Soal dan Pembahasan – Volume Benda Putar Menggunakan Integral

Kurva $x-y^2+1=0$ dapat ditulis menjadi $y^2=x+1$. Bila kita gambar kurvanya yang berupa parabola terbuka ke kanan, beserta garis tegak $x = -1$ dan $x = 4$, kita akan memperoleh gambar seperti berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut dan sumbu $X$ pada selang $[-1, 4]$.
Jika diputar mengelilingi sumbu $X$ sejauh $360^{\circ}$, diperoleh
$$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_{-1}^4 y^2~\text{d}x \\ & = \pi \int_{-1}^4 (x+1)~\text{d}x \\ & = \pi\left[\dfrac12x^2+x\right]_{-1}^4 \\ & = \pi\left[\left(\dfrac12(4)^2+4\right)-\left(\dfrac12(-1)^2+(-1)\right)\right] \\ & = \pi\left[(8+4)-\left(\dfrac12-1\right)\right] \\ & = \pi\left(12+\dfrac12\right) = 12\dfrac12 \pi \end{aligned}$$Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $\boxed{12\dfrac12\pi}$ satuan volume.
(Jawaban D)

Pertama, kita tentukan dulu titik potong kedua kurva dengan cara menyamakan fungsinya.
$\begin{aligned} x & = x \\ y + 2 & = y^2 \\ y^2-y-2 & = 0 \\ (y-2)(y+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $y = -1$ atau $y = 2$.
Dari gambar yang diberikan, daerah arsir terbatas pada interval $[0, 2]$.
Dengan demikian, volume benda putar yang terjadi dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^2 \left(x_{\text{atas}}^2-x_{\text{bawah}}^2\right)~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^2 \left((y+2)^2-(y^2)^2\right)~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^2 \left((y^2+4y+4)-y^4\right)~\text{d}y \\ & = \pi \left[\dfrac13y^3+2y^2+4y-\dfrac15y^5\right]_0^2 \\ & = \pi\left(\dfrac13(2)^3+2(2)^2+4(2)-\dfrac15(2)^5\right) \\ & = \pi\left(\dfrac83+8+8-\dfrac{32}{5}\right) \\ & = \pi\left(\dfrac{40+240-96}{15}\right) \\ & = \dfrac{184}{15}\pi = 12\dfrac{4}{15}\pi \end{aligned}$$Jadi, volume benda putar yang dimaksud sebesar $\boxed{12\dfrac{4}{15}\pi}$ satuan volume.
(Jawaban C)

Gambarkan sketsa kurvanya terlebih dahulu seperti berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang akan diputar terhadap sumbu $Y$.
Daerah tersebut terbatas pada absis titik potong kedua kurva dan dapat ditentukan dengan menyamakan kedua fungsinya.
$\begin{aligned} y & = y \\ x^2 & = 2x \\ x^2-2x & = 0 \\ x(x-2) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 0$ atau $x = 2.$
Jadi, daerah arsir berada pada selang $[0, 2].$
[diputar terhadap sumbu $Y$]
$y = x^2 \Leftrightarrow x^2 = y.$
$y = 2x \Leftrightarrow x = \dfrac{y}{2} \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{y^2}{4}.$
Perhatikan bahwa pada selang tersebut, kurva $y=x^2$ selalu berada di atas kurva $y=2x$ (cara melihatnya: semakin ke kanan, artinya semakin ke atas) sehingga volume benda putar yang terbentuk dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^4 (x_1^2-x_2^2)~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^4 \left(y-\dfrac{y^2}{4}\right)~\text{d}y \\ & = \pi \left[\dfrac12y^2-\dfrac{1}{12}y^3\right]_0^4 \\ & = \pi \left[\dfrac12(4^2-0^2)-\dfrac{1}{12}(4^3-0^3)\right] \\ & = \pi \left[8-5\dfrac13\right] = 2\dfrac23 \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang terbentuk sebesar $\boxed{2\dfrac23}$ satuan volume.
(Jawaban D)

Titik potong dari kurva $y = x^2+1$ dan $y = x+3$ dapat dicari dengan menyamakan fungsinya.
$\begin{aligned} y & = y \\ x^2+1 & = x+3 \\ x^2-x-2 & = 0 \\ (x-2)(x+1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $x = 2$ atau $x=-1.$
Sketsakan grafik dari $y = x^2+1$ (parabola) dan $y=x+3$ (garis lurus) beserta arsiran daerah yang dimaksud.
Daerah yang diarsir berada pada selang $[-1, 2]$ yang akan menjadi batas integrasi.
Perhatikan bahwa kurva $y=x+3$ selalu berada di atas kurva $y=x^2+1.$
Volume daerah itu bila diputar mengeliling sumbu $X$ satu lingkaran penuh kita nyatakan sebagai $V$.
$$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_{-1}^2 (y^2_\text{atas}-y^2_{\text{bawah}})~\text{d}x \\ & = \pi \int_{-1}^2 ((x+3)^2-(x^2+1)^2)~\text{d}x \\ & = \pi \int_{-1}^2 ((x^2+6x+9)-(x^4+2x^2+1))~\text{d}x \\ & = \pi \int_{-1}^2 (-x^4-x^2+6x+8)~\text{d}x \\ & = \pi \left[-\dfrac15x^5-\dfrac13x^3+3x^2+8x\right]_{-1}^2 \\ & = \pi\left[-\dfrac15(2^5-(-1)^5)-\dfrac13(2^3-(-1)^3)+3(2^2-(-1)^2)+8(2-(-1))\right] \\ & = \pi\left[-\dfrac{33}{5}-3+9+24\right] \\ & = \pi\left[-\dfrac{33}{5}+30\right] \\ & = \dfrac{117}{5}\pi \end{aligned}$$Jadi, volumenya adalah $\boxed{\dfrac{117}{5}{\pi}}$ satuan volume.
(Jawaban A)

Pertama, buat sketsa kurvanya terlebih dahulu.
Analisis: $y = 4x-x^2$
Karena koefisien $x^2$ negatif, kurva $y=4x-x^2$ berbentuk parabola yang terbuka ke bawah.
Cek titik potong terhadap sumbu $X.$
$$\begin{aligned} 0 & = 4x-x^2 \\ 0 & = x(4-x) \end{aligned}$$Kurva memotong sumbu $X$ di $(0, 0)$ dan $(4, 0).$
Absis titik puncak di $x_p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2(-1)} = 2.$ Substitusi sehingga dihasilkan $y_p = 4.$ Jadi, koordinat titik puncak parabola di $(2, 4).$
Analisis: $y = -2x+8$
Kurva berupa garis lurus yang melalui titik $(0, 8)$ dan $(4, 0)$.
Sketsa kedua kurva sebagai berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kedua kurva dan akan diputar mengelilingi sumbu $Y$ sejauh $360^\circ.$ Tampak kurva kanan = parabola dan kurva kiri = garis.
Batas integrasi adalah dari $0$ sampai $4,$ ditulis $\displaystyle \int_0^4.$
Berikutnya, akan dicari bentuk $x^2.$
Kurva $y = 4x-x^2$:
$$\begin{aligned} y & = 4x-x^2 \\ y-4 & = 4x-x^2-4 \\ 4-y & = x^2-4x+4 \\ 4-y & = (x-2)^2 \\ \sqrt{4-y} & = x-2 \\ \sqrt{4-y} + 2 & = x \\ (4-y) + 4\sqrt{4-y} + 4 & = x^2 \\ 8-y+4\sqrt{4-y} & = x^2 \end{aligned}$$Kurva $y = -2x + 8$:
$$\begin{aligned} y & = -2x + 8 \\ y-8 & = -2x \\ \dfrac{8-y}{2} & = x \\ \dfrac{64-16y+y^2}{4} & = x^2 \end{aligned}$$Dengan demikian, volume benda putar daerah tersebut, yakni sebagai berikut.
$$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^4 \left(x^2_{\text{kanan}}-x^2_{\text{kiri}}\right)~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^4 \left(\left(8-y+4\sqrt{4-y}\right)-\left(\dfrac{64-16y+y^2}{4}\right)\right)~\text{d}y \\ & = \dfrac14\pi \int_0^4 \left((32-4y+16\sqrt{4-y})-(64-16y+y^2)\right)~\text{d}y \\ & = \dfrac14\pi \int_0^4 \left(-32 + 12y-y^2+16\sqrt{4-y}\right)~\text{d}y \\ & = \dfrac14\pi \left[-32y + 6y^2-\dfrac13y^3+16 \cdot \left(-\dfrac23\right)(4-y)^{3/2}\right]_0^4 \\ & = \dfrac14\pi\left[-128 + 96-\dfrac{64}{3}+\dfrac{256}{3}\right] \\ & = \dfrac14\pi(-32 + 64) \\ & = 8\pi \end{aligned}$$Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah $\boxed{8\pi}$
(Jawaban D)

Perhatikan sketsa gambar ketiga kurva yang diberikan berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah $D$ yang akan diputar terhadap sumbu $Y$ sejauh $360^{\circ}$. Terlihat bahwa daerah itu berada dalam interval $[0, 4].$
Catatan: Jika pada soal tidak menginformasikan sudut putarannya, maka dianggap $360^{\circ}$ atau satu putaran.
Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} x^2 & = y && (x~\text{kanan}) \\ 4x^2 & = y \Rightarrow x^2 = \dfrac14y. && (x~\text{kiri}) \end{aligned}$
Dengan demikian, kita akan peroleh
$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^4 (x_{\text{kanan}}^2-x_{\text{kiri}}^2)~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^4 \left(y-\dfrac14y\right)~\text{d}y \\ & = \dfrac34\pi \int_0^4 y~\text{d}y \\ & = \dfrac34\pi \left[\dfrac12y^2\right]_0^4 \\ & = \dfrac38\pi (4^2-0^2) \\ & = 6\pi. \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar dari daerah $D$ tersebut adalah $\boxed{6\pi}$ satuan volume.
(Jawaban C)

Pertama, kita sketsakan dulu kurvanya masing-masing di sistem koordinat sebagai berikut.
Daerah yang dibatasi oleh ketiga kurva tersebut diarsir pada gambar di atas. Jika daerah itu diputar mengelilingi sumbu $X$ sejauh $360^{\circ}$, maka bagiannya akan saling timpang tindih ketika memasuki sudut $180^{\circ}$. Karena itu, kita hanya perlu mencari volume benda putar oleh salah satu dari dua daerah yang sama luasnya itu. Misal kita pilih daerah yang atas.
Daerah dibatasi pada interval $[0, 4]$. Volume benda putar terhadap sumbu $X$ sejauh $360^{\circ}$ dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^4 \left(y_{\text{atas}}^2-y_{\text{bawah}}^2\right)~\text{d}x \\ & = \pi \int_0^4 \left(10x-4x\right)~\text{d}x \\ & = 6\pi \int_0^4 x~\text{d}x \\ & = 6\pi\left[\dfrac12x^2\right]_0^4 \\ & = 6\pi\left(\dfrac12(4)^2\right)-0 \\ & = 6\pi(8) = 48\pi \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang dimaksud sebesar $\boxed{48\pi}$ satuan volume.
(Jawaban B)

Perhatikan sketsa gambar kedua kurva tersebut berikut ini.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang akan diputar mengelilingi sumbu $Y$. Kedua daerah itu memiliki luas yang sama sehingga kita hanya perlu mencari volume benda putar daerah yang satu, lalu dikali $2$.
Misalkan kita akan mencari volume benda putar dari daerah di kuadran pertama.
Titik potong lingkaran dan parabola harus dicari dulu.
Substitusikan $x =2\sqrt3y^2$ ke persamaan $\color{red}{x}^2+y^2=1$.
$\begin{aligned} (\color{red}{2\sqrt3y^2})^2 + y^2 & = 1 \\ 12y^4 + y^2-1 & = 0 \\ (3y^2+1)(4y^2-1) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $3y^2+1 = 0$ (tidak terpenuhi untuk semua $y$) atau $4y^2-1=0$, berarti $y = \pm \dfrac12.$
Jadi, integral untuk mencari volumenya terpisah pada batas integrasi $y = \dfrac12$.
Perhatikan juga bahwa
$\begin{aligned} x& = 2\sqrt3y^2 \Rightarrow x^2 = 12y^4 \\ x^2+y^2 &=1 \Rightarrow x^2=1-y^2. \end{aligned}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^{1/2} (12y^4)~\text{d}y+\pi \int_{1/2}^1 (1-y^2)~\text{d}y \\ & = 12\pi\left[\dfrac15y^5\right]_0^{1/2} + \pi \left[y-\dfrac13y^3\right]_{1/2}^1 \\ & = \dfrac{12}{5}\pi \cdot \left(\dfrac12\right)^5+\pi\left(1-\dfrac13-\dfrac12+\dfrac13\left(\dfrac12\right)^3\right) \\ & = \dfrac{3}{40}\pi+\pi\left(\dfrac{24-8-12+1}{24}\right) + \pi \\ & = \left(\dfrac{3}{40}+\dfrac{5}{24}\right)\pi = \dfrac{17}{60}\pi. \end{aligned}$$Karena benda putar yang terbentuk ada dua dan ukurannya sama, volume benda putar secara keseluruhan adalah $\boxed{2 \times \dfrac{17}{60}\pi = \dfrac{34}{60}\pi}$
(Jawaban C)

Jika segitiga siku-siku itu diputar mengelilingi sumbu $Y$, maka akan terbentuk sebuah kerucut dengan jari-jari alas $2$ dan tingginya $3$.
Dengan menggunakan rumus volume kerucut, diperoleh
$\begin{aligned} V & = \dfrac13 \pi r^2 t \\ & = \dfrac{1}{\cancel{3}} \pi \cdot (2)^2 \cdot \cancel{3} = 4\pi. \end{aligned}$
Sekarang kita akan mencoba menggunakan integral untuk menentukan volume kerucut tersebut.
Dari $3x + 2y = 6,$ dapat kita nyatakan dalam $x = \dfrac{6-2y}{3}.$
Daerah yang diarsir ditinjau dari sumbu $Y$ berada pada selang $[0, 3]$ (batas integral).
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^3 x^2~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^3 \left(\dfrac{6-2y}{3}\right)^2~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^3 \dfrac49 \cdot (3-y)^2~\text{d}y \\ & = \dfrac{4}{9} \pi \int_0^3 (9-6y+y^2)~\text{d}y \\ & = \dfrac{4}{9}\pi \left[9y-3y^2+\dfrac13y^3\right]_0^3 \\ & = \dfrac{4}{9}\pi \cdot \left(9(3)-3(3)^2 + \dfrac13(3)^3\right) \\ & = \dfrac{4}{\cancel{9}}\pi \cdot \cancel{9} = 4\pi. \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang terbentuk (kerucut) adalah $\boxed{4\pi}$

Bila diputar terhadap sumbu Y sejauh $180^{\circ},$ persegi itu akan membentuk sebuah setengah tabung dengan panjang jari-jari alas $2$ dan tingginya juga $2$.
Volume setengah tabung itu adalah $V = \dfrac12 \pi r^2t = \dfrac12\pi(2)^2(2) = 4\pi.$
Sekarang kita akan menggunakan integral untuk menghitung volume benda putar (setengah tabung) tersebut.
Daerah arsir (persegi) dibatasi oleh kedua sumbu koordinat, garis datar $y = 2$, dan garis tegak $x = 2.$
Dengan orientasi pada sumbu $Y$, kita asumsikan pembatasnya adalah garis $x = 2$ pada selang $[0, 2]$ (dilihat dari $Y).$
Dengan demikian, volumenya dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} V & = \dfrac12\pi \displaystyle \int_0^2 x^2~\text{d}y \\ & = \dfrac12\pi \int_0^2 (2)^2~\text{d}y \\ & = \dfrac12\pi \left[4y\right]_0^2 \\ & = \dfrac12\pi \cdot 4(2) \\ & = 4\pi \end{aligned}$
Catatan: Bilangan $\dfrac12$ muncul karena putarannya hanya sebesar $180^{\circ}$, yaitu setengah dari sudut putaran penuh.
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $\boxed{4\pi}$

Bila diputar terhadap sumbu Y sejauh $360^{\circ},$ seperempat lingkaran itu akan membentuk sebuah setengah bola dengan panjang jari-jari $2.$
Volume setengah bola itu adalah $V = \dfrac23 \pi r^3= \dfrac23\pi(2)^3 = \dfrac{16}{3}\pi.$
Sekarang kita akan menggunakan integral untuk menghitung volume benda putar (setengah bola) tersebut.
Persamaan lingkaran berjari-jari $2$ dan berpusat di $(0,0)$ adalah $x^2+y^2 = 4$ atau dapat ditulis menjadi $x = \pm \sqrt{4-y^2}$. Karena posisi seperempat lingkaran terletak di kuadran I (nilai $x$ positif), kita ambil tanda $+$ saja, yaitu $x = \sqrt{4-y^2}.$
Dengan orientasi pada sumbu $Y$, kita asumsikan pembatasnya adalah lengkungan $x = \sqrt{4-y^2}$ pada selang $[0, 2]$ $($dilihat dari $Y).$
Dengan demikian, volumenya dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{aligned} V & = \pi \displaystyle \int_0^2 x^2~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^2 (\sqrt{4-y^2})^2~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^2 (4-y^2)~\text{d}y \\ & = \pi \left[4y-\dfrac13y^3\right]_0^2 \\ & = \pi \cdot \left(4(2)-\dfrac13(2)^3\right) \\ & = \pi\left(8-\dfrac83\right) = \dfrac{16}{3}\pi \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $\boxed{\dfrac{16}{3}\pi}$

Diketahui $y = \sqrt{x}$.
Jawaban a)
Ketika $y = 2$, haruslah $x = 4,$ artinya grafik melalui titik $(4, 2).$ Batas arsir dilihat dari sumbu $X$ adalah $[0, 4].$
Oleh karena itu, volume benda putarnya terhadap sumbu $X$ dinyatakan oleh integral berikut.
$\begin{aligned} V & = \displaystyle \pi \int_0^4 y^2~\text{d}x \\ & = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2~\text{d}x \\ & = \pi \int_0^4 x~\text{d}x \\ & = \pi \left[\dfrac12x^2\right]_0^4 \\ & = \dfrac12 \pi(4^2-0^2) \\ & = 8\pi \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang terjadi sebesar $\boxed{8\pi}$
Jawaban b)
Ketika $y = 2$, haruslah $x = 4,$ artinya grafik melalui titik $(4, 2)$. Batas arsir dilihat dari sumbu $Y$ adalah $[0, 2].$
Perhatikan bahwa $y = \sqrt{x}$ ekuivalen dengan $y^4 = x^2.$
Oleh karena itu, volume benda putarnya terhadap sumbu $Y$ dinyatakan oleh integral berikut.
$\begin{aligned} V & = \displaystyle \pi \int_0^2 x^2~\text{d}y \\ & = \pi \int_0^2 y^4~\text{d}y \\ & = \pi \left[\dfrac15y^5\right]_0^2 \\ & = \dfrac15 \pi(2^5-0^5) \\ & = \dfrac{32}{5}\pi = 6\dfrac25 \pi \end{aligned}$
Jadi, volume benda putar yang terjadi sebesar $\boxed{6\dfrac25\pi}$