Tag: Fungsi Transenden

Diketahui persamaan $x{y}^{\prime }+y=3$.
Ubah bentuk penulisan derivatif dan kurangi kedua ruas dengan $y$, diperoleh
$$x{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}=3-y$$Kalikan kedua ruas dengan ${\displaystyle \frac{\text{d}x}{x(3-y)}}$, sehingga diperoleh
$${\displaystyle \frac{1}{3-y}}\text{d}y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{d}x$$Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian untuk memperoleh
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{3-y}}\text{d}y}& =\int {\displaystyle \frac{1}{x}}\text{d}x\\ -\ln (3-y)& =\ln x+\ln C=\ln Cx\\ \ln (3-y{)}^{-1}& =\ln Cx\\ (3-y{)}^{-1}& =Cx\end{array}$$Jadi, solusi PD tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle (3-y{)}^{-1}=Cx}}$

Perhatikan bahwa
$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }+(y-1)\cos x& =0\\ {\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}& =-(y-1)\cos x\end{array}$
Kalikan kedua ruas dengan ${\displaystyle \frac{\text{d}x}{y-1}}$, sehingga diperoleh
${\displaystyle \frac{1}{y-1}}\text{d}y=-\cos x\text{d}x$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{y-1}}\text{d}y}& =-\int \cos x\text{d}x\\ \ln (y-1)& =-\sin x+C\\ \ln (y-1)& =\ln e^{C-\sin x}\\ y-1& =e^{C-\sin x}\\ y& =e^{C-\sin x}+1\end{array}$
Jadi, solusi umum dari PD tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle y=e^{C-\sin x}+1}}$

Diketahui $x(y^2-1)\text{d}x-y(x^2-1)\text{d}y=0$.
Bagi kedua ruas dengan $(y^2-1)(x^2-1)$, sehingga dengan memanfaatkan aljabar, diperoleh
${\displaystyle \frac{x}{x^2-1}}\text{d}x-{\displaystyle \frac{y}{y^2-1}}\text{d}y=0$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{x^2-1}}\text{d}x-\int {\displaystyle \frac{y}{y^2-1}}\text{d}y=\ln C}$
Selesaikan bentuk integral dengan metode substitusi, sehingga didapat
${\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (x^2-1)-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (y^2-1)=\ln C_1★$
Kali kedua ruas dengan $2$, kemudian gunakan sifat logaritma:
$\boxed{{\displaystyle {}^a\log b-{}^a\log c={}^a\log {\displaystyle \frac{b}{c}}}}$
sehingga diperoleh
$$\begin{array}{rl}\ln \left({\displaystyle \frac{x^2-1}{y^2-1}}\right)& =\ln C_2★★\\ {\displaystyle \frac{x^2-1}{y^2-1}}& =C_2\\ x^2-1& =C_2(y^2-1)\end{array}$$Jadi, penyelesaiannya adalah $\boxed{{\displaystyle x^2-1=C(y^2-1)}}$
Catatan:
$★$ Mengapa hasil integralnya menjadi $\ln C$, bukankah seharusnya $C$? Ini adalah pertanyaan yang sering ditanyakan. Teknik seperti ini disebut manipulasi konstanta, karena $C$ merupakan bilangan real (bebas), jadi berapa pun yang kita ambil sebagai bentuk $C$, hasilnya masih umum. Untuk mempermudah perhitungan/penyederhanaan hasil, kita jadikan saja menjadi $\ln C$.
$★★$ Konstanta di sini tidak benar-benar diperhatikan (bahkan bisa dimanipulasi sesuka hati). Karena dibagi $2$, maka bentuk konstantanya berubah, tapi kita hanya perlu mengubah indeksnya saja tanpa membentuk konstanta dengan aturan aritmetik maupun aljabar.

Dari persamaan $y^2(y+1)\text{d}x+y^2(x-1)\text{d}y=0$, bagi kedua ruasnya dengan $y^2(y+1)(x-1)$, sehingga diperoleh persamaan baru yang ekuivalen dengannya, yaitu
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{x-1}}\text{d}x+{\displaystyle \frac{1}{y+1}}\text{d}y& =0\\ \text{Integralkan kedua ruas}& \\ \int {\displaystyle \frac{1}{x-1}}\text{d}x+\int {\displaystyle \frac{1}{y+1}}\text{d}y& =\ln |C|\\ \ln |x-1|+\ln |y+1|& =\ln |C|\\ \ln |(x-1)(y+1)|& =\ln |C|\\ (x-1)(y+1)& =C\end{array}$
Jadi, solusi umum dari persamaan diferensial tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle (x-1)(y+1)=C}}$

Diketahui $\sqrt{1-y^2}\text{d}x+\sqrt{1-x^2}\text{d}y=0$
Kalikan kedua ruas dengan ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-y^2}.\sqrt{1-x^2}}}$, diperoleh
${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\text{d}x+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}}\text{d}y=0$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang berpadanan,
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\text{d}x+\int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}}\text{d}y=C}$
$\arcsin x+\arcsin y=C$
Jadi, penyelesaiannya adalah $\boxed{{\displaystyle \arcsin x+\arcsin y=C}}$

Diketahui $x\sqrt{y^2-1}\text{d}x+y\sqrt{x^2-1}\text{d}y=0$
Bagi kedua ruas dengan $\sqrt{y^2-1}\times \sqrt{x^2-1}$, diperoleh
${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}\text{d}x+{\displaystyle \frac{y}{\sqrt{y^2-1}}}\text{d}y=0$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang berpadanan,
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}\text{d}x+\int {\displaystyle \frac{y}{\sqrt{y^2-1}}}\text{d}y=C}$ $★$
Dengan mengintegralkan bentuk di atas, kita memperoleh penyelesaian akhir, yaitu $\boxed{{\displaystyle \sqrt{x^2-1}+\sqrt{y^2-1}=C}}$
Catatan: $★$ Integral ini dapat ditentukan hasilnya dengan menggunakan metode substitusi tak linear. 

Diketahui $x\sin y\text{d}x+(x^2+1)\cos y\text{d}y=0$
Kalikan kedua ruas dengan ${\displaystyle \frac{1}{(x^2+1)\sin y}}$, diperoleh
${\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}\text{d}x+{\displaystyle \frac{\cos y}{\sin y}}\text{d}y=0$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}\text{d}x+{\displaystyle \frac{\cos y}{\sin y}}\text{d}y=0★}$
${\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (x^2+1)+\ln (\sin y)=C$
Jadi, solusi umum dari PD $x\sin y\text{d}x+(x^2+1)\cos y\text{d}y=0$ adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (x^2+1)+\ln (\sin y)=C}}$
(Catatan: $★$ Anda dianjurkan untuk menguasai teknik-teknik pengintegralan dasar dan fungsi transenden)

Persamaan di atas dapat diubah menjadi
$y^2\text{d}y=(x+3x^2)\text{d}x$
Integrasikan kedua ruas terhadap variabel yang bersesuaian,
$y^2\text{d}y=(x+3x^2)\text{d}x$
${\displaystyle \frac{1}{3}}{y}^3={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x^3+C_0$
Kalikan 3 di kedua ruas:
$y^3={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+3x^3+C$
$y=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+3x^3+C}$
Untuk menentukan nilai $C$, substitusikan $y=6$ dan $x=0$, sehingga diperoleh
$6=\sqrt[3]{0+0+C}⟺C=6^3=216$
Jadi, penyelesaiannya adalah
$y=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+3x^3+216}$.

Perhatikan bahwa
$\begin{array}{rl}x{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}& =y^2+1\\ xdy-(y^2+1)\text{d}x& =0\\ {\displaystyle \frac{\text{d}y}{y^2+1}}-{\displaystyle \frac{\text{d}x}{x}}& =0\end{array}$
Integrasikan kedua ruas,
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\text{d}y}{y^2+1}}-\int {\displaystyle \frac{\text{d}x}{x}}=C}$
Selanjutnya, mungkin Anda bertanya bagaimana cara mengintegralkan ${\displaystyle \frac{dy}{y^2+1}}$. Ingat kembali materi kalkulus integral mengenai substitusi trigonometri. Proses integrasinya disajikan di bawah ini.
Misalkan $y=\tan \alpha$, berarti $\text{d}y={\sec }^2\alpha d\alpha$ dan $\alpha =\arctan y$
$y^2+1={\tan }^2\alpha +1={\sec }^2\alpha$, maka
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\text{d}y}{y^2+1}}}& =\int {\displaystyle \frac{{\sec }^2\alpha \text{d}\alpha }{{\sec }^2\alpha }}\\ & =\int \text{d}\alpha =\alpha =\arctan y\end{array}$
Berarti,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\text{d}y}{y^2+1}}-\int {\displaystyle \frac{\text{d}x}{x}}}& =C\\ \arctan y-\ln |x|& =C\\ \ln e^{\arctan y}-\ln x& =\ln e^C\\ {\displaystyle \frac{e^{\arctan y}}{x}}& =e^C\end{array}$
Jadi, solusi umumnya adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{e^{\arctan y}}{x}}=e^C}}$

Perhatikan bahwa PD di atas dapat ditulis kembali menjadi
$\begin{array}{rl}y(y+1)\text{d}y& ={\displaystyle \frac{x+1}{x}}\text{d}x\\ (y^2+y)\text{d}y& =(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})\text{d}x\end{array}$
Integrasikan kedua ruas berdasarkan variabel yang bersesuaian,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int (y^2+y)\text{d}y}& =\int (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})\text{d}x\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}{y}^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}{y}^2+C_1& =x+\ln |x|+C_2\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}{y}^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}{y}^2-x-\ln |x|& =C\end{array}$
Jadi, solusi dari PD tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{3}}{y}^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}{y}^2-x-\ln |x|=C}}$

Diketahui ${\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}t}}=k(x-50)$, maka dapat ditulis
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\text{d}x}{x-50}}& =k\text{d}t\\ \text{Integralkan}& \text{kedua ruas}\\ {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\text{d}x}{x-50}}}& =\int k\text{d}t\\ \ln |x-50|& =kt+C\\ x-50& =e^{kt+C}\\ x-50& =e^{kt}\times C^{\prime }\\ x& =50+C^{\prime }{e}^{kt}\end{array}$
Diketahui $t=0$ dan $x=80$, sehingga diperoleh
$\begin{array}{rl}x& =50+C^{\prime }{e}^{kt}\\ 80& =50+C^{\prime }{e}^0\\ 80& =50+C^{\prime }\\ C^{\prime }& =30\end{array}$
Diketahui $t=5$ dan $x=70$, serta $C^{\prime }=30$, sehingga diperoleh
$\begin{array}{rl}x& =50+C^{\prime }{e}^{kt}\\ 70& =50+30e^{5k}\\ 20& ={30}^{5k}\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}& =e^{5k}\\ e^k& ={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{\frac{1}{5}}\end{array}$
Jadi, kita peroleh $x=50+30{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{\frac{1}{5}t}$.
Jika $x=60$, diperoleh
$\begin{array}{rl}x& =50+30{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{\frac{1}{5}t}\\ 60& =50+30{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{\frac{1}{5}t}\\ 10& =30{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{\frac{1}{5}t}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}& ={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{\frac{1}{5}t}\\ {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^5& ={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^t\\ t& {=}^{\frac{2}{3}}\log {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^5\\ t& =5{\cdot }^{\frac{2}{3}}\log \left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\end{array}$
Jadi, waktu yang dibutuhkan agar suhu kopi menjadi ${60}^{\circ }\text{C}$ adalah $\boxed{{\displaystyle 5{\cdot }^{\frac{2}{3}}\log \left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\text{menit}}}$
(Jawaban C)

Permasalahan ini merupakan aplikasi/penerapan persamaan diferensial.
Persamaan diferensial yang merepresentasikan proses penurunan suhu $T$ dalam waktu $t$ menit diwakili oleh
${\displaystyle \frac{\text{d}T}{\text{d}t}}=k(T-T_0)$
$T_0$ adalah suhu terminal. Berdasarkan soal, diketahui bahwa suhu terminalnya adalah suhu yang hendak dicapai, yaitu $T_0={120}^{\circ }\text{C}$.
Perhatikan bahwa persamaan ${\displaystyle \frac{\text{d}T}{\text{d}t}}=k(T-120)$ dapat ditulis menjadi
${\displaystyle \frac{\text{d}T}{T-120}}=k\cdot \text{d}t$
Integralkan kedua ruasnya,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\text{d}T}{T-120}}}& =\int k\text{d}t\\ \ln (T-120)& =kt+C\end{array}$
Saat $t=0\text{menit}$, suhu mula-mulanya adalah $T={225}^{\circ }\text{C}$.
Substitusi nilai ini pada persamaan terakhir untuk memperoleh
$\begin{array}{rl}\ln (225-120)& =k(0)+C\\ \ln 105& =C\end{array}$
Persamaannya kita tulis ulang menjadi $\ln (T-120)=kt+\ln 105$.
Saat $t=10\text{menit}$, suhu berkurang ${60}^{\circ }\text{C}$ menjadi $T=(225-60{)}^{\circ }\text{C}={165}^{\circ }\text{C}$.
Substitusi nilai ini pada persamaan untuk memperoleh
$\begin{array}{rl}\ln (165-120)& =k(10)+\ln 105\\ \ln 45& =10k+\ln 105\\ 10k& =\ln {\displaystyle \frac{45}{105}}=\ln {\displaystyle \frac{3}{7}}\\ k& ={\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{3}{7}}}{10}}\end{array}$
Persamaannya menjadi
$\ln (T-120)={\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{3}{7}}}{10}}t+\ln 105$
atau dengan menggunakan definisi logaritma, diperoleh
$T=120+e^{{\displaystyle \frac{\ln \frac{3}{7}}{10}}t+\ln 105}$
Dengan menggunakan aplikasi/kalkulator untuk menggambar grafik, kita peroleh sketsa grafik persamaan tersebut seperti berikut.

Tampak pada grafik bahwa suhu terminal akan tercapai saat $t$ menuju tak hingga, tetapi tentu saja kita tidak mungkin menunggu selama itu untuk menurunkan suhunya agar suhu terminal tercapai.
Dari grafik itu, kita cukup menunggu kurang lebih selama $\boxed{{\displaystyle 60}}$ menit ($1$ jam) agar suhu minyak hasil olah “cukup” mendekati ${120}^{\circ }\text{C}$.

Permasalahan ini merupakan aplikasi/penerapan persamaan diferensial.
Persamaan diferensial yang merepresentasikan proses penurunan suhu $T$ dalam waktu $t$ menit diwakili oleh
${\displaystyle \frac{\text{d}T}{\text{d}t}}=k(T-T_0)$
$T_0$ adalah suhu terminal. Berdasarkan soal, diketahui bahwa suhu terminalnya adalah suhu ruang, yaitu $T_0={27}^{\circ }\text{C}$.
Perhatikan bahwa persamaan ${\displaystyle \frac{\text{d}T}{\text{d}t}}=k(T-27)$ dapat ditulis menjadi
${\displaystyle \frac{\text{d}T}{T-27}}=k\cdot \text{d}t$
Integralkan kedua ruasnya,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\text{d}T}{T-27}}}& =\int k\text{d}t\\ \ln (T-27)& =kt+C\end{array}$
Saat $t=0\text{menit}$, suhu mula-mulanya adalah $T={200}^{\circ }\text{C}$.
Substitusi nilai ini pada persamaan terakhir untuk memperoleh
$\begin{array}{rl}\ln (200-27)& =k(0)+C\\ \ln 173& =C\end{array}$
Persamaannya kita tulis ulang menjadi $\ln (T-27)=kt+\ln 173$.
Saat $t=10\text{menit}$, suhu berkurang menjadi $T={140}^{\circ }\text{C}$.
Substitusi nilai ini pada persamaan untuk memperoleh
$\begin{array}{rl}\ln (140-27)& =k(10)+\ln 173\\ \ln 113& =10k+\ln 173\\ 10k& =\ln {\displaystyle \frac{113}{173}}\\ k& ={\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{113}{173}}}{10}}\end{array}$
Persamaannya menjadi
$\ln (T-27)={\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{113}{173}}}{10}}t+\ln 173$
atau dengan menggunakan definisi logaritma, diperoleh
$T=27+e^{{\displaystyle \frac{\ln \frac{113}{173}}{10}}t+\ln 173}$
Jadi, fungsi eksponensial yang menyatakan proses penurunan suhu logam $T$ terhadap waktu $t$ adalah
$\boxed{{\displaystyle T(t)=27+e^{{\displaystyle \frac{\ln \frac{113}{173}}{10}}t+\ln 173}}}$