Soal dan Pembahasan Super Lengkap – Transformasi Geometri

Konsep translasi: Jika titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix},$ maka koordinat bayangannya adalah $\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.$
Diketahui titik $P'(3,-13)$ ditranslasi oleh $\begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix}$ sehingga didapat
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 3 \\-13 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 3 \\-13 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}-10 \\ 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 13 \\-20 \end{pmatrix}. \end{aligned}$
Jadi, koordinat titik $P$ adalah $\boxed{(13,-20)}.$
(Jawaban A)

Konsep rotasi:
Jika titik $(x, y)$ dirotasikan pada pusat $(0,0)$ sebesar sudut $\theta$ dengan orientasi berlawanan arah jarum jam, maka koordinat bayangan titiknya adalah
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$ 
Untuk $(x’, y’) = (-10,-2)$ dan $\theta =-90^{\circ}$, diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos (-90^{\circ}) &-\sin (-90^{\circ}) \\ \sin (-90^{\circ}) & \cos (-90^{\circ}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}-10 \\-2 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} y \\-x \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, $y =-10$ dan $x = 2.$ Dengan demikian, koordinat titik $P$ adalah $(2,-10$). Ini berarti $a=2$ dan $b=-10$ sehingga $\boxed{a+2b=2+2(-10)=-18}.$
(Jawaban A)

Konsep refleksi:
Jika titik $A(x, y)$ direfleksikan terhadap garis $y =-x,$ maka bayangan titik $A$ adalah $A’ = (-y,-x).$
Jadi, bayangan titik $A(-1,4)$ adalah $A'(-4,1).$
(Jawaban B)

Diketahui $P(x, y) = P(5,4)$. Pusat dilatasi di $(a, b) = (-2,-3)$ dan $k =-4.$
Misalkan bayangan titik $P$ berada di koordinat $(x’, y’).$ Akibatnya, 
$\begin{aligned} x’ & = k(x-a) + a \\ & =-4(5-(-2)) + (-2) \\ & =-4(7)-2 =-30 \end{aligned}$
$\begin{aligned} y’ & = k(y-b) + b \\ & =-4(4-(-3))- 3 \\ & =-4(7)-3=-31. \end{aligned}$
Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $(-30,-31).$
(Jawaban A)

Konsep rotasi:
Jika titik $(x, y)$ dirotasikan pada pusat $(a, b)$ sebesar sudut $\theta$ dengan orientasi berlawanan arah jarum jam, maka koordinat bayangan titiknya adalah
$$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta &-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.$$Untuk $(x, y) = (3,-2)$ dan rotasi dengan pusat $(-1,1)$ sebesar $\theta = 90^{\circ},$ diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} &-\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3-(-1) \\-2-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $B$ adalah $\boxed{B'(2,5)}.$
(Jawaban E)

Konsep rotasi:
Jika titik $(x, y)$ dirotasikan pada pusat $(0,0)$ sebesar sudut $\theta$ dengan orientasi berlawanan arah jarum jam, maka koordinat bayangan titiknya adalah
Untuk $(x, y) = (2,-3)$ dan rotasinya dengan pusat di titik asal sebesar $\theta = 90^{\circ},$ diperoleh
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} &-\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $P$ adalah $\boxed{P'(3,2)}.$
(Jawaban A)

Konsep dilatasi: Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(a,b)$ dan faktor skala $k,$ maka bayangan titiknya berada di koordinat $(k(x-a)+a, k(y-b)+b).$
Dengan demikian, bayangan titik $(-4, 8)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-8, 12)$ dan faktor skala $1$ adalah
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 1(-4-(-8)) + (-8) \\ 1(8-12) + 12 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dilatasi $[P,1]$ memetakan titik $(-4,8)$ ke titik $\boxed{(-4, 8)}.$
(Jawaban A)

Konsep dilatasi:
Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k,$ maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky).$
Konsep refleksi:
Jika titik $(x, y)$ direfleksikan terhadap sumbu $X,$ maka bayangan titiknya berada di koordinat $(x,-y).$
Untuk itu, dapat dibuat skema panah dari proses refleksi terhadap sumbu $X$ terhadap titik $B$ berikut.
$$B(4, 8) \xrightarrow{R_X} B'(4,-8)$$Selanjutnya, buatlah skema panah proses dilatasi terhadap titik $B$ seperti berikut.
$$\begin{aligned} B'(4,-8) \xrightarrow{D\left[O, \dfrac{1}{2}\right]} & P'(\dfrac{1}{2} \cdot 4, \dfrac{1}{2} \cdot (-8)) \\ & = P^{\prime \prime}(2,-4) \end{aligned}$$Jadi, koordinat bayangan titik $B$ adalah $(2,-4).$
(Jawaban B)

Bayangan titik $T(-1, 5)$ oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema berikut.
$$\begin{aligned} T\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{pmatrix}-4 & 3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}} & T’\left[\begin{pmatrix}-4 & 3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 \\ 5 \end{pmatrix} \right] \\ & = T’ \begin{pmatrix}-4(-1) + 3(5) \\ 2(-1) + (-1)(5) \end{pmatrix} \\ & = T’\begin{pmatrix} 19 \\-7 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Transformasi titik dilanjutkan oleh refleksi terhadap garis $\color{red} {x=8}$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} T’\begin{pmatrix} 19 \\-7 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{x =-8}} & T^{\prime \prime}\begin{pmatrix} 2(\color{red}{8})- 19 \\-7 \end{pmatrix} \\ & = T^{\prime \prime}\begin{pmatrix}-3 \\-7 \end{pmatrix}. \end{aligned}$ 
Jadi, koordinat bayangan titik $T$ adalah $\boxed{(-3,-7)}.$
(Jawaban E)

Konsep dilatasi:
Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(a,b)$ dan faktor skala $k,$ maka bayangan titiknya berada di koordinat $(k(x-a)+a, k(y-b)+b).$
Bayangan titik $K(6, 4)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah
$$K'(4(6+2)-2, 4(4-3)+3) = K'(30, 7).$$Bayangan titik $L(-3, 1)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah
$L'(4(-3+2)-2, 4(1-3)+3)$ $= L'(-6,-5).$
Bayangan titik $M(2,-2)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(-2, 3)$ dan faktor skala $4$ adalah
$M'(4(2+2)-2, 4(-2-3)+3)$ $= M'(14,-17).$
Jadi, koordinat bayangan $\triangle KLM$ adalah $\boxed{K(30, 7), L(-6,-5), M(14,-17)}.$
(Jawaban A) 

Konsep dilatasi:
Jika titik $(x,y)$ didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $k$, maka bayangan titiknya berada di koordinat $(kx, ky)$.
Bayangan titik $A(-2,3)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0 )$ dan faktor skala $4$ adalah $A'(4(-2), 4(3)) = (-8, 12).$
Bayangan titik $B(2,3)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $4$ adalah $B'(4(2), 4(3)) = (8, 12).$
Bayangan titik $C(0,-4)$ setelah didilatasikan dengan pusat $(0,0)$ dan faktor skala $4$ adalah $C'(4(0), 4(-4)) = (0,-16).$ 
Gambarkan ketiga bayangan titik tersebut dalam sistem koordinat Kartesius, lalu hubungkan sehingga terbentuk segitiga.

Segitiga tersebut memiliki luas $L = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{16 \times 28}{2} = 224.$
(Jawaban B) 

Misalkan vektor awalnya adalah $(a, b).$ Akibatnya, pencerminan terhadap garis $y = x$ dapat dinyatakan dalam skema berikut. 
$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \xrightarrow{M_{y=x}} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}$
Proses transformasi dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat di titik asal sebesar $90^{\circ}$ searah jarum jam, yang sama artinya dengan $270^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam sehingga dapat dibuat skema berikut. 
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \xrightarrow{R[O, 270^{\circ}]} & \begin{pmatrix} \cos 270^{\circ} &-\sin 270^{\circ} \\ \sin 270^{\circ} & \cos 270^{\circ} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a \\-b \end{pmatrix} \end{aligned}$$Diperoleh hasil transformasi vektor berbentuk $(a,-b)$. Karena diketahui vektor $\overline{a} = (-3,4)$ merupakan hasil transformasinya, diperoleh $a=-3$ dan $b=-4.$
Jadi, vektor awalnya adalah $\boxed{\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\-4 \end{pmatrix}}.$
(Jawaban B)

Ambil sembarang titik yang dilalui garis itu, misalkan titik $(x,y).$ Koordinat bayangan titik ini setelah ditranslasikan oleh $T(3, 2)$ ditunjukkan oleh skema panah berikut.
$$(x, y) \xrightarrow{T(3, 2)} (x+3, y+2)$$Dengan demikian, dapat ditulis $x’ = x + 3$ dan $y’ = y + 2,$ atau $\begin{cases} x = x’-3 \\ y = y’-2. \end{cases}$
Substitusikan kedua bentuk ini pada persamaan garis $y=2x+3.$
$$\begin{aligned} y & = 2x + 3 \\ y’-2 & = 2(x’-3) + 3 \\ y’ & = 2x’-6 + 3 + 2 \\  y’ & = 2x’-1 \end{aligned}$$Jadi, bayangan garis $y = 2x+3$ setelah ditranslasikan oleh $T(3,2)$ adalah $\boxed{y=2x-1}.$
(Jawaban E)  

Bayangan titik $(x, y)$ oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema berikut.
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \left[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right] \\ & = \begin{pmatrix} x + y \\ x + 2y \end{pmatrix} \end{aligned}$$Transformasi titik dilanjutkan oleh pencerminan (refleksi) terhadap sumbu $X$ sehingga didapat
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x + y \\ x + 2y \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{x}} \begin{pmatrix} x + y \\-x-2y \end{pmatrix} \end{aligned}$ 
Jadi, $x^{\prime \prime} = x + y$ dan $y^{\prime \prime} =-x-2y.$ 
Penyelesaian SPLDV di atas adalah sebagai berikut.
$\begin{cases}-y = x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime} \\ x = 2x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime} \end{cases}$
Substitusikan pada persamaan $2x+y-1=0$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} 2(2x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime})-(x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime})-1 & = 0 \\ 3x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}- 1 & = 0. \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda aksen ganda, diperoleh persamaan bayangan garisnya, yakni $\boxed{3x+y-1=0}.$
(Jawaban A)

Bayangan titik $(x, y)$ oleh refleksi terhadap garis $y = x$ dapat dinyatakan oleh skema berikut.
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{R_{y=x}} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} $ 
Transformasi titik kemudian dilanjutkan oleh rotasi sebesar $90^{\circ}$ dengan pusat $O.$
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \xrightarrow{R[O, 90^{\circ}]} & \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} &-\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}-x \\ y \end{pmatrix} \end{aligned}$$Diperoleh $x^{\prime \prime} =-x$ dan $y^{\prime \prime}= y.$
Substitusikan pada persamaan $3x-y+2=0$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} & 3(-x^{\prime \prime})-y^{\prime \prime} + 2 = 0 \\ &\Leftrightarrow 3x^{\prime \prime} + y^{\prime \prime}-2 = 0 \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda aksen ganda, diperoleh persamaan bayangan garisnya, yakni $\boxed{3x+y-2=0}.$
(Jawaban B)

Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T(3,-4)$ sehingga diperoleh
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{T(3,-4)} \begin{pmatrix} x + 3 \\ y- 4 \end{pmatrix}.$
Transformasi titik dilanjutkan oleh dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala 2 sehingga diperoleh
$\begin{pmatrix} x + 3 \\ y-4 \end{pmatrix} \xrightarrow{D[O, 2]} \begin{pmatrix} 2x + 6 \\ 2y- 8 \end{pmatrix}.$
Dengan demikian,
$\begin{cases} x^{\prime \prime} = 2x + 6 \Leftrightarrow x = \dfrac{x^{\prime \prime}-6}{2} \\ y^{\prime \prime} = 2y-8 \Leftrightarrow y = \dfrac{y^{\prime \prime}+8}{2} \end{cases}$
Substitusikan pada persamaan $3x+2y=6$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} 3\left(\dfrac{x^{\prime \prime}-6}{2}\right) + 2\left(\dfrac{y^{\prime \prime}+8}{2}\right) & = 6 \\ \text{Kali kedua ruas dengan 2}& \\ 3(x^{\prime \prime}-6) + 2(y^{\prime \prime} + 8) & = 12 \\ 3x^{\prime \prime}-18 + 2y^{\prime \prime} + 16 & = 12 \\ 3x^{\prime \prime} + 2y^{\prime \prime} & = 14. \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda aksen ganda, diperoleh persamaan bayangan garisnya adalah $\boxed{3x+2y=14}.$
(Jawaban A)

Konsep translasi:
Misalkan titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ sehingga koordinat bayangannya adalah $\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.$ 
Untuk $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix},$ diperoleh
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2 \\ 3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} x’ + 2\\ y’- 3\end{pmatrix}. \end{aligned}$
Substitusikan $x = x’+2$ dan $y =y’-3$ pada $y=2x-3$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} y’-3 & = 2(x’+2)-3 \\ y’-3 & =2x’+1 \\ y’ & = 2x’+4. \end{aligned}$
Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah $\boxed{y=2x+4}.$
(Jawaban A)

Hasil pencerminan terhadap sumbu $X$ dapat dinyatakan dalam skema berikut. 
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{M_{\text{Sumbu}~X}} \begin{pmatrix} x \\-y \end{pmatrix}$ 
Hasil dilatasi dengan pusat $O$ dan faktor skala 3 dapat dinyatakan dalam skema berikut. 
$\begin{pmatrix} x \\-y \end{pmatrix} \xrightarrow{D[O, 3]} \begin{pmatrix} 3x \\-3y \end{pmatrix}$
Diperoleh $x^{\prime \prime} = 3x$ dan $y^{\prime \prime} =-3y$ sehingga ditulis $\begin{cases} x = \dfrac13x^{\prime \prime} \\ y =-\dfrac13y^{\prime \prime} \end{cases}$
Substitusikan pada persamaan $y=x^2+3x+3$ sehingga didapat
$\begin{aligned}&-\dfrac13y^{\prime \prime} = \left(\dfrac13x^{\prime \prime}\right)^2 + 3\left(\dfrac13x^{\prime \prime}\right) + 3 \\ & \text{Kali kedua ruas dengan 9} \\ &-3y^{\prime \prime} = (x^{\prime \prime})^2 + 9x^{\prime \prime} + 27 \\ & (x^{\prime \prime})^2 + 9x^{\prime \prime} + 3y^{\prime \prime} + 27 = 0. \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda dobel aksen, diperoleh persamaan bayangan kurvanya, yakni $\boxed{x^2 + 9x + 3y + 27 = 0}.$
(Jawaban B)

Misalkan titik $(x, y)$ didilatasikan dengan pusat $P(-1, 2)$ dan faktor skala $3$ sehingga dapat dibuat skema transformasi seperti berikut. 
$T\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \xrightarrow{D[P(-1,2), 3]} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}$
dengan
$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} & = k\begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \\ & = 3 \begin{pmatrix} x-(-1)\\ y- 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3x + 2\\ 3y- 4\end{pmatrix}. \end{aligned}$
Transformasi titik $(x’, y’)$ dilanjutkan oleh rotasi dengan pusat $O$ sebesar $-\dfrac12\pi$ radian atau $-90^{\circ}$ sehingga dapat dibuat skema transformasi berikut. 
$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} \xrightarrow{R[O,-90^{\circ}]} \begin{pmatrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{pmatrix}$
dengan
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \cos (-90^{\circ}) &-\sin (-90^{\circ}) \\ \sin (-90^{\circ}) & \cos (-90^{\circ}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\-1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3x+2 \\ 3y-4 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 3y-4 \\-3x-2\end{pmatrix}. \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$\begin{cases} x^{\prime \prime} = 3y-4 \Leftrightarrow y = \dfrac{x^{\prime \prime} + 4}{3} \\ y^{\prime \prime} =-3x-2 \Leftrightarrow x =\dfrac{y^{\prime \prime} + 2}{-3} \end{cases}$
Substitusikan nilai $x$ dan $y$ pada persamaan kurva $y = x^2+3$ sehingga diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{x^{\prime \prime}+4}{3} & = \left(\dfrac{y^{\prime \prime}+2}{-3}\right)^2+3 \\ \text{Kali kedua ruas}~&\text{dengan 9} \\ 3(x^{\prime \prime}+4) = & (y^{\prime \prime}+2)^2 + 27 \\ 3x^{\prime \prime} + 12 & = (y^{\prime \prime})^2 + 4y^{\prime \prime} + 31 \\ 3x^{\prime \prime} & = (y^{\prime \prime})^2 + 4y^{\prime \prime} + 19. \end{aligned}$
Dengan menghilangkan tanda aksen ganda, diperoleh persamaan bayangan kurvanya, yaitu $\boxed{3x = y^2+4y+19}.$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa penyajian matriks untuk dilatasi berpusat di $O$ dan faktor skala 3 adalah $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}.$
Diketahui:
$T_1 =\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}~~~~T_2 =\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ 
Transformasi oleh kedua matriks tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} T_2 \cdot T_1 & = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 12 & 9 \end{pmatrix}. \end{aligned}$
Luas gambar yang baru dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L & = \left|\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 12 & 9 \end{pmatrix}\right| \times~\text{Luas Awal} \\ & = \left|54-36\right| \times~\text{Luas Awal} \\ & = 18 \times~\text{Luas Awal}. \end{aligned}$
Jadi, luas gambar persegi panjang itu akan menjadi $\boxed{18 \times~\text{Luas Awal}}.$ 
(Jawaban B)

Diketahui:
$T_1 = \begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac58 \\ \frac12 & 2 \end{pmatrix}~~~~T_2 = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$
Transformasi oleh kedua matriks tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} T_2 \cdot T_1 & = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac58 \\ \frac12 & 2 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \dfrac32 & \dfrac92 \\ \dfrac52 & 7 \end{pmatrix}. \end{aligned}$
Luas benda hasil potretan dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L & = \left|\begin{vmatrix} \dfrac32 & \dfrac92 \\ \dfrac52 & 7 \end{vmatrix}\right| \times~\text{Luas Gambar} \\ & = \left|\dfrac{21}{2}- \dfrac{45}{4}\right| \times 32~\text{cm}^2 \\ & = \left|-\dfrac34\right| \times 32~\text{cm}^2 = 24~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Jadi, luas benda hasil potretan adalah $\boxed{24~\text{cm}^2}.$ 
(Jawaban A)

Tampak pada gambar bahwa proses dilatasi mengambil pusat di titik paling kiri bawah. Asumsikan sebagai titik $(0, 0)$ sehingga $A(0, 1),$ $B(3, 1),$ $C(3, 3),$ dan $D(1, 3)$. Koordinat titik hasil dilatasinya adalah $A'(3, 0),$ $B'(9, 3),$ $C'(9, 9),$ dan $D'(3, 9).$
Dari sini, kita tahu bahwa ada suatu bilangan yang menjadi pengali untuk setiap nilai koordinat. Sebagai contoh, ambil titik $B(3,1)$ yang bayangannya adalah $B'(9, 3).$ Pengalinya adalah $3,$ yang berarti faktor skala untuk dilatasi tersebut adalah $\boxed{3}.$
(Jawaban B)

Secara geometri, kita dapat melakukan translasi pada titik ke titik yang dilalui masing-masing garis tersebut.
Dari titik $(-2, 0)$ bergeser $5$ satuan ke kanan $(+5)$ menuju titik $(3, 0)$ sehingga translasi yang sesuai adalah $\begin{bmatrix} 5 \\ 0 \end{bmatrix}$.
Selain itu, bisa juga dari titik $(0, 4)$ lalu digeser ke bawah sejauh $4$ satuan $(-4)$ dan $3$ satuan ke kanan $(+3)$ menuju titik $(3, 0)$ sehingga translasi yang sesuai adalah $\begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix}.$
(Jawaban E)

Berdasarkan garis alfabet, jarak E ke I adalah $4$. Karena nilai faktor skalanya $\dfrac12$, maka jarak bayangan E ke I adalah $\dfrac12 \times 4 = 2$. Dua huruf yang berjarak demikian terhadap I adalah huruf G dan K. Tanda faktor skalanya negatif sehingga letak benda dan bayangannya harus berseberangan terhadap titik pusat dilatasi (titik I) sehingga bayangan huruf E yang tepat adalah titik K.
(Jawaban D)

Garis $y=2ax-b$ digeser $2$ satuan ke kanan dan $1$ satuan ke bawah, artinya ditranslasikan oleh $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ sehingga garisnya menjadi
$\begin{aligned} (y-(-1)) & = 2a(x-2)-b \\ y+1 & = 2ax-4a-b. \end{aligned}$
Garis ini dicerminkan terhadap sumbu $Y,$ berarti kita hanya perlu mengganti $x$ menjadi $-x.$
$\begin{aligned} y+1 & = 2a\color{red}{(-x)}-4a-b \\ y & = -2ax-4a-b-1. \end{aligned}$
Karena diketahui bayangan garisnya adalah $y=-4x$, berdasarkan bentuk $y = -2ax-4a-b-1,$ kita peroleh $-2a = -4 \implies a = 2$ dan konstantanya $0$ sehingga didapat
$\begin{aligned} -4a-b-1 & = 0 \\ 4a+b+1 & = 0 \\ 4\color{red}{(2)}+b+1 & = 0 \\ b & = -9. \end{aligned}$
Dengan demikian, nilai $\boxed{a-b=2-(-9) = 11}.$
(Jawaban E)