Soal Latihan dan Penyelesaian – Grup Siklik


Kuasai dulu materi berikut.
Soal dan Penyelesaian – Operasi Biner dan Grup
Soal dan Penyelesaian – Subgrup

Soal Nomor 1
Tentukan apakah (G, \star) dengan G = \{1, -1, i, -i\} dan i menyatakan bilangan imajiner merupakan grup periodik.

Penyelesaian

Diketahui elemen identitas (G, \star) adalah 1.
Tinjau setiap order dari anggota G.
\circ(1) = 1 karena 1^1 = 1
\circ(-1) = 2 karena (-1)^2 = 1
\circ(i) = 4 karena i^4 = (\sqrt{-1})^4 = 1
\circ(-i) = 4 karena (-i)^4 = (-\sqrt{-1})^4 = 1
Karena semua order anggota grup G berhingga, maka G dikatakan sebagai grup periodik (torsion group).

[collapse]


Soal Nomor 2
Tentukan generator (pembangun) dari Z_6 dalam operasi +.

Penyelesaian

(Z_6, +) didefinisikan sebagai himpunan bilangan modulo 6 dalam operasi penjumlahan modulo 6, dengan Z_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}.
Misalkan kita mengambil a = 0, berarti
\{0^1, 0^2, 0^3, 0^4, 0^5, 0^6...\} = \{0, 0, 0, 0, 0, 0, ...\} \neq Z_6
Misalkan kita mengambil a = 1, berarti
\{1^1, 1^2, 1^3, 1^4, 1^5, 1^6...\} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, ...\} = Z_6
Misalkan kita mengambil a = 2, berarti
\{2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6...\} = \{2, 4, 0, 2, 4, 2, ...\} \neq Z_6
Misalkan kita mengambil a = 3, berarti
\{3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6...\} = \{3, 0, 3, 0, 3, 0, ...\} \neq Z_6
Misalkan kita mengambil a = 4, berarti
\{4^1, 4^2, 4^3, 4^4, 4^5, 4^6...\} = \{4, 2, 0, 4, 2, 0, ...\} \neq Z_6
Misalkan kita mengambil a = 5, berarti
\{5^1, 5^2, 5^3, 5^4, 5^5, 5^6...\} = \{5, 4, 3, 2, 1, 0, ...\} = Z_6
Jadi, generator dari Z_6 dalam operasi + adalah \langle 1 \rangle dan \langle 5 \rangle.
Catatan: Dalam kasus ini, a^n berarti a + a + a + ... + a sebanyak n (berdasarkan operasi biner yang diberlakukan), bukan seperti perpangkatan yang kita kenal pada umumnya (perkalian sebanyak n kali).

[collapse]


Soal Nomor 3
Tunjukkan bahwa grup (\mathbb{R}, +) bukan grup siklik.

Penyelesaian

Kita harus menunjukkan bahwa tidak ada y \in \mathbb{R} yang menjadi generator pada himpunan bilangan real. Pembuktiannya menggunakan kontradiksi. Andaikan y \in \mathbb{R} merupakan generator dari \mathbb{R}. Perhatikan bahwa,
y^0 = 0 (identitas penjumlahan di \mathbb{R})
y^1 = y
y^2 = y + y = 2y
y^3 = y + y + y = 3y
\cdots \cdots \cdots
Di lain sisi,
y^{-1} = -y
y^{-2} =(-y) + (-y) = -2y
y^{-3} =(-y + (-y) + (-y) = -3y
\cdots \cdots \cdots
Dengan demikian, diperoleh
\{y^n : n \in \mathbb{Z}\} = \{..., -3y, -2y, -y, 0, y, 2y, 3y, ...\}
Karena y \in \mathbb{R}, maka z = \dfrac{y}{2} \in \mathbb{R}. Padahal, z tidak dapat dinyatakan sebagai perpangkatan dari y. Jadi, pengandaiannya salah (y bukan generator dari \mathbb{R}). Berarti, grup (\mathbb{R}, +) bukan grup siklik.

[collapse]




Soal Nomor 4
Diberikan (G, \times), yaitu grup G dengan operasi perkalian standar. Jika diketahui G = \{1, -1, i, -i\}, dengan i = \sqrt{-1}, maka selidiki apakah G merupakan grup siklik dengan generator i atau -i.

Penyelesaian

Ingat kembali definisi grup siklik.
Misalkan G grup, dan \mathbb{Z} merupakan himpunan bilangan bulat. G disebut grup siklik jika ada a \in G sedemikian sehingga G = \{a^n | n \in \mathbb{Z}\}. Elemen a pada G ini disebut generator dari grup siklik tersebut.
Ambil i \in G, sehingga
i^2 = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = -1
i^3 = i^2 \times i = -1 \times i= -i
i^4 = i^3 \times i = -i \times i = -i^2 = -(-1) = 1 (unsur identitas)
Jadi, G = \{1, -1, i, -i\} = \{i, -1, -i, 1\} = \{i, i^2, i^3, i^4\}
Dengan demikian, G grup siklik dengan generator i dan t(i) = 4.

Ambil -i \in G, sehingga
(-i)^2 = (-i) \times (-i) = i^2 = -1
(-i)^3 = (-i)^2 \times (-i) = -1 \times (-i)= i
(-i)^4 = (-i)^3 \times (-i) = i \times (-i) = -(i^2) = -(-1) = 1 (unsur identitas)
Jadi, G = \{1, -1, i, -i\} = \{-i, -1, i, 1\} = \{-i, (-i)^2, (-i)^3, (-i)^4\}
Dengan demikian, G grup siklik dengan generator -i dan t(-i) = 4.

[collapse]


Soal Nomor 5
Misalkan \mathbb{Z} adalah himpunan bilangan bulat. Diberikan bahwa (\mathbb{Z}, +) merupakan grup. Selidiki apakah \mathbb{Z} grup siklik dengan generator 1.

Penyelesaian

Ambil 1 \in \mathbb{Z}, sehingga
1^2 = 2 \times 1 = 1 + 1 = 2
1^3 = 3 \times 1 = 1 + 1 + 1 = 3
1^4 = 4 \times 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
Jika dilanjutkan, kita dapat mendeduksi bahwa setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan dalam bentuk 1 + 1 + ... + 1. Di lain kasus,
1^0 = 0 \times 1 = 0
1^{-1} = -1 \times 1 = -1
1^{-2} = -2 \times 1 = -2
Jika dilanjutkan, kita dapat mendeduksi bahwa setiap bilangan bulat non-positif dapat dituliskan dalam bentuk ini. Jadi, \mathbb{Z} grup siklik dengan generator 1.

[collapse]


Soal Nomor 6
Buktikan bahwa setiap grup siklik adalah grup abelian (komutatif).

Penyelesaian

Misalkan (G, *) adalah grup siklik dengan generator [a], berarti dapat ditulis
G = \{a^n | n \in \mathbb{Z}\}
Ambil sembarang g_1, g_2 \in G. Akan ditunjukkan bahwa g_1 * g_2 = g_2 * g_1
Dapat ditemukan s, t \in \mathbb{Z}, sedemikian sehingga
g_1 = a^s dan juga g_2 = a^t
Berarti,
g_1 * g_2 = a^s * a^t = a^{s + t}
Berdasarkan sifat komutatif pada penjumlahan dua bilangan bulat, berlaku
a^{s + t} = a^{t + s} = a^t * a^s = g_2 * g_1
Jadi, diperoleh g_1 * g_2 = g_2 * g_1. Terbukti bahwa setiap grup siklik adalah grup abelian.

[collapse]

Soal Nomor 7 (Asked by I Wayan Krisna Adipayana)
Jika G = \langle a \rangle adalah grup siklik dengan order 10, apakah H = \langle a^2 \rangle merupakan subgrup dari G yang dibangkitkan oleh a^2?

Penyelesaian

Perhatikan bahwa G grup siklik dengan generator a sehingga dapat dituliskan G = \{a, a^2, a^3, \cdots, a^{10}\}. H adalah subgrup dari G, dengan H = \{a^2, a^4, a^6, a^8, a^{10}\}. Oleh karena itu, elemen H semuanya dibangkitkan oleh a^2. Dengan kata lain, H adalah grup siklik dengan generator/pembangkit a^2 dan merupakan subgrup dari G.

[collapse]
Ayo Beri Rating Postingan Ini

5 Balasan untuk “Soal Latihan dan Penyelesaian – Grup Siklik”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *