Soal dan Penyelesaian – UTS Kalkulus Integral


Berikut ini adalah 8 soal UTS Kalkulus Integral (TA 2017/2018) yang diujikan oleh Drs. Dian Ahmad B.S, M.Si.

Soal Nomor 1
Hitung \displaystyle \int \dfrac{(3x^2 + 2)^2\sqrt{x}}{5\sqrt[3]{x^2}}~dx

Penyelesaian:
\displaystyle \int \dfrac{(3x^2 + 2)^2\sqrt{x}}{5\sqrt[3]{x^2}}~dx
= \displaystyle \int \dfrac{9x^4 + 12x^2 + 4}{5x^{\frac{1}{6}}}~dx
= \displaystyle \dfrac{9}{5}\int x^{\frac{23}{6}}~dx + \dfrac{12}{5}\int x^{\frac{11}{6}}~dx + \dfrac{4}{5}\int x^{-\frac{1}{6}}~dx

= \dfrac{9}{5} \times \dfrac{6}{29} x^{\frac{29}{6}} + \dfrac{12}{5} \times \dfrac{6}{17} x^{\frac{17}{6}} + \dfrac{4}{5} \times \dfrac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}

= \boxed{\dfrac{54}{145}x^4\sqrt[6]{x^5} + \dfrac{72}{85}x^2\sqrt[6]{x^5} + \dfrac{24}{25}\sqrt[6]{x^5}}

Soal Nomor 2
Hitunglah \displaystyle \int \dfrac{2}{3} \cos^4 x~dx

Penyelesaian:
\displaystyle \int \dfrac{2}{3} \cos^4 x~dx = \dfrac{2}{3} \int \cos^4 x~dx
Dengan menggunakan rumus reduksi:
\cos^n x~dx = \dfrac{n-1}{n} \displaystyle \int \cos^{n-2} x~dx + \dfrac{\cos^{n-1} x \sin x}{n}
dengan n = 4, diperoleh
\dfrac{2}{3} \left(\dfrac{3}{4} \displaystyle \int \cos^2 x~dx + \dfrac{\cos^3 x \sin x}{4}\right)
= \dfrac{\cos x \sin x}{4} + \dfrac{x}{4}  + \dfrac{\cos^3 x \sin x}{6}
=\boxed{\dfrac{\sin 4x + 8 \sin 2x + 12x}{48} + C}

Soal Nomor 3
Hitunglah \displaystyle \int \dfrac{5(y^2 + y+1)}{\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y}}~dy

Penyelesaian:
Misal u = 2y^3 + 3y^2 + 6y sehingga du = 6(y^2 + y + 1)~dy. Perhatikan bahwa integral di atas dapat ditulis juga menjadi
\dfrac{5}{6}\displaystyle \int \dfrac{6(y^2 + y+1)}{\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y}}~dy
Substitusikan u dan du,
\dfrac{5}{6} \displaystyle \int \dfrac{du}{u^{\frac{1}{2}}}
=\dfrac{5}{6} \times 2 \times \sqrt{u} + C
= \boxed{\dfrac{5}{3}\sqrt{2y^3 + 3y^2 + 6y} + C}

Soal Nomor 4
Hitunglah \displaystyle \int \dfrac{4y^2 - 4}{(y^3 - 3y)^2}~dy

Penyelesaian:
Misal u = y^3 - 3y sehingga du = 3y^2 - 3 = 3(y^2 - 1)~dy. Perhatikan bahwa integral di atas dapat ditulis juga menjadi
\dfrac{4}{3} \displaystyle \int \dfrac{3(y^2 - 1)}{(y^3 - 3y)^2}~dy
Substitusikan u dan du,
\dfrac{4}{3} \displaystyle \int \dfrac{du}{u^2}
= \dfrac{4}{3} \times (-1) \times \dfrac{1}{u} + C
= \boxed{-\dfrac{4}{3(y^3 - 3y)} + C}

Soal Nomor 5
Hitunglah \displaystyle\int_{-2}^{6} (3x^2 + 5x)~dx

Penyelesaian:
\displaystyle\int_{-2}^{6} (3x^2 + 5x)~dx
=\left[x^3 + \dfrac{5}{2}x^2\right]_{-2}^{6}
= \left(6^3 + \dfrac{5}{2}(6)^2\right) - \left((-2)^3 + \dfrac{5}{2}(-2)^2\right)
= 216 + 90 + 8 - 10 = \boxed{304}

Soal Nomor 6
Hitunglah \displaystyle\int_{1}^{8} \dfrac{(\sqrt[3]{x^2} - 5)^4}{\sqrt[3]{x}}~dx

Penyelesaian:
Misal u = \sqrt[3]{x^2} - 5 sehingga du = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}~dx
Bentuk integral di atas dapat ditulis menjadi bentuk
\dfrac{3}{2} \displaystyle\int_{1}^{8} \dfrac{2(\sqrt[3]{x^2} - 5)^4}{3\sqrt[3]{x}}~dx
Substitusi u dan du,
\dfrac{3}{2}\displaystyle\int_{-4}^{-1} u^4~du = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{5} \left[u^5\right]_{-4}^{-1}
= \dfrac{3}{10} \times ((-4)^5 - (-1)^5) = \dfrac{3}{10} \times 1025
= \boxed{\dfrac{615}{2}}

Soal Nomor 7
Hitunglah \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^5 \theta \cos \theta~d\theta

Penyelesaian:
Misalkan u = \sin \theta sehingga du = \cos \theta~d\theta. Dengan demikian, integral di atas dapat ditulis menjadi
\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}\sqrt{3}} u^5~du
= \left[\dfrac{1}{6}u^6\right]_{0}^{\frac{1}{2}\sqrt{3}} = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\right)^6 - 0
= \dfrac{27}{384} = \dfrac{9}{128}
Jadi, nilai dari \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin^5 \theta \cos \theta~d\theta adalah \boxed{\dfrac{9}{128}}

Soal Nomor 8
Tentukan nilai dari \displaystyle \int \dfrac{5x}{(x - 5)^4}~dx

Penyelesaian:
Misalkan u = x - 5 sehingga du = dx. Di lain sisi, pemisalan itu ekuivalen dengan x = u + 5, sehingga
\displaystyle \int \dfrac{5x}{(x - 5)^4}~dx
=\displaystyle \int \dfrac{5(u+5)}{u^4}~du
=\displaystyle \int \dfrac{5u + 25}{u^4}~du
= \displaystyle \int \dfrac{5}{u^3}~du + \int \dfrac{25}{u^4}~du
= -\dfrac{5}{2u^2} -\dfrac{25}{3u^3}
= -\dfrac{5}{2(x-5)^2} -\dfrac{25}{3(x-5)^3}
(samakan penyebutnya)
= \dfrac{-15(x-5) - 50}{6(x-5)^3} = \boxed{\dfrac{-15x + 25}{6(x-5)^3}}

–SELESAI–
Jika ada pertanyaan atau proses pengerjaan soal yang kurang tepat, silakan konfirmasikan di kolom komentar ya! Kritik dan saran juga sangat diharapkan 

Ayo Beri Rating Postingan Ini

Satu Balasan untuk “Soal dan Penyelesaian – UTS Kalkulus Integral”

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *