Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Homogen (Reduksi dan Pemisahan Variabel)

       Pos ini memuat beberapa soal terkait persamaan diferensial homogen. Soal-soal diambil dari berbagai referensi yang dikumpulkan oleh penulis sebagai wadah bagi para pengunjung blog untuk belajar (terkhusus bagi mahasiswa yang mengambil mata kuliah Persamaan Diferensial). Semoga bermanfaat! Jika ada yang ditanyakan, jangan sungkan untuk bertanya secara langsung di kolom komentar. Berikut ini juga disertakan pranala tentang PD jenis lainnya.

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Non-Homogen) dengan Koefisien Konstan

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan

Quote by Albert Einstein

Do not worry about your difficulties in mathematics. I can assure you mine are still greater.

Soal Nomor 1
Periksa apakah PD $(3y-4x)~\text{d}x+(y-x)\text{d}y = 0$ homogen atau tidak.

Pembahasan

Perhatikan bahwa
$\begin{aligned} (3y-4x)~\text{d}x+(y-x)\text{d}y & = 0 \\ \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \dfrac{3y-4x}{x-y} \\ \dfrac{\cancel{x}\left(3 \cdot \frac{y}{x}- 4\right)}{\cancel{x}\left(1-\frac{y}{x}\right)} & = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ \dfrac{3 \cdot \frac{y}{x}-4}{1-\frac{y}{x}} & = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \end{aligned}$
Karena variabel PD di atas dapat ditulis kembali sebagai $v = \dfrac{y}{x}$, maka PD ini homogen.

[collapse]

Soal Nomor 2
Selesaikanlah persamaan diferensial $(x-y)~\text{d}x + x~\text{d}y = 0$.

Pembahasan

Diketahui $(x-y)~\text{d}x + x~\text{d}y = 0$.
Bagilah kedua ruas dengan $x$ untuk mendapatkan
$\left(1- \dfrac{y}{x}\right) + \text{d}y = 0$
Bentuk di atas menunjukkan bahwa PD tersebut homogen. Misalkan $v = \dfrac{y}{x} \Leftrightarrow y = vx$, maka dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan tersebut, diperoleh
$(1- v) \text{d}x + d(vx) = 0$
$\text{d}x- v~\text{d}x + x~\text{d}v + v~\text{d}x = 0$
$\text{d}x + x~\text{d}v = 0$
Bagi kedua ruas dengan $x$ untuk memperoleh
$ \dfrac{\text{d}x}{x} + \text{d}v = 0$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian, sehingga didapat
$ \displaystyle \int \dfrac{\text{d}x}{x} + \int \text{d}v = \ln C$ $\bigstar$
$ \ln x + v = \ln C$
$\begin{aligned} v = \ln \dfrac{C}{x} & \Leftrightarrow e^v = \dfrac{C}{x} \Leftrightarrow xe^v = C \\ & \Leftrightarrow xe^{\frac{y}{x}} = C \end{aligned}$
Catatan: $\bigstar$ mengapa hasil integralnya menjadi $\ln C$, bukankah seharusnya $C$? Ini adalah pertanyaan yang sering ditanyakan. Teknik seperti ini disebut manipulasi konstanta, karena C merupakan bilangan real (bebas), jadi berapapun yang kita ambil sebagai bentuk $C$, hasilnya masih umum. Untuk mempermudah perhitungan/penyederhanaan hasil, kita jadikan saja menjadi $\ln C$.

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

Soal Nomor 3
Selesaikanlah persamaan diferensial $\displaystyle (x^2 + y)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2xy$.

Pembahasan

Diketahui $\displaystyle (x^2 + y)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2xy$.
Kalikan $\text{d}x$ pada kedua ruasnya,
$\displaystyle (x^2 + y)~\text{d}y = 2xy~\text{d}x$
$\displaystyle (x^2 + y)~\text{d}y- 2xy~\text{d}x = 0$
Perhatikan bahwa $2xy~\text{d}x = y~\text{d}x^2$, sehingga
$\displaystyle (x^2 + y)~\text{d}y- y~\text{d}x^2 = 0$
Substitusikan $u = x^2$, diperoleh
$\displaystyle (u + y)~\text{d}y- y~\text{d}u = 0$
Bagi kedua ruas dengan $u$,
$\displaystyle (1 + \dfrac{y}{u})~\text{d}y- \dfrac{y}{u}~\text{d}u = 0$
Bentuk persamaan diferensial di atas menunjukkan bahwa persamaan diferensial ini homogen.
Sekarang, kita misalkan $v = \dfrac{y}{u} \Leftrightarrow y = uv \Rightarrow \text{d}y = u~\text{d}v + v~\text{d}u$, sehingga jika disubstitusikan ke persamaannya, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle (1 + v)(u~\text{d}v + v~\text{d}u)- v~\text{d}u & = 0 \\ u~\text{d}v + v~\text{d}u + vu~\text{d}v + v^2~\text{d}v- v~\text{d}v & = 0 \\ (1 + v)u~\text{d}v + v^2~\text{d}v & = 0 \\ \frac{1+v}{v^2}~\text{d}v + \frac{\text{d}u}{u} & = 0 \end{aligned}$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$\displaystyle \int \frac{1+v}{v^2}~\text{d}v + \int \frac{\text{d}u}{u} = C$
$\displaystyle \int v^{-2}~\text{d}v + \int \frac{\text{d}v}{v} + \int \frac{\text{d}u}{u} = C$
$\displaystyle-\frac{1}{v} + \ln v + \ln u = C$
$\ln \dfrac{vu}{c} = \dfrac{1}{v} \Leftrightarrow \dfrac{vu}{c} = e^{\frac{1}{v}}$
Substitusikan kembali $y = uv$ dan $u = x^2$, diperoleh
$\dfrac{y}{c} = e^{\frac{u}{y}} \Leftrightarrow \dfrac{y}{c} = e^{\frac{x^2}{y}}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Apakah $(x^2- 3y^2)~\text{d}x + 2xy~\text{d}y = 0$ merupakan PD homogen? Jika homogen, tentukan solusinya.

Pembahasan

Diketahui $(x^2- 3y^2)~\text{d}x- 2xy~\text{d}y = 0$.
Persamaan di atas dapat ditulis menjadi
$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = \dfrac{x^2-3y^2}{2xy}$

$ = \dfrac{x}{2y} + \dfrac{3y}{2x} = \dfrac{1}{\frac{2y}{x}} + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{y}{x}$
Bentuk PD di atas menunjukkan bahwa PD ini homogen.
Misalkan $v = \dfrac{y}{x} \Leftrightarrow y = xv \Rightarrow \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = x~\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} + v$
Substitusikan ini ke persamaannya,
$\dfrac{1}{2v} + \dfrac{3v}{2} = x~\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} + v$
Kurangi $v$ pada kedua ruas untuk mendapatkan
$\dfrac{1}{2v} + \dfrac{v}{2} = x~\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x}$
Samakan penyebutnya pada ruas kiri, kemudian sederhanakan menjadi
$\dfrac{v^2-1}{2v} = x~\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x}$
Kalikan kedua ruas dengan $\dfrac{2v}{x(v^2-1)}~\text{d}x$, diperolehlah
$\dfrac{2v}{v^2-1}~\text{d}v = \dfrac{\text{d}x}{x}$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang berpadanan,
$\displaystyle \int \dfrac{2v}{v^2-1}~\text{d}v = \int \dfrac{\text{d}x}{x}$
$ \ln (v^2-1) = \ln x + \ln C$
$ v^2- 1 = xC$
Substitusikan kembali bahwa $v = \dfrac{y}{x}$, sehingga diperoleh
$ \boxed{\dfrac{y^2}{x^2}- xC = 1}$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial (Tingkat Dasar)

Soal Nomor 5
Tentukan solusi PD $2xyy’- y^2 + x^2 = 0$.

Pembahasan

Bagi terlebih dahulu persamaannya dengan $x^2$, diperoleh
$2\left(\dfrac{y}{x}\right)y’- \left(\dfrac{y}{x}\right)^2 + 1 = 0$
Misalkan $v = \dfrac{y}{x}$, maka $y’ = v + v'(x)$
Substitusikan pada persamaan, diperoleh
$2v(v+v’x)- v^2 + 1 = 0$
$2xvv’ + v^2 + 1 = 0$
$2xv\dfrac{\text{d}v}{\text{d}x} =-(1 + v^2)$
Dengan pemisahan variabel, diperoleh
$\dfrac{2v}{1 + v^2}\text{d}v =-\dfrac{1}{x}~\text{d}x$
Integralkan untuk mendapatkan
$\ln |1 + v^2| =-\ln |x| + \ln |C|$
Sederhanakan,
$1 + v^2 = Cx^{-1}$
Substitusikan kembali $v = \dfrac{y}{x}$, diperoleh
$1 + \left( \dfrac{y}{x}\right)^2 = Cx^{-1}$
Kalikan kedua ruas dengan $x^2$,
$x^2 + y^2 = Cx$
Jadi, penyelesaian umumnya adalah $\boxed{x^2 + y^2 = Cx}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Selesaikan PD berikut.
$(2x- 4y + 5)y’ + x- 2y + 3 = 0$

Pembahasan

Misalkan $v = x- 2y$ yang berarti juga $y = \dfrac{1}{2}(x- v)$, sehingga
$y’ = \dfrac{1}{2}(1- v’)$
Substitusikan ke PD,
$\begin{aligned} (2v + 5)\left(\dfrac{1}{2}(1- v’)\right) & =-v- 3 \\ 2v- 2vv’ + 5- 5v’ & =-2v- 6 \\ -(2v + 5)v’ & =-4v- 11 \\ (2v + 5)v’ &= 4v + 11 \\ \dfrac{4v + 10}{4v + 11}\text{d}v & = 2~\text{d}x \\ \left(1- \dfrac{1}{4v + 11}\right)\text{d}v & = 2~\text{d}x \end{aligned}$
Integrasikan kedua ruas untuk mendapatkan,
$v- \dfrac{1}{4}\ln |4v + 11| = 2x + C_1$
Substitusikan kembali $v = x- 2y$,
$(x- 2y)- \dfrac{1}{4}\ln |4(x- 2y) + 11| = 2x + C_1$
$4x + 8y + \ln |4x- 8y + 11| = C$
Jadi, solusi umum dari PD di atas adalah $\boxed{4x + 8y + \ln |4x- 8y + 11| = C}$

[collapse]

Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah

Soal Nomor 7
Tentukan masalah nilai awal berikut.
$y’ = \dfrac{y + x}{y- x}, y(0) = 2$

Pembahasan

Misalkan $u = y- x$ berarti $y = u + x$, sehingga $y’ = u’ + 1$
Substitusikan ke persamaan,
$(u’ + 1) = \dfrac{(u+x) + x}{u}$
$uu’ + u = u + 2x$
$u~\text{d}u = 2x~\text{d}x$
Integrasikan kedua ruas untuk mendapatkan
$\dfrac{1}{2}u^2 = x^2 + C_1$
$u^2 = 2x^2 + C$
Substitusikan kembali $u = y- x$.
$(y- x)^2 = 2x^2 + C$
$y^2- 2xy- x^2 = C$
Karena diberikan ketentuan $y(0) = 2$, maka didapat
$2^2- 2(0)(2)- 0^2 = 4 = C$
Diperoleh nilai $C$ adalah $4$, sehingga
$\boxed{y^2- 2xy- x^2 = 4}$

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan masalah nilai awal berikut.
$y’ = \dfrac{y}{x} + \dfrac{2x^3 \cos x^2}{y}, y(\sqrt{\pi}) = 0$

Pembahasan

$y’ = \dfrac{y}{x} + \dfrac{2x^3 \cos x^2}{y}$
Ubah persamaan menjadi
$y’ = \dfrac{y}{x} + \dfrac{2x^2 \cos x^2}{\frac{y}{x}}$
Misalkan $u = \dfrac{y}{x}$ berarti $y = ux$, sehingga $y’ = u + u’x$. Substitusikan ke persamaan,
$u + u’x = u + \dfrac{2x^2 \cos x^2}{u}$
$uu’ = 2x \cos x^2$
$u~\text{d}u = 2x \cos x^2~\text{d}x$
Integrasikan kedua ruas,
$\int u~\text{d}u = \int 2x \cos x^2~\text{d}x$
(Gunakan substitusi $u = x^2$ untuk mengintegrasikan bentuk ruas kanan)
$\dfrac{1}{2}u^2 = \sin x^2 + C$
Substitusikan kembali $u = \dfrac{y}{x}$.
$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y}{x}\right)^2 = \sin x^2 + C$
$y^2 = 2x^2 \sin x^2 + C$
$y = \sqrt{2x^2 \sin x^2 + C}$
Karena ketentuan diberikan bahwa $y(\sqrt{\pi}) = 0$, maka diperoleh
$0 = \sqrt{2\pi \sin \pi + C}$
Diperoleh bahwa $C = 0$
Jadi, penyelesaian khusus PD tersebut adalah
$\boxed{y = \sqrt{2x^2 \sin x^2}}$

[collapse]

Soal Nomor 9
Selesaikan persamaan diferensial homogen $(2x^2 + 3y^2)~\text{d}x + 3xy~\text{d}y = 0$.

Pembahasan

Perhatikan bahwa persamaan diferensial tersebut dapat diubah bentuknya sehingga pemisalan
$v = \dfrac{y}{x} \Leftrightarrow y = vx \Rightarrow \color{red}{\text{d}y = v~\text{d}x + x~\text{d}v}$
bisa diberlakukan, seperti berikut.
$$\begin{aligned} (2x^2 + 3y^2)~\text{d}x + 3xy~\text{d}y & = 0 \\ (2x^2 + 3y^2)~\text{d}x & =-3xy~\text{d}y \\ \dfrac{2x^2+3y^2}{3xy} & =-\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ \dfrac{2x}{3y} + \dfrac{y}{x} & =-\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ \dfrac{2}{3v} + v & =-\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ \dfrac{2+3v^2}{3v} & =-\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} \\ (2+3v^2)~\text{d}x & =-3v~\text{d}y \\ 2~\text{d}x + 3v^2~\text{d}x & =-3v( \color{red}{v~\text{d}x + x~\text{d}v}) \\ 2~\text{d}x + 3v^2~\text{d}x & =-3v^2~\text{d}x- 3vx~\text{d}v \\ 2~\text{d}x + 6v^2~\text{d}x & =- 3vx~\text{d}v \\ \dfrac{1}{x}~\text{d}x & = \dfrac{-3v}{2+6v^2}~\text{d}v \end{aligned}$$Langkah berikutnya adalah mengintegralkan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian.
$\begin{aligned} \int-\dfrac{1}{x}~\text{d}x & = \int \dfrac{-3v}{2+6v^2}~\text{d}v \\ \ln x & =-\dfrac{1}{4} \ln |-2-6v^2| + \ln |C| \\ \ln x & =-\dfrac{1}{4} \ln \left|-2-6\left(\dfrac{y}{x}\right)^2\right| + \ln |C| \end{aligned}$
Jadi, penyelesaian PD homogen tersebut adalah $\boxed{-\dfrac{1}{4} \ln \left|-2-6\left(\dfrac{y}{x}\right)^2\right| + \ln |C|}$
Catatan:
Perhatikan bahwa bentuk $\displaystyle \int \dfrac{-3v}{2+6v^2}~\text{d}v$ dapat ditentukan hasil pengintegralannya dengan menggunakan metode substitusi $u = 2 + 6v^2$.

[collapse]