Distribusi normal memang banyak dipakai untuk menyelesaikan banyak permasalahan, terutama dalam bidang rekayasa (engineering) dan sains. Namun, ada banyak situasi yang ternyata membutuhkan pendekatan distribusi peluang kontinu yang lain. Dua distribusi peluang kontinu yang dimaksud adalah distribusi gama dan distribusi eksponensial.
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Peluang Binomial
Istilah distribusi gama diambil dari nama fungsi yang cukup terkenal dalam berbagai bidang matematika, yaitu fungsi gama. Definisi fungsi gama diberikan sebagai berikut.
Definisi: Fungsi Gama
Fungsi gama (gamma function) didefinisikan oleh
$$\Gamma(\alpha) = \displaystyle \int_0^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-x}~\text{d}x$$dengan $\alpha > 0.$
Notasi $\Gamma$ dibaca gama. $\Gamma$ merupakan huruf kapital dari $\gamma.$ Ada sifat dasar dari fungsi gama yang sangat membantu dalam proses perhitungan peluang yang melibatkan distribusi gama, yaitu
$$\Gamma(n) = (n-1)(n-2)\cdots(1)\Gamma(1)$$yang berlaku untuk setiap bilangan bulat positif $n.$ Dengan menggunakan sifat dasar, dapat dibuktikan bahwa $\Gamma(n) = (n-1)!$ dan $\Gamma(1) = 1.$
Berikutnya, definisi secara formal mengenai distribusi gama diberikan sebagai berikut.
Definisi: Distribusi Gama
Variabel acak kontinu $X$ berdistribusi gama dengan parameter $\alpha$ dan $\beta$ jika fungsi kepadatan peluangnya diberikan oleh
$$f(x; \alpha, \beta) = \begin{cases} \dfrac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}, & x > 0 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$dengan $\alpha > 0$ dan $\beta > 0.$
Notasi $X \sim \Gamma(\alpha, \beta)$ menyatakan bahwa variabel acak kontinu $X$ berdistribusi gama dengan parameter $\alpha$ dan $\beta.$ Distribusi gama akan menjadi distribusi eksponensial jika dipilih nilai $\alpha = 1.$ Definisi distribusi eksponensial secara formal diberikan sebagai berikut.
Definisi: Distribusi Eksponensial
Variabel acak kontinu $X$ berdistribusi eksponensial dengan parameter $\beta$ jika fungsi kepadatan peluangnya diberikan oleh
$$f(x; \beta) = \begin{cases} \dfrac{1}{\beta}e^{-x/\beta}, & x > 0 \\ 0, & x~\text{lainnya} \end{cases}$$dengan $\beta > 0.$
Notasi $X \sim \text{exp}\left(\dfrac{1}{\beta}\right)$ menyatakan bahwa variabel acak kontinu $X$ berdistribusi eksponensial dengan parameter $\dfrac{1}{\beta}.$ Umumnya, kita menghadirkan notasi $\lambda$ (lambda) sebagai pengganti $\dfrac{1}{\beta}$ untuk menghindari bentuk pecahan. Dengan demikian, kita juga akan menotasikan notasi $X \sim \text{exp}(\lambda)$ untuk menyatakan bahwa $X$ berdistribusi eksponensial dengan parameter $\lambda.$ Dalam kasus distribusi eksponensial, $\lambda$ merupakan kebalikan dari rata-rata frekuensi terjadinya suatu kejadian.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang (Tingkat SMP/Sederajat)
Selanjutnya, rata-rata dan varians dari distribusi gama dan eksponensial diberikan dalam teorema berikut.
Teorema: Rata-Rata dan Varians dari Variabel Acak yang Berdistribusi Gama dan Eksponensial
Jika $X \sim \Gamma(\alpha, \beta),$ maka rata-rata dan varians dari $X$ berturut-turut adalah $\mu_X = \alpha \beta$ dan $\sigma_X^2 = \alpha \beta^2.$
Jika $Y \sim \text{exp}(\lambda),$ maka rata-rata dan varians dari $Y$ berturut-turut adalah $\mu_Y = \beta $ dan $\sigma_Y^2 = \beta^2.$
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Distribusi Eksponensial} & \text{Exponential Distribution} \\ 2. & \text{Distribusi Gama} & \text{Gamma Distribution} \\ 3. & \text{Fungsi Gama} & \text{Gamma Function} \\ 4. & \text{Variabel Acak Kontinu} & \text{Continuous Random Variable} \\ 5. & \text{Fungsi Peluang} & \text{Probability Function} \\ 6. & \text{Fungsi Kepadatan Peluang} & \text{Probability Density Function} \\ 7. & \text{Distribusi Peluang Kontinu} & \text{Continuous Probability Distribution} \\ 8. & \text{Rata-Rata} & \text{Mean} \\ 9. & \text{Varians} & \text{Variance} \\ 10. & \text{Koreksi Kekontinuan} & \text{Continuity Correction} \\ \hline \end{array}$$
Nah, supaya lebih paham, berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasan tentang distribusi eksponensial dan distribusi gama. Semoga bermanfaat.
Catatan tambahan: Anda diperbolehkan menggunakan kalkulator atau aplikasi komputer untuk mempermudah perhitungan peluang. Untuk setiap hasil perhitungan, bulatkan sampai 4 angka di belakang koma.
Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Poisson
Today Quote
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Lamanya waktu yang diperlukan seseorang untuk dilayani di suatu kafeteria adalah variabel acak yang berdistribusi eksponensial dengan rata-rata $4$ menit. Berapa peluang bahwa seseorang dilayani kurang dari $3$ menit pada setidaknya $4$ hari kedatangannya dari $6$ hari ke depan?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan lamanya waktu (dalam menit) yang diperlukan seseorang untuk dilayani di suatu kafeteria. Diketahui $X \sim \text{exp}\left(\dfrac{1}{\beta}\right)$ dengan $\beta = 4.$ Dengan demikian, peluang seseorang dilayani kurang dari $3$ menit pada hari tertentu adalah
$$\begin{aligned} p(X < 3) & = \dfrac14 \displaystyle \int_{0}^{3} e^{-x/4}~\text{d}x \\ & = -[e^{-x/4}]_0^3 \\ & = 1-e^{-3/4} \approx 0,\!5276. \end{aligned}$$Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya hari saat orang tersebut dilayani kurang dari $3$ menit. $Y$ berdistribusi binomial dengan parameter $n = 6,$ $x = 4,$ dan $p = 0,\!5276.$ Dengan demikian, peluang bahwa seseorang dilayani kurang dari $3$ menit pada setidaknya $4$ hari kedatangannya dari $6$ hari ke depan adalah
$$\begin{aligned} p(Y \ge 4) & = \displaystyle \sum_{y=4}^6 b(y; 6, 0,\!5276) \\ & = \displaystyle \binom{6}{4}(0,\!5276)^4(0,\!4724)^2 + \binom{6}{5}(0,\!5276)^5(0,\!4724) + \binom{6}{6}(0,\!5276)^6(0,\!4724)^0 \\ & \approx 0,\!3968. \end{aligned}$$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Peluang Diskret dan Kontinu
Soal Nomor 2
Umur (dalam tahun) dari suatu jenis sakelar listrik berdistribusi eksponensial dengan rata-rata $\beta = 2.$ Jika $100$ sakelar tersebut dipasang pada sistem elektronika yang berlainan, berapa peluang bahwa paling banyak $30$ sakelar di antaranya tidak lagi berfungsi dalam tahun pertama?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan umur (dalam tahun) dari sakelar listrik tersebut. Diketahui $X \sim \text{exp}\left(\dfrac{1}{\beta}\right)$ dengan $\beta = 2.$ Dengan demikian, peluang sakelar listrik tersebut tidak lagi berfungsi dalam tahun pertama adalah
$$\begin{aligned} p(X < 1) & = \dfrac12 \displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x/2}~\text{d}x \\ & = -[e^{-x/2}]_0^1 \\ & = 1-e^{-1/2} \approx 0,\!3935. \end{aligned}$$Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya sakelar yang tidak lagi berfungsi dalam tahun pertama. Kasus ini merupakan kasus distribusi binomial, tetapi dapat didekati dengan menggunakan distribusi normal karena kriteria bahwa $$np = 100 \cdot 0,\!3935 = 39,\!35 \ge 5$$ dan $$n(1-p)= 100 \cdot 0,\!6065 = 60,\!65 \ge 5$$terpenuhi. Diketahui $$\mu = (100)(0,\!3935) = 39,\!35$$ dan $$\sigma = \sqrt{(100)(0,\!3935)(0,\!6065)} = 4,\!885$$serta $$Z = \dfrac{(30 + 0,\!5)-39,\!35}{4,\!885} \approx 1,\!81.$$Jadi, peluang bahwa paling banyak $30$ sakelar di antaranya tidak lagi berfungsi dalam tahun pertama adalah
$$\begin{aligned} p(Y \le 30) & = p(Z < 1,\!81) \\ & = 0,\!0351. \end{aligned}$$Catatan: Gunakan tabel-$z$ untuk menemukan nilai dari $p(Z < 1,\!81).$
Soal Nomor 3
Jika variabel acak $X$ berdistribusi gama dengan $\alpha = 2$ dan $\beta = 1,$ tentukan $p(1,\!8 < X < 2,\!4).$
Diketahui $X \sim \Gamma(2, 1).$ Dengan menggunakan definisi dari fungsi kepadatan peluang dari variabel acak yang berdistribusi gama, diperoleh
$$\begin{aligned} p(a < X < b) & = \displaystyle \int_a^b \dfrac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}~\text{d}x \\ p(1,\!8 < X < 2,\!4) & = \int_{1,8}^{2,4} \dfrac{1}{1^2 \Gamma(2)} x^{2-1} e^{-x/1}~\text{d}x \\ & = \int_{1,8}^{2,4} \dfrac{1}{1 \cdot (2-1)!} x e^{-x}~\text{d}x \\ & = \int_{1,8}^{2,4} x e^{-x}~\text{d}x. \end{aligned}$$Dengan menggunakan teknik pengintegralan parsial, misalkan $u’ = e^{-x}~\text{d}x$ dan $v = x$ sehingga $u = -e^{-x}$ dan $v’ = 1~\text{d}x.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \int u’v~\text{d}x & = uv-\int uv’~\text{d}x \\ \int_{1,8}^{2,4} x e^{-x}~\text{d}x & = \left[-xe^{-x}-\int (-e^{ x})1~\text{d}x\right]_{1,8}^{2,4} \\ & = \left[-xe^{-x}-e^{-x}\right]_{1,8}^{2,4} \\ & = \left[-e^{-x}(x + 1)\right]_{1,8}^{2,4} \\ & = -e^{2,4}(3,\!4) + e^{-1,8}(2,\!8) \\ & \approx 0,\!1544. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $p(1,\!8 < X < 2,\!4)$ sekitar $\boxed{0,\!1544}$
Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Hipergeometrik
Soal Nomor 4
Di suatu kota, besarnya pemakaian tenaga listrik harian (dalam jutaan kilowatt-jam) adalah variabel acak $X$ yang berdistribusi gama dengan rata-rata $\mu = 6$ dan varians $\sigma^2 = 12.$ Tentukan:
- nilai parameter $\alpha$ dan $\beta;$
- peluang bahwa pemakaian tenaga listrik akan melebihi $12$ juta kilowatt-jam pada satu hari tertentu.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan besarnya pemakaian tenaga listrik harian (dalam jutaan kilowatt-jam).
Jawaban a)
Diketahui $X \sim \Gamma(\alpha, \beta),$ $\mu = 6,$ dan $\sigma^2 = 12.$ Karena variabel acak yang berdistribusi gama memiliki rata-rata $\mu = \alpha \beta$ dan varians $\sigma^2 = \alpha \beta^2,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \alpha \beta & = 6 && (1) \\ \alpha \beta^2 & = 12. && (2) \end{aligned}$$Substitusi $(1)$ ke $(2)$ menghasilkan $\beta = 2$ sehingga $\alpha = 3.$
Jawaban b)
Diketahui $X \sim \Gamma(3, 2).$ Dengan menggunakan definisi dari fungsi kepadatan peluang dari variabel acak yang berdistribusi gama, diperoleh
$$\begin{aligned} p(a < X < b) & = \displaystyle \int_a^b \dfrac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}~\text{d}x \\ p(X > 12) & = \int_{12}^{\infty} \dfrac{1}{2^3 \Gamma(3)} x^{3-1} e^{-x/2}~\text{d}x \\ & = \int_{12}^{\infty} \dfrac{1}{8 \cdot (3-1)!} x^2 e^{-x/2}~\text{d}x \\ & = \dfrac{1}{16} \int_{12}^{\infty} x^2 e^{-x/2}~\text{d}x. \end{aligned}$$Dengan menggunakan teknik pengintegralan parsial, misalkan $u’ = e^{-x/2}~\text{d}x$ dan $v = x^2$ sehingga $u = -2e^{-x/2}$ dan $v’ = 2x~\text{d}x$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \int u’v~\text{d}x & = uv-\int uv’~\text{d}x \\ \dfrac{1}{16} \int_{12}^{\infty} x^2 e^{-x/2}~\text{d}x & = \left[-2x^2e^{-x/2}-\int (-4)xe^{-x/2}~\text{d}x\right]_{12}^{\infty} \\ & = \dfrac{1}{16} \left[-2x^2e^{-x/2}+4 \int xe^{-x/2}~\text{d}x\right]_{12}^{\infty}. \end{aligned}$$Dengan menggunakan teknik pengintegralan parsial kembali, misalkan $u’ = e^{-x/2}~\text{d}x$ dan $v = x$ sehingga $u = -2e^{-x/2}$ dan $v’ = 1~\text{d}x.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{16} \left[-2x^2e^{-x/2}+4 \int xe^{-x/2}~\text{d}x\right]_{12}^{\infty} \\ & = \dfrac{1}{16} \left[-2x^2e^{-x/2}+4\left(-2e^{-x/2}-\int (-2)e^{-x/2}~\text{d}x\right) \right]_{12}^{\infty} \\ & = \dfrac{1}{16} \left[-2x^2e^{-x/2}-8e^{-x/2}-16e^{-x/2}\right]_{12}^{\infty} \\ & = -\dfrac{1}{8} \left[(x^2+4x+8)e^{-x/2}\right]_{12}^{\infty} \\ & = 0+\dfrac{1}{8}(12^2+4(12)+8)e^{-12/2} \\ & = 25e^{-6} \\ & \approx 0,\!0620. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa pemakaian tenaga listrik akan melebihi $12$ juta kilowatt-jam pada satu hari tertentu sekitar $\boxed{0,\!0620}$
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Geometrik dan Binomial Negatif
Soal Nomor 5
Suatu toko buku besar mempunyai laju kedatangan pengunjung yang berdistribusi eksponensial sebesar $5,\!8$ setiap $50$ menit. Berapa peluang bahwa kedatangan pengunjung membutuhkan waktu selama:
- $15$ menit atau kurang?
- di antara $20$ dan $30$ menit?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan waktu kedatangan pengunjung dalam satuan menit. Diketahui $X \sim \text{exp}\left(\lambda\right)$ dengan $\lambda = 5,\!8$ sehingga $f(x) = 5,\!8e^{-5,8x}.$
Jawaban a)
Karena nilai $\lambda$ berlaku untuk setiap $50$ menit, peluang bahwa kedatangan pengunjung membutuhkan waktu selama $15$ menit atau kurang adalah
$$\begin{aligned} p\left(X \le \dfrac{15}{50}\right) & = p(X \le 0,\!3) \\ & = \displaystyle \int_0^{0,3} 5,\!8e^{-5,8x}~\text{d}x \\ & = -\left[e^{-5,8x}\right]_0^{0,3} \\ & = -[e^{(-5,8)(0,3)}-e^0] \\ & = 0,\!8245. \end{aligned}$$Jawaban b)
Dengan cara yang serupa, peluang bahwa kedatangan pengunjung membutuhkan waktu selama di antara $20$ dan $30$ menit adalah
$$\begin{aligned} p\left(\dfrac{20}{50} < X < \dfrac{30}{50}\right) & = p(0,\!4 < X < 0,\!6) \\ & = \displaystyle \int_{0,4}^{0,6} 5,\!8e^{-5,8x}~\text{d}x \\ & = -\left[e^{-5,8x}\right]_{0,4}^{0,6} \\ & = -[e^{(-5,8)(0,6)}-e^{(-5,8)(0,4)}] \\ & = 0,\!0675. \end{aligned}$$
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Normal
Soal Nomor 6
Misalkan lamanya penggunaan telepon di suatu warung telepon dapat dimodelkan oleh distribusi eksponensial dengan rata-rata $10$ menit/orang. Jika seseorang mendahului Anda di suatu warung telepon, tentukan peluang bahwa Anda harus menunggu selama:
- lebih dari $10$ menit?
- antara $10$ dan $20$ menit?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan lamanya penggunaan telepon di warung telepon tersebut dalam satuan menit. Diketahui $X \sim \text{exp}\left(\lambda\right)$ dengan $\lambda = 1/10$ sehingga $f(x) = \dfrac{1}{10}e^{-x/10}.$
Jawaban a)
Peluang bahwa Anda harus menunggu selama lebih dari $10$ menit adalah
$$\begin{aligned} p\left(X > 10\right) & = 1-p(X \le 10) \\ & = 1-\displaystyle \int_0^{10} \dfrac{1}{10}e^{-x/10}~\text{d}x \\ & = 1+\left[e^{-x/10}\right]_0^{10} \\ & = 1+(e^{-1} -e^0) \\ & = 0,\!3679. \end{aligned}$$Jawaban b)
Peluang bahwa Anda harus menunggu selama antara $10$ dan $20$ menit adalah
$$\begin{aligned} p\left(10 < X < 20\right) & = \displaystyle\int_{10}^{20} \dfrac{1}{10}e^{-x/10}~\text{d}x \\ & = -\left[e^{-x/10}\right]_{10}^{20} \\ & = e^{-1}-e^{-2} \\ & = 0,\!2325. \end{aligned}$$
Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Poisson
Soal Nomor 7
Awan merupakan aktor dalam dinamika atmosfer. Salah satu jenis awan yang telah dikenal adalah awan konvektif, yaitu awan yang dihasilkan oleh proses konveksi akibat pemanasan radiasi surya. Data radar digunakan untuk menunjukkan karakteristik awan konvektif yang menghasilkan hujan es dan hujan lebat dengan metode digitasi dan metode life history. Nilai maksimum VIL (vertically integrated liquid) dari suatu studi kasus hujan es adalah $45$ kg/m2, sedangkan reflektivitas maksimum yang sebesar $65$ dBZ (desibel relatif terhadap Z) mencapai ketinggian $94 km. Three body scatter spike (TBSS) muncul sebagai penanda akan terjadinya proses hujan es. Pertumbuhan awan konvektif selama tidak kurang dari $140$ menit akan menghasilkan hujan es. Lamanya pertumbuhan awan konvektif adalah suatu variabel acak yang mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata $100$ menit.
- Berapa peluang bahwa akan terjadi hujan es jika di langit teramati $10$ gumpal awan konvektif yang sedang tumbuh?
- Misalkan langit dipenuhi $100$ gumpal awan konvektif yang sedang tumbuh. Berapa peluang bahwa antara $40$ dan $60$ gumpal awan akan menghasilkan hujan es?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan lamanya pertumbuhan awan konvektif dalam satuan menit. Diketahui $X \sim \text{exp}(\lambda)$ dengan $\lambda = 1/100$ sehingga $f(x) = \dfrac{1}{100}e^{-x/100}.$
Jawaban a)
Hujan es akan terjadi jika pertumbuhan awan konvektif selama tidak kurang dari $140$ menit. Oleh karena itu, akan dicari nilai dari $p(X \ge 140)$ yang menyatakan peluang terjadinya hujan es jika terdapat $1$ gumpal awan konvektif.
$$\begin{aligned} p(X \ge 140) & = \displaystyle \int_{140}^{\infty} \dfrac{1}{100}e^{-x/100}~\text{d}x \\ & = -\left[e^{-x/100}\right]_{140}^{\infty} \\ & = -(0-e^{-140/100}) \\ & \approx 0,\!2466. \end{aligned}$$Kemudian, akan dicari peluang terjadinya hujan es jika terdapat $10$ awan konvektif dengan menggunakan pendekatan distribusi binomial.
Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya gumpalan awan konvektif. Diketahui $n = 10$ dan $p = 0,\!2466.$ Agar terjadi hujan es, awan konvektif minimal sebanyak $1$ gumpalan. Oleh karena itu, akan dicari nilai dari $p(Y \ge 1).$
$$\begin{aligned} p(Y \ge 1) & = 1-p(Y = 0) \\ & = 1-b(0; 10, 0,\!2466) \\ & = 1-\displaystyle \binom{10}{0}(0,\!2466)^0(0,\!7534)^{10} \\ & \approx 0,\!9411. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa akan terjadi hujan es jika di langit teramati $10$ gumpal awan konvektif yang sedang tumbuh sekitar $\boxed{0,\!9411}$
Jawaban b)
Kasus di atas merupakan kasus distribusi binomial, tetapi dapat didekati dengan menggunakan distribusi normal karena kriteria bahwa $$np = 100 \cdot 0,\!2466 = 24,\!66 \ge 5$$ dan $$n(1-p)= 100 \cdot 0,\!7534 = 75,\!34 \ge 5$$terpenuhi. Perhatikan bahwa $\mu = np = 24,\!66$ dan $\sigma = \sqrt{np(1-p)} \approx 4,\!31.$ Akan dicari nilai dari $p(40 < Y < 60)$ dengan melakukan koreksi kekontinuan (continuity correction, $\pm 0,5$) terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} p(40 < Y < 60) & \approx p\left(\dfrac{40,\!5-24,\!66}{4,\!31} < Z < \dfrac{59,\!5-24,\!66}{4,\!31}\right) \\ & \approx p(3,\!68 < Z < 8,\!08) \\ & \approx 0. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa antara $40$ dan $60$ gumpal awan akan menghasilkan hujan es jika langit dipenuhi $100$ gumpal awan konvektif yang sedang tumbuh sekitar $\boxed{0}$ (hampir sangat tidak mungkin terjadi).
Soal Nomor 8
Pemerintah di suatu negara memberikan izin aktivitas pengeboran untuk eksplorasi minyak dan gas (migas) di laut. Namun, syarat utama pemberian izin aktivitas ini harus dengan pengeboran bertanggung jawab dan disertai pemulihan. Satuan kerja khusus terkait migas telah menargetkan pengeboran migas di $600$ titik pada tahun $2023.$ Kegiatan tersebut tentu akan berdampak langsung pada lingkungan laut yang memuat ekosistem besar di dalamnya. Pemerintah akan memberikan izin jika waktu pemulihan aktivitas pengeboran tidak lebih dari $4$ tahun. Diasumsikan bahwa waktu pemulihan tersebut adalah suatu variabel acak yang mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata $2$ tahun.
- Tentukan peluang bahwa aktivitas pengeboran akan diberikan izin.
- Tentukan peluang bahwa akan terdapat aktivitas pengeboran yang diberikan izin jika sebanyak $10$ titik ditargetkan untuk pengeboran migas.
- Satuan kerja khusus terkait migas telah menargetkan pengeboran migas di $600$ titik pada tahun $2023.$ Tentukan peluang bahwa kurang dari $520$ titik akan diberikan izin untuk aktivitas pengeboran dan peluang bahwa antara $500$ dan $520$ titik akan diberikan izin untuk aktivitas pengeboran.
Jawaban a)
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan waktu (dalam tahun) pemulihan aktivitas pengeboran tersebut. Diketahui $X \sim \text{exp}(\lambda)$ dengan $\lambda = 1/2$ sehingga $f(x) = \dfrac12e^{-x/2}.$
Aktivitas pengeboran akan diberikan izin jika waktu pemulihannya tidak lebih dari $4$ tahun. Oleh karena itu, peluang aktivitas pengeboran akan diberikan izin adalah $p(X \le 4).$
$$\begin{aligned} p(X \le 4) & = \displaystyle \int_0^4 \dfrac12e^{-x/2}~\text{d}x \\ & = -[e^{-x/2}]_0^4 \\ & = -(e^{-2}-e^0) \\ & \approx 0,\!8647. \end{aligned}$$Jawaban b)
Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya titik pengeboran. Dengan menggunakan distribusi binomial, diketahui $n = 10$ dan $p = 0,\!8647.$ Dalam kasus ini, akan dicari nilai dari $p(Y \ge 1),$ yaitu peluang terdapat (setidaknya $1$ dari $10$ titik) aktivitas pengeboran.
$$\begin{aligned} p(Y \ge 1) & = 1-p(Y = 0) \\ & = 1-b(0; 10, 0,\!8647) \\ & = 1-\displaystyle \binom{10}{0} (0,\!8647)^0(0,\!1353)^{10} \\ & \approx 1. \end{aligned}$$Jawaban c)
Kasus di atas merupakan kasus distribusi binomial, tetapi dapat didekati dengan menggunakan distribusi normal karena kriteria bahwa $$np = 600 \cdot 0,\!8647 = 518,\!82 \ge 5$$ dan $$n(1-p)= 600 \cdot 0,\!1353 = 81,\!18 \ge 5$$terpenuhi. Perhatikan bahwa $\mu = np = 518,\!82$ dan $\sigma = \sqrt{np(1-p)} \approx 8,\!38.$ Pertama, akan dicari nilai dari $p(Y < 520)$ dengan melakukan koreksi kekontinuan (continuity correction, $\pm 0,5$) terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} p(Y < 520) & \approx p\left(Z < \dfrac{519,\!5-518,\!82}{8,\!38}\right) \\ & \approx p(Z < 0,\!08) \\ & = 0,\!5319. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa kurang dari $520$ titik akan diberikan izin untuk aktivitas pengeboran sekitar $\boxed{0,\!5319}$
Dengan cara yang sama, akan dicari nilai dari $p(500 < Y < 520).$
$$\begin{aligned} p(500 < Y < 520) & \approx p\left(\dfrac{500,\!5-518,\!82}{8,\!38} < Z < \dfrac{519,\!5-518,\!82}{8,\!38}\right) \\ & \approx p(-2,\!19 < Z < 0,\!08) \\ & = 0,\!5173. \end{aligned}$$Jadi, peluang bahwa antara $500$ dan $520$ titik akan diberikan izin untuk aktivitas pengeboran sekitar $\boxed{0,\!5173}$