Soal dan Penyelesaian – UTS Kalkulus Integral

      Berikut ini adalah 8 soal ujian tengah semester Kalkulus Integral (TA 2017/2018) yang diujikan oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M.Si kepada mahasiswa semester 3 program studi pendidikan matematika FKIP Untan.

Soal Nomor 1
Hitung \displaystyle \int \dfrac{(3x^2 + 2)^2\sqrt{x}}{5\sqrt[3]{x^2}}~\text{d}x

Penyelesaian

\begin{aligned} & \displaystyle \int \dfrac{(3x^2 + 2)^2\sqrt{x}}{5\sqrt[3]{x^2}}~\text{d}x \\ & = \displaystyle \int \dfrac{9x^4 + 12x^2 + 4}{5x^{\frac{1}{6}}}~\text{d}x \\ & = \dfrac{9}{5}\int x^{\frac{23}{6}}~dx + \dfrac{12}{5}\int x^{\frac{11}{6}}~dx + \dfrac{4}{5}\int x^{-\frac{1}{6}}~\text{d}x \\ & = \dfrac{9}{5} \times \dfrac{6}{29} x^{\frac{29}{6}} + \dfrac{12}{5} \times \dfrac{6}{17} x^{\frac{17}{6}} + \dfrac{4}{5} \times \dfrac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} \\ & = \boxed{\dfrac{54}{145}x^4\sqrt[6]{x^5} + \dfrac{72}{85}x^2\sqrt[6]{x^5} + \dfrac{24}{25}\sqrt[6]{x^5}} \end{aligned}

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah \displaystyle \int \dfrac{2}{3} \cos^4 x~\text{d}x

Penyelesaian

\displaystyle \int \dfrac{2}{3} \cos^4 x~\text{d}x = \dfrac{2}{3} \int \cos^4 x~\text{d}x
Gunakan rumus reduksi berikut.
\int \cos^n x~\text{d}x = \dfrac{n-1}{n} \displaystyle \int \cos^{n-2} x~\text{d}x + \dfrac{\cos^{n-1} x \sin x}{n}
Untuk n = 4, diperoleh
\dfrac{2}{3} \left(\dfrac{3}{4} \displaystyle \int \cos^2 x~\text{d}x + \dfrac{\cos^3 x \sin x}{4}\right)
= \dfrac{\cos x \sin x}{4} + \dfrac{x}{4}  + \dfrac{\cos^3 x \sin x}{6}
=\boxed{\dfrac{\sin 4x + 8 \sin 2x + 12x}{48} + C}

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah \displaystyle \int \dfrac{5(y^2 + y+1)}{\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y}}~\text{d}y

Penyelesaian

Misal u = 2y^3 + 3y^2 + 6y sehingga \text{d}u = 6(y^2 + y + 1)~\text{d}y. Perhatikan bahwa integral di atas dapat ditulis juga menjadi
\dfrac{5}{6}\displaystyle \int \dfrac{6(y^2 + y+1)}{\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y}}~\text{d}y
Substitusikan u dan \text{d}u,
\dfrac{5}{6} \displaystyle \int \dfrac{du}{u^{\frac{1}{2}}}
=\dfrac{5}{6} \times 2 \times \sqrt{u} + C
= \boxed{\dfrac{5}{3}\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y} + C}

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah \displaystyle \int \dfrac{4y^2 - 4}{(y^3 - 3y)^2}~\text{d}y

Penyelesaian

Misal u = y^3 - 3y sehingga du = 3y^2 - 3 = 3(y^2 - 1)~\text{d}y. Perhatikan bahwa integral di atas dapat ditulis juga menjadi
\dfrac{4}{3} \displaystyle \int \dfrac{3(y^2 - 1)}{(y^3 - 3y)^2}~\text{d}y
Substitusikan u dan \text{d}u,
\dfrac{4}{3} \displaystyle \int \dfrac{du}{u^2}
= \dfrac{4}{3} \times (-1) \times \dfrac{1}{u} + C
= \boxed{-\dfrac{4}{3(y^3 - 3y)} + C}

[collapse]

Soal Nomor 5
Hitunglah \displaystyle\int_{-2}^{6} (3x^2 + 5x)~\text{d}x

Penyelesaian

\displaystyle\int_{-2}^{6} (3x^2 + 5x)~\text{d}x
=\left[x^3 + \dfrac{5}{2}x^2\right]_{-2}^{6}
= \left(6^3 + \dfrac{5}{2}(6)^2\right) - \left((-2)^3 + \dfrac{5}{2}(-2)^2\right)
= 216 + 90 + 8 - 10 = \boxed{304}

[collapse]

Soal Nomor 6
Hitunglah \displaystyle\int_{1}^{8} \dfrac{(\sqrt[3]{x^2} - 5)^4}{\sqrt[3]{x}}~\text{d}x

Penyelesaian

Misal u = \sqrt[3]{x^2} - 5 sehingga \text{d}u = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}~\text{d}x
Bentuk integral di atas dapat ditulis menjadi bentuk
\dfrac{3}{2} \displaystyle\int_{1}^{8} \dfrac{2(\sqrt[3]{x^2} - 5)^4}{3\sqrt[3]{x}}~\text{d}x
Substitusi u dan \text{d}u,
\dfrac{3}{2}\displaystyle\int_{-4}^{-1} u^4~\text{d}u = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{5} \left[u^5\right]_{-4}^{-1}
= \dfrac{3}{10} \times ((-4)^5 - (-1)^5) = \dfrac{3}{10} \times 1025
= \boxed{\dfrac{615}{2}}

[collapse]

Soal Nomor 7
Hitunglah \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^5 \theta \cos \theta~\text{d}\theta

Penyelesaian

Misalkan u = \sin \theta sehingga \text{d}u = \cos \theta~\text{d}\theta. Dengan demikian, integral di atas dapat ditulis menjadi
\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}\sqrt{3}} u^5~\text{d}u
= \left[\dfrac{1}{6}u^6\right]_{0}^{\frac{1}{2}\sqrt{3}} = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\right)^6 - 0
= \dfrac{27}{384} = \dfrac{9}{128}
Jadi, nilai dari \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^5 \theta \cos \theta~d\theta adalah \boxed{\dfrac{9}{128}}.

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari \displaystyle \int \dfrac{5x}{(x - 5)^4}~\text{d}x

Penyelesaian

Misalkan u = x - 5 sehingga \text{d}u = \text{d}x. Di lain sisi, pemisalan itu ekuivalen dengan x = u + 5, sehingga
\displaystyle \int \dfrac{5x}{(x - 5)^4}~\text{d}x
=\displaystyle \int \dfrac{5(u+5)}{u^4}~\text{d}u
=\displaystyle \int \dfrac{5u + 25}{u^4}~\text{d}u
= \displaystyle \int \dfrac{5}{u^3}~du + \int \dfrac{25}{u^4}~\text{d}u
= -\dfrac{5}{2u^2} -\dfrac{25}{3u^3}
= -\dfrac{5}{2(x-5)^2} -\dfrac{25}{3(x-5)^3}
(samakan penyebutnya)
= \dfrac{-15(x-5) - 50}{6(x-5)^3} = \boxed{\dfrac{-15x + 25}{6(x-5)^3}}

[collapse]

–SELESAI–
Jika ada pertanyaan atau proses pengerjaan soal yang kurang tepat, silakan konfirmasikan di kolom komentar ya! Kritik dan saran juga sangat diharapkan 

Ayo Beri Rating Postingan Ini

3 Balasan untuk “Soal dan Penyelesaian – UTS Kalkulus Integral”

  1. Terimakasih, soal dan pembahasannya sangat membantu. Pada rumus reduksi (nomor 2) ada simbol integral yang kurang pada cos.

    Rate

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *