Trigonometri merupakan salah satu bagian dari keluarga besar matematika yang dipelajari siswa pada tingkat SMA/Sederajat. Trigonometri merupakan cabang ilmu matematika yang mempelajari hubungan panjang sisi dan besar sudut dalam suatu segitiga. Dalam trigonometri, dikenal 6 istilah yang selanjutnya disebut sebagai perbandingan trigonometri, yaitu sinus, kosinus, tangen, kosekan, sekan, dan kotangen. Tiga perbandingan trigonometri pertama (sinus, kosinus, dan tangen) paling banyak digunakan nantinya.
Baca: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri (Dasar)
Trigonometri memiliki identitas. Identitas yang dimaksud adalah kalimat terbuka berupa persamaan yang melibatkan perbandingan trigonometri dan berlaku untuk setiap variabel (peubah) yang dipilih. Contoh identitas trigonometri yang paling dikenal adalah Identitas Pythagoras, yaitu $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Identitas trigonometri diturunkan dari definisi atau teorema tertentu sehingga perlu dibuktikan kebenarannya.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Dalam pembuktian tersebut, tercantum kalimat “pembuktian dari ruas kiri“. Ini artinya, kita membuktikan pernyataan dimulai dari bentuk pada ruas kiri persamaan untuk membuktikan ruas kanannya. Boleh juga kita membuktikannya dimulai dari bentuk di ruas kanan untuk mendapatkan bentuk di ruas kiri. Biasanya pembuktian dimulai dari bentuk yang rumit untuk membuktikan bentuk yang lebih sederhana.
Untuk itu, berikut penulis sertakan sejumlah soal tentang pembuktian identitas trigonometri yang dapat dijadikan referensi belajar untuk memahami lebih lanjut tentang materi yang bersangkutan. Soal juga dapat diunduh melalui tautan berikut: Download (PDF, 146 KB).
Jika Anda ingin mencari soal latihan yang lebih banyak, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di . Folder soal tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri
Today Quote
Soal Nomor 1
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\dfrac{2 -\sec^2 A} {\sec^2 A} = 1 -2 \sin^2 A$$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \cos x & = \dfrac{1}{\sec x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} \dfrac{2 -\sec^2 A} {\sec^2 A} & = \dfrac{2}{\sec^2 A}- \dfrac{\sec^2 A} {\sec^2 A} \\ & = 2(\cos^2 A) -1 \\ & = 2(1 -\sin^2 A) -1 \\ & = 1 -2 \sin^2 A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{2 -\sec^2 A} {\sec^2 A} = 1 -2 \sin^2 A.$
Soal Nomor 2
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$(\sin A + \cos A)^2 -(\sin A -\cos A)^2 = 4 \sin A \cos A$$
Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} & (\sin A + \cos A)^2 -(\sin A -\cos A)^2 \\ =& (\cancel{\sin^2 A} + 2 \sin A \cos A + \bcancel{\cos^2 A} ) \\ & -(\cancel{\sin^2 A} -2 \sin A \cos A + \bcancel{\cos^2 A}) \\ = & 2 \sin A \cos A -(-2 \sin A \cos A) \\ = & 4 \sin A \cos A \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$(\sin A + \cos A)^2 -(\sin A -\cos A)^2 = 4 \sin A \cos A.$$
Soal Nomor 3
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\dfrac{\sec^2 \theta -1}{\sec^2 \theta} = \sin^2 \theta$$
Identitas yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x &= 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \\ \dfrac{1}{\sec x} & = \cos x && (\text{Identitas Kebalikan}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} \dfrac{\sec^2 \theta -1}{\sec^2 \theta} & = \dfrac{\sec^2 \theta} {\sec^2 \theta} -\dfrac{1}{\sec^2 \theta} \\ & = 1 -\cos^2 \theta \\ & = \sin^2 \theta \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{\sec^2 \theta -1}{\sec^2 \theta} = \sin^2 \theta.$
Soal Nomor 4
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\dfrac{\sin A} {1 -\cos A} = \dfrac{1 + \cos A} {\sin A}$$
Identitas yang digunakan adalah Identitas Pythagoras, yaitu
$\boxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$
Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} \dfrac{\sin A} {1 -\cos A} & = \dfrac{\sin A} {1 -\cos A} \times \dfrac{1 + \cos A} {1 + \cos A} \\ & = \dfrac{\sin A(1 + \cos A)} {1 -\cos^2 A} \\ & = \dfrac{\cancel{\sin A}(1 + \cos A)} {\sin^{\cancel{2}} A} \\ & = \dfrac{1 + \cos A} {\sin A} \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{\sin A} {1 -\cos A} = \dfrac{1 + \cos A} {\sin A}.$
Soal Nomor 5
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\sin A + \cos A \cot A = \csc A$$
Identitas yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \cot x & = \dfrac{\cos x} {\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \csc x & = \dfrac{1}{\sin x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} \sin A + \cos A \cot A & = \sin A + \cos A \left(\dfrac{\cos A} {\sin A}\right) \\ & = \sin A + \dfrac{\cos^2 A} {\sin A} \\ & = \dfrac{\sin^2 A + \cos^2 A} {\sin A} \\ & = \dfrac{1}{\sin A} = \csc A \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\sin A + \cos A \cot A = \csc A.$
Soal Nomor 6
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\csc A + \cot A = \dfrac{\sin A} {1- \cos A}$$
Identitas yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \cot x & = \dfrac{\cos x} {\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \csc x & = \dfrac{1}{\sin x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kanan:
$\begin{aligned} \dfrac{\sin A} {1- \cos A} & = \dfrac{\sin A} {1-\cos A} \times \dfrac{1 + \cos A} {1 + \cos A} \\ & = \dfrac{\sin A(1 + \cos A)} {1 -\cos^2 A} \\ & = \dfrac{\cancel{\sin A}(1 + \cos A)} {\sin^{\cancel{2}} A} \\ & = \dfrac{1 + \cos A} {\sin A} \\ & = \csc A + \cot A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\csc A + \cot A = \dfrac{\sin A} {1- \cos A}.$
Soal Nomor 7
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\sin A \csc A -\sin^2 A = \cos^2 A$$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \csc x & = \dfrac{1}{\sin x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \cos^2 x + \sin^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} \sin A \csc A -\sin^2 A & = \sin A \cdot \dfrac{1}{\sin A} -\sin^2 A \\ & = 1 -\sin^2 A = \cos^2 A \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\sin A \csc A -\sin^2 A = \cos^2 A.$
Soal Nomor 8
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$(\csc A + \cot A)(1 -\cos A) = \sin A$$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \csc x & = \dfrac{1}{\sin x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \cot x & = \dfrac{\cos x}{\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \cos^2 x + \sin^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} & (\csc A + \cot A)(1 -\cos A) \\ & = \csc A -\csc A \cos A + \cot A -\cot A \cos A \\ & = \dfrac{1}{\sin A} -\dfrac{\cos A}{\sin A} + \cot A- \dfrac{\cos A}{\sin A} \cdot \cos A \\ & = \dfrac{1}{\sin A} – \cot A + \cot A- \dfrac{\cos^2 A}{\sin A} \\ & = \dfrac{1 -\cos^2 A}{\sin A} \\ & = \dfrac{\sin^2 A}{\sin A} = \sin A \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $(\csc A + \cot A)(1 -\cos A) = \sin A.$
Soal Nomor 9
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\tan^2 A -\sin^2 A = \tan^2 A \sin^2 A$$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x}{\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \tan^2 x & = \sec^2 x -1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} \tan^2 A -\sin^2 A & = \dfrac{\sin^2 A}{\cos^2 A} -\sin^2 A \\ & = \sin^2 A \left(\dfrac{1}{\cos^2 A}-1\right) \\ & = \sin^2 A(\sec^2 A -1) \\ & = \sin^2 A \tan^2 A \\ & = \tan^2 A \sin^2 A \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\tan^2 A -\sin^2 A = \tan^2 A \sin^2 A.$
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga Menurut Trigonometri
Soal Nomor 10
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\tan A \cos^4 A + \cot A \sin^4 A = \sin A \cos A$$
Identitas yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \cot x & = \dfrac{\cos x} {\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} & \tan A \cos^4 A + \cot A \sin^4 A \\ = & \dfrac{\sin A} {\cos A} \cdot \cos^4 A + \dfrac{\cos A} {\sin A} \cdot \sin^4 A \\ = & \sin A \cos^3 A + \cos A \sin^3 A \\ = & \sin A \cos A(\cos^2 A + \sin^2 A) \\ = & \sin A \cos A(1) = \sin A \cos A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\tan A \cos^4 A + \cot A \sin^4 A$ $= \sin A \cos A.$
Soal Nomor 11
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\dfrac{\sin^2 A} {\cos^2 A} -\dfrac{\cos^2 A} {\sin^2 A} = \sec^2 A -\csc^2 A$$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \csc x & = \dfrac{1}{\sin x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} & \dfrac{\sin^2 A} {\cos^2 A} -\dfrac{\cos^2 A} {\sin^2 A} \\ & = \dfrac{\sin^4 A -\cos^4 A} {\cos^2 A \sin^2 A} \\ & = \dfrac{(\sin^2 A -\cos^2 A)(\sin^2 A + \cos^2 A)} {\cos^2 A \sin^2 A} \\ & = \dfrac{(\sin^2 A -\cos^2 A)(1)} {\cos^2 A~\sin^2 A} \\ & = \dfrac{\cancel{\sin^2 A}} {\cos^2 A~\cancel{\sin^2 A}} -\dfrac{\bcancel{\cos^2 A}} {\bcancel{\cos^2 A} \sin^2 A} \\ & = \dfrac{1}{\cos^2 A} -\dfrac{1}{\sin^2 A} \\ & = \sec^2 A -\csc^2 A \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{\sin^2 A} {\cos^2 A} -\dfrac{\cos^2 A} {\sin^2 A} = \sec^2 A -\csc^2 A.$
Soal Nomor 12
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\dfrac{\sin^2 A -\sin^2 B} {\cos^2 A \cos^2 B} = \tan^2 A -\tan^2 B$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \sec^2 x & = 1 + \tan^2 x && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} & \dfrac{\sin^2 A -\sin^2 B} {\cos^2 A \cos^2 B} \\ & = \dfrac{\sin^2 A}{\cos^2 A \cos^2 B} -\dfrac{\sin^2 B} {\cos^2 A \cos^2 B}\\ & = \dfrac{\sin^2 A} {\cos^2 A} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 B} -\dfrac{\sin^2 B} {\cos^2 B} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 A} \\ & = \tan^2 A(\sec^2 B) -\tan^2 B(\sec^2 A) \\ & = \tan^2 A(1 + \tan^2 B) -\tan^2 B(1 + \tan^2 A) \\ & = \tan^2 A + \cancel{\tan^2 A \tan^2 B} -\tan^2 B -\cancel{\tan^2 A \tan^2 B} \\ & = \tan^2 A- \tan^2 B \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{\sin^2 A -\sin^2 B} {\cos^2 A \cos^2 B} = \tan^2 A- \tan^2 B.$
Soal Nomor 13
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\cos^2 A + \cot^2 A \cos^2 A = \cot^2 A$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} 1 + \cot^2 x & = \csc^2 x && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \\ \csc x & = \dfrac{1}{\sin x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \cot x & = \dfrac{\cos x} {\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} & \cos^2 A + \cot^2 A \cos^2 A \\ & = \cos^2 A(1 + \cot^2 A) \\ & = \cos^2 A(\csc^2 A) \\ & = \cos^2 A \cdot \dfrac{1}{\sin^2 A} \\ & = \cot^2 A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\cos^2 A + \cot^2 A \cos^2 A = \cot^2 A.$
Soal Nomor 14
Buktikan identitas trigonometri berikut
$\dfrac{1 + \sec A} {\tan A + \sin A} = \csc A$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} \dfrac{1 + \sec A} {\tan A + \sin A} & = \dfrac{1 + \frac{1}{\cos A}} {\frac{\sin A} {\cos A} + \sin A} \\ & = \dfrac{\cos A + 1}{\sin A + \sin A \cos A} \\ & = \dfrac{\cancel{\cos A + 1}} {\sin A(\cancel{1 + \cos A}) } \\ & = \dfrac{1}{\sin A} = \csc A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{1 + \sec A} {\tan A + \sin A} = \csc A.$
Soal Nomor 15
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\dfrac{1 + \sin x} {1 -\sin x} = (\sec x + \tan x)^2$$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \\ \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} \dfrac{1 + \sin x} {1 -\sin x} & = \dfrac{1 + \sin x} {1 -\sin x} \times \dfrac{1 + \sin x} {1 + \sin x} \\ & = \dfrac{1 + 2 \sin x + \sin^2 x} {1- \sin^2 x} \\ & = \dfrac{1 + 2 \sin x + \sin^2 x} {\cos ^2 x} \\ & = \dfrac{1}{\cos^2 x} + \dfrac{2 \sin x} {\cos^2 x} + \dfrac{\sin^2 x} {\cos^2 x} \\ & = \sec^2 x + 2 \sec x \tan x + \tan^2 x \\ & = (\sec x + \tan x)^2 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{1 + \sin x} {1 -\sin x} = (\sec x + \tan x)^2.$
Soal Nomor 16
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\tan A = \dfrac12 \sin 2A(1+\tan^2 A)$$
Gunakan identitas trigonometri berikut.
$\boxed{\begin{aligned} \sin 2x & = 2 \sin x \cos x \\ \tan^2 x + 1 & = \sec^2 x \end{aligned} }$
Pembuktian dari ruas kanan:
$\begin{aligned} & \dfrac12 \sin 2A(1+\tan^2 A) \\ & = \dfrac12(2 \sin A \cos A) (1+\tan^2 A) \\ & = (\sin A \cos A) (1+\tan^2 A) \\ & = (\sin A \cos A) (\sec^2 A) \\ & = \dfrac{\sin A \cancel{\cos A}} {\cancelto{\cos A} {\cos^2 A}} \\ & = \dfrac{\sin A} {\cos A} = \tan A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\tan A = \dfrac12 \sin 2A(1+\tan^2 A).$
Soal Nomor 17
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\tan^2 A = 1 -\cos 2A(1 + \tan^2 A)$$
Gunakan identitas trigonometri berikut.
$\boxed{\begin{aligned} 1+\tan^2 x & = \sec^2 x \\ \cos 2x & = 1 -2 \sin^2 x \\ \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} \end{aligned}}$
Pembuktian dari ruas kanan:
$\begin{aligned} & 1 – \cos 2A(1 + \tan^2 A) \\ & = 1 -\cos 2A(\sec^2 A) \\ & = 1- \dfrac{1 -2 \sin^2 A}{\cos^2 A} \\ & = 1 -\dfrac{1}{\cos^2 A} + \dfrac{2 \sin^2 A} {\cos^2 A} \\ & = 1 -\sec^2 A + 2 \tan^2 A \\ & = 1 -(1+\tan^2 A) + 2 \tan^2 A \\ & = \tan^2 A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $\tan^2 A = 1 -\cos 2A(1 + \tan^2 A).$
Soal Nomor 18
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\tan^6 A = \tan^4 A \cdot \sec^2 A -\tan^2 A \cdot \sec^2 A + \sec^2 A -1$$
Gunakan identitas trigonometri berikut.
$\boxed{\tan^2 x + 1 = \sec^2 x}$
Pembuktian dari ruas kanan:
$$\begin{aligned} & \tan^4 A \cdot \sec^2 A -\tan^2 A \cdot \sec^2 A + \sec^2 A -1 \\ & = \tan^4 A \cdot \sec^2 A -\tan^2 A \cdot \sec^2 A + \tan^2 A \\ & = \tan^2 A(\tan^2 A \sec^2 A -\sec^2 A + 1) \\ & = \tan^2 A((\sec^2 A)(\tan^2 A- 1)+1) \\ & = \tan^2 A((\tan^2 A + 1)(\tan^2 A -1)+1) \\ & = \tan^2 A(\tan^4 A-1 + 1) \\ & = \tan^6 A \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\tan^6 A = \tan^4 A \cdot \sec^2 A -\tan^2 A \cdot \sec^2 A + \sec^2 A -1.$$
Soal Nomor 19
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\tan (A -B) = \dfrac{\sin 2A -\sin 2B} {\cos 2A + \cos 2B}$$
Gunakan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \sin x -\sin y & = 2 \cos \dfrac12(x + y) \sin \dfrac12(x-y) \\ \cos x + \cos y & = 2 \cos \dfrac12(x + y) \cos \dfrac12(x-y) \\ \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kanan:
$$\begin{aligned} \dfrac{\sin 2A -\sin 2B} {\cos 2A + \cos 2B} & = \dfrac{2 \cos \dfrac12(2A + 2B) \sin \dfrac12(2A-2B)} {2 \cos \dfrac12(2A+2B) \cos \dfrac12(2A-2B)} \\ & = \dfrac{\cancel{2 \cos (A+B)} \sin (A-B)} {\cancel{2 \cos (A+B)} \cos (A-B)} \\ & = \dfrac{\sin (A-B)} {\cos (A-B)} = \tan (A-B) \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\tan (A -B) = \dfrac{\sin 2A -\sin 2B} {\cos 2A + \cos 2B}.$
Soal Nomor 20
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\cot 2A = \dfrac{\sin A -\sin 3A} {\cos 3A -\cos A}$$
Gunakan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \sin x -\sin y & = 2 \cos \dfrac12(x + y) \sin \dfrac12(x-y) \\ \cos x -\cos y & = -2 \sin \dfrac12(x + y) \sin \dfrac12(x-y) \\ \sin (-x) & = -\sin x \\ \cot x & = \dfrac{\cos x} {\sin x} \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kanan:
$$\begin{aligned} \dfrac{\sin A -\sin 3A} {\cos 3A -\cos A} & = \dfrac{2 \cos \dfrac12(A + 3A) \sin \dfrac12(A-3A)} {-2 \sin \dfrac12(3A + A) \sin \dfrac12(3A- A)} \\ & = \dfrac{2 \cos 2A \sin (-A)} {-2 \sin 2A \sin A} \\ & = \dfrac{\cancel{-2 \sin A} \cos 2A} {\cancel{-2 \sin A} \sin 2A} \\ & = \dfrac{\cos 2A} {\sin 2A} = \cot 2A \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\cot 2A = \dfrac{\sin A -\sin 3A} {\cos 3A -\cos A}.$
Soal Nomor 21
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\dfrac{1 -\cos 2A + \sin A} {\sin 2A + \cos A} =\tan A$$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \cos 2x & = \cos^2 x – \sin^2 x && (\text{Identitas Su}\text{dut Ganda}) \\ \sin 2x &= 2 \sin x \cos x && (\text{Identitas Su}\text{dut Ganda}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x &= 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \\ \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} \dfrac{1 -\cos 2A + \sin A} {\sin 2A + \cos A} & = \dfrac{1- (\cos^2 A -\sin^2 A) + \sin A} {(2 \sin A \cos A) + \cos A} \\ & = \dfrac{(1- \cos^2 A) + \sin^2 A + \sin A} {\cos A(2 \sin A + 1)} \\ & = \dfrac{\sin^2 A + \sin^2 A + \sin A} {\cos A(2 \sin A + 1)} \\ & = \dfrac{\sin A\cancel{(2 \sin A + 1)}} {\cos A\cancel{(2 \sin A + 1)}} \\ & = \dfrac{\sin A} {\cos A} = \tan A \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{1 -\cos 2A + \sin A} {\sin 2A + \cos A} =\tan A.$
Soal Nomor 22
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\csc 2A + \cot 2A = \cot A$$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \cos 2x &= \cos^2 x -\sin^2 x && (\text{Identitas Su}\text{dut Ganda}) \\ \sin 2x & = 2 \sin x \cos x && (\text{Identitas Su}\text{dut Ganda}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \\ \csc x & = \dfrac{1}{\sin x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \cot x & = \dfrac{\cos x} {\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} \csc 2A + \cot 2A & = \dfrac{1}{\sin 2A} + \dfrac{\cos 2A} {\sin 2A} \\ & = \dfrac{1 + (\cos^2 A -\sin^2 A)} {2 \sin A \cos A} \\ & = \dfrac{(1- \sin^2 A) + \cos^2 A} {2 \sin A \cos A} \\ & = \dfrac{2 \cos^2 A} {2 \sin A \cos A} \\ & = \dfrac{\cos A} {\sin A} = \cot A \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\csc 2A + \cot 2A = \cot A.$
Soal Nomor 23
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\dfrac{2 \sin (A-B)} {\cos (A-B)-\cos (A+B)} = \cot B -\cot A$$
Ingat rumus jumlah dan selisih sudut:
$\boxed{\begin{aligned} \sin (x \pm y) & = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y \\ \cos (x \pm y) & = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y \end{aligned}}$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$ \cot x = \dfrac{\cos x} {\sin x} $
Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} & \dfrac{2 \sin (A-B)} {\cos (A-B)-\cos (A+B)} \\ & = \dfrac{2 (\sin A \cos B -\sin B \cos A)} {(\cancel{\cos A \cos B} + \sin A \sin B)- (\cancel{\cos A \cos B} -\sin A \sin B)} \\ & = \dfrac{\cancel{2}(\sin A \cos B -\sin B \cos A)} {\cancel{2} \sin A \sin B} \\ & = \dfrac{\sin A \cos B -\sin B \cos A} {\sin A \sin B} \\ & = \dfrac{\cancel{\sin A} \cos B} {\cancel{\sin A} \sin B}- \dfrac{\cancel{\sin B} \cos A} {\sin A \cancel{\sin B}} \\ & = \dfrac{\cos B} {\sin B} -\dfrac{\cos A} {\sin A} \\ & = \cot B -\cot A \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\dfrac{2 \sin (A-B)} {\cos (A-B)-\cos (A+B)} = \cot B -\cot A.$$
Soal Nomor 24
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\tan A -\cot A = \dfrac{1 -2 \cos^2 A} {\sin A \cos A}$$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \cot x & = \dfrac{\cos x}{\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} \tan A -\cot A & = \dfrac{\sin A} {\cos A} -\dfrac{\cos A} {\sin A} \\ & = \dfrac{\sin^2 A -\cos^2 A} {\sin A \cos A} \\ & = \dfrac{(1 -\cos^2 A)- \cos^2 A} {\sin A \cos A} \\ & = \dfrac{1 -2 \cos^2 A} {\sin A \cos A} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\tan A -\cot A = \dfrac{1 -2 \cos^2 A} {\sin A \cos A}.$
Soal Nomor 25
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$1 -\tan^2 A= \cos 2A \sec^2 A$$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \cos 2x & = \cos^2 x -\sin^2 x && (\text{Identitas Su}\text{dut Ganda}) \\ \sec x & =\dfrac{1}{\cos x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kanan:
$$\begin{aligned} \cos 2A \sec^2 A & = (\cos^2 A -\sin^2 A) \cdot \dfrac{1}{\cos^2 A} \\ & = 1 -\dfrac{\sin^2 A} {\cos^2 A} \\ & = 1 -\tan^2 A \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $1 -\tan^2 A= \cos 2A \sec^2 A.$
Soal Nomor 26
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\dfrac{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} + \dfrac{\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} = 2 \sec 2A$$
Ingat nilai perbandingan trigonometri untuk sudut di berbagai kuadran:
$\sin (2x + 90^{\circ}) = \cos 2x.$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \\ \sin 2x & = 2 \sin x \cos x && (\text{Identitas Su}\text{dut Ganda}) \\ \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} & \dfrac{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} + \dfrac{\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} \\ & = \dfrac{\sin^2 \left(A + \frac{\pi} {4}\right) + \cos^2 \left(A + \frac{\pi} {4}\right)}{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right) \cdot \cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} \\ & = \dfrac{1}{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right) \cdot \cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} \\ & = \dfrac{2}{\sin 2\left(A + \frac{\pi} {4}\right)} \\ & = \dfrac{2}{\sin \left(2A + \frac{\pi} {2}\right)} \\ & = \dfrac{2}{\cos 2A} = 2 \sec 2A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $$\dfrac{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} + \dfrac{\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} = 2 \sec 2A.$$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri Berbentuk a cos x + b sin x = c
Soal Nomor 27
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\dfrac{\sin 4A} {1 + \cos 4A} = \tan 2A$$
Identitas trigonometri yang digunakan:
$$\boxed{\begin{aligned} \sin 2x & = 2 \sin x \cos x && (\text{Identitas Su}\text{dut Ganda}) \\ \cos 2x & = \cos^2 x -\sin^2 x && (\text{Identitas Su}\text{dut Ganda}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \\ \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} \dfrac{\sin 4A} {1 + \cos 4A} & = \dfrac{2 \sin 2A \cos 2A} {1 + (\cos^2 2A -\sin^2 2A)} \\ & = \dfrac{2 \sin 2A \cos 2A} {(1 -\sin^2 2A) + \cos^2 2A} \\ & = \dfrac{2 \sin 2A \cos 2A} {2 \cos^2 2A} \\ & = \dfrac{\sin 2A} {\cos 2A} = \tan 2A \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{\sin 4A} {1 + \cos 4A} = \tan 2A.$
Soal Nomor 28
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\begin{aligned} (\cos 2a + \cos 4a & + \cos 6a) \sin a \\ & = \cos 4a \sin 3a \end{aligned}$$
Identitas trigonometri yang digunakan
$$\boxed{\begin{aligned} \cos A + \cos B & = 2 \cos \left(\dfrac{A + B}{2}\right) \cos \left(\dfrac{A-B}{2}\right) \\ \cos A \sin B & = \dfrac12\left(\sin (A + B) + \sin (A-B)\right) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} & (\cos 2a + \cos 4a + \cos 6a) \sin a \\ & = \left(\cos 4a + 2 \cos \left(\dfrac{2a+6a}{2}\right) \cos \left(\dfrac{6a-2a}{2}\right)\right) \sin a \\ & = (\cos 4a + 2 \cos 4a \cos 2a) \sin a \\ & = \cos 4a(1 + 2 \cos 2a) \sin a \\ & = \cos 4a(\sin a + 2 \cos 2a \sin a) \\ & = \cos 4a(\sin a + \cancel{2} \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}(\sin (a+2a) + \sin (a-2a))) \\ & = \cos 4a(\cancel{\sin a} \sin 3a~ \cancel{\sin (-a)}) \\ & = \cos 4a \sin 3a \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa
$$(\cos 2a + \cos 4a + \cos 6a) \sin a = \cos 4a \sin 3a.$$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri
Soal Nomor 29
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$2 \sin A \cos (A + 30^{\circ}) = \sin(2A + 30^{\circ}) -\dfrac12$$
Gunakan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \cos (A + B) & = \cos A \cos B – \sin A \sin B \\ \sin 2A & = 2 \sin A \cos A \\ 1 -\cos 2A & = 2 \sin^2 A \\ \sin(A + B) & = \sin A \cos B + \sin B \cos A \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} & 2 \sin A \cos (A + 30^{\circ}) \\ & = 2 \sin A(\cos A \cos 30^{\circ} -\sin A \sin 30^{\circ}) \\ & = 2 \sin A\left(\dfrac12\sqrt3 \cos A- \dfrac12 \sin A\right) \\ & = \dfrac12\sqrt3(2 \sin A \cos A) -\dfrac12(\sin^2 A) \\ & = \dfrac12\sqrt3(\sin 2A) -\dfrac12(1 -\cos 2A) \\ & = \dfrac12\sqrt3(\sin 2A)- \dfrac12 + \dfrac12 \cos 2A \\ & = (\sin 2A \cos 30^{\circ} + \cos 2A \sin 30^{\circ}) -\dfrac12 \\ & = \sin (2A + 30^{\circ}) -\dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa
$$2 \sin A \cos (A + 30^{\circ}) = \sin(2A + 30^{\circ}) -\dfrac12.$$
Soal Nomor 30
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4} + A\right) \cos \left(\dfrac{3\pi}{4} -A \right) = -1 +\sin 2A$$
Gunakan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} 2 \cos A \cos B & = \cos (A+B) + \cos (A-B) \\ \sin x & = \cos (90^{\circ} -x) = \cos (x -90^{\circ}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} & 2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4} + A\right) \cos \left(\dfrac{3\pi}{4}- A \right) \\ & = \cos \left(\left(\dfrac{\pi}{4}+A\right) + \left(\dfrac{3\pi}{4}- A\right)\right) \\ & + \cos \left(\left(\dfrac{\pi}{4} + A\right) -\left(\dfrac{3\pi}{4} – A\right)\right) \\ & = \cos \pi + \cos \left(-\dfrac{\pi}{2} + 2A\right) \\ & = -1 + \sin 2A \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $$2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4} + A\right) \cos \left(\dfrac{3\pi}{4} -A \right) = -1 +\sin 2A.$$
Soal Nomor 31
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$\begin{aligned} \sin^4 x -\cos^4 x & = 1 -2(\sin x \cos x)^2\\ & -2 \cos^4 x \end{aligned}$
Gunakan identitas Pythagoras berikut.
$\boxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$
Pembuktian dari ruas kanan:
$$\begin{aligned} & 1 -2(\sin x \cos x)^2 – 2 \cos^4 x \\ & = 1 -2 \sin^2 x \cos^2 x -2 \cos^4 x \\ & = (\sin^2 x + \cos^2 x) -2(1- \cos^2 x)(\cos^2 x) -2 \cos^4 x \\ & = (\sin^2 x + \cos^2 x) -2 \cos^2 x + \cancel{2 \cos^4 x -2 \cos^4 x} \\ & = \sin^2 x -\cos^2 x \\ & = (\sin^2 x -\cos^2 x)(1) \\ & = (\sin^2 x -\cos^2 x) (\sin^2 x + \cos^2 x) \\ & = \sin^4 x -\cos^4 x \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\sin^4 x -\cos^4 x = 1 -2(\sin x \cos x)^2-2 \cos^4 x.$$
Soal Nomor 32
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x + \sin^6 x = 1$$
Gunakan hasil penjabaran binomial berpangkat tiga dan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} (a+b)^3 & = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kanan:
$$\begin{aligned} 1 & = 1^3 \\ & = (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 \\ & = \sin^6 x + \cos^6 x + 3 \sin^4 x \cos^2 x + 3 \sin^2 x \cos^4 x \\ & = \sin^6 x + \cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x(\sin^2 x + \cos^2 x) \\ & = \sin^6 x + \cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x(1) \\ & = \cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x + \sin^6 x \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x + \sin^6 x = 1.$
Soal Nomor 33
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\dfrac{\tan x-\sin x}{\sin^3 x} = \dfrac{1}{\cos x(1 + \cos x)}$$
Gunakan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x}{\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$$\begin{aligned} \dfrac{\tan x-\sin x}{\sin^3 x} & = \dfrac{\dfrac{\sin x}{\cos x}- \sin x}{\sin^3 x} \times \color{red}{\dfrac{\cos x}{\cos x}} \\ & = \dfrac{\sin x -\sin x \cos x}{\sin^3 x \cos x} \\ & = \dfrac{\cancel{\sin x}(1 -\cos x)}{\cancelto{\sin^2 x}{\sin^3 x} \cos x} \\ & = \dfrac{1-\cos x}{\sin^2 x \cos x} \\ & = \dfrac{1- \cos x}{(1 -\cos^2 x) \cos x} \\ & = \dfrac{\cancel{1- \cos x}}{\cancel{(1 -\cos x)}(1 + \cos x)\cos x} \\ & = \dfrac{1}{\cos x(1 + \cos x)} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{\tan x- \sin x}{\sin^3 x} = \dfrac{1}{\cos x(1 + \cos x)}.$
Soal Nomor 34
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\begin{aligned} & \dfrac{\cot x-\tan x}{(\cos x-\sin x)(\cot x+\tan x)} \\ & = \sin x + \cos x \end{aligned}$$
Gunakan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x}{\cos x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \cot x & = \dfrac{\cos x}{\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$$Pembuktian dari ruas kiri:
$\begin{aligned} & \dfrac{\cot x-\tan x}{(\cos x-\sin x)(\cot x+\tan x)} \\ & = \dfrac{\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}}{(\cos x-\sin x)\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}+ \dfrac{\sin x}{\cos x}\right)} \\ & = \dfrac{\dfrac{cos^2 x- \sin^2 x}{\cancel{\sin x \cos x}}}{(\cos x-\sin x)\left(\dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cancel{\sin x \cos x}}\right)} \\ & = \dfrac{\cos^2 x- \sin^2 x}{(\cos x-\sin x)(\sin^2 x + \cos^2 x)} \\ & = \dfrac{(\cos x + \sin x)\cancel{(\cos x- \sin x)}}{\cancel{(\cos x-\sin x)}(1)} \\ & = \sin x + \cos x \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa $$\dfrac{\cot x-\tan x}{(\cos x-\sin x)(\cot x+\tan x)} = \sin x + \cos x.$$
Soal Nomor 35
Buktikan identitas trigonometri berikut.
$$\dfrac{(\tan x-1)(\tan x + \cot x)}{\tan x- \cot x} = \dfrac{\tan^2 x+1}{\tan x +1}$$
Gunakan identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\tan x \cot x = 1~~~~~(\text{Identitas Kebalikan})}$$Pembuktian dari ruas kanan:
$$\begin{aligned} \dfrac{\tan^2 x +1}{\tan x +1} & = \dfrac{\tan^2 x + \tan x \cot x}{\tan x + \tan x \cot x} \\ & = \dfrac{\cancel{\tan x}(\tan x + \cot x)}{\cancel{\tan x}(1 + \cot x)} \\ & = \dfrac{\tan x + \cot x}{1+\cot x} \times \color{red}{\dfrac{\tan x-\cot x}{\tan x-\cot x}} \\ & = \dfrac{(\tan x + \cot x)(\tan x -\cot x)}{(\tan x-\cot x)(1+\cot x)} \times \color{blue}{\dfrac{\tan x- 1}{\tan x-1}} \\ & = \dfrac{(\tan x + \cot x)(\tan x-\cot x)(\tan x-1)}{(\tan x-\cot x)(\tan x \cancel{-1 + \tan x \cos x} -\cot x)} \\ & = \dfrac{(\tan x + \cot x)\cancel{(\tan x-\cot x)}(\tan x-1)}{(\tan x-\cot x)\cancel{(\tan x – \cot x)}} \\ & = \dfrac{(\tan x -1)(\tan x + \cot x)}{\tan x-\cot x} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\dfrac{(\tan x-1)(\tan x + \cot x)}{\tan x- \cot x} = \dfrac{\tan^2 x+1}{\tan x +1}.$$
Soal Nomor 36
Buktikan bahwa $\sin^6 A + \cos^6 A + \dfrac34 \sin^2 2A = 1$.
Pada perpangkatan kubik, berlaku
$$\begin{aligned} (a+b)^3 & = a^3+b^3+3a^2b+3ab^2 \\ \Rightarrow (a^2 + b^2)^3 & = a^6 + b^6+3a^4b^2+3a^2b^4 \\ & =a^6+b^6+3a^2b^2(a^2+b^2) \end{aligned}$$Gunakan fakta ini beserta identitas trigonometri berikut untuk membuktikan pernyataan di atas.
$\boxed{\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 \\ \sin 2x & = 2 \sin x \cos x \end{aligned}}$
Dengan demikian, dari ruas kiri kita akan
mendapatkan
$$\begin{aligned} &\sin^6 A + \cos^6 A + \dfrac34 \sin^2 2A \\ & = (\sin^2 A + \cos^2 A)^3-3 \sin^2 A \cos^2 A(\sin^2 A + \cos^2 A)+\dfrac34((2 \sin A \cos A)^2) \\ & = 1^3-3 \sin^2 A \cos^2 A(1) + \dfrac{3}{\cancel{4}}(\cancel{4} \sin^2 A \cos^2 A) \\ & = 1-\cancel{3 \sin^2 A \cos^2 A}+\cancel{3 \sin^2 A \cos^2 A} \\ & = 1 \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $\sin^6 A + \cos^6 A + \dfrac34 \sin^2 2A = 1.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Penerapan Identitas Trigonometri
Soal Nomor 37
Buktikan bahwa $$\sqrt{\sin^4 x + 4 \cos^2 x}-\sqrt{\cos^4 x + 4 \sin^2 x} = \cos 2x.$$
Perhatikan bahwa $-1 \le \sin x \le 1$ dan $-1 \le \cos x \le 1$ sehingga $\sin^2 x \le 1$, begitu juga bahwa $\cos^2 x \le 1$.
Identitas trigonometri yang dipakai:
$$\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pythagoras}) \\ \cos^2 x-\sin^2 x & = \cos 2x && (\text{Identitas Sudut Ganda}) \end{aligned}$$Pembuktian dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} & \sqrt{\sin^4 x + 4 \cos^2 x}-\sqrt{\cos^4 x + 4 \sin^2 x} \\ & = \sqrt{\sin^4 x + 4 (1-\sin^2 x)}-\sqrt{\cos^4 x + 4 (1-\cos^2 x)} \\ & = \sqrt{\sin^4 x-4 \sin^2 x + 4}-\sqrt{\cos^4 x-4 \cos^2 x + 4} \\ & = \sqrt{(\sin^2 x-2)^2} -\sqrt{(\cos^2 x-2)^2} \\ & = |\sin^2 x-2|-|\cos^2 x-2| \\ & = -(\sin^2 x-2)+(\cos^2 x-2) && (\sin^2 x \le 1; \cos^2 x \le 1) \\ & = \cos^2 x-\sin^2 x = \cos 2x \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$\sqrt{\sin^4 x + 4 \cos^2 x}-\sqrt{\cos^4 x + 4 \sin^2 x} = \cos 2x.$$