Soal dan Pembahasan – Grup Siklik

Berikut ini penulis sajikan soal dan pembahasan mengenai grup siklik yang dipelajari dalam perkuliahan Aljabar Abstrak. Semoga bermanfaat.

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Operasi Biner dan Grup

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Subgrup

Today Quote

Matematika itu tidak berguna bagi yang tidak bisa menggunakannya.

Soal Nomor 1
Tentukan apakah $(G, \star)$ dengan $G = \{1, -1, i, -i\}$ dan $i$ menyatakan bilangan imajiner merupakan grup periodik.

Penyelesaian

Diketahui elemen identitas $(G, \star)$ adalah $1$.
Tinjau setiap order dari anggota $G$.
$\circ(1) = 1$ karena $1^1 = 1$
$\circ(-1) = 2$ karena $(-1)^2 = 1$
$\circ(i) = 4$ karena $i^4 = (\sqrt{-1})^4 = 1$
$\circ(-i) = 4$ karena $(-i)^4 = (-\sqrt{-1})^4 = 1$
Karena semua order anggota grup $G$ berhingga, maka $G$ dikatakan sebagai grup periodik (torsion group).

[collapse]


Soal Nomor 2
Tentukan generator (pembangun) dari $\mathbb{Z}_6$ dalam operasi $+$.

Penyelesaian

$(\mathbb{Z}_6, +)$ didefinisikan sebagai himpunan bilangan modulo $6$ dalam operasi penjumlahan modulo $6$, dengan $\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
Misalkan kita mengambil $a = 0$, berarti
$\begin{aligned} & \{0^1, 0^2, 0^3, 0^4, 0^5, 0^6, \cdots\} \\ & = \{0, 0, 0, 0, 0, 0, \cdots\} \neq \mathbb{Z}_6 \end{aligned}$
Misalkan kita mengambil $a = 1$, berarti
$\begin{aligned} & \{1^1, 1^2, 1^3, 1^4, 1^5, 1^6, \cdots\} \\ & = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \cdots\} = \mathbb{Z}_6 \end{aligned} $
Misalkan kita mengambil $a = 2$, berarti
$\begin{aligned} & \{2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6, \cdots\} \\ & = \{2, 4, 0, 2, 4, 2, \cdots\} \neq \mathbb{Z}_6 \end{aligned}$
Misalkan kita mengambil $a = 3$, berarti
$\begin{aligned} & \{3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6, \cdots\} \\ & = \{3, 0, 3, 0, 3, 0, \cdots\} \neq \mathbb{Z}_6 \end{aligned}$
Misalkan kita mengambil $a = 4$, berarti
$\begin{aligned} & \{4^1, 4^2, 4^3, 4^4, 4^5, 4^6, \cdots\} \\ & = \{4, 2, 0, 4, 2, 0,\cdots\} \neq \mathbb{Z}_6 \end{aligned} $
Misalkan kita mengambil $a = 5$, berarti
$\begin{aligned} & \{5^1, 5^2, 5^3, 5^4, 5^5, 5^6, \cdots\} \\ & = \{5, 4, 3, 2, 1, 0, \cdots\} = \mathbb{Z}_6 \end{aligned} $
Jadi, generator dari $\mathbb{Z}_6$ dalam operasi $+$ adalah $\langle 1 \rangle$ dan $\langle 5 \rangle$.
Catatan: Dalam kasus ini, $a^n$ berarti $a + a + a + \cdots + a$ sebanyak $n$ (berdasarkan operasi biner yang diberlakukan), bukan seperti perpangkatan yang kita kenal pada umumnya (perkalian sebanyak $n$ suku).

[collapse]


Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa grup $(\mathbb{R}, +)$ bukan grup siklik.

Penyelesaian

Kita harus menunjukkan bahwa tidak ada $y \in \mathbb{R}$ yang menjadi generator pada himpunan bilangan real. Pembuktiannya menggunakan kontradiksi. Andaikan $y \in \mathbb{R}$ merupakan generator dari $\mathbb{R}$. Perhatikan bahwa,
$y^0 = 0$ (identitas penjumlahan di $\mathbb{R}$)
$y^1 = y$
$y^2 = y + y = 2y$
$y^3 = y + y + y = 3y$
$\cdots \cdots \cdots$
Di lain sisi,
$y^{-1} = -y$
$y^{-2} =(-y) + (-y) = -2y$
$y^{-3} =(-y + (-y) + (-y) = -3y$
$\cdots \cdots \cdots$
Dengan demikian, diperoleh
$$\{y^n : n \in \mathbb{Z}\} = \{\cdots, -3y, -2y, -y, 0, y, 2y, 3y, \cdots\}$$
Karena $y \in \mathbb{R}$, maka $z = \dfrac{y}{2} \in \mathbb{R}$. Padahal, $z$ tidak dapat dinyatakan sebagai perpangkatan dari $y$. Jadi, pengandaiannya salah ($y$ bukan generator dari $\mathbb{R})$. Berarti, grup $(\mathbb{R}, +)$ bukan grup siklik.

[collapse]

Soal Nomor 4
Diberikan $(G, \times)$, yaitu grup $G$ dengan operasi perkalian standar. Jika diketahui $G = \{1, -1, i, -i\}$, dengan $i = \sqrt{-1}$, maka selidiki apakah $G$ merupakan grup siklik dengan generator $i$ atau $-i$.

Penyelesaian

Ingat kembali definisi grup siklik.
Misalkan $G$ grup, dan $\mathbb{Z}$ merupakan himpunan bilangan bulat. $G$ disebut grup siklik jika ada $a \in G$ sedemikian sehingga $G = \{a^n | n \in \mathbb{Z}\}$. Elemen $a$ pada $G$ ini disebut generator dari grup siklik tersebut.
Ambil $i \in G$, sehingga
$i^2 = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = -1$
$i^3 = i^2 \times i = -1 \times i= -i$
$i^4 = i^3 \times i = -i \times i = -i^2 = -(-1) = 1 $ (unsur identitas)
Jadi,
$\begin{aligned} G & = \{1, -1, i, -i\} \\ & = \{i, -1, -i, 1\} \\ & = \{i, i^2, i^3, i^4\} \end{aligned}$

Dengan demikian, $G$ grup siklik dengan generator $i$ dan $t(i) = 4$.
Ambil $-i \in G$, sehingga
$(-i)^2 = (-i) \times (-i) = i^2 = -1$
$(-i)^3 = (-i)^2 \times (-i) = -1 \times (-i)= i$
$$(-i)^4 = (-i)^3 \times (-i) = i \times (-i) = -(i^2) = -(-1) = 1 $$
(unsur identitas)

Jadi,
$\begin{aligned} G & = \{1, -1, i, -i\} \\ & = \{-i, -1, i, 1\} \\ & = \{-i, (-i)^2, (-i)^3, (-i)^4\} \end{aligned}$

Dengan demikian, $G$ grup siklik dengan generator $-i$ dan $t(-i) = 4$.

[collapse]

Soal Nomor 5
Misalkan $\mathbb{Z}$ adalah himpunan bilangan bulat. Diberikan bahwa $(\mathbb{Z}, +)$ merupakan grup. Selidiki apakah $\mathbb{Z}$ grup siklik dengan generator $1$.

Penyelesaian

Ambil $1 \in \mathbb{Z}$, sehingga
$1^2 = 2 \times 1 = 1 + 1 = 2$
$1^3 = 3 \times 1 = 1 + 1 + 1 = 3$
$1^4 = 4 \times 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$
Jika dilanjutkan, kita dapat mendeduksi bahwa setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan dalam bentuk $1 + 1 + \cdots + 1$. Di lain kasus,
$1^0 = 0 \times 1 = 0$
$1^{-1} = -1 \times 1 = -1$
$1^{-2} = -2 \times 1 = -2$
Jika dilanjutkan, kita dapat mendeduksi bahwa setiap bilangan bulat non-positif dapat dituliskan dalam bentuk ini. Jadi, $\mathbb{Z}$ grup siklik dengan generator $1$.

[collapse]

Soal Nomor 6
Buktikan bahwa setiap grup siklik adalah grup abelian (komutatif).

Penyelesaian

Misalkan $(G, *) $ adalah grup siklik dengan generator $[a]$, berarti dapat ditulis
$G = \{a^n | n \in \mathbb{Z}\}$
Ambil sembarang $g_1, g_2 \in G$. Akan ditunjukkan bahwa $g_1 * g_2 = g_2 * g_1$
Dapat ditemukan $s, t \in \mathbb{Z}$, sedemikian sehingga
$g_1 = a^s$ dan juga $g_2 = a^t$
Berarti,
$g_1 * g_2 = a^s * a^t = a^{s + t}$
Berdasarkan sifat komutatif pada penjumlahan dua bilangan bulat, berlaku
$a^{s + t} = a^{t + s} = a^t * a^s = g_2 * g_1$
Jadi, diperoleh $g_1 * g_2 = g_2 * g_1$. Terbukti bahwa setiap grup siklik adalah grup abelian.

[collapse]

Soal Nomor 7 
Jika $G = \langle a \rangle$ adalah grup siklik dengan order $10$, apakah $H = \langle a^2 \rangle$ merupakan subgrup dari $G$ yang dibangkitkan oleh $a^2$?

Penyelesaian

Perhatikan bahwa $G$ grup siklik dengan generator $a$ sehingga dapat dituliskan $G = \{a, a^2, a^3, \cdots, a^{10}\}$. $H$ adalah subgrup dari $G$, dengan $H = \{a^2, a^4, a^6, a^8, a^{10}\}$. Oleh karena itu, elemen $H$ semuanya dibangkitkan oleh $a^2$. Dengan kata lain, $H$ adalah grup siklik dengan generator/pembangkit $a^2$ dan merupakan subgrup dari $G$.

[collapse]

CategoriesStruktur AljabarTags, , , , , ,

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *