Tag: Fungsi Kepadatan Peluang

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan lamanya waktu (dalam menit) yang diperlukan seseorang untuk dilayani di suatu kafeteria. Diketahui $X\sim \text{exp}\left({\displaystyle \frac{1}{\beta }}\right)$ dengan $\beta =4.$ Dengan demikian, peluang seseorang dilayani kurang dari $3$ menit pada hari tertentu adalah
$$\begin{array}{rl}p(X<3)& ={\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle {\int }_0^3{e}^{-x/4}\text{d}x}\\ & =-[e^{-x/4}{]}_0^3\\ & =1-e^{-3/4}\approx 0,5276.\end{array}$$Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya hari saat orang tersebut dilayani kurang dari $3$ menit. $Y$ berdistribusi binomial dengan parameter $n=6,$ $x=4,$ dan $p=0,5276.$ Dengan demikian, peluang bahwa seseorang dilayani kurang dari $3$ menit pada setidaknya $4$ hari kedatangannya dari $6$ hari ke depan adalah
$$\begin{array}{rl}p(Y\ge 4)& ={\displaystyle \sum _{y=4}^{6}b(y;6,0,5276)}\\ & ={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})(0,5276{)}^4(0,4724{)}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{5})(0,5276{)}^5(0,4724)+(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{6})(0,5276{)}^6(0,4724{)}^0}\\ & \approx 0,3968.\end{array}$$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan umur (dalam tahun) dari sakelar listrik tersebut. Diketahui $X\sim \text{exp}\left({\displaystyle \frac{1}{\beta }}\right)$ dengan $\beta =2.$ Dengan demikian, peluang sakelar listrik tersebut tidak lagi berfungsi dalam tahun pertama adalah
$$\begin{array}{rl}p(X<1)& ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^1{e}^{-x/2}\text{d}x}\\ & =-[e^{-x/2}{]}_0^1\\ & =1-e^{-1/2}\approx 0,3935.\end{array}$$Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya sakelar yang tidak lagi berfungsi dalam tahun pertama. Kasus ini merupakan kasus distribusi binomial, tetapi dapat didekati dengan menggunakan distribusi normal karena kriteria bahwa $$np=100\cdot 0,3935=39,35\ge 5$$ dan $$n(1-p)=100\cdot 0,6065=60,65\ge 5$$terpenuhi. Diketahui $$\mu =(100)(0,3935)=39,35$$ dan $$\sigma =\sqrt{(100)(0,3935)(0,6065)}=4,885$$serta $$Z={\displaystyle \frac{(30+0,5)-39,35}{4,885}}\approx 1,81.$$Jadi, peluang bahwa paling banyak $30$ sakelar di antaranya tidak lagi berfungsi dalam tahun pertama adalah
$$\begin{array}{rl}p(Y\le 30)& =p(Z<1,81)\\ & =0,0351.\end{array}$$Catatan: Gunakan tabel-$z$ untuk menemukan nilai dari $p(Z<1,81).$

Diketahui $X\sim \mathrm{\Gamma }(2,1).$ Dengan menggunakan definisi dari fungsi kepadatan peluang dari variabel acak yang berdistribusi gama, diperoleh
$$\begin{array}{rl}p(a<X<b)& ={\displaystyle {\int }_a^b{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^{\alpha }\mathrm{\Gamma }(\alpha )}}{x}^{\alpha -1}{e}^{-x/\beta }\text{d}x}\\ p(1,8<X<2,4)& ={\int }_{1,8}^{2,4}{\displaystyle \frac{1}{1^2\mathrm{\Gamma }(2)}}{x}^{2-1}{e}^{-x/1}\text{d}x\\ & ={\int }_{1,8}^{2,4}{\displaystyle \frac{1}{1\cdot (2-1)!}}x{e}^{-x}\text{d}x\\ & ={\int }_{1,8}^{2,4}x{e}^{-x}\text{d}x.\end{array}$$Dengan menggunakan teknik pengintegralan parsial, misalkan $u^{\prime }=e^{-x}\text{d}x$ dan $v=x$ sehingga $u=-e^{-x}$ dan $v^{\prime }=1\text{d}x.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rl}\int u^{\prime }v\text{d}x& =uv-\int u{v}^{\prime }\text{d}x\\ {\int }_{1,8}^{2,4}x{e}^{-x}\text{d}x& ={[-x{e}^{-x}-\int (-e^x)1\text{d}x]}_{1,8}^{2,4}\\ & ={[-x{e}^{-x}-e^{-x}]}_{1,8}^{2,4}\\ & ={[-e^{-x}(x+1)]}_{1,8}^{2,4}\\ & =-e^{2,4}(3,4)+e^{-1,8}(2,8)\\ & \approx 0,1544.\end{array}$$Jadi, nilai dari $p(1,8<X<2,4)$ sekitar $\boxed{{\displaystyle 0,1544}}$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan besarnya pemakaian tenaga listrik harian (dalam jutaan kilowatt-jam).
Jawaban a)
Diketahui $X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta ),$ $\mu =6,$ dan ${\sigma }^2=12.$ Karena variabel acak yang berdistribusi gama memiliki rata-rata $\mu =\alpha \beta$ dan varians ${\sigma }^2=\alpha {\beta }^2,$ diperoleh
$$\begin{array}{rlrl}\alpha \beta & =6& & (1)\\ \alpha {\beta }^2& =12.& & (2)\end{array}$$Substitusi $(1)$ ke $(2)$ menghasilkan $\beta =2$ sehingga $\alpha =3.$
Jawaban b)
Diketahui $X\sim \mathrm{\Gamma }(3,2).$ Dengan menggunakan definisi dari fungsi kepadatan peluang dari variabel acak yang berdistribusi gama, diperoleh
$$\begin{array}{rl}p(a<X<b)& ={\displaystyle {\int }_a^b{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^{\alpha }\mathrm{\Gamma }(\alpha )}}{x}^{\alpha -1}{e}^{-x/\beta }\text{d}x}\\ p(X>12)& ={\int }_{12}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2^3\mathrm{\Gamma }(3)}}{x}^{3-1}{e}^{-x/2}\text{d}x\\ & ={\int }_{12}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{8\cdot (3-1)!}}{x}^2{e}^{-x/2}\text{d}x\\ & ={\displaystyle \frac{1}{16}}{\int }_{12}^{\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^{-x/2}\text{d}x.\end{array}$$Dengan menggunakan teknik pengintegralan parsial, misalkan $u^{\prime }=e^{-x/2}\text{d}x$ dan $v=x^2$ sehingga $u=-2e^{-x/2}$ dan $v^{\prime }=2x\text{d}x$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rl}\int u^{\prime }v\text{d}x& =uv-\int u{v}^{\prime }\text{d}x\\ {\displaystyle \frac{1}{16}}{\int }_{12}^{\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^{-x/2}\text{d}x& ={[-2x^2{e}^{-x/2}-\int (-4)x{e}^{-x/2}\text{d}x]}_{12}^{\mathrm{\infty }}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{16}}{[-2x^2{e}^{-x/2}+4\int x{e}^{-x/2}\text{d}x]}_{12}^{\mathrm{\infty }}.\end{array}$$Dengan menggunakan teknik pengintegralan parsial kembali, misalkan $u^{\prime }=e^{-x/2}\text{d}x$ dan $v=x$ sehingga $u=-2e^{-x/2}$ dan $v^{\prime }=1\text{d}x.$ Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{1}{16}}{[-2x^2{e}^{-x/2}+4\int x{e}^{-x/2}\text{d}x]}_{12}^{\mathrm{\infty }}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{16}}{[-2x^2{e}^{-x/2}+4(-2e^{-x/2}-\int (-2)e^{-x/2}\text{d}x)]}_{12}^{\mathrm{\infty }}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{16}}{[-2x^2{e}^{-x/2}-8e^{-x/2}-16e^{-x/2}]}_{12}^{\mathrm{\infty }}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{8}}{[(x^2+4x+8)e^{-x/2}]}_{12}^{\mathrm{\infty }}\\ & =0+{\displaystyle \frac{1}{8}}({12}^2+4(12)+8)e^{-12/2}\\ & =25e^{-6}\\ & \approx 0,0620.\end{array}$$Jadi, peluang bahwa pemakaian tenaga listrik akan melebihi $12$ juta kilowatt-jam pada satu hari tertentu sekitar $\boxed{{\displaystyle 0,0620}}$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan waktu kedatangan pengunjung dalam satuan menit. Diketahui $X\sim \text{exp}\left(\lambda \right)$ dengan $\lambda =5,8$ sehingga $f(x)=5,8e^{-5,8x}.$
Jawaban a)
Karena nilai $\lambda$ berlaku untuk setiap $50$ menit, peluang bahwa kedatangan pengunjung membutuhkan waktu selama $15$ menit atau kurang adalah
$$\begin{array}{rl}p(X\le {\displaystyle \frac{15}{50}})& =p(X\le 0,3)\\ & ={\displaystyle {\int }_0^{0,3}5,8e^{-5,8x}\text{d}x}\\ & =-{\left[e^{-5,8x}\right]}_0^{0,3}\\ & =-[e^{(-5,8)(0,3)}-e^0]\\ & =0,8245.\end{array}$$Jawaban b)
Dengan cara yang serupa, peluang bahwa kedatangan pengunjung membutuhkan waktu selama di antara $20$ dan $30$ menit adalah
$$\begin{array}{rl}p({\displaystyle \frac{20}{50}}<X<{\displaystyle \frac{30}{50}})& =p(0,4<X<0,6)\\ & ={\displaystyle {\int }_{0,4}^{0,6}5,8e^{-5,8x}\text{d}x}\\ & =-{\left[e^{-5,8x}\right]}_{0,4}^{0,6}\\ & =-[e^{(-5,8)(0,6)}-e^{(-5,8)(0,4)}]\\ & =0,0675.\end{array}$$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan lamanya penggunaan telepon di warung telepon tersebut dalam satuan menit. Diketahui $X\sim \text{exp}\left(\lambda \right)$ dengan $\lambda =1/10$ sehingga $f(x)={\displaystyle \frac{1}{10}}{e}^{-x/10}.$
Jawaban a)
Peluang bahwa Anda harus menunggu selama lebih dari $10$ menit adalah
$$\begin{array}{rl}p(X>10)& =1-p(X\le 10)\\ & =1-{\displaystyle {\int }_0^{10}{\displaystyle \frac{1}{10}}{e}^{-x/10}\text{d}x}\\ & =1+{\left[e^{-x/10}\right]}_0^{10}\\ & =1+(e^{-1}-e^0)\\ & =0,3679.\end{array}$$Jawaban b)
Peluang bahwa Anda harus menunggu selama antara $10$ dan $20$ menit adalah
$$\begin{array}{rl}p(10<X<20)& ={\displaystyle {\int }_{10}^{20}{\displaystyle \frac{1}{10}}{e}^{-x/10}\text{d}x}\\ & =-{\left[e^{-x/10}\right]}_{10}^{20}\\ & =e^{-1}-e^{-2}\\ & =0,2325.\end{array}$$

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan lamanya pertumbuhan awan konvektif dalam satuan menit. Diketahui $X\sim \text{exp}(\lambda )$ dengan $\lambda =1/100$ sehingga $f(x)={\displaystyle \frac{1}{100}}{e}^{-x/100}.$
Jawaban a)
Hujan es akan terjadi jika pertumbuhan awan konvektif selama tidak kurang dari $140$ menit. Oleh karena itu, akan dicari nilai dari $p(X\ge 140)$ yang menyatakan peluang terjadinya hujan es jika terdapat $1$ gumpal awan konvektif.
$$\begin{array}{rl}p(X\ge 140)& ={\displaystyle {\int }_{140}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{100}}{e}^{-x/100}\text{d}x}\\ & =-{\left[e^{-x/100}\right]}_{140}^{\mathrm{\infty }}\\ & =-(0-e^{-140/100})\\ & \approx 0,2466.\end{array}$$Kemudian, akan dicari peluang terjadinya hujan es jika terdapat $10$ awan konvektif dengan menggunakan pendekatan distribusi binomial.
Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya gumpalan awan konvektif. Diketahui $n=10$ dan $p=0,2466.$ Agar terjadi hujan es, awan konvektif minimal sebanyak $1$ gumpalan. Oleh karena itu, akan dicari nilai dari $p(Y\ge 1).$
$$\begin{array}{rl}p(Y\ge 1)& =1-p(Y=0)\\ & =1-b(0;10,0,2466)\\ & =1-{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{0})(0,2466{)}^0(0,7534{)}^{10}}\\ & \approx 0,9411.\end{array}$$Jadi, peluang bahwa akan terjadi hujan es jika di langit teramati $10$ gumpal awan konvektif yang sedang tumbuh sekitar $\boxed{{\displaystyle 0,9411}}$
Jawaban b)
Kasus di atas merupakan kasus distribusi binomial, tetapi dapat didekati dengan menggunakan distribusi normal karena kriteria bahwa $$np=100\cdot 0,2466=24,66\ge 5$$ dan $$n(1-p)=100\cdot 0,7534=75,34\ge 5$$terpenuhi. Perhatikan bahwa $\mu =np=24,66$ dan $\sigma =\sqrt{np(1-p)}\approx 4,31.$ Akan dicari nilai dari $p(40<Y<60)$ dengan melakukan koreksi kekontinuan (continuity correction, $\pm 0,5$) terlebih dahulu.
$$\begin{array}{rl}p(40<Y<60)& \approx p({\displaystyle \frac{40,5-24,66}{4,31}}<Z<{\displaystyle \frac{59,5-24,66}{4,31}})\\ & \approx p(3,68<Z<8,08)\\ & \approx 0.\end{array}$$Jadi, peluang bahwa antara $40$ dan $60$ gumpal awan akan menghasilkan hujan es jika langit dipenuhi $100$ gumpal awan konvektif yang sedang tumbuh sekitar $\boxed{{\displaystyle 0}}$ (hampir sangat tidak mungkin terjadi).

Jawaban a)
Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu yang menyatakan waktu (dalam tahun) pemulihan aktivitas pengeboran tersebut. Diketahui $X\sim \text{exp}(\lambda )$ dengan $\lambda =1/2$ sehingga $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-x/2}.$
Aktivitas pengeboran akan diberikan izin jika waktu pemulihannya tidak lebih dari $4$ tahun. Oleh karena itu, peluang aktivitas pengeboran akan diberikan izin adalah $p(X\le 4).$
$$\begin{array}{rl}p(X\le 4)& ={\displaystyle {\int }_0^4{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-x/2}\text{d}x}\\ & =-[e^{-x/2}{]}_0^4\\ & =-(e^{-2}-e^0)\\ & \approx 0,8647.\end{array}$$Jawaban b)
Misalkan $Y$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya titik pengeboran. Dengan menggunakan distribusi binomial, diketahui $n=10$ dan $p=0,8647.$ Dalam kasus ini, akan dicari nilai dari $p(Y\ge 1),$ yaitu peluang terdapat (setidaknya $1$ dari $10$ titik) aktivitas pengeboran.
$$\begin{array}{rl}p(Y\ge 1)& =1-p(Y=0)\\ & =1-b(0;10,0,8647)\\ & =1-{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{0})(0,8647{)}^0(0,1353{)}^{10}}\\ & \approx 1.\end{array}$$Jawaban c)
Kasus di atas merupakan kasus distribusi binomial, tetapi dapat didekati dengan menggunakan distribusi normal karena kriteria bahwa $$np=600\cdot 0,8647=518,82\ge 5$$ dan $$n(1-p)=600\cdot 0,1353=81,18\ge 5$$terpenuhi. Perhatikan bahwa $\mu =np=518,82$ dan $\sigma =\sqrt{np(1-p)}\approx 8,38.$ Pertama, akan dicari nilai dari $p(Y<520)$ dengan melakukan koreksi kekontinuan (continuity correction, $\pm 0,5$) terlebih dahulu.
$$\begin{array}{rl}p(Y<520)& \approx p(Z<{\displaystyle \frac{519,5-518,82}{8,38}})\\ & \approx p(Z<0,08)\\ & =0,5319.\end{array}$$Jadi, peluang bahwa kurang dari $520$ titik akan diberikan izin untuk aktivitas pengeboran sekitar $\boxed{{\displaystyle 0,5319}}$
Dengan cara yang sama, akan dicari nilai dari $p(500<Y<520).$
$$\begin{array}{rl}p(500<Y<520)& \approx p({\displaystyle \frac{500,5-518,82}{8,38}}<Z<{\displaystyle \frac{519,5-518,82}{8,38}})\\ & \approx p(-2,19<Z<0,08)\\ & =0,5173.\end{array}$$Jadi, peluang bahwa antara $500$ dan $520$ titik akan diberikan izin untuk aktivitas pengeboran sekitar $\boxed{{\displaystyle 0,5173}}$