Soal dan Pembahasan – Teorema Binomial dan Perluasannya

Berdasarkan teorema binomial, diketahui bahwa $(a+b)^4$ dapat dijabarkan menjadi $a^4+4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4.$
Bentuk $S$ akan sama dengan penjabaran tersebut jika kita mengambil nilai $a = x-1$ dan $b = 1.$
Oleh karena itu, dapat kita tuliskan
$$\begin{aligned} S & = (x-1)^4 + 4(x-1)^3 + 6(x-1)^2 + 4(x-1) + 1 \\ & = ((x-1) + 1)^4 \\ & = x^4. \end{aligned}$$Jadi, bentuk sederhana dari $S$ adalah $\boxed{x^4}$
(Jawaban C)

Suku keenam dari hasil ekspansi binomial tersebut dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \text{U}_6 & = C_5^9(2x^{1/2})^{9-5}\left(-\dfrac14x^{1/4}\right)^5 \\ & = \dfrac{9!}{5! \cdot 4!}(2x^{1/2})^4\left(-\dfrac14x^{1/4}\right)^5 \\ & = \dfrac{9 \cdot \cancelto{2}{8} \cdot 7 \cdot \bcancel{6} \cdot \bcancel{5!}}{\bcancel{5!} \cdot \cancel{4} \cdot \bcancel{3 \cdot 2}}(2)^4(x^{1/2})^4 \left(-\dfrac14\right)^5(x^{1/4})^5 \\ & = -(\color{blue}{9} \cdot 2 \cdot \color{blue}{7})(2)^4(2)^{-10}x^2(x^{5/4}) \\ & = -\color{blue}{63}(2^{1+4-10})x^{2 + 5/4} \\ & = -\dfrac{63}{32}x^{13/4}. \end{aligned}$$Jadi, suku keenam dari hasil ekspansi binomial tersebut adalah $\boxed{-\dfrac{63}{32}x^{13/4}}$
(Jawaban A)

Perhatikan bahwa suku $3x^2$ akan selalu berpangkat genap pada variabel $x$ bila dipangkatkan bilangan bulat dari $0$ sampai $8$. Ini menunjukkan bahwa tidak ada satu pun kombinasi perkalian dua suku yang menghasilkan ekspresi $x^7$ karena pangkatnya ganjil.
Jadi, tidak ada suku yang mengandung ekspresi $x^7$ dari ekspansi binomial tersebut sehingga koefisien $x^7$ sama dengan $\boxed{0}$
(Jawaban A)

Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk $x^{14}$ adalah $(x)^p(x^3)^q = x^{14}$ dengan $\color{red}{p + q = 10}$. Persamaan eksponen $(x)^p(x^3)^q = x^{14}$ mengimplikasikan bahwa $\color{red}{p + 3q = 14}.$
Selesaikan dan kita akan memperoleh $p = 8$ dan $q = 2.$
Karena $q = 2,$ suku yang dimaksud merupakan suku ke-$2+1 = 3.$
Dalam hal ini, kita memilih $q$ (dan bukan $p)$ karena $q$ merupakan eksponen $b$ dari bentuk $(a+b)^n$ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat.
$$\begin{aligned} \text{Suku ke-}3 & = C_2^{10} x^8(2x^3)^2 \\ & = \dfrac{10!}{8! \cdot 2!} x^8(4x^6) \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot \cancel{8!}}{\cancel{8!} \cdot 2} (4x^{14}) \\ & = 45(4x^{14}) = 180x^{14} \end{aligned}$$Jadi, koefisien suku yang mengandung $x^{14}$ adalah $\boxed{180}$
(Jawaban D)

Ekspresi $x^4$ terbentuk dari kombinasi perkalian suku $\dfrac{1}{x}=x^{-1}$ dan $x^2$.
Kombinasi yang mungkin untuk menghasilkan $x^4$ adalah $(x^{-1})^p(x^2)^q = x^4$ dengan $\color{red}{p + q = 14}.$
Perhatikan bahwa $(x^{-1})^p(x^2)^q = x^4$, yang artinya $\color{red}{-p + 2q = 4}$.
Selesaikan dan kita akan memperoleh $p = 8$ dan $q = 6.$
Karena $q = 6$, kita akan mencari suku ke-$6+1=7.$
$$\begin{aligned} \text{Suku ke-}7 & = C_6^{14} \left(\dfrac{2}{x}\right)^8\left(\dfrac{x^2}{4}\right)^6 \\ & = \dfrac{14!}{8! \cdot 6!} (2)^8(x^{-1})^8(x^2)^6(4^{-1})^6 \\ & = \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot \cancel{8!}}{\cancel{8!} \cdot 6!}(2^8)(x^{-8})(x^{12})(2^{-12}) \\ & = \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{6!}(2^{-4})x^4 \\ & = \dfrac{3003}{16}x^4 \end{aligned}$$Jadi, koefisien suku yang mengandung $x^4$ adalah $\boxed{\dfrac{3003}{16}}$
(Jawaban D)

Mencari konstanta sama artinya dengan mencari koefisien dari $x^0.$
Ekspresi $x^0$ terbentuk dari kombinasi perkalian suku $x^3$ dan $\dfrac{1}{x} = x^{-1}.$
Kombinasi yang mungkin untuk menghasilkan $x^0$ adalah $(x^3)^p(x^{-1})^q = x^0$, dan dari sini kita peroleh SPLDV berikut.
$$\begin{cases} p + q & = 8 && (\text{jumlah pangkat dari binomial}) \\ 3p-q & = 0 && (\text{kesamaan pangkat}) \end{cases}$$Selesaikan dan kita peroleh $p = 2$ dan $q = 6.$
Karena $q = 6$, kita akan mencari koefisien suku ke-$6+1 = 7.$
$$\begin{aligned} \text{Suku ke-7} & = C_6^8 (3x^3)^2\left(-\dfrac{2}{x}\right)^6 \\ & = \dfrac{8!}{6! \cdot 2!}(9\cancel{x^6})\left(\dfrac{64}{\cancel{x^6}}\right) \\ & = \dfrac{8 \times 7}{2} \cdot 9 \cdot 64 = 16.128 \end{aligned}$$Jadi, konstanta dari hasil penjabaran $\left(3x^3-\dfrac{2}{x}\right)^8$ adalah $\boxed{16.128}$
(Jawaban D)

Diberikan trinomial $(a+b+c)^{11}$.
Pilih $a$ dari $2$ faktor di antara $11$ faktor yang bisa dilakukan dalam $C_2^{11}$ cara.
Pilih $b$ dari $3$ faktor di antara $11-2=9$ faktor yang bisa dilakukan dalam $C_3^{9}$ cara.
Pilih $c$ dari $6$ faktor di antara $6$ faktor tersisa yang bisa dilakukan dalam $C_6^{6}$ cara.
Dengan demikian, koefisien $a^2b^3c^6$ sama dengan
$$\begin{aligned} & C_2^{11} \cdot C_3^9 \cdot C_6^6 \\ & = \dfrac{11!}{9! \cdot 2!} \cdot \dfrac{9!}{6! \cdot 3!} \cdot \dfrac{6!}{0! \cdot 6!} \\ & = \dfrac{11 \cdot 10}{2} \cdot \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3!} \cdot 1 \\ & = 4.620. \end{aligned}$$Jadi, koefisien $a^2b^3c^6$ dalam ekspansi $(a+b+c)^{11}$ adalah $\boxed{4.620}$
(Jawaban D)

Kombinasi yang mungkin untuk menghasilkan $x^{23}$ adalah
$$(1)^p \left(\dfrac{1}{99}x^5\right)^q \left(\dfrac{1}{10}x^9\right)^r = kx^{23}$$dengan $p + q + r = 100.$
Dalam kasus ini, nilai $p$ dapat ditentukan paling akhir karena $1^p = 1$ dengan $0 \leq p \leq 100.$
Dengan menyamakan pangkatnya, kita peroleh persamaan $5q + 9r = 23$ dengan $q + r \leq 100.$
Persamaan tersebut bisa diselesaikan dengan menggunakan konsep persamaan Diophantine (karena $q, r$ bilangan bulat), tetapi memakan waktu yang lama.
Gunakan saja cara coba-coba (try and error) untuk menentukan nilai $q$ dan $r$ yang memenuhi persamaan tersebut.
Kita akan memperoleh $q = 1$ dan $r = 2$ sehingga $p = 97$.
Suku yang mengandung $x^{23}$ adalah
$$\begin{aligned} & C_1^{100} \cdot C_2^{99} \cdot C_{97}^{97} \left(\dfrac{1}{99}x^5\right)^1\left(\dfrac{1}{10}x^9\right)^2 \cdot 1^{97} \\ & = \dfrac{100!}{99! \cdot 1!} \cdot \dfrac{99!}{97! \cdot 2!} \cdot 1 \left(\dfrac{1}{99}\right)\left(\dfrac{1}{100}\right)x^5 \cdot x^{18} \\ & = \cancel{100} \cdot \dfrac{\bcancel{99} \cdot 98}{2} \cdot \dfrac{1}{\bcancel{99}} \cdot \dfrac{1}{\cancel{100}} x^{23} = 49x^{23}. \end{aligned}$$Jadi, koefisien $x^{23}$ dari ekspansi trinomial tersebut adalah $\boxed{49}$
(Jawaban C)

Berdasarkan teorema binomial, kita tahu bahwa
$(a+b)^n = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b +$ $C_2^n a^{n-2}b^2 + \cdots + C_n^n b^n.$
Misalkan $a = b = 1.$ Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} (1+1)^n & = C_0^n 1^n + C_1^n 1^{n-1} \cdot 1 + C_2^n 1^{n-2} \cdot 1^2 + \cdots + C_n^n 1^n \\ 2^n & = C_0^n + C_1^n + C_2^n + \cdots + C_n^n. \end{aligned}$$Untuk $n = 2.020,$ didapat
$2^{2020} = C_0^{2.020} + C_1^{2.020} + C_2^{2.020} +$ $\cdots + C_{2.020}^{2.020}.$
(Jawaban D)

Banyaknya suku dari ekspansi multinomial $(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_u)^n$ adalah $C_{u-1}^{n+u-1}$ dengan $n$ adalah pangkat dan $u$ adalah banyak sukunya.
Untuk itu, multinomial $(a+b+c+d)^6$ memiliki nilai $n = 6$ dan $u = 4$ sehingga
$A = C_{4-1}^{6+4-1} = C_3^9 = \dfrac{9!}{6! \cdot 3!} = 84.$
Multinomial $(a+b+c+d+e)^4$ memiliki nilai $n=4$ dan $u=5$ sehingga
$B = C_{5-1}^{4+5-1} = C_4^8 = \dfrac{8!}{4! \cdot 4!} = 70.$
Dengan demikian, $A-B = 84-70=14.$
Jadi, selisih nilai $A$ dan $B$ adalah $\boxed{14}$
(Jawaban B)

Pada penjabaran $\left(1+\dfrac14\right)^n$ dengan $n > 0$, diperoleh
$\begin{aligned} \text{Suku kedua} & = \displaystyle \binom{n}{1}(1)^{n-1} \cdot \left(\dfrac14\right)^1 \\ & = n(1)\left(\dfrac14\right) = \dfrac{n}{4} \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \text{Suku ketiga} & = \displaystyle \binom{n}{2}(1)^{n-2} \cdot \left(\dfrac14\right)^2 \\ & = \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}(1) \cdot \dfrac{1}{16} \\ & = \dfrac{n(n-1)}{32}. \end{aligned}$
Karena suku kedua sama dengan suku ketiga, kita dapatkan
$\begin{aligned} \dfrac{\bcancel{n}}{\cancel{4}} & = \dfrac{\bcancel{n}(n-1)}{\cancelto{8}{32}} \\ 1 & = \dfrac{n-1}{8} \\ n-1 & = 8 \\ n & = 9. \end{aligned}$
Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{9}$
(Jawaban D)

Substitusi $x = y = 1$ pada penjumlahan dua binomial $(8x-7y)^{100} + (5x-6y)^{100}$ akan menghasilkan jumlah koefisien tiap suku-suku penjabarannya.
$$\begin{aligned} \text{S} & = (8(1)-7(1))^{100} + (5(1)-6(1))^{100} \\ & = 1^{100} + (-1)^{100} \\ & = 1+1=2 \end{aligned}$$Jadi, jumlah koefisien dari $(8x-7y)^{100} + (5x-6y)^{100}$ adalah $\boxed{2}$
(Jawaban D)

Perhatikan bahwa dengan menggunakan teorema binomial, kita peroleh
$$\begin{aligned} (2.008+1)^{2.008} & = \displaystyle \sum_{k = 0}^{2.008} \binom{2.008}{k}2.008^k(1)^{2.008-k} \\ 2.009^{2.008}& = \sum_{k=0}^{2.008} \binom{2.008}{k} 2.008^k \\ & = \binom{2.008}{0} 2.008^0 + \sum_{k=1}^{2.007} 2.008^k + \binom{2.008}{2.008} 2.008^{2.008} \\ & = 1 + \sum_{k=1}^{2.007} 2.008^k + 2.008^{2.008}. \end{aligned}$$Dari persamaan terakhir di atas, diperoleh
$\boxed{\displaystyle \sum_{k=1}^{2.007} 2.008^k = 2.009^{2.008}-2.008^{2.008}-1}$
(Jawaban C)

Gunakan teorema binomial.
Jawaban a)
$$\begin{aligned} (a+b)^6 & = C_0^6 a^6 + C_1^6 a^5b + C_2^6 a^4b^2 + C_3^6 a^3b^3 + C_4^6 a^2b^4 + C_5^6 ab^5 + C_6^6 b^6 \\ & = \dfrac{6!}{6! \cdot 0!} a^6 + \dfrac{6!}{5! \cdot 1!} a^5b + \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} a^4b^2 + \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} a^3b^3 + \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} a^2b^4 + \dfrac{6!}{1! \cdot 5!} ab^5 + \dfrac{6!}{0! \cdot 6!} b^6 \\ & = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6 \end{aligned}$$Jawaban b)
$$\begin{aligned} (3x+y)^9 & = C_0^9 (3x)^9 + C_1^9 (3x)^8y + C_2^9 (3x)^7y^2 + C_3^9 (3x)^6y^3 + C_4^9 (3x)^5y^4 + C_5^9 (3x)^4y^5 + C_6^9 (3x)^3y^6 + C_7^9 (3x)^2y^7 + C_8^9 (3x)y^8 + C_9^9 y^9 \\ & = \dfrac{9!}{9! \cdot 0!} 19683x^9 + \dfrac{9!}{8! \cdot 1!} 6561x^8y + \dfrac{9!}{7! \cdot 2!} 2187x^7y^2 + \dfrac{9!}{6! \cdot 3!} 729x^6y^3 + \dfrac{9!}{5! \cdot 4!} 243x^5y^4 + \dfrac{9!}{4! \cdot 5!} 81x^4y^5 + \dfrac{9!}{3! \cdot 6!} 27x^3y^6 + \dfrac{9!}{2! \cdot 7!} 9x^2y^7 + \dfrac{9!}{1! \cdot 8!} 3xy^8 + \dfrac{9!}{0! \cdot 9!} y^9 \\ & = (1)19.683x^9 + (9)6.561x^8y + (36)2.187x^7y^2 + (84) 729x^6y^3 + (126)243x^5y^4 + (126)81x^4y^5 + (84) 27x^3y^6 + (36)9x^2y^7 + (9)3xy^8 + (1)y^9 \\ & = 19.683x^9 + 59.049x^8y + 78.732x^7y^2 + 61.236x^6y^3 + 30.618x^5y^4 + 10.206x^4y^5 + 2.268x^3y^6 + 324x^2y^7 + 27xy^8 + y^9 \end{aligned}$$Jawaban c)
$$\begin{aligned} (x-2y)^5 & = C_0^5 x^5 + C_1^5 x^4(-2y) + C_2^5 x^3(-2y)^2 + C_3^5 x^2(-2y)^3 + C_4^5 x(-2y)^4 + C_5^5 (-2y)^5 \\ & = \dfrac{5!}{0! \cdot 5!} x^5 + \dfrac{5!}{1! \cdot 4!} (-2x^4y) + \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} (4x^3y^2) + \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} (-8x^2y^3) + \dfrac{5!}{4! \cdot 1!} (16xy^4) + \dfrac{5!}{5! \cdot 0!} (-32y^5) \\ & = 1x^5 + 5(-2x^4y) + 10(4x^3y^2) + 10(-8x^2y^3) + 5(16xy^4) + 1(-32y^5) \\ & = x^5-10x^4y+40x^3y^2-80x^2y^3 +80xy^4-32y^5 \end{aligned}$$

Jawaban a)
Jabarkan $(\sqrt3+1)^5$ menggunakan teorema binomial.
$$\begin{aligned} (\sqrt3+1)^5 & = C_0^5 (\sqrt3)^5 + C_1^5 (\sqrt3)^4(1) + C_2^5 (\sqrt3)^3(1)^2 + C_3^5 (\sqrt3)^2(1)^3 + C_4^5 (\sqrt3)(1)^4 + C_5^5 (1)^5 \\ & = 9\sqrt3 + 5(9)(1) + 10(3\sqrt3)(1) + 10(3)(1) + 5(\sqrt3)(1) + 1 \\ & = 9\sqrt3 + 45 + 30\sqrt3 + 30 + 5\sqrt3 + 1 \\ & = 44\sqrt3 + 76 \end{aligned}$$Dengan cara yang serupa, kita peroleh
$$\begin{aligned} (\sqrt3-1)^5 & = 9\sqrt3 -5(9)(1) + 10(3\sqrt3)(1)- 10(3)(1) + 5(\sqrt3)(1)-1 \\ & = 9\sqrt3 -45 + 30\sqrt3- 30 + 5\sqrt3 -1 \\ & = 44\sqrt3-76. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} & (\sqrt3+1)^5-(\sqrt3-1)^5 \\ & = (44\sqrt3+76)-(44\sqrt3-76) \\ & = 76+76 = 152. \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $(\sqrt3+1)^5-(\sqrt3-1)^5$ adalah $\boxed{152}$
Jawaban b)
Jabarkan $(2+\sqrt5)^5+(2-\sqrt5)^5$ menggunakan teorema binomial.
$$\begin{aligned} (2+\sqrt5)^5 & = C_0^5 (2)^5 + C_1^5 (2)^4(\sqrt5) + C_2^5 (2)^3(\sqrt5)^2 + C_3^5 (2)^2(\sqrt5)^3 + C_4^5 (2)(\sqrt5)^4 + C_5^5 (\sqrt5)^5 \\ & = 1(32) + 5(16)(\sqrt5) + 10(8)(5) + 10(4)(5\sqrt5) + 5(2)(25) + 1(25\sqrt5) \\ & = 32 + 80\sqrt5 + 400 + 200\sqrt5 + 250 + 25\sqrt5 \\ & = 305\sqrt5 + 682 \end{aligned}$$Dengan cara yang serupa, kita peroleh
$$\begin{aligned} (2-\sqrt5)^5 & = 1(32) -5(16)(\sqrt5) + 10(8)(5)- 10(4)(5\sqrt5) + 5(2)(25)- 1(25\sqrt5) \\ & = 32 -80\sqrt5 + 400 -200\sqrt5 + 250 -25\sqrt5 \\ & = -305\sqrt5 + 682. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$\begin{aligned} & (2+\sqrt5)^5+(2-\sqrt5)^5 \\ & = (305\sqrt5+682)+(-305\sqrt5+682) \\ & = 682+682 = 1.364. \end{aligned}$
Jadi, hasil dari $(2+\sqrt5)^5+(2-\sqrt5)^5$ adalah $\boxed{1.364}$

Jawaban a)
Koefisien suku ke-$a$ dari binomial $(x + y)^n$ adalah $\displaystyle \binom{n}{a-1} x^{n-a+1} \cdot y^{a-1}.$
Diketahui $(2x-y)^{11}$ yang berarti $n = 11$ dan kita akan mencari suku ketujuh $(a = 7)$.
$$\begin{aligned} \text{Suku ketujuh} & = \displaystyle \binom{n}{a-1} (2x)^{n-a+1} \cdot (-y)^{a-1} \\ & = \binom{11}{7-1} (2x)^{11-7+1}(-y)^{7-1} \\ & = \binom{11}{6} (2x)^5(-y)^6 \\ & = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{6! \cdot \cancel{5!}} (32x^5)(y^6) \\ & = 462(32x^5)(y^6) = 14.784x^5y^6 \end{aligned}$$Jadi, suku ketujuhnya adalah $\boxed{14.784x^5y^6}$
Jawaban b)
Koefisien suku ke-$k$ dari penjabaran binomial $(ax+by)^n$ ditentukan oleh $\displaystyle \binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^{k-1}$.
Untuk itu, koefisien suku ke-$5$ dari penjabaran binomial $(ax+by)^n$ dinyatakan oleh
$$\begin{aligned} \text{U}_5 & = \displaystyle \binom{11}{5-1}(2)^{11-5+1}(-1)^{5-1} \\ & = \binom{11}{4}(2)^7(-1)^4 \\ & = \dfrac{11!}{4! \cdot 7!}(2)^7 \\ & = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot \cancel{7!}}{4! \cdot \cancel{7!}}(2)^7 \\ & = 42.240 \end{aligned}$$Jadi, koefisien suku kelima adalah $\boxed{42.240}$
Jawaban c)
Jumlah semua koefisien penjabarannya adalah $(2x-y)^{11}$ ketika $x=y=1$. Kita peroleh, $(2(1)-1)^{11} = 1^{11} = 1$.

Diketahui binomial $(5+2x)^n.$
Suku yang memuat ekspresi $x^2$ dinyatakan oleh $C_q^n (5)^p(2x)^q = kx^2$
untuk suatu bilangan real $k.$
Persamaan di atas menunjukkan bahwa $q = 2$ sehingga $p = n-2$.
Koefisien $x^2$ adalah $C_2^n (5)^{n-2}(2)^2$.
Suku yang memuat ekspresi $x$ dinyatakan oleh $C_q^n (5)^p(2x)^q = kx$ untuk suatu bilangan real $k.$
Persamaan di atas menunjukkan bahwa $q = 1$ sehingga $p = n-1.$
Koefisien $x$ adalah $C_1^n (5)^{n-1}(2).$
Koefisien $x^2$ harus sama dengan dua kali koefisien $x$ sehingga
$$\begin{aligned} C_2^n (5)^{n-2}(2)^2 & = 2\left(C_1^n (5)^{n-1}(2)\right) \\ \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!} (5)^{n-2} (\cancel{4}) & = \cancel{2} \cdot \dfrac{n!}{(n-1)! \cdot 1!} (5)^{n-1} (\cancel{2}) \\ \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2} \cdot \dfrac{(n-1)!}{(n)!} & = \dfrac{5^{n-1}}{5^{n-2}} \\ \dfrac{n-1}{2} & = 5 \\ n-1 & = 10 \\ n & = 11. \end{aligned}$$Jadi, nilai $n$ agar $\boxed{11}$

Diketahui binomial $(nx-y)^6.$
Suku ketiga hasil ekspansi binomial tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{U}_3 & = C_2^6 (nx)^4(-y)^2 \\ & = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} (n^4x^4)(y^2) \\ & = 15n^4x^4y^2. \end{aligned}$
Koefisien suku ketiga adalah $15n^4.$
Suku kelima hasil ekspansi binomial tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{U}_5 & = C_4^6 (nx)^2(-y)^4 \\ & = \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} (n^2x^2)(y^4) \\ & = 15n^2x^2y^4. \end{aligned}$
Koefisien suku kelima adalah $15n^2.$
Karena rasio (perbandingan) koefisien suku ketiga dan kelima setelah binomialnya dijabarkan adalah $4 : 1$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{15n^4}{15n^2} & = \dfrac41 \\ n^2 & = 4 \\ n & = \pm 2. \end{aligned}$
Karena diketahui $n > 0$, nilai $n$ yang dimaksud adalah $\boxed{n=2}$

Suku yang mengandung ekspresi $x^{10}$ pada penjabaran $(1-x^2)^{10}$ adalah $C_q^{10} (1)^p(-x^2)^q = kx^{10}$ dengan $p + q = 10$. Persamaan di atas mengimplikasikan bahwa $2q = 10$ sehingga $q = 5$, dan akibatnya $p = 5.$
Dengan demikian, suku yang mengandung ekspresi $x^{10}$ pada penjabaran $(1-x^2)^{10}$ adalah
$$\begin{aligned} C_5^{10} (1)^5(-x^2)^5 & = \dfrac{10!}{5! \cdot 5!} (1)(-x^{10}) \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!} \cdot 5!} (-x^{10}) \\ & = -36x^{10}. \end{aligned}$$Suku yang mengandung ekspresi $x^{0}$ pada penjabaran $\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^{10}$ adalah $C_q^{10} (x)^p\left(-\dfrac{2}{x}\right)^q = kx^{0}$ atau ditulis menjadi $C_q^{10} (-2x^{p-q}) = kx^0$ dengan $p+q 10$. Persamaan di atas mengimplikasikan bahwa $p-q = 0.$ Dengan menyelesaikan kedua persamaan tersebut, kita peroleh $p = q = 5.$
Dengan demikian, suku yang mengandung ekspresi $x^{0}$ pada penjabaran $\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^{10}$ adalah
$$\begin{aligned} C_5^{10} (x)^5\left(-\dfrac{2}{x}\right)^5 & = \dfrac{10!}{5! \cdot 5!} (x^5)\left(-\dfrac{32}{x^5}\right) \\ & = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!} \cdot 5!} (-32)x^0 \\ & = -36(32)x^{0}. \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan koefisien $x^{10}$ dan $x^0$ adalah $\boxed{-36 : (-36)(32) = 1 : 32}$
(Terbukti)

Kita akan mencari koefisien $x^4$ dan $x^5$ pada penjabaran $\left(\dfrac{x}{4}-4\right)^7.$
$\begin{aligned} \text{Koef}\text{isien}~x^4 & = C_3^7 \left(\dfrac{1}{4}\right)^4(-4)^3 \\ & = \dfrac{7!}{4! \cdot 3!} \left(-\dfrac14\right) \\ & = \dfrac{7 \cdot \bcancel{6} \cdot 5 \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot \bcancel{6}}\left(-\dfrac14\right) \\ & = -\dfrac{35}{4} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \text{Koef}\text{isien}~x^5 & = C_2^7 \left(\dfrac{1}{4}\right)^5(-4)^2 \\ & = \dfrac{7!}{5! \cdot 2!} \left(\dfrac14\right)^3 \\ & = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{\cancel{5!} \cdot 2}\left(\dfrac{1}{64}\right) \\ & = \dfrac{21}{64} \end{aligned}$
Koefisien $x^5$ pada penjabaran $\left(\dfrac{x}{4}-4\right)^7(2+x)$ adalah
$$\begin{aligned} & (\text{koefi}\text{sien}~x^5)(2) + (\text{koefi}\text{sien}~x^4)(1) \\ & = \dfrac{22}{64} \cdot 2 + \left(-\dfrac{35}{4}\right)(1) \\ & = \dfrac{21}{32}-\dfrac{35 \cdot 8}{32} = -\dfrac{259}{32}. \end{aligned}$$Jadi, koefisien $x^5$ pada penjabaran $\left(\dfrac{x}{4}-4\right)^7(2+x)$ adalah $\boxed{-\dfrac{259}{32}}$

Persamaan dari penjabaran binomial $\left(ax^2+\dfrac{1}{bx}\right)^{11}$ yang menghasilkan $x^7$ adalah
$\begin{aligned} C_q^{11} (ax^2)^p \left(\dfrac{1}{bx}\right)^q & = kx^7 \\ C_q^{11} \left(a^p \cdot \dfrac{1}{b^q}\right) (x^{2p-q}) & = kx^7 \end{aligned}$
untuk suatu bilangan real $k$ dan $p + q = 11$. Persamaan di atas juga mengimplikasikan bahwa $2p-q = 7.$
Dengan demikian, kita peroleh $p = 6$ dan $q = 5.$
Koefisien $x^7$ dari penjabaran binomial tersebut adalah
$\boxed{\text{Koef.}~x^7 = C_{5}^{11} \left(a^6 \cdot \dfrac{1}{b^5}\right)}$
Persamaan dari penjabaran binomial $\left(ax-\dfrac{1}{bx^2}\right)^{11}$ yang menghasilkan $x^{-7}$ adalah
$\begin{aligned} C_q^{11} (ax)^p \left(-\dfrac{1}{bx^2}\right)^q & = kx^{-7} \\ C_q^{11} (a^p)\left(-\dfrac{1}{b}\right)^q (x^{p-2q}) & = kx^{-7} \end{aligned}$
untuk suatu bilangan real $k$ dan $p + q = 11.$ Persamaan di atas juga mengimplikasikan bahwa $p-2q = -7.$
Dengan demikian, kita peroleh $q = 6$ dan $p = 5.$
Koefisien $x^{-7}$ dari penjabaran binomial tersebut adalah
$\boxed{\text{Koef.}~x^{-7}= C_{6}^{11} (a^5)\left(-\dfrac{1}{b}\right)^6}$
Samakan koefisien $x^7$ dan koefisien $x^{-7}$ tersebut.
$\begin{aligned} C_{5}^{11} \left(a^6 \cdot \dfrac{1}{b^5}\right) & = C_{6}^{11} (a^5)\left(-\dfrac{1}{b}\right)^6 \\ \bcancel{\dfrac{11!}{6! \cdot 5!}} \cdot a^6 \cdot \dfrac{1}{b^5} & = \bcancel{\dfrac{11!}{5! \cdot 6!}} \cdot a^5 \cdot \dfrac{1}{b^6} \\ a & = \dfrac{1}{b} \\ ab & = 1 \end{aligned}$
Jadi, hubungan $a$ dan $b$ diberikan oleh $\boxed{ab=1}$

Berdasarkan teorema binomial, tiga suku pertama hasil ekspansi (penjabaran) dari $(1+ax)^n$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} C_0^n 1^n + C_1^n 1^{n-1}(ax) + C_2^n 1^{n-2}(ax)^2 & = 1 + 16x + 112x^2 \\ (1)(1) + \dfrac{n!}{(n-1)! \cdot 1!} (1)(ax) + \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!} (1)(a^2x^2) & = 1+16x+112x^2 \\ 1 + \dfrac{n \cdot \cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}} (ax) + \dfrac{n(n-1) \cdot \cancel{(n-2)!}}{\cancel{(n-2)!} \cdot 2} (a^2x^2) & = 1+16x+112x^2 \\ 1 + (an)x + \dfrac{a^2n(n-1)}{2}x^2 & = 1+16x+112x^2 \end{aligned}$$Dengan menyamakan koefisien dari setiap suku yang bersesuaian, kita peroleh $an = 16$ sehingga
$$\begin{aligned} \dfrac{a^2n(n-1)}{2} & = 112 \\ a^2n^2-a^2n & = 224 \\ (an)^2-a(an) & = 224 \\ 16^2-a(16) & = 224 \\ 256-16a & = 224 \\ -16a & = -32 \\ a & = 2. \end{aligned}$$Karena $\boxed{a = 2}$ dan $an = 16$, haruslah $\boxed{n = 8}$

Jawaban a)
$(1-x+x^2)$ merupakan trinomial (karena memuat $3$ suku), tetapi bisa dianggap sebagai binomial $((1-x)+x^2).$
Selanjutnya, kita gunakan teorema binomial.
$$\begin{aligned} ((1-x)+x^2)^3 & = C_0^3 (1-x)^3 + C_1^3 (1-x)^2(x^2) + C_2^3 (1-x)(x^2)^2 + C_3^3 (x^2)^3 \\ & = 1(1-3x+3x^2-x^3) + 3(1-2x+x^2)(x^2)+3(1-x)(x^4) + 1(x^6) \\ & = (1-3x+3x^2-x^3)+(3x^2-6x^3+3x^4) + (3x^4-3x^5) + x^6 \\ & = x^6-3x^5+6x^4-7x^3+6x^2-3x+1 \end{aligned}$$Jawaban b)
$(1+x+x^2)$ merupakan trinomial (karena memuat $3$ suku), tetapi bisa dianggap sebagai binomial $((1+x)+x^2)^5.$
Selanjutnya, kita gunakan teorema binomial.
$$\begin{aligned} ((1+x)+x^2)^5 & = C_0^5 (1+x)^5 + C_1^5 (1+x)^4(x^2) + C_2^5 (1+x)^3(x^2)^2 + C_3^5 (1+x)^2(x^2)^3 + C_4^5 (1+x)(x^2)^4 + C_5^5 (x^2)^5 \\ & = 1(1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5)+5(1+4x+6x^2+4x^3+x^4)(x^2) + \\ & 10(1+3x+3x^2+x^3)(x^4) + 10(1+2x+x^2)(x^6) + 5(1+x)(x^8) + 1(x^{10}) \\ & = (1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5) + (5x^2 + 20x^3 + 30x^4 + 20x^5 + 5x^6) + \\ & (10x^4 + 30x^5 + 30x^6 + 10x^7) + (10x^6 + 20x^7 + 10x^8) + (5x^8 + 5x^9) + x^{10} \\ & = x^{10} + 5x^9 + 15x^8 + 30x^7 + 45x^6 + 51x^5 + 45x^4 + 30x^3 + 15x^2 + 5x + 1 \end{aligned}$$

Misal $\sqrt[4]{15} = (16-1)^{\frac14}.$
Berdasarkan penjabaran binomial, kita tahu bahwa
$$\boxed{(x+y)^n = x^n + \dfrac{n}{1} x^{n-1}y + \dfrac{n(n-1)}{1 \cdot 2}x^{n-2} \cdot y^2 + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3}x^{n-3}y^3 + \cdots}$$Ini berarti $x = 16$, $y = -1,$ dan $n = \dfrac14.$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} (16-1)^{\frac14} & \approx 16^{\frac14} + \dfrac14 (16)^{-\frac34}(-1) + \dfrac{\frac14 \cdot \left(-\frac34\right)}{1 \cdot 2}(16)^{-\frac74}(-1)^2 + \cdots \\ & \approx 2-\dfrac14 \cdot \dfrac18 -\dfrac{3}{32} \cdot \dfrac{1}{128}-\cdots \\ & \approx 2-0,031-0,001-\cdots \\ & \approx 1,968 \approx 1,97. \end{aligned}$$Jadi, nilai pendekatan dari $\sqrt[4]{15}$ adalah $\boxed{1,97}$ (dua angka di belakang koma).

Dengan menggunakan teorema binomial, kita tahu bahwa
$$\begin{aligned} (x + 1)^n & = \displaystyle \binom{n}{0} x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}(1) + \cdots + \binom{n}{n-1}(x)1^{n-1} + \binom{n}{n} (1)^n \\ & = \binom{n}{0} x^n + \binom{n}{1}x^{n-1} + \cdots + \binom{n}{n-1}(x)+ \binom{n}{n}. \end{aligned}$$Perhatikan bahwa setiap koefisien pada masing-masing suku hanya dipengaruhi oleh koefisien binomialnya.
Misalkan tiga suku yang berurutan memiliki koefisien binomial $\displaystyle \binom{n}{a},$ $\displaystyle \binom{n}{a+1},$ dan $\displaystyle \binom{n}{a+1}$ untuk suatu bilangan cacah $a$ sehingga berlaku
$$\displaystyle \binom{n}{a} : \binom{n}{a+1} : \binom{n}{a+2} = 2 : 15 : 70.$$Karena $\displaystyle \binom{n}{a} : \binom{n}{a+1} = 2 : 15,$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{n!}{(n-a)! \cdot a!} : \dfrac{n!}{(n-a-1)! \cdot (a+1)!} & = 2 : 15 \\ \dfrac{1}{n-a} : \dfrac{1}{a+1} & = 2 : 15 \\ \dfrac{a+1}{n-a} & = \dfrac{2}{15} \\ 15a+15 & = 2n-2a \\ 17a & = 2n-15. && (\cdots 1) \end{aligned}$$Karena $$\displaystyle \binom{n}{a+1} : \binom{n}{a+2} = 15 : 70 = 3 : 14,$$ kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{n!}{(n-a-1)! \cdot (a+1)!} : \dfrac{n!}{(n-a-2)! \cdot (a+2)!} & = 3 : 14 \\ \dfrac{1}{n-a-1} : \dfrac{1}{a+2} & = 3 : 14 \\ \dfrac{a+2}{n-a-1} & = \dfrac{3}{14} \\ 14a+28 & = 3n-3a-3 \\ 17a & = 3n-31. && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh bahwa $n = 16$ dan $a = 1.$ Jika kita periksa,
$\begin{aligned} \displaystyle \binom{16}{1} & = \dfrac{16!}{15! \cdot 1!} = 16 \\ \binom{16}{2} & = \dfrac{16!}{14! \cdot 2!} = 8 \times 15 \\ \binom{16}{3} & = \dfrac{16!}{13! \cdot 3!} = 16 \times 35 \end{aligned}$
dengan perbandingan
$$\begin{aligned} \displaystyle \binom{n}{1} : \binom{n}{2} : \binom{n}{3} & = 16 : 8 \times 15 : 16 \times 35 \\ &  = 2 : 15 : 70 \end{aligned}$$dan ternyata sesuai.
Jadi, nilai $\boxed{n = 16}$

Ingat bahwa jumlah semua koefisien dari penjabaran $(ax+by)^n$ adalah $(a+b)^n$, yakni ketika $x = y = 1.$
Pada polinomial $P(x) = x^2(x+1)^3(x+2)^4(x+3)^5,$ variabel $x$ memiliki pangkat tertinggi $2+3+4+5=14.$
Koefisien $a_2 + a_4 + \cdots + a_{14}$ merupakan koefisien pada suku-suku genap.
Jika kita substitusi $x = 1$ pada $P(x)$, kita peroleh
$\begin{aligned} & 1^2(1+1)^3(1+2)^4(1+3)^5 \\ & = 1(2^3)(3^4)(4^5) \\ & = 2^{13} \cdot 3^4. \end{aligned}$
Bilangan ini mewakili jumlah semua koefisien dari setiap suku hasil penjabaran $P(x)$.
Jika kita substitusi $x = -1$ pada $P(x),$ kita peroleh
$$(-1)^2(-1+1)^3(-1+2)^4(-1+3)^5 = 0.$$Bilangan ini mewakili jumlah koefisien suku genap dikurang jumlah koefisien suku ganjil pada penjabaran $P(x).$
Karena bernilai $0$, itu artinya jumlah koefisien pada suku genap maupun ganjil adalah sama sehingga
$$\boxed{a_2+a_4+\cdots+a_{14} = \dfrac{2^{13} \cdot 3^4}{2} = 2^{12} \cdot 3^4}$$

Jawaban a)
Diketahui multinomial $(x+2y+z)^{10}.$
Dari sini, diketahui $n = 10$ dan $r = 3$ (banyak variabelnya).
Banyak suku-suku berbeda dari penjabaran binomial tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S} & = \displaystyle \binom{n+r-1}{r-1} \\ & = \binom{10 + 3-1}{3-1} \\ & = \binom{12}{2} \\ & = \dfrac{12!}{10! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{12 \cdot 11 \cancel{10!}}{\cancel{10!} \cdot 2} \\ & = 66. \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{66}$ suku-suku berbeda dari penjabaran $(x+2y+z)^{10}.$
Jawaban b)
Diketahui multinomial $(a+b+c+d+e+f)^{20}.$
Dari sini, diketahui $n = 20$ dan $r = 6$ (banyak variabelnya).
Banyak suku-suku berbeda dari penjabaran binomial tersebut adalah
$\begin{aligned} \text{S} & = \displaystyle \binom{n+r-1}{r-1} \\ & = \binom{20 + 6-1}{6-1} \\ & = \binom{25}{5} \\ & = \dfrac{25!}{20! \cdot 5!} \\ & = \dfrac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot \cancel{20!}}{\cancel{20!} \cdot 5!} \\ & = 53.130. \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{53.130}$ suku-suku berbeda dari penjabaran $(a+b+c+d+e+f)^{20}.$

Jawaban a)
Diketahui $(x+2y+z)^8.$
$$\begin{aligned} \text{Koef.}~x^2y^2z^3 & = \displaystyle \binom{8}{2, 3, 3} \cdot 1^2 \cdot 2^3 \cdot 1^3 \\ & = \dfrac{8!}{2! \cdot 3! \cdot 3!} \cdot 1 \cdot 8 \cdot 1 \\ & = 4.480 \end{aligned}$$Jadi, koefisien $x^2y^3z^3$ dari penjabaran trinomial tersebut adalah $\boxed{4.480}$
Jawaban b)
Diketahui $(x+y-z)^{10}$.
$$\begin{aligned} \text{Koef.}~x^2y^3z^5 & = \displaystyle \binom{10}{2, 3, 5} \cdot 1^2 \cdot 1^3 \cdot (-1)^5 \\ & = \dfrac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 5!} \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-1) \\ & = -2.520 \end{aligned}$$Jadi, koefisien $x^2y^3z^5$ dari penjabaran trinomial tersebut adalah $\boxed{-2.520}$