Soal dan Pembahasan – UTS Kalkulus Integral (Prodi Pend. Matematika FKIP Untan)

      Berikut ini adalah 8 soal ujian tengah semester Kalkulus Integral (TA 2017/2018) yang diujikan oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M.Si kepada mahasiswa semester 3 program studi pendidikan matematika FKIP Untan.

Soal Nomor 1
Hitung $\displaystyle \int \dfrac{(3x^2 + 2)^2\sqrt{x}}{5\sqrt[3]{x^2}}~\text{d}x.$

Pembahasan

$\begin{aligned} & \displaystyle \int \dfrac{(3x^2 + 2)^2\sqrt{x}}{5\sqrt[3]{x^2}}~\text{d}x \\ & = \displaystyle \int \dfrac{9x^4 + 12x^2 + 4}{5x^{\frac{1}{6}}}~\text{d}x \\ & = \dfrac{9}{5}\int x^{\frac{23}{6}}~dx + \dfrac{12}{5}\int x^{\frac{11}{6}}~dx + \dfrac{4}{5}\int x^{-\frac{1}{6}}~\text{d}x \\ & = \dfrac{9}{5} \times \dfrac{6}{29} x^{\frac{29}{6}} + \dfrac{12}{5} \times \dfrac{6}{17} x^{\frac{17}{6}} + \dfrac{4}{5} \times \dfrac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} \\ & = \boxed{\dfrac{54}{145}x^4\sqrt[6]{x^5} + \dfrac{72}{85}x^2\sqrt[6]{x^5} + \dfrac{24}{25}\sqrt[6]{x^5}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah $\displaystyle \int \dfrac{2}{3} \cos^4 x~\text{d}x.$

Pembahasan

$\displaystyle \int \dfrac{2}{3} \cos^4 x~\text{d}x = \dfrac{2}{3} \int \cos^4 x~\text{d}x$
Gunakan rumus reduksi berikut.
$\int \cos^n x~\text{d}x = \dfrac{n-1}{n} \displaystyle \int \cos^{n-2} x~\text{d}x + \dfrac{\cos^{n-1} x \sin x}{n}$
Untuk $n = 4$, diperoleh
$\dfrac{2}{3} \left(\dfrac{3}{4} \displaystyle \int \cos^2 x~\text{d}x + \dfrac{\cos^3 x \sin x}{4}\right)$
$= \dfrac{\cos x \sin x}{4} + \dfrac{x}{4}  + \dfrac{\cos^3 x \sin x}{6}$
$=\boxed{\dfrac{\sin 4x + 8 \sin 2x + 12x}{48} + C}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah $\displaystyle \int \dfrac{5(y^2 + y+1)}{\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y}}~\text{d}y.$

Pembahasan

Misal $u = 2y^3 + 3y^2 + 6y$ sehingga $\text{d}u = 6(y^2 + y + 1)~\text{d}y.$ Perhatikan bahwa integral di atas dapat ditulis juga menjadi
$\dfrac{5}{6}\displaystyle \int \dfrac{6(y^2 + y+1)}{\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y}}~\text{d}y.$
Substitusikan $u$ dan $\text{d}u.$
$ \dfrac{5}{6} \displaystyle \int \dfrac{du}{u^{\frac{1}{2}}}$
$=\dfrac{5}{6} \times 2 \times \sqrt{u} + C$
$= \boxed{\dfrac{5}{3}\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y} + C}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah $\displaystyle \int \dfrac{4y^2- 4}{(y^3- 3y)^2}~\text{d}y.$

Pembahasan

Misal $u = y^3- 3y$ sehingga $du = 3y^2- 3 = 3(y^2- 1)~\text{d}y.$ Perhatikan bahwa integral di atas dapat ditulis juga menjadi
$ \dfrac{4}{3} \displaystyle \int \dfrac{3(y^2- 1)}{(y^3- 3y)^2}~\text{d}y$
Substitusikan $u$ dan $\text{d}u$,
$ \dfrac{4}{3} \displaystyle \int \dfrac{du}{u^2}$
$ = \dfrac{4}{3} \times (-1) \times \dfrac{1}{u} + C$
$ = \boxed{-\dfrac{4}{3(y^3- 3y)} + C}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Hitunglah $\displaystyle\int_{-2}^{6} (3x^2 + 5x)~\text{d}x.$

Pembahasan

$\displaystyle\int_{-2}^{6} (3x^2 + 5x)~\text{d}x$
$ =\left[x^3 + \dfrac{5}{2}x^2\right]_{-2}^{6}$
$ = \left(6^3 + \dfrac{5}{2}(6)^2\right)- \left((-2)^3 + \dfrac{5}{2}(-2)^2\right)$
$ = 216 + 90 + 8- 10 = \boxed{304}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Hitunglah $\displaystyle\int_{1}^{8} \dfrac{(\sqrt[3]{x^2}- 5)^4}{\sqrt[3]{x}}~\text{d}x.$

Pembahasan

Misalkan $u = \sqrt[3]{x^2}- 5$ sehingga $\text{d}u = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}~\text{d}x.$
Bentuk integral di atas dapat ditulis menjadi bentuk
$ \dfrac{3}{2} \displaystyle\int_{1}^{8} \dfrac{2(\sqrt[3]{x^2}- 5)^4}{3\sqrt[3]{x}}~\text{d}x$
Substitusi $u$ dan $\text{d}u.$
$ \dfrac{3}{2}\displaystyle\int_{-4}^{-1} u^4~\text{d}u = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{5} \left[u^5\right]_{-4}^{-1}$
$ = \dfrac{3}{10} \times ((-1)^5- (-4)^5) = \dfrac{3}{10} \times 1.023$
$= \boxed{\dfrac{3.069}{10}}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Hitunglah $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^5 \theta \cos \theta~\text{d}\theta.$

Pembahasan

Misalkan $u = \sin \theta$ sehingga $\text{d}u = \cos \theta~\text{d}\theta.$ Dengan demikian, integral di atas dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}\sqrt{3}} u^5~\text{d}u$
$= \left[\dfrac{1}{6}u^6\right]_{0}^{\frac{1}{2}\sqrt{3}} = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\right)^6- 0$
$ = \dfrac{27}{384} = \dfrac{9}{128}$
Jadi, nilai dari $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^5 \theta \cos \theta~\text{d}\theta$ adalah $\boxed{\dfrac{9}{128}}$.

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari $\displaystyle \int \dfrac{5x}{(x- 5)^4}~\text{d}x$

Pembahasan

Misalkan $u = x- 5$ sehingga $\text{d}u = \text{d}x.$ Di lain sisi, permisalan itu ekuivalen dengan $x = u + 5$ sehingga
$\displaystyle \int \dfrac{5x}{(x- 5)^4}~\text{d}x$
$=\displaystyle \int \dfrac{5(u+5)}{u^4}~\text{d}u$
$=\displaystyle \int \dfrac{5u + 25}{u^4}~\text{d}u$
$= \displaystyle \int \dfrac{5}{u^3}~du + \int \dfrac{25}{u^4}~\text{d}u$
$=-\dfrac{5}{2u^2}-\dfrac{25}{3u^3}$
$=-\dfrac{5}{2(x-5)^2}-\dfrac{25}{3(x-5)^3}$
(samakan penyebutnya)
$= \dfrac{-15(x-5)- 50}{6(x-5)^3} = \boxed{\dfrac{-15x + 25}{6(x-5)^3}}$

[collapse]

0 0 votes
Article Rating

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini jika ada kesalahan pengetikan sekecil apa pun, seperti kesalahan pengetikan, kode LaTeX yang tidak berjalan, atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Subscribe
Notify of
guest

2 Comments
Newest
Oldest Most Voted
Inline Feedbacks
View all comments
Bwah

Yang no 6, bukannya hasilnya 3069/10?
trus penghitungannya harusnya (-1)^5 – (-4)^5 = 1023 → 3/10 × 1023 = 3069/10

2
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x