Tag: Sudut Istimewa

Panjang $OA = r$ merupakan panjang hipotenusa suatu segitiga siku-siku yang sisinya pada sumbu koordinat sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} OA = r & = \sqrt{(-6)^2+8^2} \\ & = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10. \end{aligned}$
Karena $\alpha$ berada di kuadran II, maka kosinus sudut alfa bernilai negatif sehingga
$\cos \alpha = -\dfrac{x}{r} = -\dfrac{6}{10} = -\dfrac35.$
Jadi, nilai $\boxed{\cos \alpha = -\dfrac35}.$ 
(Jawaban D)

Untuk kuadran 3, berlaku hubungan relasi sudut:
$\begin{aligned} \sin (180^{\circ} + \alpha) & =-\sin \alpha \\ \cos (180^{\circ} + \alpha) & = -\cos \alpha \\ \tan (180^{\circ} + \alpha) & = \tan \alpha \end{aligned}$
Jadi, perbandingan trigonometri yang senilai dengan $\cos (180^{\circ} + \alpha)$ adalah $\boxed{-\cos \alpha}$
(Jawaban D)

Dengan memasukkan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewanya, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{\sin 60^{\circ}}{1 + \cos 60^{\circ}} & = \dfrac{\frac12\sqrt3}{1 + \frac12} \\ & = \dfrac{\frac{1}{\cancel{2}} \sqrt3}{\frac{3}{\cancel{2}}} \\ & = \dfrac{1}{3}\sqrt3 \end{aligned}$
Bentuk yang nilainya setara dengan $\dfrac13\sqrt3$ adalah $\boxed{\tan 30^{\circ}}.$
(Jawaban B)

Konversi radian ke derajat:
$\boxed{a~\text{rad} = a \times \dfrac{180^{\circ}} {\pi}}.$
Untuk itu, 
$\begin{aligned} & \dfrac23\pi = \dfrac23\pi \times \dfrac{180^{\circ}} {\pi} = 120^{\circ} \\ & \dfrac73\pi = \dfrac73\pi \times \dfrac{180^{\circ}} {\pi} = 420^{\circ} \end{aligned}$
Dengan demikian, 
$\begin{aligned} & \sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi \\ & = \sin 120^{\circ} + \sin 420^{\circ} \\ & = \sin (180-60)^{\circ} + \sin (360+60)^{\circ} \\ & = \sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ} \\ & = \dfrac12\sqrt3 +\dfrac12\sqrt3 = \sqrt3 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin \dfrac23\pi + \sin \dfrac73 \pi = \sqrt3}.$
(Jawaban E)

Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri sudut berelasi, diperoleh
$\begin{aligned} & \dfrac{\sin 150^{\circ} + \sin 120^{\circ}}{\cos 210^{\circ}- \cos 300^{\circ}} \\ & = \dfrac{\sin (180-30)^{\circ} + \sin (180-60)^{\circ}}{\cos (180 + 30)^{\circ} -\cos (360 -60)^{\circ}} \\ & = \dfrac{\sin 30^{\circ} + \sin 60^{\circ}}{-\cos 30^{\circ} -\cos 60^{\circ}} \\ & = \dfrac{\dfrac12 + \dfrac12\sqrt3}{-\dfrac12\sqrt3- \dfrac12} \\ & = \dfrac{\cancel{\dfrac12 + \dfrac12\sqrt3}}{-\cancel{\left(\dfrac12\sqrt3 + \dfrac12\right)}} = -1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{\sin 150^{\circ} + \sin 120^{\circ}}{\cos 210^{\circ} – \cos 300^{\circ}} = -1}.$
(Jawaban E)

Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri sudut berelasi, diperoleh
$$\begin{aligned} & \cos 330^{\circ} \tan (-315)^{\circ} -\sin (-210^{\circ}) \cot 330^{\circ} \\ & = \cos (360 -30)^{\circ} (-\tan (360-45)^{\circ}) -(-\sin (180+30)^{\circ}) \cot (360-30)^{\circ} \\ & = -\cos 30^{\circ} (-\tan 45^{\circ}) -\sin 30^{\circ}(-\cot 30^{\circ}) \\ & = \cos 30^{\circ} \tan 45^{\circ} + \sin 30^{\circ} \cot 30^{\circ} \\ & = \dfrac12\sqrt3 \times 1 + \dfrac12 \times \sqrt3 = \sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\cos 330^{\circ} \tan (-315)^{\circ} – \sin (-210^{\circ}) \cot 330^{\circ} = \sqrt3}.$$(Jawaban D)

Karena $\alpha = \dfrac{3\pi}{4}$, maka
$\begin{aligned} \sin \alpha & = \sin \dfrac{3\pi}{4} = \sin 135^{\circ} \\ & = \sin (180-45)^{\circ} \\ & = \sin 45^{\circ} = \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \cos \alpha & = \cos \dfrac{3\pi}{4} = \cos 135^{\circ} \\ & = \cos (180-45)^{\circ} \\ & = -\cos 45^{\circ} = -\dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$
Dengan demikian, pernyataan yang benar adalah
$$\boxed{\sin \alpha + \cos \alpha = \dfrac12\sqrt2 + \left(-\dfrac12\sqrt2\right) = 0}.$$(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $\alpha$ berada di kuadran III sehingga tangen sudutnya bernilai positif, sedangkan sinus sudutnya bernilai negatif.
Karena $\tan \alpha = \dfrac34$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $3$, sedangkan panjang sisi samping sudutnya $4$ (tan = de/sa) seperti gambar berikut.

Dengan demikian,  $\text{mi} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25}=5.$
Untuk itu,  $\sin \alpha = -\dfrac{\text{de}} {\text{mi}} = -\dfrac{3}{5}.$
(Sinus sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran III)
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin \alpha =-\dfrac35}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $\theta$ berada di kuadran II sehingga sinus sudutnya bernilai positif, sedangkan kosinus sudutnya bernilai negatif.
Karena $\sin \theta = \dfrac56$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $5$, sedangkan panjang sisi miring/hipotenusanya $6$ (sin = de/mi) seperti gambar berikut.
Dengan demikian,  $\text{sa} = \sqrt{6^2-5^2} = \sqrt{36-25}=\sqrt{11}.$
Untuk itu, 
$\cos \theta = -\dfrac{\text{sa}} {\text{mi}} = -\dfrac{\sqrt{11}}{6} = -\frac16\sqrt{11}$
(kosinus sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran II)
Jadi, nilai dari $\boxed{\cos \theta = -\frac16\sqrt{11}}.$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena panjang sisi yang diketahui adalah $BC$ (sisi depan sudut) dan panjang sisi yang ditanyakan adalah $AC$ (sisi miring), maka perbandingan trigonometri yang digunakan adalah sinus (de/mi).
$\begin{aligned} \sin 30^{\circ} & = \dfrac{BC}{AC} \\ \dfrac12 & = \dfrac{6}{AC} \\ AC & = 6 \times \dfrac21 = 12~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{AC = 12~\text{cm}}.$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri sudut berelasi, diperoleh
$\begin{aligned} & \sin \left(\dfrac{\pi}{2} + 2x\right) + \sin \left(\dfrac{\pi}{2} – 2x\right) \\ & = \sin (90^{\circ} + 2x) + \sin (90^{\circ} – 2x) \\ & = \cos 2x + \cos 2x = 2 \cos 2x \end{aligned}$
(Jawaban B)

Persamaan $x+y+z=180^{\circ}$ ekuivalen dengan $y+z=180^{\circ}-x$ sehingga
$\begin{aligned} \sin \dfrac12(y+z) & = \sin \dfrac12(180^{\circ} -x) \\ & = \sin \left(90 -\dfrac12x\right) \\ & = \cos \dfrac12x \end{aligned}$
Jadi, bentuk $\sin \dfrac12(y+z)$ setara dengan $\boxed{\cos \dfrac12x}.$
(Jawaban E)

Besarnya tiga sudut dalam segitiga bila dijumlahkan selalu $180^{\circ}$.
Pada segitiga $ABC$, berlaku
$\begin{aligned} A + B + C & = 180^{\circ} \\ &  \Leftrightarrow A + B & = 180^{\circ} -C. \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} \cot (A + B) & = \cot (180^{\circ} -C) \\ & = -\cot C. \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{\cot(A+B) = -\cot C}.$
(Jawaban E)

Diketahui bahwa $\sin \alpha = \dfrac13\sqrt3 = \dfrac{\sqrt3}{3}.$
Karena sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap panjang sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku, maka dapat dimisalkan bahwa masing-masing darinya adalah $\text{de} = \sqrt3$ dan $\text{mi} = 3$ sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, panjang sisi samping sudutnya adalah
$\begin{aligned} \text{sa} & = \sqrt{(\text{mi})^2-(\text{de})^2} \\ & = \sqrt{(3)^2 – (\sqrt3)^2} \\ & = \sqrt{9-3} = \sqrt6. \end{aligned}$
Karena $\alpha$ sudut lancip, maka semua perbandingan trigonometri bernilai positif.
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} \tan \left(\dfrac{\pi}{2} – \alpha\right) + 3 \cos \alpha & = \tan (90^{\circ} -\alpha) + 3 \cos \alpha \\ & = \cot \alpha + 3 \cos \alpha \\ & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} + 3 \times \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} \\ & = \dfrac{\sqrt6}{\sqrt3} + \cancel{3} \times \dfrac{\sqrt6}{\cancel{3}} \\ & = \sqrt2 + \sqrt6 \\ & = \sqrt6 + \sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\tan \left(\dfrac{\pi}{2} -\alpha\right) + 3 \cos \alpha = \sqrt6 + \sqrt2}.$
(Jawaban C)

Diketahui bahwa $\tan \alpha = \dfrac12$.
Karena tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap panjang sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku, maka dapat dimisalkan bahwa masing-masing darinya adalah $\text{de} = 1$ dan $\text{sa} = 3$ sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, panjang sisi miring (hipotenusa) adalah
$\begin{aligned} \text{mi} & = \sqrt{(\text{de})^2+(\text{sa})^2} \\ & = \sqrt{(1)^2 + (2)^2} \\ & = \sqrt{1+4} = \sqrt5. \end{aligned}$
Karena $\alpha$ sudut lancip, maka semua perbandingan trigonometri bernilai positif.
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} & 2 \sin \alpha -\sin \left(\alpha + \dfrac{\pi}{2}\right) + \cos (\pi -\alpha) \\ & = 2 \sin \alpha -\sin \left(\alpha + 90^{\circ}\right) + \cos (180^{\circ}- \alpha) \\ & = 2 \sin \alpha -\cos \alpha -\cos \alpha \\ & = 2 \sin \alpha -2 \cos \alpha \\ & = 2\left(\sin \alpha-\cos \alpha\right) \\ & = 2 \left(\dfrac{\text{de}}{\text{mi}} -\dfrac{\text{sa}}{\text{mi}}\right) \\ & = 2\left(\dfrac{1}{\sqrt5} -\dfrac{2}{\sqrt5}\right) = -\dfrac{2}{\sqrt5} = -\dfrac25\sqrt5. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{2 \sin \alpha -\sin \left(\alpha + \dfrac{\pi}{2}\right) + \cos (\pi -\alpha) = -\dfrac25\sqrt5}.$$(Jawaban D)

Pada segitiga siku-siku $ABC$, berlaku
$\cos \theta = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AB}{p} \Leftrightarrow AB = p \cos \theta.$
Pada segitiga siku-siku $ABD$, berlaku
$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{AD}{AB} \\ AD & = AB \cos \theta \\ & = (p \cos \theta) \cos \theta = p \cos^2 \theta. \end{aligned}$
Pada segitiga siku-siku $ADE$, berlaku
$\begin{aligned} \sin \theta & = \dfrac{DE}{AD} \\ DE & = AD \sin \theta \\ & = (p \cos^2 \theta) \sin \theta = p \sin \theta \cos^2 \theta. \end{aligned}$
Jadi, panjang $\boxed{DE = p \sin \theta \cos^2 \theta}.$
(Jawaban C)

Diketahui bahwa
$\begin{aligned} 1~\text{rad} & \approx 57,\!3^{\circ} \\ 2~\text{rad} & \approx 114,\!6^{\circ} \\ 3~\text{rad} & \approx 171,\!9^{\circ}. \end{aligned}$
Ini berarti,
$$\begin{aligned} \sin 1 & \approx \sin 57,\!3^{\circ} \\ \sin 2 & \approx \sin 114,\!6^{\circ} = \sin (180-65,\!4)^{\circ} = \sin 65,\!4^{\circ} \\ \sin 3 & \approx \sin 171,\!9^{\circ} = \sin (180-8,\!1)^{\circ} = \sin 8,\!1^{\circ}. \end{aligned}$$Pada kuadran I, semakin besar sudutnya, maka nilai perbandingan sinus semakin besar menuju $1$. Dengan demikian, urutan nilainya bila ditulis dalam bentuk ketaksamaan adalah $\sin 8,1^{\circ} < \sin 57,3^{\circ} < \sin 65,4^{\circ}$ atau dalam satuan radian ditulis $\boxed{\sin 3 < \sin 1 < \sin 2}.$
(Jawaban E)

Dengan menggunakan konsep relasi sudut pada perbandingan trigonometri,
$\boxed{\begin{aligned} \cot x & = \tan (90^{\circ} -x) \\ \sin x & = \cos (90^{\circ} -x) \end{aligned}},$
diperoleh
$$\begin{aligned} & \tan 25^{\circ} \cdot \tan 65^{\circ} -\dfrac{\sin 25^{\circ}}{\cos 65^{\circ}} \\ & = \tan 25^{\circ} \cdot \tan (90^{\circ}-25^{\circ})-\dfrac{\sin 25^{\circ}}{\cos (90^{\circ}-25^{\circ})} \\ & = \tan 25^{\circ} \cdot \cot 25^{\circ} -\dfrac{\sin 25^{\circ}}{\sin 25^{\circ}} \\ & = 1 -1 = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\tan 25^{\circ} \cdot \tan 65^{\circ}- \dfrac{\sin 25^{\circ}}{\cos 65^{\circ}} = 0}.$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan konsep relasi sudut pada perbandingan trigonometri,
$\boxed{\begin{aligned} \sin (90^{\circ}- x) & = \cos x \\ \cot (90^{\circ} + x) & = -\tan x \\ \cos (180^{\circ} – x) & = -\cos x \\ \sin (180^{\circ}+x) & = -\sin x \end{aligned}},$
diperoleh
$$\begin{aligned} & \cos 110^{\circ} \cdot \cot 160^{\circ} + \sin 200^{\circ} \\ & = \cos (180^{\circ}-70^{\circ}) \cdot \cot (90^{\circ} + 70^{\circ}) + \sin (180^{\circ}+20^{\circ}) \\ & = (-\cos 70^{\circ})(-\tan 70^{\circ})-\sin 20^{\circ} \\ & = \cancel{\cos 70^{\circ}} \cdot \dfrac{\sin 70^{\circ}}{\cancel{\cos 70^{\circ}}} -\sin (90^{\circ}-70^{\circ}) \\ & = \sin 70^{\circ}- \cos 70^{\circ} = p-q \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\cos 110^{\circ} \cdot \cot 160^{\circ} + \sin 200^{\circ} = p-q}.$
(Jawaban A)

Jawaban a)
Karena segitiga $DEF$ siku-siku di $F$, maka besar sudut $F = 90^{\circ}$ sehingga
$\begin{aligned} \cos (D + F) & = p \\ \cos (D + 90^{\circ}) & = p \\ -\sin D & = p \\ \sin D & = -p \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\sin D = -p}.$
Jawaban b)
Jumlah sudut pada segitiga adalah $180^{\circ}$. Dengan kata lain, ditulis
$\begin{aligned} D + E +F & = 180^{\circ} \\  \Leftrightarrow E & = 180^{\circ} -D -F \end{aligned}$
Karena besar sudut $F = 90^{\circ}$, maka $E = 90^{\circ} -D$ sehingga
$\cos E = \cos (90^{\circ} -D) = \sin D = -p.$
Jadi, nilai dari $\boxed{\cos E = -p}..$

Pada segitiga siku-siku $ABD$, panjang $AD$ dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan trigonometri kosinus.
$\begin{aligned} \cos 45^{\circ} & = \dfrac{AB}{BD} \\ \dfrac12\sqrt2 & = \dfrac{10}{BD} \\ BD & = 10 \times \dfrac{2}{\sqrt2} = 10\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Pada segitiga siku-siku $BCD$, panjang $CD$ juga dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan trigonometri kosinus.
$\begin{aligned} \cos 60^{\circ} & = \dfrac{CD}{BD} \\ \dfrac12 & = \dfrac{CD}{10\sqrt2} \\ CD & = 10\sqrt2 \times \dfrac12 = 5\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang $\boxed{CD = 5\sqrt2~\text{cm}}.$