Tag: Geometri

Syarat di atas menunjukkan bahwa kita memiliki angka $1, 1, 3, 5, 5$ untuk disusun sehingga terbentuk bilangan 5-angka.
Karena bilangannya berkelipatan $5$, maka satu angka $5$ harus berada di posisi satuan, sehingga tertinggal empat angka: $1, 1, 3, 5$.
Kasus ini menunjukkan bahwa kita harus menggunakan rumus permutasi berulang, karena susunan angka di posisi yang satu dan posisi lain dianggap berbeda serta ada objek yang identik.
Angka $1$ muncul $2$ kali, sehingga menurut rumus permutasi berulang, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \binom{4}{2} & = \dfrac{4!}{2!} \\ & = 4 \times 3 = 12 \end{aligned}$$Jadi, banyak bilangan yang dapat dibentuk adalah $\boxed{12}$
(Jawaban C)

Gunakan aturan aljabar untuk mencari bentuk lain dari ekspresi tersebut.
$$\begin{aligned} \dfrac{2x+y}{25} & =\dfrac{x-y}{14} \\ 14(2x+y) & = 25(x-y) \\ 28x + 14y & = 25x-25y \\ 28x-25x+14y+25y & = 0 \\ 3x+39y & = 0 \\ \text{kedua ruas}&~\text{dibagi}~3 \\ x+13y & = 0 \\ x & = -13y \\ x+2 & = 2-13y \end{aligned}$$Jadi, kita temukan bahwa persamaan $x+2 = 2-13y$ setara dengan bentuk aljabar di atas.
(Jawaban B)

Diketahui $a \otimes b = ab(b+1)$. Selesaikan perhitungan di dalam tanda kurung masing-masing terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} (1 \otimes 2) \otimes (3 \otimes 1) & = (1 \cdot 2(2+1)) \otimes (3 \cdot 1(1 + 1)) \\ & = 6 \otimes 6 \\ & = 6 \cdot 6(6 + 1) \\ & = 252 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{(1 \otimes 2) \otimes (3 \otimes 1) = 252}$$(Jawaban C)

Karena $x > y$, maka $4x > 4y$.
Karena $x > y$, maka $-3y > -3x$.
Kedua ruas pertidaksamaan ditambahkan dan akan diperoleh
$$\begin{aligned} 4x-3y & > 4y-3x \\ 4x-3y+z & > 4y-3x+z \\ K & > L \end{aligned}$$Jadi, hubungan $K$ dan $L$ adalah $\boxed{K>L}$
(Jawaban A)

Karena $A > 4$ dan $B = 5$, maka $A \times B$ pasti nilainya lebih besar dari $4 \times 5 = 20$.
Jadi, kita peroleh $A \times B > 20$.
(Jawaban B)
Diskusi Kasus Lain:

1. Bagaimana kalau $A > 4$ dan $B > 5$? Jawabannya sama, $A \times B > 20$.
2. Bagaimana kalau $A \geq 4$ dan $B > 5$? Jawabannya sama, $A \times B > 20$. Tidak mungkin nilainya $20$ karena $B \neq 5$.
3. Bagaimana kalau $A < 4$ dan $B > 5$? Nilai $A \times B$ tidak terbatas, bisa kecil sekali, bisa besar sekali. Ini dikarenakan $A$ dapat saja bernilai negatif sekecil-kecilnya dan $B$ dapat bernilai positif sebesar-besarnya.

Untuk menentukan daerah yang diarsir pada diagram Venn seperti ini, kita harus memahami dengan baik mengenai irisan, gabungan, dan selisih himpunan. Terkadang untuk soal pilihan ganda, kita dapat mengecek satu per satu opsi yang ada untuk disesuaikan dengan daerah yang diarsir.
Opsi A: $(A \cup B)-C$

Opsi B: $(A \cup C)-B$

Opsi C: $C-(A \cup B)$

Opsi D: $B-(A \cup C)$

Opsi E: $B-(A \cap C)$

Berdasarkan observasi per opsi di atas, kita peroleh bahwa daerah yang diarsir dinyatakan oleh $B-(A \cup C)$.
(Jawaban D)

Banyak cara berfoto adalah $4! = 24$.
Cek Pernyataan (1).
Gunakan prinsip komplemen dengan mencari banyak cara $A$ dan $B$ bersebelahan, seperti tampak pada ilustrasi berikut.
Banyak cara mengatur $3$ objek di atas adalah $3!$, sedangkan banyak cara mengatur $AB$ adalah $2!$. Oleh karena itu, banyak cara agar $A$ dan $B$ bersebelahan adalah $3! \times 2! = 12$. Peluang keduanya bersebelahan adalah $\dfrac{12}{4!} = \dfrac12$. Ini juga berarti peluang keduanya tidak bersebelahan adalah $1-\dfrac12=\dfrac12$. Jadi, pernyataan (1) benar.
Cek Pernyataan (2).
Sama prinsipnya seperti sebelumnya, akan dapat peluang $B$ dan $C$ bersebelahan adalah $\dfrac12$. Pernyataan (2) juga benar.
Cek Pernyataan (3).
Banyak cara berfoto sama dengan $4! = 24$. Pernyataan (3) benar.
Cek Pernyataan (4).
Perhatikan ilustrasi berikut.
$ABD$ dianggap sebagai satu kesatuan, sehingga objek tersisa $2$, yaitu $ABD$ dan $C$. Banyak cara mengaturnya adalah $2! = 2$.
Sekarang, $ABD$ dapat disusun juga menjadi $DBA$, dengan $B$ tetap berada di antara keduanya. Ini menunjukkan bahwa ada $2$ cara/susunan. Total susunan semuanya $2 \times 2 = 4$. Peluangnya adalah $\dfrac{4}{24} = \dfrac16$. Jadi, pernyataan (4) juga benar.
Dapat disimpulkan bahwa keempat pernyataan tersebut benar.
(Jawaban E)

Diketahui $x = 1.256$ dan $y = 1.232$, sehingga kita akan menghitung hasil
$$\begin{aligned} 1.256-12,01\% \times 1.232 & = 1.256-\dfrac{12,01}{100} \times 1.232 \\ & = 1.256-12,01 \times 12,32 \end{aligned}$$Gunakan cara standar untuk menghitung $1201 \times 1232$, dan akan diperoleh $1479632$. Karena ada total $4$ angka di belakang koma, maka $12,01 \times 12,32 = 147,9632$. Dengan demikian, diperoleh
$$1.256-147,9632 = 1.108,0368$$atau dibulatkan ke atas menjadi $\boxed{1.108,037}$
(Jawaban D)

Diberikan pecahan $\dfrac{x}{y}$.
Selanjutnya, $\dfrac{x+1}{y+3} = \dfrac38$, menunjukkan bahwa $x = 2$ dan $y = 5$. Diperoleh pecahan itu adalah $\dfrac25$.
Dengan demikian, hasil terakhirnya adalah $\boxed{\dfrac{2-1}{5+4} = \dfrac19}$
(Jawaban E)

Misalkan $S, F$ masing-masing menyatakan umur Sukardi dan Farly saat ini. Dari informasi di atas, kita peroleh SPLDV
$$\begin{cases} S-5 & = 4(F-5) && (\cdots 1) \\ 2S & = 3F && (\cdots 2) \end{cases}$$Pada persamaan $(1)$, kita peroleh
$$\begin{aligned} S-5 & = 4F-20 \\ S-4F & = -15 \\ \text{Kali kedua ruas}&~\text{dengan}~2 \\ 2S-8F & = -30 \\ \text{Substitusi}~&2S = 3F \\ 3F-8F & = -30 \\ -5F & = -30 \\ F & = 6 \end{aligned}$$Ini berarti $2S = 3(6) = 18$, berakibat $S = 9$.
Dengan demikian, selisih umur mereka sekarang adalah $P = 9-6 = 3$ tahun, sedangkan usia Sukardi $5$ tahun yang lalu adalah $Q = 9-5 = 4$ tahun.
Dapat disimpulkan bahwa hubungan yang benar adalah $P < Q$.
(Jawaban A)

Luas daerah yang tak diarsir sama dengan luas persegi ditambah luas jajaran genjang, lalu dikurangi $2$ kali luas daerah yang diarsir.
$$\begin{aligned} L_{\text{Tak Arsir}} & = L_{\text{Per}\text{segi}} + L_{\text{Jajaran}~\text{Genjang}}-2 \times L_{\text{Arsir}} \\ & = (AB \times AB)+(EF \times FI)-2 \times 7 \\ & = (8 \times 8)+(10 \times 8)-14 \\ & = 64+80-14 = 130~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang tak diarsir adalah $\boxed{130~\text{cm}^2}$
(Jawaban D)

Bunga yang didapat selama $9$ bulan adalah $\dfrac{9}{12} \times 8\% = 6\%$.
Misalkan tabungan awal dinyatakan sebagai $100\%$, maka tabungan selama $9$ bulan dinyatakan sebagai $106\%$. Kita peroleh
$$\begin{aligned} \text{Tabungan Awal} & = \dfrac{100\%}{106\%} \times 8.480.000 \\ & = \dfrac{100}{\cancel{106}} \times \cancelto{80.000}{8.480.000} \\ & = 8.000.000 \end{aligned}$$Jadi, tabungan awal Lili di koperasi adalah Rp8.000.000,00.
(Jawaban C)

Diketahui $$\begin{cases} 10\%x & = 20\%y && (\cdots 1) \\ x + y & = 45 && (\cdots 2) \end{cases}$$Persamaan $(1)$ dapat disederhanakan menjadi $x = 2y$.
Substitusi pada persamaan $(2)$.
$$\begin{aligned} \color{red}{2y} + y & = 45 \\ 3y & = 45 \\ y & = 15 \end{aligned}$$Dengan demikian, $x = 2(15) = 30$. Jadi, selisih kedua bilangan tersebut adalah $\boxed{y-x=30-15=15}$
(Jawaban E)

Diketahui $x+2y+3z = 10$.
Cek Pernyataan (1).
Bila $z = 1$ disubstitusikan, maka diperoleh
$$\begin{aligned} x+2y+3(1) & = 10 \\ x+2y & = 7 \end{aligned}$$Informasi tersebut ternyata tidak cukup untuk menentukan nilai $x$ karena nilai $y$ belum diketahui.
Cek Pernyataan (2).
Diberikan $x+y=5$.
$$\begin{aligned} x+2y+3z & = 10 \\ (x+y)+y+3z & = 10 \\ 5+y+3z & = 10 \\ y+3z & = 5 \end{aligned}$$Nilai $x$ ternyata masih belum bisa diperoleh.
Kedua Pernyataan Digunakan.
Kita peroleh SPLDV $$\begin{cases} x+2y & = 7 \\ x + y & = 5 \end{cases}$$Didapat $y = 2$ dan $x = 3$.
Dapat disimpulkan bahwa kedua pernyataan bersama-sama cukup untuk menjawab pertanyaan.
(Jawaban C)

Titik $B$ merupakan titik pusat persegi $PQRS$. Luas daerah perpotongan kedua persegi tersebut sama dengan seperempat kali dari luas persegi $PQRS$, yaitu $\boxed{L = \dfrac14 (4^2) = 4~\text{cm}^2}$
(Jawaban A)

Rata-rata nilai $15$ siswa di Kecamatan Y adalah
$$\begin{aligned} \overline{x}_y & = \dfrac{7+7+6+8+9+7+9+8+8+5+8+9+7+9+8}{15} \\ & = \dfrac{115}{15} < 8 \end{aligned}$$Jadi, nilai rata-ratanya kurang dari $8$. Ini berarti, banyak siswa yang mendapat tas sama dengan banyak siswa yang nilainya $8$ ke atas, yaitu sebanyak $9$ orang.
Rata-rata nilai $15$ siswa di Kecamatan Z adalah
$$\begin{aligned} \overline{x}_z & = \dfrac{8+9+7+7+8+6+7+6+8+6+7+8+7+8+7}{15} \\ & = \dfrac{109}{15} < 8 \end{aligned}$$Jadi, nilai rata-ratanya juga kurang dari $8$. Ini berarti, banyak siswa yang mendapat tas sama dengan banyak siswa yang nilainya $8$ ke atas, yaitu sebanyak $6$ orang.
(Jawaban D)

Misalkan panjang, lebar, dan tinggi balok dinotasikan $p, l$, dan $t$, maka diperoleh tiga persamaan
$$\begin{cases} pl & = 96 = 2^5 \cdot 3 \\ pt & = 48 = 2^4 \cdot 3 \\ lt & = 32 = 2^5 \end{cases}$$Kalikan sesuai dengan ruasnya.
$$\begin{aligned} pl \cdot pt \cdot lt & = (2^5 \cdot 3) \cdot (2^4 \cdot 3) \cdot 2^5 \\ (plt)^2 & = 2^{14} \cdot 3^2 \\ plt & = 2^7 \cdot 3 \end{aligned}$$Panjang, lebar, dan tinggi balok dapat dihitung sebagai berikut.
$$\begin{aligned} p & = \dfrac{plt}{lt} = \dfrac{2^7 \cdot 3}{2^5} = 12~\text{cm} \\ l & = \dfrac{plt}{pt} = \dfrac{2^7 \cdot 3}{2^4 \cdot 3} = 8~\text{cm} \\ t & = \dfrac{plt}{pl} = \dfrac{2^7 \cdot 3}{2^5 \cdot 3} = 4~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang diagonal ruang balok dapat ditentukan oleh rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} \text{DR} & = \sqrt{p^2+l^2+t^2} \\ & = \sqrt{12^2 + 8^2 + 4^2} \\ & = \sqrt{144 + 64 + 16} \\ & = \sqrt{224} \\ & = \sqrt{16 \cdot 14} \\ & = 4\sqrt{14} \end{aligned}$$Jadi, panjang diagonal ruang balok tersebut adalah $\boxed{4\sqrt{14}~\text{cm}}$
(Jawaban B)

Besar sudut $ACB$ adalah $\angle ACB = (180-145)^\circ = 35^\circ$.
Karena $ABC$ adalah sebuah segitiga (sehingga jumlah ketiga sudutnya sama dengan $180^\circ$), maka diperoleh
$$\begin{aligned} \angle BAC + 95^\circ + 35^\circ & = 180^\circ \\ \angle BAC + 130^\circ & = 180^\circ \\ \angle BAC & = 50^\circ \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $BAC$ adalah $\boxed{50^\circ}$
(Jawaban E)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Tinggi kerucut terpancung dapat dihitung dengan rumus Pythagoras.
$$\begin{aligned} t & = \sqrt{17^2-8^2} \\ & = \sqrt{9 \cdot 25} \\ & = 15~\text{cm} \end{aligned}$$Catatan: Supaya lebih mudah, gunakan $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
Gunakan rumus volume kerucut terpancung.
$$\boxed{V = \dfrac13\pi t(R \cdot r + R^2 + r^2)}$$Untuk $t = 15$, $R = 12$, dan $r = 4$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} V & = \dfrac{1}{\cancel{3}} \pi \cdot \cancelto{5}{15}(12 \cdot 4 + 12^2 + 4^2) \\ & = 5\pi(48 + 144 + 16) \\ & = 5\pi(208) = 1.040\pi \end{aligned}$$Jadi, volume kerucut terpancung tersebut adalah $\boxed{1.040\pi~\text{cm}^3}$
(Jawaban B)

Volume bak mandi (tabung) dinyatakan oleh $V = \pi r^2 t$, yaitu
$$\begin{aligned} V & = \pi r^2 (2r) \\ & = 2\pi r^3 \end{aligned}$$Karena tabung diisi oleh ember dengan volume $2\pi$, maka kapasitas ember yang diperlukan sama dengan $$n = \dfrac{V}{2\pi} = \dfrac{2\pi r^3}{2\pi} = r^3.$$Jadi, kapasitas tabung tersebut setara dengan $\boxed{r^3}$ ember itu.
(Jawaban A)