Tag: Sudut Istimewa

Panjang $OA=r$ merupakan panjang hipotenusa suatu segitiga siku-siku yang sisinya pada sumbu koordinat sehingga dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{array}{rl}OA=r& =\sqrt{(-6{)}^2+8^2}\\ & =\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.\end{array}$
Karena $\alpha$ berada di kuadran II, maka kosinus sudut alfa bernilai negatif sehingga
$\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{x}{r}}=-{\displaystyle \frac{6}{10}}=-{\displaystyle \frac{3}{5}}.$
Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle \cos \alpha =-{\displaystyle \frac{3}{5}}}}.$ 
(Jawaban D)

Untuk kuadran 3, berlaku hubungan relasi sudut:
$\begin{array}{rl}\sin ({180}^{\circ }+\alpha )& =-\sin \alpha \\ \cos ({180}^{\circ }+\alpha )& =-\cos \alpha \\ \tan ({180}^{\circ }+\alpha )& =\tan \alpha \end{array}$
Jadi, perbandingan trigonometri yang senilai dengan $\cos ({180}^{\circ }+\alpha )$ adalah $\boxed{{\displaystyle -\cos \alpha }}$
(Jawaban D)

Dengan memasukkan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewanya, diperoleh
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\sin {60}^{\circ }}{1+\cos {60}^{\circ }}}& ={\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\frac{1}{\cancel{2}}\sqrt{3}}{\frac{3}{\cancel{2}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{3}\end{array}$
Bentuk yang nilainya setara dengan ${\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{3}$ adalah $\boxed{{\displaystyle \tan {30}^{\circ }}}.$
(Jawaban B)

Konversi radian ke derajat:
$\boxed{{\displaystyle a\text{rad}=a\times {\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{\pi }}}}.$
Untuk itu, 
$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi ={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \times {\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{\pi }}={120}^{\circ }\\ & {\displaystyle \frac{7}{3}}\pi ={\displaystyle \frac{7}{3}}\pi \times {\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{\pi }}={420}^{\circ }\end{array}$
Dengan demikian, 
$\begin{array}{rl}& \sin {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi +\sin {\displaystyle \frac{7}{3}}\pi \\ & =\sin {120}^{\circ }+\sin {420}^{\circ }\\ & =\sin (180-60{)}^{\circ }+\sin (360+60{)}^{\circ }\\ & =\sin {60}^{\circ }+\sin {60}^{\circ }\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}=\sqrt{3}\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle \sin {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi +\sin {\displaystyle \frac{7}{3}}\pi =\sqrt{3}}}.$
(Jawaban E)

Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri sudut berelasi, diperoleh
$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{\sin {150}^{\circ }+\sin {120}^{\circ }}{\cos {210}^{\circ }-\cos {300}^{\circ }}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sin (180-30{)}^{\circ }+\sin (180-60{)}^{\circ }}{\cos (180+30{)}^{\circ }-\cos (360-60{)}^{\circ }}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sin {30}^{\circ }+\sin {60}^{\circ }}{-\cos {30}^{\circ }-\cos {60}^{\circ }}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\cancel{{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}}}{-\cancel{({\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{1}{2}})}}}=-1\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{\sin {150}^{\circ }+\sin {120}^{\circ }}{\cos {210}^{\circ }–\cos {300}^{\circ }}}=-1}}.$
(Jawaban E)

Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri sudut berelasi, diperoleh
$$\begin{array}{rl}& \cos {330}^{\circ }\tan (-315{)}^{\circ }-\sin (-{210}^{\circ })\cot {330}^{\circ }\\ & =\cos (360-30{)}^{\circ }(-\tan (360-45{)}^{\circ })-(-\sin (180+30{)}^{\circ })\cot (360-30{)}^{\circ }\\ & =-\cos {30}^{\circ }(-\tan {45}^{\circ })-\sin {30}^{\circ }(-\cot {30}^{\circ })\\ & =\cos {30}^{\circ }\tan {45}^{\circ }+\sin {30}^{\circ }\cot {30}^{\circ }\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{3}\times 1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times \sqrt{3}=\sqrt{3}\end{array}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{{\displaystyle \cos {330}^{\circ }\tan (-315{)}^{\circ }–\sin (-{210}^{\circ })\cot {330}^{\circ }=\sqrt{3}}}.$$(Jawaban D)

Karena $\alpha ={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$, maka
$\begin{array}{rl}\sin \alpha & =\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=\sin {135}^{\circ }\\ & =\sin (180-45{)}^{\circ }\\ & =\sin {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}\end{array}$
dan
$\begin{array}{rl}\cos \alpha & =\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=\cos {135}^{\circ }\\ & =\cos (180-45{)}^{\circ }\\ & =-\cos {45}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}\end{array}$
Dengan demikian, pernyataan yang benar adalah
$$\boxed{{\displaystyle \sin \alpha +\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}+(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2})=0}}.$$(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $\alpha$ berada di kuadran III sehingga tangen sudutnya bernilai positif, sedangkan sinus sudutnya bernilai negatif.
Karena $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{3}{4}}$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $3$, sedangkan panjang sisi samping sudutnya $4$ (tan = de/sa) seperti gambar berikut.

Dengan demikian,  $\text{mi}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.$
Untuk itu,  $\sin \alpha =-{\displaystyle \frac{\text{de}}{\text{mi}}}=-{\displaystyle \frac{3}{5}}.$
(Sinus sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran III)
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle \sin \alpha =-{\displaystyle \frac{3}{5}}}}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $\theta$ berada di kuadran II sehingga sinus sudutnya bernilai positif, sedangkan kosinus sudutnya bernilai negatif.
Karena $\sin \theta ={\displaystyle \frac{5}{6}}$, maka bisa dianggap bahwa panjang sisi depan sudutnya $5$, sedangkan panjang sisi miring/hipotenusanya $6$ (sin = de/mi) seperti gambar berikut.
Dengan demikian,  $\text{sa}=\sqrt{6^2-5^2}=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}.$
Untuk itu, 
$\cos \theta =-{\displaystyle \frac{\text{sa}}{\text{mi}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{6}}=-\frac{1}{6}\sqrt{11}$
(kosinus sudut bernilai negatif ketika berada di kuadran II)
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle \cos \theta =-\frac{1}{6}\sqrt{11}}}.$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena panjang sisi yang diketahui adalah $BC$ (sisi depan sudut) dan panjang sisi yang ditanyakan adalah $AC$ (sisi miring), maka perbandingan trigonometri yang digunakan adalah sinus (de/mi).
$\begin{array}{rl}\sin {30}^{\circ }& ={\displaystyle \frac{BC}{AC}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& ={\displaystyle \frac{6}{AC}}\\ AC& =6\times {\displaystyle \frac{2}{1}}=12\text{cm}\end{array}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{{\displaystyle AC=12\text{cm}}}.$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri sudut berelasi, diperoleh
$\begin{array}{rl}& \sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2x)+\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}–2x\right)\\ & =\sin ({90}^{\circ }+2x)+\sin ({90}^{\circ }–2x)\\ & =\cos 2x+\cos 2x=2\cos 2x\end{array}$
(Jawaban B)

Persamaan $x+y+z={180}^{\circ }$ ekuivalen dengan $y+z={180}^{\circ }-x$ sehingga
$\begin{array}{rl}\sin {\displaystyle \frac{1}{2}}(y+z)& =\sin {\displaystyle \frac{1}{2}}({180}^{\circ }-x)\\ & =\sin (90-{\displaystyle \frac{1}{2}}x)\\ & =\cos {\displaystyle \frac{1}{2}}x\end{array}$
Jadi, bentuk $\sin {\displaystyle \frac{1}{2}}(y+z)$ setara dengan $\boxed{{\displaystyle \cos {\displaystyle \frac{1}{2}}x}}.$
(Jawaban E)

Besarnya tiga sudut dalam segitiga bila dijumlahkan selalu ${180}^{\circ }$.
Pada segitiga $ABC$, berlaku
$\begin{array}{rl}A+B+C& ={180}^{\circ }\\ & \iff A+B& ={180}^{\circ }-C.\end{array}$
Dengan demikian,
$\begin{array}{rl}\cot (A+B)& =\cot ({180}^{\circ }-C)\\ & =-\cot C.\end{array}$
Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle \cot (A+B)=-\cot C}}.$
(Jawaban E)

Diketahui bahwa $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{3}}\sqrt{3}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}.$
Karena sinus sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap panjang sisi miring (hipotenusa) pada suatu segitiga siku-siku, maka dapat dimisalkan bahwa masing-masing darinya adalah $\text{de}=\sqrt{3}$ dan $\text{mi}=3$ sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, panjang sisi samping sudutnya adalah
$\begin{array}{rl}\text{sa}& =\sqrt{(\text{mi}{)}^2-(\text{de}{)}^2}\\ & =\sqrt{(3{)}^2–(\sqrt{3}{)}^2}\\ & =\sqrt{9-3}=\sqrt{6}.\end{array}$
Karena $\alpha$ sudut lancip, maka semua perbandingan trigonometri bernilai positif.
Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}\tan \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}–\alpha \right)+3\cos \alpha & =\tan ({90}^{\circ }-\alpha )+3\cos \alpha \\ & =\cot \alpha +3\cos \alpha \\ & ={\displaystyle \frac{\text{sa}}{\text{de}}}+3\times {\displaystyle \frac{\text{sa}}{\text{mi}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}}+\cancel{3}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{\cancel{3}}}\\ & =\sqrt{2}+\sqrt{6}\\ & =\sqrt{6}+\sqrt{2}.\end{array}$$Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle \tan ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )+3\cos \alpha =\sqrt{6}+\sqrt{2}}}.$
(Jawaban C)

Diketahui bahwa $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
Karena tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap panjang sisi samping sudut pada suatu segitiga siku-siku, maka dapat dimisalkan bahwa masing-masing darinya adalah $\text{de}=1$ dan $\text{sa}=3$ sehingga dengan menggunakan Teorema Pythagoras, panjang sisi miring (hipotenusa) adalah
$\begin{array}{rl}\text{mi}& =\sqrt{(\text{de}{)}^2+(\text{sa}{)}^2}\\ & =\sqrt{(1{)}^2+(2{)}^2}\\ & =\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.\end{array}$
Karena $\alpha$ sudut lancip, maka semua perbandingan trigonometri bernilai positif.
Dengan demikian,
$$\begin{array}{rl}& 2\sin \alpha -\sin (\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})+\cos (\pi -\alpha )\\ & =2\sin \alpha -\sin (\alpha +{90}^{\circ })+\cos ({180}^{\circ }-\alpha )\\ & =2\sin \alpha -\cos \alpha -\cos \alpha \\ & =2\sin \alpha -2\cos \alpha \\ & =2(\sin \alpha -\cos \alpha )\\ & =2({\displaystyle \frac{\text{de}}{\text{mi}}}-{\displaystyle \frac{\text{sa}}{\text{mi}}})\\ & =2({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}})=-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}=-{\displaystyle \frac{2}{5}}\sqrt{5}.\end{array}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{{\displaystyle 2\sin \alpha -\sin (\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{2}})+\cos (\pi -\alpha )=-{\displaystyle \frac{2}{5}}\sqrt{5}}}.$$(Jawaban D)

Pada segitiga siku-siku $ABC$, berlaku
$\cos \theta ={\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{AB}{p}}\iff AB=p\cos \theta .$
Pada segitiga siku-siku $ABD$, berlaku
$\begin{array}{rl}\cos \theta & ={\displaystyle \frac{AD}{AB}}\\ AD& =AB\cos \theta \\ & =(p\cos \theta )\cos \theta =p{\cos }^2\theta .\end{array}$
Pada segitiga siku-siku $ADE$, berlaku
$\begin{array}{rl}\sin \theta & ={\displaystyle \frac{DE}{AD}}\\ DE& =AD\sin \theta \\ & =(p{\cos }^2\theta )\sin \theta =p\sin \theta {\cos }^2\theta .\end{array}$
Jadi, panjang $\boxed{{\displaystyle DE=p\sin \theta {\cos }^2\theta }}.$
(Jawaban C)

Diketahui bahwa
$\begin{array}{rl}1\text{rad}& \approx 57,3^{\circ }\\ 2\text{rad}& \approx 114,6^{\circ }\\ 3\text{rad}& \approx 171,9^{\circ }.\end{array}$
Ini berarti,
$$\begin{array}{rl}\sin 1& \approx \sin 57,3^{\circ }\\ \sin 2& \approx \sin 114,6^{\circ }=\sin (180-65,4{)}^{\circ }=\sin 65,4^{\circ }\\ \sin 3& \approx \sin 171,9^{\circ }=\sin (180-8,1{)}^{\circ }=\sin 8,1^{\circ }.\end{array}$$Pada kuadran I, semakin besar sudutnya, maka nilai perbandingan sinus semakin besar menuju $1$. Dengan demikian, urutan nilainya bila ditulis dalam bentuk ketaksamaan adalah $\sin 8,1^{\circ }<\sin 57,3^{\circ }<\sin 65,4^{\circ }$ atau dalam satuan radian ditulis $\boxed{{\displaystyle \sin 3<\sin 1<\sin 2}}.$
(Jawaban E)

Dengan menggunakan konsep relasi sudut pada perbandingan trigonometri,
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}\cot x& =\tan ({90}^{\circ }-x)\\ \sin x& =\cos ({90}^{\circ }-x)\end{array}}},$
diperoleh
$$\begin{array}{rl}& \tan {25}^{\circ }\cdot \tan {65}^{\circ }-{\displaystyle \frac{\sin {25}^{\circ }}{\cos {65}^{\circ }}}\\ & =\tan {25}^{\circ }\cdot \tan ({90}^{\circ }-{25}^{\circ })-{\displaystyle \frac{\sin {25}^{\circ }}{\cos ({90}^{\circ }-{25}^{\circ })}}\\ & =\tan {25}^{\circ }\cdot \cot {25}^{\circ }-{\displaystyle \frac{\sin {25}^{\circ }}{\sin {25}^{\circ }}}\\ & =1-1=0\end{array}$$Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle \tan {25}^{\circ }\cdot \tan {65}^{\circ }-{\displaystyle \frac{\sin {25}^{\circ }}{\cos {65}^{\circ }}}=0}}.$
(Jawaban C)

Dengan menggunakan konsep relasi sudut pada perbandingan trigonometri,
$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{rl}\sin ({90}^{\circ }-x)& =\cos x\\ \cot ({90}^{\circ }+x)& =-\tan x\\ \cos ({180}^{\circ }–x)& =-\cos x\\ \sin ({180}^{\circ }+x)& =-\sin x\end{array}}},$
diperoleh
$$\begin{array}{rl}& \cos {110}^{\circ }\cdot \cot {160}^{\circ }+\sin {200}^{\circ }\\ & =\cos ({180}^{\circ }-{70}^{\circ })\cdot \cot ({90}^{\circ }+{70}^{\circ })+\sin ({180}^{\circ }+{20}^{\circ })\\ & =(-\cos {70}^{\circ })(-\tan {70}^{\circ })-\sin {20}^{\circ }\\ & =\cancel{\cos {70}^{\circ }}\cdot {\displaystyle \frac{\sin {70}^{\circ }}{\cancel{\cos {70}^{\circ }}}}-\sin ({90}^{\circ }-{70}^{\circ })\\ & =\sin {70}^{\circ }-\cos {70}^{\circ }=p-q\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle \cos {110}^{\circ }\cdot \cot {160}^{\circ }+\sin {200}^{\circ }=p-q}}.$
(Jawaban A)

Jawaban a)
Karena segitiga $DEF$ siku-siku di $F$, maka besar sudut $F={90}^{\circ }$ sehingga
$\begin{array}{rl}\cos (D+F)& =p\\ \cos (D+{90}^{\circ })& =p\\ -\sin D& =p\\ \sin D& =-p\end{array}$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle \sin D=-p}}.$
Jawaban b)
Jumlah sudut pada segitiga adalah ${180}^{\circ }$. Dengan kata lain, ditulis
$\begin{array}{rl}D+E+F& ={180}^{\circ }\\ \iff E& ={180}^{\circ }-D-F\end{array}$
Karena besar sudut $F={90}^{\circ }$, maka $E={90}^{\circ }-D$ sehingga
$\cos E=\cos ({90}^{\circ }-D)=\sin D=-p.$
Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle \cos E=-p}}..$

Pada segitiga siku-siku $ABD$, panjang $AD$ dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan trigonometri kosinus.
$\begin{array}{rl}\cos {45}^{\circ }& ={\displaystyle \frac{AB}{BD}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}& ={\displaystyle \frac{10}{BD}}\\ BD& =10\times {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}=10\sqrt{2}\text{cm}\end{array}$
Pada segitiga siku-siku $BCD$, panjang $CD$ juga dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan trigonometri kosinus.
$\begin{array}{rl}\cos {60}^{\circ }& ={\displaystyle \frac{CD}{BD}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& ={\displaystyle \frac{CD}{10\sqrt{2}}}\\ CD& =10\sqrt{2}\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=5\sqrt{2}\text{cm}\end{array}$
Jadi, panjang $\boxed{{\displaystyle CD=5\sqrt{2}\text{cm}}}.$