Aturan sinus merupakan dua aturan yang menghubungkan panjang sisi dan besar sudut dalam segitiga dengan menggunakan konsep trigonometri. Sesuai dengan namanya, aturan sinus melibatkan fungsi sinus.
Aturan Sinus
Aturan sinus (law of sines atau sine law/rule) adalah teorema berupa persamaan yang menghubungkan nilai sinus sudut dalam segitiga dengan panjang sisi di depannya dalam bentuk perbandingan.
Untuk setiap segitiga $ABC,$ berlaku
$$\boxed{\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}}.$$
Bukti formal berlakunya aturan sinus dapat dilihat pada panel berikut.
Konstruksi segitiga $ABC$ seperti berikut.
Tarik garis tinggi segitiga dari titik $C$ ke sisi $AB$ sehingga terbentuk garis $CD.$ Pada segitiga siku-siku $ACD,$ berlaku
$$\sin A = \dfrac{CD}{b} \Rightarrow CD = b \sin A.$$Sementara itu, pada segitiga siku-siku $BDC,$ berlaku
$$\sin B = \dfrac{CD}{a} \Rightarrow CD = a \sin B.$$Dari kedua persamaan di atas, diperoleh
$$b \sin A = a \sin B \Rightarrow \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}.$$Dengan menggunakan garis tinggi yang lain dan proses yang serupa seperti ini, akan diperoleh
$$\boxed{\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}}.$$Jadi, aturan sinus terbukti. $\blacksquare$
Untuk memahami lebih dalam mengenai materi ini, berikut disediakan soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat.
Jika Anda ingin mencari paket soal ini dalam bentuk file PDF, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal tersebut juga berisi soal UTBK-SNBT, soal TKA, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetisi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri Dasar
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Bagian Pilihan Ganda
Diketahui $\triangle ABC$ dengan panjang sisi $a = 4~\text{cm},$ $\angle A = 120^{\circ},$ dan $\angle B = 30^{\circ}.$ Panjang sisi $c = \cdots~\text{cm}.$
A. $2\sqrt2$ D. $\dfrac34\sqrt2$
B. $\dfrac43\sqrt3$ E. $\sqrt3$
C. $\dfrac34\sqrt3$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena jumlah besar sudut dalam segitiga selalu $180^{\circ}$, haruslah $\angle C = (180-120-30)^{\circ} = 30^{\circ}.$
Selanjutnya, dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin A} & = \dfrac{c}{\sin C} \\ \dfrac{4}{\sin 120^{\circ}} & = \dfrac{c}{\sin 30^{\circ}} \\ \dfrac{4}{\cancel{\frac12}\sqrt3} & = \dfrac{c}{\cancel{\frac12}} \\ c & = \dfrac{4}{\sqrt3} = \dfrac43\sqrt3~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{c = \dfrac43\sqrt3~\text{cm}}.$
(Jawaban B)
Pada $\triangle JKL$, diketahui $\sin L = \dfrac13$, $\sin J = \dfrac35$, dan $JK = 5$ cm. Panjang $KL$ adalah $\cdots~\text{cm}$.
A. $5$ C. $9$ E. $15$
B. $7$ D. $12$
Pada $\triangle JKL$, sisi depan sudut $L$ adalah $JK$, sedangkan sisi depan sudut $J$ adalah $KL.$ Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{JK}{\sin L} & = \dfrac{KL}{\sin J} \\ \dfrac{5}{\frac13} & = \dfrac{KL}{\frac35} \\ 15 & = \dfrac{KL}{\frac35} \\ KL & = 15 \cdot \dfrac35 = 9. \end{aligned}$$Jadi, panjang $KL$ adalah $\boxed{9~\text{cm}}.$
(Jawaban C)
Diketahui segitiga $PQR$ dengan $\angle P=60^\circ,$ panjang sisi $p$ adalah $10$ cm, dan panjang sisi $q$ adalah $12$ cm. Nilai dari $\sin Q$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac15\sqrt3$ D. $\dfrac45\sqrt3$
B. $\dfrac25\sqrt3$ E. $\dfrac13\sqrt3$
C. $\dfrac35\sqrt3$
Diketahui informasi berikut.
- $\angle P = 60^\circ.$
- $p = 10$ cm.
- $q = 12$ cm.
Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{p}{\sin P} & = \dfrac{q}{\sin Q} \\ \sin Q & = q \cdot \dfrac{\sin P}{p} \\ \sin Q & = 12 \cdot \dfrac{\sin 60^\circ}{10} \\ \sin Q & = 12 \cdot \dfrac{\frac12\sqrt3}{10} \\ \sin Q & = \dfrac{6\sqrt3}{10} = \dfrac35\sqrt3. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\sin Q$ adalah $\boxed{\dfrac35\sqrt3}.$
(Jawaban C)
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Luas Segitiga pada Trigonometri
Pada segitiga lancip $ABC,$ jika diketahui $a=8$ cm, $b=4\sqrt2$ cm, dan $\angle A=45^\circ.$ Besar sudut $B$ adalah $\cdots \cdot$
A. $30^\circ$ D. $90^\circ$
B. $45^\circ$ E. $150^\circ$
C. $60^\circ$
Diketahui informasi berikut.
- $a = 8$ cm.
- $b = 4\sqrt2$ cm.
- $\angle A = 45^\circ.$
Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin A} & = \dfrac{b}{\sin B} \\ \sin B & = b \cdot \dfrac{\sin A}{a} \\ \sin B & = 4\sqrt2 \cdot \dfrac{\sin 45^\circ}{8} \\ \sin B & = 4\sqrt2 \cdot \dfrac{\frac12\sqrt2}{8} \\ \sin B & = \dfrac12. \end{aligned}$$Ini berarti, $\angle B = 30^\circ$ atau $\angle B = 150^\circ.$ Namun, $\Delta ABC$ lancip, artinya setiap sudut di dalam segitiga itu pasti lebih kecil dari $90^\circ,$ sehingga besar sudut $B$ yang mungkin adalah $30^\circ.$
Jadi, besar sudut $B$ adalah $\boxed{30^\circ}.$
(Jawaban A)
Perhatikan gambar $\triangle ABC$ di bawah ini.
Perbandingan panjang $BC$ dan $AC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3 : 4$
B. $4 : 3$
C. $\sqrt2 : \sqrt3$
D. $\sqrt3 : 2\sqrt2$
E. $\sqrt3 : \sqrt2$
Perhatikan bahwa kita mencari panjang sisi di hadapan sudut yang telah diketahui besarnya. Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin A} & = \dfrac{AC}{\sin B} \\ \dfrac{BC}{AC} & = \dfrac{\sin A}{\sin B} \\ & = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} \\ & = \dfrac{\cancel{\dfrac12}\sqrt2}{\cancel{\dfrac12}\sqrt3} \\ & = \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan panjang $BC : AC$ adalah $\boxed{\sqrt2 : \sqrt3}.$
(Jawaban C)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri Berbentuk a cos x + b sin x = c
Perhatikan gambar berikut.
Nilai dari $\sin D$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac12\sqrt6$ D. $\dfrac18\sqrt6$
B. $\dfrac14\sqrt6$ E. $\dfrac18\sqrt3$
C. $\dfrac16\sqrt6$
Dari gambar yang diberikan, diketahui informasi berikut.
- $AC = 2.$
- $BD = 4.$
- $\angle BAC = 30^\circ.$
- $\angle ABC = 45^\circ.$
- $\angle BCD = 60^\circ.$
Dengan menggunakan aturan sinus pada segitiga $ABC,$ akan dicari panjang sisi $BC$ terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} \dfrac{AC}{\sin \angle ABC} & = \dfrac{BC}{\sin \angle BAC} \\ BC & = \dfrac{AC}{\sin \angle ABC} \cdot \sin \angle BAC \\ BC & = \dfrac{2}{\sin 45^\circ} \cdot \sin 30^\circ \\ BC & = \dfrac{2}{\cancel{\frac12}\sqrt2} \cdot \cancel{\dfrac12} \\ BC & = \dfrac{2}{\sqrt2} = \sqrt2. \end{aligned}$$Diperoleh panjang sisi $BC = \sqrt2.$
Selanjutnya, dengan menggunakan aturan sinus pada segitiga $BCD,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{BD}{\sin \angle BCD} & = \dfrac{BC}{\sin \angle BDC} \\ \sin \angle BDC & = \dfrac{\sin \angle BCD}{BD} \cdot BC \\ \sin \angle BDC & = \dfrac{\sin 60^\circ}{4} \cdot \sqrt2 \\ \sin \angle BDC & = \dfrac{\frac12\sqrt3}{4} \cdot \sqrt2 = \dfrac18\sqrt6. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\sin D$ adalah $\boxed{\dfrac18\sqrt6}.$
(Jawaban D)
Pada $\triangle ABC$, diketahui $(b+c) : (c + a) : (a + b)$ $= 4 : 5 : 6.$ Nilai dari $\sin A : \sin B : \sin C = \cdots \cdot$
A. $7 : 5 : 3$ D. $4 : 5 : 6$
B. $3 : 5 : 7$ E. $6 : 5 : 4$
C. $7 : 3 : 5$
Diketahui untuk suatu bilangan asli $k,$ berlaku
$$\begin{aligned} b+c & = 4k && (\cdots 1) \\ a+c & = 5k && (\cdots 2) \\ a+b & = 6k. && (\cdots 3) \end{aligned}$$Eliminasi $c$ pada Persamaan $(1)$ dan $(2)$ sehingga diperoleh $a-b = k.$ Sebutlah ini sebagai Persamaan $(4).$
Dari Persamaan $(3)$ dan $(4),$ kita peroleh $a = \dfrac72k$ dan $b = \dfrac52k$ sehingga $c = \dfrac32k.$ Jadi, diperoleh perbandingan
$$\begin{aligned} a : b : c & = \dfrac72k : \dfrac52k : \dfrac32k \\ & = 7 : 5 : 3. \end{aligned}$$Menurut aturan sinus, perbandingan nilai sinus sudut sama dengan perbandingan panjang sisi depannya sehingga $\boxed{\begin{aligned} \sin A : \sin B : \sin C & = a : b : c \\ & = 7 : 5 : 3. \end{aligned}}$
(Jawaban A)
Pada $\triangle ABC$, diketahui bahwa $\angle B = 70^{\circ}$, $\angle C = 80^{\circ}$, dan $BC = 2$ cm. Jika $R$ adalah panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $ABC$, maka nilai $R = \cdots~\text{cm}.$
A. $1$ C. $4$ E. $10$
B. $2$ D. $8$
Menurut aturan sinus, berlaku
$$\boxed{\color{blue}{\dfrac{BC}{\sin \angle A}} = \dfrac{AB}{\sin \angle C} = \dfrac{AC}{\sin \angle B} = \color{blue}{2R}}$$dengan $R$ adalah panjang jari-jari lingkaran luar $\triangle ABC.$
Karena $\angle B = 70^{\circ}$ dan $\angle C = 80^{\circ},$ haruslah $\angle A = (180-70-80)^{\circ} = 30^{\circ}$ sehingga
$$\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin \angle A} & = 2R \\ \dfrac{2}{\sin 30^{\circ}} & = 2R \\ \dfrac{2}{\frac12} & = 2R \\ R & = 2. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{R = 2~\text{cm}}.$
(Jawaban B)
Jika panjang sisi-sisi segitiga $ABC$ berturut-turut adalah $AB=4~\text{cm}$, $BC=6~\text{cm},$ dan $AC=5~\text{cm},$ sedangkan $\angle BAC = \alpha,$ $\angle ABC = \beta,$ dan $\angle BCA = \gamma,$ maka $\sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma = \cdots \cdot$
A. $4 : 5 : 6$ D. $4 : 6 : 5$
B. $5 : 6 : 4$ E. $6 : 4 : 5$
C. $6 : 5 : 4$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh persamaan
$\dfrac{AB}{\sin \gamma} = \dfrac{BC}{\sin \alpha} = \dfrac{AC}{\sin \beta}.$
Berdasarkan aturan tersebut, diketahui bahwa nilai sinus sudut sebanding dengan panjang sisi di depan sudutnya. Sisi depan sudut $\alpha$ adalah $BC$, sisi depan sudut $\beta$ adalah $AC$, dan sisi depan sudut $\gamma$ adalah $AB.$
Dalam kasus ini, dapat ditulis
$\boxed{\begin{aligned} \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma & = BC : AC : AB \\ & = 6 : 5 : 4. \end{aligned}}$
(Jawaban C)
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Kosinus
Sukardi dan Lili berdiri di suatu pantai dengan terpisah jarak $6$ km antara keduanya. Garis pantai yang melalui mereka berupa garis lurus. Keduanya dapat melihat kapal laut yang sama dari tempat mereka berdiri. Misalkan sudut antara tempat Sukardi berdiri dengan kapal laut yang merupakan garis lurus adalah $45^{\circ}$. Sementara itu, sudut antara tempat Lili berdiri dengan kapal laut yang merupakan garis lurus adalah $15^{\circ}$. Jika jarak kapal laut dengan tempat Lili berdiri adalah $a\sqrt{b}$ km, dengan $a\sqrt{b}$ adalah bentuk akar paling sederhana, maka nilai $b-a = \cdots \cdot$
A. $0$ C. $3$ E. $6$
B. $2$ D. $4$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Titik $C$ adalah titik lokasi kapal laut. Besar sudut $C$ adalah $(180-45-15)^{\circ} = 120^{\circ}$. Untuk mencari jarak kapal laut dan Lili, yaitu panjang $BC$, gunakan aturan sinus.
$$\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin C} & = \dfrac{BC}{\sin A} \\ \dfrac{6}{\sin 120^{\circ}} & = \dfrac{BC}{\sin 45^{\circ}} \\ \dfrac{6}{\frac12\sqrt3} & = \dfrac{BC}{\frac12\sqrt2} \\ BC & = \dfrac{6}{\sqrt3} \times \sqrt2 \\ BC & = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $a = 2$ dan $b = 6$ sehingga $\boxed{b-a=6-2=4}.$
(Jawaban D)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Trigonometri
Bagian Uraian
Pada segitiga $ABC,$ diketahui $\angle A = 30^\circ,$ $\angle B = 45^\circ,$ dan panjang sisi $a = 8$ cm. Tentukan panjang sisi $b.$
Diketahui informasi berikut.
- $\angle A = 30^\circ.$
- $\angle B = 45^\circ.$
- $a = 8$ cm.
Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin A} & = \dfrac{b}{\sin B} \\ b & = \dfrac{a}{\sin A} \cdot \sin B \\ b & = \dfrac{8}{\sin 30^\circ} \cdot \sin 45^\circ \\ b & = \dfrac{8}{\cancel{\frac12}} \cdot \cancel{\dfrac12}\sqrt2 \\ b & = 8\sqrt2~\text{cm}. \end{aligned}$$Jadi, panjang sisi $b$ adalah $\boxed{8\sqrt2~\text{cm}}.$
Diketahui segitiga $ABC$ dengan $\angle A = 30^\circ,$ $\angle C = 105^\circ,$ dan $BC = 10$ cm. Tentukan panjang $AC.$
Diketahui informasi berikut.
- $\angle A = 30^\circ.$
- $\angle C = 105^\circ.$
- $BC = 10$ cm.
Karena jumlah sudut dalam setiap segitiga adalah $180^\circ,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \angle B & = 180^\circ-(\angle A + \angle C) \\ & = 180^\circ-(30^\circ + 105^\circ) \\ & = 45^\circ. \end{aligned}$$Selanjutnya, dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin A} & = \dfrac{AC}{\sin B} \\ AC & = \dfrac{BC}{\sin A} \cdot \sin B \\ AC & = \dfrac{10}{\sin 30^\circ} \cdot \sin 45^\circ \\ AC & = \dfrac{10}{\cancel{\frac12}} \cdot \cancel{\dfrac12}\sqrt2 \\ AC & = 10\sqrt2~\text{cm}. \end{aligned}$$Jadi, panjang $AC$ adalah $\boxed{10\sqrt2~\text{cm}}.$
Diketahui segitiga $PQR$ dengan $PR=3$ cm dan $QR=\dfrac{3\sqrt6}{2}$ cm, serta $\angle P=60^\circ.$ Tentukan besar sudut $R.$
Diketahui informasi berikut.
- $PR = 3$ cm.
- $QR=\dfrac{3\sqrt6}{2}$ cm.
- $\angle P = 60^\circ.$
Dengan menggunakan aturan sinus, kita akan mencari $\angle Q$ terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} \dfrac{PR}{\sin Q} & = \dfrac{QR}{\sin P} \\ \sin Q & = \dfrac{\sin P}{QR} \cdot PR \\ \sin Q & = \dfrac{\sin 60^\circ}{\frac{\cancel{3}\sqrt6}{2}} \cdot \cancel{3} \\ \sin Q & = \dfrac{\frac{1}{\cancel{2}}\sqrt3}{\frac{\sqrt6}{\cancel{2}}} \\ \sin Q & = \dfrac{\sqrt3}{\sqrt6} = \dfrac12\sqrt2. \end{aligned}$$Ini berarti, besar sudut $Q$ yang mungkin adalah $45^\circ$ atau $135^\circ.$ Namun, $\angle P = 60^\circ$ sehingga jumlah sudut dalam segitiga akan melebihi $180^\circ$ jika $\angle Q = 135^\circ.$ Artinya, $\angle Q = 45^\circ.$
Selanjutnya, untuk mencari $\angle R,$ gunakan fakta bahwa jumlah sudut dalam segitiga selalu $180^\circ.$
$$\begin{aligned} \angle R & = 180^\circ-(\angle P + \angle Q) \\ & = 180^\circ-(60^\circ + 45^\circ) \\ & = 180^\circ-105^\circ \\ & = 75^\circ. \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $R$ adalah $\boxed{75^\circ}.$
Pada segitiga $ABC,$ diketahui $\angle A = 45^\circ,$ $AC = 2$ cm, dan $BC = 2\sqrt2$ cm. Tentukan nilai dari $\cos B.$
Diketahui informasi berikut.
- $\angle A = 45^\circ.$
- $AC = 2$ cm.
- $BC = 2\sqrt2$ cm
Dengan menggunakan aturan sinus, kita akan mencari nilai dari $\sin B$ terlebih dahulu.
$$\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin A} & = \dfrac{AC}{\sin B} \\ \sin B & = \dfrac{\sin A}{BC} \cdot AC \\ \sin B & = \dfrac{\sin 45^\circ}{\cancel{2}\sqrt2} \cdot \cancel{2} \\ \sin B & = \dfrac{\frac12\cancel{\sqrt2}}{\cancel{\sqrt2}} \\ \sin B & = \dfrac12. \end{aligned}$$Ini berarti, besar sudut $B$ yang mungkin adalah $30^\circ$ atau $150^\circ.$ Namun, $\angle A = 45^\circ$ sehingga jumlah sudut dalam segitiga akan melebihi $180^\circ$ jika $\angle B = 150^\circ.$ Artinya, $\angle B = 30^\circ.$
Dengan demikian, $\cos B = \cos 30^\circ = \dfrac12\sqrt3.$
Jadi, nilai dari $\cos B$ adalah $\boxed{\dfrac12\sqrt3}.$
Sigma Boy mula-mula berada di titik A. Pada denah berskala $1 : 100,$ ia terlihat berjalan sejauh $6$ cm menuju titik $B.$ Sebesar $30^\circ$ searah jarum jam, ia melihat suatu perosotan anak-anak, tepatnya di titik $C.$ Bantulah Sigma Boy menentukan jarak sebenarnya (bukan jarak pada denah) dari posisi mula-mula (titik $A$) ke perosotan tersebut (titik $C$) jika $\angle ACB=120^\circ.$
Diketahui informasi berikut.
- $AB = c = 6$ cm.
- $\angle B = 30^\circ.$
- $\angle C = 120^\circ.$
Dengan menggunakan aturan sinus, akan dicari panjang $AC = b$ pada denah.
$$\begin{aligned} \dfrac{b}{\sin B} & = \dfrac{c}{\sin C} \\ b & = \dfrac{c}{\sin C} \cdot \sin B \\ b & = \dfrac{6}{\sin 120^\circ} \cdot \sin 30^\circ \\ b & = \dfrac{6}{\frac12\sqrt3} \cdot \dfrac12 \\ b & = \dfrac{6}{\sqrt3} = 2\sqrt3~\text{cm}. \end{aligned}$$Pada denah, jarak Sigma Boy dari posisi mula-mula ke perosotan tersebut adalah $2\sqrt3$ cm. Karena denah menggunakan skala $1 : 100,$ jarak sebenarnya adalah $2\sqrt3 \times 100 = 200\sqrt3$ cm, atau $2\sqrt3$ m.
Jadi, jarak sebenarnya (bukan jarak pada denah) Sigma Boy dari posisi mula-mula (titik $A$) ke perosotan tersebut (titik $C$) adalah $\boxed{2\sqrt3~\text{m}}.$
Pada suatu segitiga $ABC$, besar $\angle C$ tiga kali besar $\angle A$ dan besar $\angle B$ dua kali besar $\angle A.$ Berapakah perbandingan panjang $AB$ dan $BC$?
Pada segitiga, jumlah sudutnya selalu $180^{\circ}$ sehingga ditulis $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}.$
Karena $\angle C = 3\angle A$ dan $\angle B = 2\angle A,$ diperoleh
$\begin{aligned} \angle A + 2 \angle A + 3 \angle A & = 180^{\circ} \\ 6 \angle A & = 180^{\circ} \\ \angle A & = 30^{\circ}. \end{aligned}$
Ini berarti $\angle B = 60^{\circ}$ dan $\angle C = 90^{\circ}.$ Jadi, segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C.$
Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin C} & = \dfrac{BC}{\sin A} \\ \dfrac{AB}{BC} & = \dfrac{\sin C}{\sin A} \\ AB : BC & = \sin 90^{\circ} : \sin 30^{\circ} \\ & = 1 : \dfrac12 = 2 : 1. \end{aligned}$
Jadi, perbandingan panjang $AB$ dan $BC$ adalah $\boxed{2 : 1}.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Aplikasi Trigonometri
Buktikan bahwa pada segitiga $ABC$ berlaku $\dfrac{a-b}{c} = \dfrac{\sin A-\sin B}{\sin C}.$
Pada segitiga $ABC$, berlaku $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}.$
Dalam bentuk lain, ditulis
$a = \dfrac{b \sin A}{\sin B}$ dan $c = \dfrac{b \sin C}{\sin B}.$
Dengan demikian, kita dapatkan
$\begin{aligned} \dfrac{a-b}{c} & = \dfrac{\dfrac{b \sin A}{\sin B}-b}{\dfrac{b \sin C}{\sin B}} \\ & = \dfrac{\dfrac{b \sin A}{\cancel{\sin B}}-\dfrac{b \sin B}{\cancel{\sin B}}}{\dfrac{b \sin C}{\cancel{\sin B}}} \\ & = \dfrac{b \sin A-b \sin B}{b \sin C} \\ & = \dfrac{\sin A-\sin B}{\sin C}. \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa pada segitiga $ABC$ berlaku $\dfrac{a-b}{c} = \dfrac{\sin A-\sin B}{\sin C}.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Penerapan Identitas Trigonometri
Pada $\triangle ABC$, buktikan bahwa
$$c(\sin^2 A + \sin^2 B) = \sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B).$$
Akan dibuktikan
$$\underbrace{c(\sin^2 A + \sin^2 B)}_{\text{ruas kiri}} = \underbrace{\sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B)}_{\text{ruas kanan}}.$$Gunakan aturan sinus.
$$\boxed{\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}}$$Dari persamaan tersebut, kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} \sin A & = \dfrac{a \sin B}{b} \\ \sin B & = \dfrac{b \sin A}{a}. \end{aligned}$$Selanjutnya, akan dibuktikan dimulai dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} c(\sin^2 A + \sin^2 B) & = c\left(\sin A \cdot \sin A + \sin B \cdot \sin B\right) \\ & = c\left(\dfrac{a \sin B}{b} \cdot \sin A + \dfrac{b \sin A}{a} \cdot \sin B\right) \\ & = c\left(\dfrac{\sin B}{b} \cdot (a \sin A) + \dfrac{\sin A}{a} \cdot (b \sin B)\right) \\ & = c\left(\dfrac{\sin C}{c} \cdot (a \sin A) + \dfrac{\sin C}{c} \cdot (b \sin B)\right) && (\text{Aturan sinus}) \\ & = \cancel{c} \cdot \dfrac{\sin C}{\cancel{c}}(a \sin A + b \sin B) && (\text{Difaktorkan}) \\ & = \underbrace{\sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B)}_{\text{ruas kanan}}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa pada $\triangle ABC$, berlaku $$c(\sin^2 A + \sin^2 B) = \sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B).$$