Soal dan Pembahasan – UTS Kalkulus Integral (Prodi Pend. Matematika FKIP Untan)

      Berikut ini adalah 8 soal ujian tengah semester Kalkulus Integral (TA 2017/2018) yang diujikan oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M.Si kepada mahasiswa semester 3 program studi pendidikan matematika FKIP Untan.

Soal Nomor 1
Hitung $\displaystyle \int \dfrac{(3x^2 + 2)^2\sqrt{x}}{5\sqrt[3]{x^2}}~\text{d}x$

Penyelesaian

$\begin{aligned} & \displaystyle \int \dfrac{(3x^2 + 2)^2\sqrt{x}}{5\sqrt[3]{x^2}}~\text{d}x \\ & = \displaystyle \int \dfrac{9x^4 + 12x^2 + 4}{5x^{\frac{1}{6}}}~\text{d}x \\ & = \dfrac{9}{5}\int x^{\frac{23}{6}}~dx + \dfrac{12}{5}\int x^{\frac{11}{6}}~dx + \dfrac{4}{5}\int x^{-\frac{1}{6}}~\text{d}x \\ & = \dfrac{9}{5} \times \dfrac{6}{29} x^{\frac{29}{6}} + \dfrac{12}{5} \times \dfrac{6}{17} x^{\frac{17}{6}} + \dfrac{4}{5} \times \dfrac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} \\ & = \boxed{\dfrac{54}{145}x^4\sqrt[6]{x^5} + \dfrac{72}{85}x^2\sqrt[6]{x^5} + \dfrac{24}{25}\sqrt[6]{x^5}} \end{aligned}$

[collapse]

Soal Nomor 2
Hitunglah $\displaystyle \int \dfrac{2}{3} \cos^4 x~\text{d}x$

Penyelesaian

$\displaystyle \int \dfrac{2}{3} \cos^4 x~\text{d}x = \dfrac{2}{3} \int \cos^4 x~\text{d}x$
Gunakan rumus reduksi berikut.
$\int \cos^n x~\text{d}x = \dfrac{n-1}{n} \displaystyle \int \cos^{n-2} x~\text{d}x + \dfrac{\cos^{n-1} x \sin x}{n}$
Untuk $n = 4$, diperoleh
$\dfrac{2}{3} \left(\dfrac{3}{4} \displaystyle \int \cos^2 x~\text{d}x + \dfrac{\cos^3 x \sin x}{4}\right)$
$= \dfrac{\cos x \sin x}{4} + \dfrac{x}{4}  + \dfrac{\cos^3 x \sin x}{6}$
$=\boxed{\dfrac{\sin 4x + 8 \sin 2x + 12x}{48} + C}$

[collapse]

Soal Nomor 3
Hitunglah $\displaystyle \int \dfrac{5(y^2 + y+1)}{\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y}}~\text{d}y$

Penyelesaian

Misal $u = 2y^3 + 3y^2 + 6y$ sehingga $\text{d}u = 6(y^2 + y + 1)~\text{d}y$. Perhatikan bahwa integral di atas dapat ditulis juga menjadi
$\dfrac{5}{6}\displaystyle \int \dfrac{6(y^2 + y+1)}{\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y}}~\text{d}y$
Substitusikan $u$ dan $\text{d}u$,
$ \dfrac{5}{6} \displaystyle \int \dfrac{du}{u^{\frac{1}{2}}}$
$=\dfrac{5}{6} \times 2 \times \sqrt{u} + C$
$= \boxed{\dfrac{5}{3}\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y} + C}$

[collapse]

Soal Nomor 4
Hitunglah $\displaystyle \int \dfrac{4y^2 – 4}{(y^3 – 3y)^2}~\text{d}y$

Penyelesaian

Misal $u = y^3 – 3y$ sehingga $du = 3y^2 – 3 = 3(y^2 – 1)~\text{d}y$. Perhatikan bahwa integral di atas dapat ditulis juga menjadi
$ \dfrac{4}{3} \displaystyle \int \dfrac{3(y^2 – 1)}{(y^3 – 3y)^2}~\text{d}y$
Substitusikan $u$ dan $\text{d}u$,
$ \dfrac{4}{3} \displaystyle \int \dfrac{du}{u^2}$
$ = \dfrac{4}{3} \times (-1) \times \dfrac{1}{u} + C$
$ = \boxed{-\dfrac{4}{3(y^3 – 3y)} + C}$

[collapse]

Soal Nomor 5
Hitunglah $\displaystyle\int_{-2}^{6} (3x^2 + 5x)~\text{d}x$

Penyelesaian

$\displaystyle\int_{-2}^{6} (3x^2 + 5x)~\text{d}x$
$ =\left[x^3 + \dfrac{5}{2}x^2\right]_{-2}^{6}$
$ = \left(6^3 + \dfrac{5}{2}(6)^2\right) – \left((-2)^3 + \dfrac{5}{2}(-2)^2\right)$
$ = 216 + 90 + 8 – 10 = \boxed{304}$

[collapse]

Soal Nomor 6
Hitunglah $\displaystyle\int_{1}^{8} \dfrac{(\sqrt[3]{x^2} – 5)^4}{\sqrt[3]{x}}~\text{d}x$

Penyelesaian

Misal $u = \sqrt[3]{x^2} – 5$ sehingga $\text{d}u = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}~\text{d}x$
Bentuk integral di atas dapat ditulis menjadi bentuk
$ \dfrac{3}{2} \displaystyle\int_{1}^{8} \dfrac{2(\sqrt[3]{x^2} – 5)^4}{3\sqrt[3]{x}}~\text{d}x$
Substitusi $u$ dan $\text{d}u$,
$ \dfrac{3}{2}\displaystyle\int_{-4}^{-1} u^4~\text{d}u = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{5} \left[u^5\right]_{-4}^{-1}$
$ = \dfrac{3}{10} \times ((-4)^5 – (-1)^5) = \dfrac{3}{10} \times 1025$
$= \boxed{\dfrac{615}{2}}$

[collapse]

Soal Nomor 7
Hitunglah $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^5 \theta \cos \theta~\text{d}\theta$

Penyelesaian

Misalkan $u = \sin \theta$ sehingga $\text{d}u = \cos \theta~\text{d}\theta$. Dengan demikian, integral di atas dapat ditulis menjadi
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}\sqrt{3}} u^5~\text{d}u$
$= \left[\dfrac{1}{6}u^6\right]_{0}^{\frac{1}{2}\sqrt{3}} = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\right)^6 – 0$
$ = \dfrac{27}{384} = \dfrac{9}{128}$
Jadi, nilai dari $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^5 \theta \cos \theta~\text{d}\theta$ adalah $\boxed{\dfrac{9}{128}}$.

[collapse]

Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari $\displaystyle \int \dfrac{5x}{(x – 5)^4}~\text{d}x$

Penyelesaian

Misalkan $u = x – 5$ sehingga $\text{d}u = \text{d}x$. Di lain sisi, pemisalan itu ekuivalen dengan $x = u + 5$, sehingga
$\displaystyle \int \dfrac{5x}{(x – 5)^4}~\text{d}x$
$=\displaystyle \int \dfrac{5(u+5)}{u^4}~\text{d}u$
$=\displaystyle \int \dfrac{5u + 25}{u^4}~\text{d}u$
$= \displaystyle \int \dfrac{5}{u^3}~du + \int \dfrac{25}{u^4}~\text{d}u$
$= -\dfrac{5}{2u^2} -\dfrac{25}{3u^3}$
$= -\dfrac{5}{2(x-5)^2} -\dfrac{25}{3(x-5)^3}$
(samakan penyebutnya)
$= \dfrac{-15(x-5) – 50}{6(x-5)^3} = \boxed{\dfrac{-15x + 25}{6(x-5)^3}}$

[collapse]

Leave a Reply

Silakan beri tanggapan dan saran, tidak perlu sungkan. Mohon juga diinformasikan melalui kolom komentar ini bila ada kesalahan pengetikan sekecil apapun (typo atau bahasa latex yang error) atau kesalahan konsep dan pembahasan soal. Terima kasih. Ganbatte!

Your email address will not be published. Required fields are marked *