua bilangan yang tidak relatif prima adalah $\boxed{15 + 5 + 1 = 21}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 13
Ali, Bela, Ciko, Dio, dan Elan pergi menghadiri suatu acara pentas seni. Mereka mencari tempat duduk yang bersebelahan dan sebaris. Berapa peluang terdapat dua anak yang duduk di antara Elan dan Bela?
A. $\dfrac15$ D. $\dfrac{1}{20}$
B. $\dfrac{1}{10}$ E. $\dfrac{3}{20}$
C. $\dfrac{1}{15}$
Soal Nomor 14
Jika $3^2 + 3^4 + 2^a \cdot 3^p$ merupakan bilangan kuadrat, maka nilai terkecil dari $a + p$ adalah $\cdots \cdot$
A. $2$ C. $4$ E. $6$
B. $3$ D. $5$
Soal Nomor 15
Perhatikan gambar berikut.
Berapakah luas daerah yang diarsir pada gambar di atas?
A. $48~\text{cm}^2$ D. $56~\text{cm}^2$
B. $50~\text{cm}^2$ E. $60~\text{cm}^2$
C. $54~\text{cm}^2$
Perhatikan gambar berikut.
Nilai $t$ dapat dicari dengan menggunakan kesebangunan segitiga $ABC$ dan $ADE.$
$$\begin{aligned} \dfrac{AB}{AD} & = \dfrac{BC}{DE} \\ \dfrac{4}{4+12} & = \dfrac{t}{12} \\ \dfrac14 & = \dfrac{t}{12} \\ t & = 3 \end{aligned}$$Dengan demikian, luas daerah yang diarsir tersebut adalah
$\boxed{\begin{aligned} L_{\triangle CEF} & = \dfrac{EF \times CF}{2} \\ & = \dfrac{12 \times (12-3)}{2} = 54 \end{aligned}}$
(Jawaban C)
Soal Nomor 16
Sebagai wujud rasa syukur atas prestasinya di sekolah pada semester yang lalu, Ira berencana menyumbang kostum untuk kegiatan drama sekolah. Ia menggunakan $240$ cm kain polos untuk bahan rok dan $180$ cm kain batik untuk bahan kemeja. Jika harga kain polos adalah Rp40.000,00/meter dan harga kain batik adalah Rp60,000/meter, maka berapa rupiah uang yang harus disiapkan Ira untuk membuat 5 setel kostum drama?
A. Rp500.000,00
B. Rp1.020.000,00
C. Rp1.080.000,00
D. Rp5.000.000,00
E. Rp10.200.000,00
Soal Nomor 17
Berapa banyak bilangan dari $1$ hingga $100.000$ yang merupakan bilangan kuadrat, tetapi bukan bilangan kubik?
A. $310$ D. $288$
B. $309$ E. $270$
C. $300$
Soal Nomor 18
Amir adalah anak yang berbakti kepada orang tuanya. Setelah kedua orang tuanya meninggal, Amir berniat membeli dua bidang tanah yang akan diwakafkan untuk pembangunan panti asuhan. Tanah pertama adalah tanah kosong yang lokasinya di pinggir jalan dengan luas $20~\text{dam}^2$ dengan harga Rp2.500.000,00/meter persegi. Tanah kedua berlokasi di dalam gang dan berbentuk kebun yang luasnya $1,2$ hektare dengan harga tanah per meter persegi adalah $n\%$ dari harga tanah pertama tadi. Jika total uang yang harus dikeluarkan Amir untuk membeli kedua bidang tanah tersebut adalah $\dfrac43$ kali dari harga tanah yang berbentuk kebun, maka berapakah nilai $n$?
A. $20$ C. $45$ E. $55$
B. $30$ D. $50$
Soal Nomor 19
Nala melipat sebuah kertas berbentuk persegi panjang mengikuti salah satu diagonalnya dan membentuk bangun seperti gambar.
Jika perbandingan luas bangun mula-mula dengan luas bangun baru yang terbentuk adalah $10 : 7$, serta luas daerah yang saling bertumpuk adalah $45~\text{cm}^2,$ maka berapakah luas dari persegi panjang yang dilipat Nala?
A. $100~\text{cm}^2$ D. $155~\text{cm}^2$
B. $105~\text{cm}^2$ E. $160~\text{cm}^2$
C. $150~\text{cm}^2$
Soal Nomor 20
Nala dan teman-temannya menggalang dana untuk membantu korban bencana alam. Dana yang terkumpul dipakai untuk membeli $125$ paket sembako. Paket sembako tersebut akan disalurkan ke empat titik bencana. Jika setiap titik paling sedikit disalurkan $30$ paket sembako, maka ada berapa cara berbeda dalam menyalurkan semua paket sembako tersebut?
A. $60$ C. $54$ E. $40$
B. $56$ D. $45$
Soal Nomor 21
Di suatu kampung, ada Mr. X yang dikenal suka berbohong, tetapi akan ada $\dfrac13$ dari total pendengar yang percaya pada ucapannya ketika ia berbicara. Uniknya, $\dfrac13$ dari total pendengar yang percaya itu akan langsung menyampaikan kembali apa yang disampaikan Mr. X kepada orang lain sehingga mereka juga percaya pada informasi yang disampaikan. Pada suatu hari, Mr. X memberikan kabar bohong kepada 9 orang yang berbeda setiap hari selama 10 hari. Pendengar langsung dari Mr. X yang percaya akan berbicara pada 3 orang yang baru setiap harinya sampai hari terakhir Mr. X berbicara. Berapa banyak orang yang percaya pada kabar bohong itu?
A. $30$ D. $435$
B. $60$ E. $525$
C. $90$
Soal Nomor 22
Lima persegi kecil yang kongruen diarsir di dalam persegi besar seperti tampak pada gambar.
Jika luas daerah yang diarsir adalah $20~\text{cm}^2$ dan luas persegi besar sama dengan $a + b\sqrt2$ dengan $a, b$ bilangan bulat positif, maka nilai $a+b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $18$ C. $26$ E. $52$
B. $20$ D. $36$
Soal Nomor 23
Misalkan $A = \overline{abc}$ adalah bilangan 3-angka yang angka-angka penyusunnya berbeda, serta $a < b.$ $B$ adalah bilangan yang angka-angka penyusunnya sama dengan angka penyusun $A,$ tetapi $b \neq a.$ Jika $A + B = 1000,$ maka ada berapa banyak bilangan $A$ yang memenuhi syarat tersebut?
A. $3$ C. $6$ E. $10$
B. $4$ D. $8$
Soal Nomor 24
Sebuah bola berjari-jari $14$ cm dan sebuah kerucut tegak dengan tinggi $28$ cm dan panjang jari-jari alasnya $14$ cm diletakkan bersebelahan pada sebuah meja datar. Kedua bangun ruang tersebut dipotong oleh sebuah bidang datar yang sejajar dengan meja sehingga hasil perpotongan pada kedua bangun berupa lingkaran yang identik. Berapakah jarak bidang pemotong dari meja?
A. $7$ cm D. $11,2$ cm
B. $7,2$ cm E. $11,4$ cm
C. $8,4$ cm
Soal Nomor 25
Diketahui segitiga $ABC$ sama kaki dengan $AB = BC$ dan $\angle BAC = 50^\circ.$ Titik $D$ terletak di dalam segitiga sehingga $\angle CBD = 30^\circ$ dan $\angle BDA = 37,5^\circ.$ Berapakah besar $\angle ADC$?
A. $135^\circ$ D. $150^\circ$
B. $140^\circ$ E. $152,5^\circ$
C. $142,5^\circ$