Soal dan Pembahasan – Grup Siklik

Diketahui elemen identitas $(G, \star)$ adalah $1$.
Tinjau setiap order dari anggota $G$.
$$\begin{aligned} \circ(1) = 1~&\text{karena}~1^1 = 1 \\ \circ(-1) = 2~&\text{karena}~(-1)^2 = 1 \\ \circ(i) = 4~&\text{karena}~i^4 = (\sqrt{-1})^4 = 1 \\ \circ(-i) = 4~&\text{karena}~(-i)^4 = (-\sqrt{-1})^4 = 1 \end{aligned}$$Karena semua order anggota grup $G$ berhingga, maka $G$ dikatakan sebagai grup periodik (torsion group).

$(\mathbb{Z}_6, +)$ didefinisikan sebagai himpunan bilangan modulo $6$ dalam operasi penjumlahan modulo $6$ dengan $\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}.$
Misalkan kita mengambil $a = 0$, berarti
$\begin{aligned} & \{0^1, 0^2, 0^3, 0^4, 0^5, 0^6, \cdots\} \\ & = \{0, 0, 0, 0, 0, 0, \cdots\} \neq \mathbb{Z}_6. \end{aligned}$
Misalkan kita mengambil $a = 1$, berarti
$\begin{aligned} & \{1^1, 1^2, 1^3, 1^4, 1^5, 1^6, \cdots\} \\ & = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \cdots\} = \mathbb{Z}_6. \end{aligned} $
Misalkan kita mengambil $a = 2$, berarti
$\begin{aligned} & \{2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6, \cdots\} \\ & = \{2, 4, 0, 2, 4, 2, \cdots\} \neq \mathbb{Z}_6. \end{aligned}$
Misalkan kita mengambil $a = 3$, berarti
$\begin{aligned} & \{3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6, \cdots\} \\ & = \{3, 0, 3, 0, 3, 0, \cdots\} \neq \mathbb{Z}_6. \end{aligned}$
Misalkan kita mengambil $a = 4$, berarti
$\begin{aligned} & \{4^1, 4^2, 4^3, 4^4, 4^5, 4^6, \cdots\} \\ & = \{4, 2, 0, 4, 2, 0,\cdots\} \neq \mathbb{Z}_6. \end{aligned} $
Misalkan kita mengambil $a = 5$, berarti
$\begin{aligned} & \{5^1, 5^2, 5^3, 5^4, 5^5, 5^6, \cdots\} \\ & = \{5, 4, 3, 2, 1, 0, \cdots\} = \mathbb{Z}_6. \end{aligned} $
Jadi, generator dari $\mathbb{Z}_6$ dalam operasi $+$ adalah $\langle 1 \rangle$ dan $\langle 5 \rangle$.
Catatan: Dalam kasus ini, $a^n$ berarti $a + a + a + \cdots + a$ sebanyak $n$ (berdasarkan operasi biner yang diberlakukan), bukan seperti perpangkatan yang kita kenal pada umumnya (perkalian sebanyak $n$ suku).

Kita harus menunjukkan bahwa tidak ada $y \in \mathbb{R}$ yang menjadi generator pada himpunan bilangan real. Pembuktiannya menggunakan kontradiksi.
Andaikan $y \in \mathbb{R}$ merupakan generator dari $\mathbb{R}$. Perhatikan bahwa
$y^0 = 0$ (identitas penjumlahan di $\mathbb{R}$)
$y^1 = y$
$y^2 = y + y = 2y$
$y^3 = y + y + y = 3y$
$\cdots \cdots \cdots$
Di lain sisi,
$y^{-1} = -y$
$y^{-2} =(-y) + (-y) = -2y$
$y^{-3} =(-y + (-y) + (-y) = -3y$
$\cdots \cdots \cdots$
Dengan demikian, diperoleh
$$\{y^n : n \in \mathbb{Z}\} = \{\cdots, -3y, -2y, -y, 0, y, 2y, 3y, \cdots\}$$Karena $y \in \mathbb{R}$, maka $z = \dfrac{y}{2} \in \mathbb{R}$, padahal $z$ tidak dapat dinyatakan sebagai perpangkatan dari $y$. Jadi, pengandaiannya salah ($y$ bukan generator dari $\mathbb{R})$ sehingga harus diingkari. Jadi, grup $(\mathbb{R}, +)$ bukan termasuk grup siklik.

Ingat kembali definisi grup siklik.
Misalkan $G$ grup dan $\mathbb{Z}$ merupakan himpunan bilangan bulat. $G$ disebut grup siklik jika ada $a \in G$ sedemikian sehingga $G = \{a^n | n \in \mathbb{Z}\}$. Elemen $a$ pada $G$ ini disebut generator dari grup siklik tersebut.
Ambil $i \in G$ sehingga
$$\begin{aligned} i^2 & = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = -1 \\ i^3 & = i^2 \times i = -1 \times i= -i \\ i^4 & = i^3 \times i = -i \times i = -i^2 = -(-1) = 1  \end{aligned}$$Jadi,
$\begin{aligned} G & = \{1, -1, i, -i\} \\ & = \{i, -1, -i, 1\} \\ & = \{i, i^2, i^3, i^4\} \end{aligned}$
Dengan demikian, $G$ adalah grup siklik dengan generator $i$ dan $t(i) = 4$.
Ambil $-i \in G$ sehingga
$$\begin{aligned} (-i)^2 & = (-i) \times (-i) = i^2 = -1 \\ (-i)^3 & = (-i)^2 \times (-i) = -1 \times (-i)= i \\ (-i)^4&  = (-i)^3 \times (-i) = i \times (-i) = -(i^2) = -(-1) = 1 \end{aligned}$$Jadi,
$\begin{aligned} G & = \{1, -1, i, -i\} \\ & = \{-i, -1, i, 1\} \\ & = \{-i, (-i)^2, (-i)^3, (-i)^4\} \end{aligned}$
Dengan demikian, $G$ juga adalah grup siklik dengan generator $-i$ dan $t(-i) = 4$.

Ambil $1 \in \mathbb{Z}$ sehingga
$1^2 = 2 \times 1 = 1 + 1 = 2$
$1^3 = 3 \times 1 = 1 + 1 + 1 = 3$
$1^4 = 4 \times 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$
Jika dilanjutkan, kita dapat mendeduksi bahwa setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan dalam bentuk $1 + 1 + \cdots + 1$. Di lain kasus,
$1^0 = 0 \times 1 = 0$
$1^{-1} = -1 \times 1 = -1$
$1^{-2} = -2 \times 1 = -2.$
Jika dilanjutkan, kita dapat mendeduksi bahwa setiap bilangan bulat non-positif dapat dituliskan dalam bentuk ini. Jadi, $\mathbb{Z}$ grup siklik dengan generator $1$.

Misalkan $(G, *) $ adalah grup siklik dengan generator $[a]$, berarti dapat ditulis $G = \{a^n | n \in \mathbb{Z}\}.$
Ambil sembarang $g_1, g_2 \in G$. Akan ditunjukkan bahwa $g_1 * g_2 = g_2 * g_1$
Dapat ditemukan $s, t \in \mathbb{Z}$ sedemikian sehingga $g_1 = a^s$ dan juga $g_2 = a^t.$ Berarti, $g_1 * g_2 = a^s * a^t = a^{s + t}.$
Berdasarkan sifat komutatif pada penjumlahan dua bilangan bulat, berlaku
$a^{s + t} = a^{t + s} = a^t * a^s = g_2 * g_1.$
Jadi, diperoleh $g_1 * g_2 = g_2 * g_1$. Terbukti bahwa setiap grup siklik adalah grup abelian.

Perhatikan bahwa $G$ grup siklik dengan generator $a$ sehingga dapat dituliskan $G = \{a, a^2, a^3, \cdots, a^{10}\}$. $H$ adalah subgrup dari $G$, dengan $H = \{a^2, a^4, a^6, a^8, a^{10}\}$. Oleh karena itu, elemen $H$ semuanya dibangkitkan oleh $a^2$. Dengan kata lain, $H$ adalah grup siklik dengan generator/pembangkit $a^2$ dan merupakan subgrup dari $G$.