Soal dan Pembahasan – Kompetisi Sains Nasional (KSN) Tingkat Kabupaten Bidang Matematika SMA/MA Tahun 2020

Cara 1: Menyederhanakan dulu
Kita sederhanakan rumus fungsi $f(x)$, lalu substitusi $x = 20$.
$$\begin{aligned} f(x) & = \dfrac{3(x-1)(x-2)}{2} + \dfrac{(x-2)(x-3)}{2}-2(x-1)(x-3) \\ & = \dfrac{3(x^2-3x+2)}{2}+\dfrac{x^2-5x+6}{2}-2(x^2-4x+3) \\ & = \dfrac{3x^2-9x+6+x^2-5x+6}{2}-2x^2+8x-6 \\ & = \dfrac{4x^2-14x+12}{2}-2x^2+8x-6 \\ & = 2x^2-7x+6-2x^2+8x-6 = x \end{aligned}$$Karena $f(x)=x$, maka untuk $x=20$, diperoleh $\boxed{f(20)=20}$
Cara 2: Substitusi langsung
Substitusi langsung $x = 20$ pada $f(x).$
$$\begin{aligned} f(20) & = \dfrac{3(20-1)(20-2)}{2} + \dfrac{(20-2)(20-3)}{2}-2(20-1)(20-3) \\ & = \dfrac{3(19)(\cancelto{9}{18})}{\cancel{2}}+\dfrac{(\cancelto{9}{18})(17)}{\cancel{2}}-2(19)(17) \\ & = 3(19)(9)+9(17)-2(19)(17) = 20 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{f(20) = 20}$
Catatan:
Substitusi langsung $x = 20$ pada $f(x)$ masih sangat memungkinkan untuk dilakukan perhitungan, tetapi akan memakan waktu yang lama bila $x$ disubstitusi sebagai bilangan yang lebih besar, misalnya $x = 2020$. Cara yang disarankan adalah menyederhanakan rumus fungsi $f(x)$ sebisa mungkin.

Banyak kubus yang tidak terkena cat untuk kubus berukuran $n \times n \times n$ adalah $(n-2)(n-2)(n-2)$, sedangkan banyak kubus yang terkena cat satu sisi saja adalah $6(n-2)(n-2)$, serta banyak kubus yang terkena cat tepat $3$ sisi adalah $8$ (di tepi kubus).
Untuk $n = 3$, banyak kubus yang tidak terkena cat ada $1$ buah sehingga sebanyak $\color{red}{26}$ kubus yang terkena cat.
Selanjutnya, terdapat $6(3-2)(3-2) = 6$ kubus yang terkena cat satu sisi saja. Akibatnya, banyak kubus yang terkena cat dua sisi adalah $26-6-8=\color{blue}{12}$, seperti tampak pada ilustrasi gambar berikut.
Dengan demikian, peluang terambilnya kubus kecil dengan tepat dua sisi terkena cat adalah $\boxed{\dfrac{\color{blue}{12}}{\color{red}{26}} = \dfrac{6}{13}}$

Tarik garis dari titik $A$ sehingga tegak lurus dengan $DC$, memotong di titik $E$ seperti gambar.
Diketahui $AB = EC = 1.$ Misalkan $AD = x,$ maka $DE = x-1$. Misalkan juga $AE = BC = y.$
Pada segitiga siku-siku $ADE$, berlaku rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} AE^2 & = AD^2-DE^2 \\ y^2 & = x^2-(x-1)^2 \\ y^2 & = x^2-(x^2-2x+1) \\ y^2 & = 2x-1 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Pada segitiga siku-siku $BDC$, juga berlaku rumus Pythagoras.
$\begin{aligned} BC^2 & = BD^2-DC^2 \\ y^2 & = (\sqrt7)^2-x^2 \\ y^2 & = 7-x^2 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Berdasarkan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh
$\begin{aligned} 2x-1 & = 7-x^2 \\ x^2+2x-8 & = 0 \\ (x+4)(x-2) & = 0 \end{aligned}$
Didapat $x = -4$ (tidak memenuhi karena bernilai negatif) atau $x=2.$
Substitusi $x = 2$ pada persamaan $(1)$ sehingga diperoleh
$y^2 = 2(2)-1 \Rightarrow y = \sqrt3.$
Luas trapesium $ABCD$ selanjutnya dinyatakan oleh
$\begin{aligned} L_{ABCD} & = \dfrac{(AB+CD) \times BC}{2} \\ & = \dfrac{(1+2) \times \sqrt3}{2} = \dfrac32\sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, luas trapesium itu adalah $\boxed{\dfrac32\sqrt3}$

Perhatikan ekspresi $3x+2y$. Supaya bernilai sebesar mungkin, maka nilai $x$ harus dibuat maksimum karena koefisiennya lebih besar dari variabel $y$.
Tinjau persamaan $2x+3y=2020$.
Jika dipilih $x = 1010$, berakibat $y = 0$, padahal $y$ harus bilangan asli.
Nilai $x = 1009$ dan $x = 1008$ mengakibatkan nilai $y$ juga bukan bilangan asli.
Jika dipilih $x = 1007$, diperoleh $y = 2$. Artinya, nilai $x$ terbesar adalah $1007$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} 3x+2y & =3(1007)+2(2) \\ & = 3021+4 = 3025 \end{aligned}$
Jadi, nilai terbesar yang mungkin dari $\boxed{3x+2y=3025}$

Diketahui $a_1 = 1$ dan $a_2 = \dfrac35$.
Untuk $n \geq 3$, berlaku $\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{2}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_{n-2}}$.
Cara pertama: Relasi rekurensi
Misalkan $\dfrac{1}{a_n} = b_n$ sehingga persamaan di atas ditulis $b_n = 2b_{n-1}-b_{n-2}$. Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi tersebut adalah
$\begin{aligned} r^2 & = 2r-1 \\ r^2-2r+1 & = 0 \\ (r-1)^2 &= 0 \end{aligned}$
Jadi, diperoleh $r = 1$ (kembar).
Karena memiliki akar kembar, maka solusi umum relasi rekurensi tersebut adalah $b_n = C_1r^2 + C_2nr^2$.
Perhatikan bahwa $a_1 = 1$ sehingga $b_1 = 1$. Substitusi $n = 1$ dan kita peroleh
$\begin{aligned} b_1 & = C_1(1)^2 + C_2(1)(1)^2 \\ 1 & = C_1 + C_2 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Perhatikan juga bahwa $a_2 = \dfrac35$ sehingga $b_2 = \dfrac53$. Substitusi $n = 2$ dan kita peroleh
$\begin{aligned} b_2 & = C_1(1)^2 + C_2(2)(1)^2 \\ \dfrac53 & = C_1 + 2C_2 && (\cdots 2) \end{aligned}$
Dari kedua persamaan yang didapat, kita mendapat $C_1 = \dfrac13$ dan $C_2 = \dfrac23$ sehingga $b_n = \dfrac13 + \dfrac23n = \dfrac{1+2n}{3}$, artinya $a_n = \dfrac{3}{1+2n}.$
Substitusi $n = 2020$ dan akhirnya didapat $a_{2020} = \dfrac{3}{1+2(2020)} = \dfrac{1}{1347}.$
Oleh karena itu, nilai $p = 1$ dan $q = 1347$, berarti $\boxed{p+q=1348}$ 
Cara kedua: Pola
Substitusi $n = 3$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{2}{a_2}-\dfrac{1}{a_1} \\ \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{2}{\frac35}-\dfrac11 \\ \dfrac{1}{a_3} & = \dfrac{10}{3}-1 \\ a_3 & = \dfrac37 \end{aligned}$
Substitusi $n = 4$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{2}{a_3}-\dfrac{1}{a_2} \\ \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{2}{\frac37}-\dfrac{1}{\frac35} \\ \dfrac{1}{a_4} & = \dfrac{14}{3}-\dfrac53 \\ a_4 & = \dfrac39 \end{aligned}$
Substitusi $n = 5$, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{1}{a_5} & = \dfrac{2}{a_4}-\dfrac{1}{a_3} \\ \dfrac{1}{a_5} & = \dfrac{2}{\frac39}-\dfrac{1}{\frac37} \\ \dfrac{1}{a_5} & = 6-\dfrac73 \\ a_5 & = \dfrac{3}{11} \end{aligned}$
Dari $3$ nilai yang telah didapat, tampak suatu pola barisan: $\dfrac37, \dfrac39, \dfrac{3}{11},$ yaitu pembilang tetap $3$, namun penyebut bertambah $2$ membentuk barisan aritmetika.
Rumus suku ke-$n$ dari barisan semula adalah $a_n = \dfrac{3}{2n+1}$ dengan $n \geq 3$. Pernyataan ini dapat dibuktikan menggunakan induksi matematika.
Dengan demikian,
$a_{2020} = \dfrac{3}{2(2020)+1} = \dfrac{1}{1347}$
Oleh karena itu, nilai $p = 1$ dan $q = 1347$, berarti $\boxed{p+q=1348}$

Misalkan diberikan $P(a, b)$ dan $Q(c, d)$. Titik tengah dari $PQ$ dinyatakan oleh $M\left(\dfrac{a+c}{2}, \dfrac{b+d}{2}\right)$ dengan $0 \leq a, c \leq 20$ dan $0 \leq b, d \leq 19$. Dari sini diketahui bahwa $a$ dan $c$ harus memiliki paritas yang sama (sama-sama ganjil atau sama-sama genap), begitu juga dengan $b$ dan $d$. Banyak kemungkinan nilai untuk $a, c$ masing-masing adalah $21$, sedangkan untuk $b, d$ sebanyak $20$.

1. Jika $a, c$ keduanya ganjil, maka ada $10$ kemungkinan untuk $a$ dan $c$ sehingga banyak pasangan berbeda $(a, c)$ adalah $10 \cdot 10 = 100$. Jika $a, c$ keduanya genap, maka ada $11$ kemungkinan $a$ dan $c$ sehingga banyak pasangan berbeda $(a, c)$ adalah $11 \cdot 11 = 121$. Total pasangan sebanyak $100+121=221$.
2. Jika $b, d$ keduanya ganjil, maka ada $10$ kemungkinan untuk $b$ dan $d$ sehingga banyak pasangan berbeda $(b, d)$ adalah $10 \cdot 10 = 100$. Jika $b, d$ keduanya genap, maka juga ada $10$ kemungkinan $b$ dan $d$ sehingga banyak pasangan berbeda $(b, d)$ adalah $10 \cdot 10 = 100$. Total pasangan sebanyak $100+100=200$.

Banyak titik $M\left(\dfrac{a+c}{2}, \dfrac{b+d}{2}\right)$ adalah $221 \cdot 200 = 44.200$. Karena titik $(P, Q)$ dan $(Q, P)$ dianggap sama, maka banyak pasangan $(P, Q)$ ada $\dfrac{44.200}{2!} = 22.100$, tetapi terdapat titik $P(a, b)$ dan $Q(c, d)$ sehingga $P = Q$ (ketika $a = c$ dan $b = d$). Banyak pasangan $(P, Q)$ ketika $P = Q$ adalah $21 \cdot 20 = 420$. Dengan demikian, diperoleh banyak cara memilih dua titik sehingga titik tengahnya juga di $S$ adalah $\boxed{22.100-420 = 21.680}$

Diketahui $|x+1| + \left|\dfrac{19}{x-1}\right| = \dfrac{20-x^2}{1-x}$.
Berdasarkan definisi nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} |x+1| & = \begin{cases} x+1, &\text{jika}~x \geq -1 \\ -x-1, &\text{jika}~x < -1 \end{cases} \\ |x-1| & = \begin{cases} x-1, &\text{jika}~x \geq 1 \\ -x+1, &\text{jika}~x < 1 \end{cases} \end{aligned}$
Kasus 1: $x < -1$
Setelah dibatasi nilai $x$ dalam interval $x < -1$, kita peroleh
$\begin{aligned} (-x-1) + \dfrac{19}{-x+1} & = \dfrac{20-x^2}{1-x} \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~(1-x) \\ (-x-1)(1-x) + 19 & = 20-x^2 \\ x^2-1 + 19 & = 20-x^2 \\ 2x^2 & = 2 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$
Karena $x = \pm 1$ tidak masuk interval $x < -1$, maka untuk kasus ini, tidak ada nilai $x$ yang memenuhi.
Kasus 2: $-1 \leq  x < 1$
Setelah dibatasi nilai $x$ dalam interval $-1 \leq x < 1$, kita peroleh
$\begin{aligned} (x+1) + \dfrac{19}{-x+1} & = \dfrac{20-x^2}{1-x} \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~(1-x) \\ (x+1)(1-x) + 19 & = 20-x^2 \\ -x^2+1 + 19 & = 20-x^2 \\ 20 & = 20 \end{aligned}$
Pernyataan terakhir bernilai benar, artinya persamaan tersebut terpenuhi untuk semua $x \in \mathbb{R}$. Nilai $x$ yang memenuhi untuk kasus ini adalah $-1 \leq x < 1$ (syarat intervalnya).
Kasus 3: $x \geq 1$
Setelah dibatasi nilai $x$ dalam interval $x \geq 1$, kita peroleh
$\begin{aligned} (x+1) + \dfrac{19}{x-1} & = \dfrac{20-x^2}{1-x} \\ \text{Kalikan kedua ruas}&~\text{dengan}~(x-1) \\ (x+1)(x-1) + 19 & = -20+x^2 \\ x^2-1 + 19 & = -20+x^2 \\ 18 & = -20 \end{aligned}$
Pernyataan terakhir bernilai salah, artinya persamaan tersebut tidak terpenuhi untuk semua $x \in \mathbb{R}$. Kita simpulkan bahwa tidak ada nilai $x$ yang memenuhi untuk kasus ini.
Dari ketiga kasus, kita peroleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah nilai-nilai $x$ dalam interval $-1 \leq x < 1$ atau dalam notasi selang ditulis $[-1, 1)$, berarti $a = -1$ dan $b = 1$ sehingga $\boxed{b-a=1-(-1)=2}$

Perhatikan bahwa persamaan polinom tersebut dapat kita tulis sebagai berikut.
$$\begin{aligned} P(x) + 8x & = P(x-2) + 6x^2 \\ P(x)-P(x-2) & = 6x^2-8x \end{aligned}$$Jika $P(x)$ adalah polinom berderajat $n$ dengan koefisien $a,$ maka $P(x-2)$ juga demikian halnya sehingga hasil pengurangannya mengeliminasi suku berderajat tertinggi. Artinya, tersisa suku dengan variabel berderajat di bawahnya. Jadi, kita simpulkan bahwa $P(x)$ berderajat tiga.
Misalkan $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ dengan $a \neq 0.$
Kita tuliskan
$$\begin{aligned} P(x)-P(x-2) & = 6x^2-8x \\ \left[ax^3 + bx^2 + cx + d\right]-\left[a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d\right] & = 6x^2-8x \\ a(x^3-(x-2)^3) + b(x^2-(x-2)^2) + c(x-(x-2)) + (d-d) & = 6x^2-8x \\ a(6x^2-12x+8) + b(4x-4) + 2c & = 6x^2-8x \\ \color{red}{6a}x^2 + \color{blue}{(-12a + 4b)}x + (8a-4b+2c) & = \color{red}{6}x^2\color{blue}{-8}x \end{aligned}$$Berdasarkan kesamaan polinom pada baris terakhir, kita peroleh
$$\begin{aligned} 6a = 6 & \Rightarrow a = 1 \\ -12a + 4b = -8 & \Rightarrow -12(1) + 4b = -8 \Rightarrow b = 1 \\ 8a-4b+2c = 0 & \Rightarrow 8(1)-4(1)+2c = 0 \Rightarrow c = -2 \end{aligned}$$Jadi, kita peroleh
$$p(x) = x^3 + x^2-2x + d$$Karena diketahui $P(1)=1,$ maka dengan substitusi diperoleh
$$\begin{aligned} (1)^3 + (1)^2-2(1) + d & = 1 \\ 1+1-2+d & = 1 \\ d & = 1 \end{aligned}$$Jadi, bentuk polinom tersebut adalah $P(x) = x^3 + x^2-2x+1$ sehingga $$\boxed{P(2) = (2)^3+(2)^2-2(2)+1 = 9}$$

Pertama, kita buat dulu sketsa segitiga $ABC$ dan tempatkan titik $P, Q$, dan $R$ sesuai informasi yang diberikan.
Diketahui $\left[ABC\right] = 20\left[PQR\right]$ dan $\dfrac{AQ}{AC}+\dfrac{BR}{BA}+\dfrac{CP}{CB} = 1.$
Untuk mempermudah penulisan, dimisalkan
$$\begin{aligned} x & = \dfrac{AQ}{AC} \\ y & = \dfrac{BR}{RA} \\ z & = \dfrac{CP}{CB} \end{aligned}$$Artinya, $x + y + z = 1$ dan kita akan mencari nilai $x^2+y^2+z^2.$
Gambar segitiga $ABC$ dapat kita perbarui dengan panjang sisi yang didapat dari bentuk perbandingan di atas sebagai berikut.
$\Rightarrow$ Mencari luas $\bf{\triangle QCP}$
Tarik garis $AP$ seperti berikut.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} \left[ACP\right] & = \dfrac{CP}{CB} \left[ABC\right] = \color{red}{z \left[ABC\right]} \\ \left[QCP\right] & = \dfrac{CQ}{CA} \left[ACP\right] = (1-x) \left[ACP\right] \end{aligned}$$Dari kedua persamaan tersebut, didapat
$$\begin{aligned} \left[ACP\right] & = (1-x)\color{red}{z \left[ABC\right]} \\ & = (z-xz) \left[ABC\right] && (\cdots 1) \end{aligned}$$ $\Rightarrow$ Mencari luas $\bf{\triangle RBP}$
Tarik garis $AP$ seperti berikut.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} \left[ABP\right] & = \dfrac{BP}{BC} \left[ABC\right] = \color{red}{(1-z) \left[ABC\right]} \\ \left[RBP\right] & = \dfrac{BR}{BA} \left[ABP\right] = y \left[ABP\right] \end{aligned}$$Dari kedua persamaan tersebut, didapat
$$\begin{aligned} \left[RBP\right] & = y \color{red}{(1-z) \left[ABC\right]} \\ & = (y-yz) \left[ABC\right] && (\cdots 2) \end{aligned}$$ $\Rightarrow$ Mencari luas $\bf{\triangle AQR}$
Tarik garis $BQ$ seperti berikut.
Kita peroleh
$$\begin{aligned} \left[AQB\right] & = \dfrac{AQ}{AC} \left[ABC\right] = \color{red}{x \left[ABC\right]} \\ \left[AQR\right] & = \dfrac{AR}{AB} \left[AQB\right] = (1-y) \left[AQB\right] \end{aligned}$$Dari kedua persamaan tersebut, didapat
$$\begin{aligned} \left[AQR\right] & = (1-y) \color{red}{x \left[ABC\right]} \\ & = (x-xy) \left[ABC\right] && (\cdots 3) \end{aligned}$$Apabila ketiga persamaan di atas dijumlahkan, maka kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} \left[QCP\right] + \left[RBP\right] + \left[AQR\right] & = \left((z-xz)+(y-yz)+(x-xy)\right)\left[ABC\right] \\ \left[QCP\right] + \left[RBP\right] + \left[AQR\right] & = \left(x+y+z-xy-xz-yz\right)\left[ABC\right] \end{aligned}$$Dari gambar, tampak bahwa luas $\triangle PQR$ sama dengan luas $\triangle ABC$ dikurangi luas tiga segitiga lainnya. Jadi, kita tulis
$$\begin{aligned} \left[PQR\right] & = \left[ABC\right]-\left(\left[QCP\right] + \left[RBP\right] + \left[AQR\right]\right) \\ \dfrac{1}{20}\left[ABC\right] & = \left[ABC\right]-\left(x+y+z-xy-xz-yz\right)\left[ABC\right] \\ \dfrac{1}{20} & = 1-(x+y+z-xy-xz-yz) \\ \dfrac{19}{20} & = \color{red}{x+y+z}-xy-xz-yz \\ \dfrac{19}{20} & = 1-xy-xz-yz \\ xy+xz+yz & = \dfrac{1}{20} \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} x^2+y^2+z^2 & = (x+y+z)^2-2(xy+xz+yz) \\ & = (1)^2-2\left(\dfrac{1}{20}\right) \\ & = 1-\dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\left(\dfrac{AQ}{AC}\right)^2 + \left(\dfrac{BR}{BA}\right)^2 + \left(\dfrac{CP}{CB}\right)^2 = \dfrac{9}{10}}$$