Dalam teori peluang dan statistika, distribusi Poisson (dalam bahasa Indonesia, dibaca seperti Puasong) adalah distribusi peluang diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu jika rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. Sesuai dengan namanya, distribusi peluang ini ditemukan oleh Simeon Denis Poisson (1781–1840).
Distribusi Poisson sebenarnya diperoleh dari distribusi binomial jika dalam distribusi binomial berlaku syarat berikut.
- Banyak pengulangan eksperimennya sangat besar ($n \to \infty$).
- Peluang terjadinya peristiwa yang ditinjau mendekati nol ($p \to 0$).
- Perkalian $n \times p = \lambda$ sehingga haruslah $p = \dfrac{\lambda}{n}$.
Berikut ini akan diberikan penurunan fungsi peluang distribusi Poisson berdasarkan fungsi peluang distribusi binomial menggunakan persyaratan di atas.
$$\begin{aligned} p(x) & = \displaystyle \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \\ & = \dfrac{n!}{x!(n-x)!} \left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^n \left(1 -\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-x} \dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots (n -(x-1))}{x!} \left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^x \left(1 -\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-x} \\ & = \dfrac{n.n\left(1 -\dfrac{1}{n}\right).n\left(1 -\dfrac{2}{n}\right)\cdots n\left(1 -\dfrac{x -1}{n}\right)}{x!} \dfrac{\lambda^x}{n^x} \left(1- \dfrac{\lambda}{n}\right)^n \left(1 -\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ & = \dfrac{n \cdot n^{x-1}}{n^x} \cdot \dfrac{\left(1 -\dfrac{1}{n}\right)\left(1 -\dfrac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\dfrac{x -1}{n}\right)}{x!} \lambda^x \cdot \left(1 -\dfrac{\lambda}{n}\right)^n \left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-x} \end{aligned}$$Limitkan kedua ruas sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \lim p(x) & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n \cdot n^{x-1}}{n^x} \cdot \dfrac{\left(1 -\dfrac{1}{n}\right) \cdot n\left(1 -\dfrac{2}{n}\right)\cdots \left(1 -\dfrac{x -1}{n}\right)}{x!} \lambda^x \cdot \left(1 -\dfrac{\lambda}{n}\right)^n \left(1 -\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ & = \dfrac{\lambda^x}{x!} \lim_{n \to \infty} \left[\left(1 -\dfrac{1}{n}\right)\left(1 -\dfrac{2}{n}\right)\cdots \left(1 -\dfrac{x -1}{n}\right)\left(1 -\dfrac{\lambda}{n}\right)^n\left(1 -\dfrac{\lambda}{n}\right)^{-x} \right]\end{aligned}$$Hitung limitnya satu per satu.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 -\dfrac{1}{n}\right)\left(1- \dfrac{2}{n}\right) \cdots \left(1 -\dfrac{x-1}{n}\right) \\ & = (1-0)(1-0)\cdots(1-0) = 1 \end{aligned}$$Limit berikut merupakan limit barisan Euler.
$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 -\dfrac{\lambda}{n}\right)^n = e^{-\lambda}$$Selanjutnya,
$$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 -\dfrac{\lambda} {n} \right)^{-x} = (1 -0)^{-x} = 1.$$Jadi, akan diperoleh $$\displaystyle \lim_{n \to \infty} p(x) = \dfrac{\lambda^x} {x!}.e^{-\lambda} = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}.$$Dengan demikian, distribusi pendekatannya adalah
$$p(x) = p(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x}; x = 0,1,2,\cdots$$
Baca: Soal dan Pembahasan – Limit Euler
Definisi: Distribusi Poisson
$$p(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}$$untuk suatu bilangan cacah $x.$ Selain itu, nilai $p(X = x) = 0.$ Dalam hal ini, $\lambda$ menyatakan rata-rata keberhasilan percobaan.
Dalam praktiknya, distribusi Poisson akan menjadi distribusi pendekatan yang baik dari distribusi binomial jika dalam distribusi binomial berlaku: $n \geq 100$ dan $np \leq 10$ atau $n \geq 20$ dan $p \leq 0,\!05$ dengan $n$ menyatakan banyaknya percobaan dan $p$ menyatakan peluang terjadinya sukses dalam percobaan itu.
Penulisan notasi dari variabel acak $X$ yang berdistribusi Poisson adalah $X\sim P(x; \lambda)$ atau $X\sim \text{Poi}(x; \lambda)$ artinya variabel acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$.
Teorema: Rata-Rata Variabel Acak yang Berdistribusi Poisson
Rata-rata dari variabel acak yang berdistribusi Poisson adalah $\mu = \lambda.$
Berdasarkan definisi rata-rata dari variabel acak diskret, didapat
$$\begin{aligned} \displaystyle \mu &= E(X) = \sum_{x} x \cdot p(x) \\ & = \sum_{x = 0}^{\infty} x \cdot \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ & = \sum_{x = 1}^{\infty} \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {(x-1)!} \\ & = \sum_{y = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^{y+1}e^{-\lambda}}{y!} \\ & = \lambda \sum_{y = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^ye^{-\lambda}} {y!} \\ & = \lambda(1) = \lambda. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa rata-rata dari variabel acak yang berdistribusi Poisson sama dengan $\lambda.$ $\blacksquare$
Teorema: Varians Variabel Acak yang Berdistribusi Poisson
Varians dari variabel acak yang berdistribusi Poisson adalah $\sigma^2 = \lambda.$
Berdasarkan definisi varians dari variabel acak diskret, didapat
$$\begin{aligned} \sigma^2 & = \text{Var}(X) \\ & = E[X^2] -(E[X]) ^2 \\ & = E[X(X -1) + X]-(E[X])^2 \\ & = E[X(X-1)] + E[X] -(E[X])^2. \end{aligned}$$Berdasarkan definisi ekspektasi, diperoleh
$$\begin{aligned} E[X(X-1)] & = \displaystyle \sum_{x} x(x-1) \cdot p(x) \\ & = \sum_{x = 0}^{\infty} x(x-1) \cdot \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ & = \sum_{x = 2}^{\infty} \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {(x-2)!} \\ & = \sum_{y = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^{y+2}e^{-\lambda}} {y!} \\ & = \lambda^2 \sum_{y = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^ye^{-\lambda}} {y!} \\ & = \lambda^2(1) = \lambda^2. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh $\sigma^2 = \text{Var}(X) = \lambda^2 + \lambda -\lambda^2 = \lambda.$ Jadi, terbukti bahwa varians dari variabel acak yang berdistribusi Poisson sama dengan $\lambda.$ $\blacksquare$
Teorema: Fungsi Pembangkit Momen Variabel Acak Berdistribusi Poisson
Fungsi pembangkit momen dari variabel acak $X$ yang berdistribusi Poisson adalah $M_X(t) = e^{\lambda(e^t -1)}, t \in \mathbb{R}.$
Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen dari variabel acak diskret, diperoleh
$$\begin{aligned} M_X(t) & = \displaystyle \sum_{x} e^{tx} \cdot p(x) \\ & = \sum_{x = 0}^{\infty} e^{tx} \cdot \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ & = e^{-\lambda} \sum_{x = 0}^{\infty} \dfrac{(\lambda e^t)^x} {x!}~~\bigstar \\ & = (e^{-\lambda}) (e^{\lambda e^t}) \\ & = e^{\lambda(e^t – 1)}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa fungsi pembangkit momen dari variabel acak yang berdistribusi Poisson sama dengan $M_X(t) = e^{\lambda(e^t – 1)}.$ $\blacksquare$
Catatan:
$\bigstar$ Gunakan ekspansi dari deret Maclaurin berikut.
$$\boxed{ \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{x^n} {n!} = e^x}$$
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Dua sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Variabel Acak Diskret} & \text{Discrete Random Variable} \\ 2. & \text{Variabel Acak Kontinu} & \text{Continuous Random Variable} \\ 3. & \text{Fungsi Peluang} & \text{Probability Function} \\ 4. & \text{Fungsi Kepadatan Peluang} & \text{Probability Density Function} \\ 5. & \text{Distribusi Peluang} & \text{Probability Distribution} \\ 6. & \text{Fungsi Massa Peluang} & \text{Probability Mass Function} \\ 7. & \text{Distribusi Poisson} & \text{Poisson Distribution} \\ 8. & \text{Rata-Rata} & \text{Mean} \\ 9. & \text{Varians} & \text{Variance} \\ 10. & \text{Fungsi Pembangkit Momen} & \text{Moment Generating Function} \\ 11. & \text{Distribusi Binomial} & \text{Binomial Distribution} \\ 12. & \text{Parameter} & \text{Parameter} \\ \hline \end{array}$$
Berikut ini adalah beberapa contoh soal mengenai penggunaan distribusi Poisson beserta pembahasannya.
Quote by Bertrand Russell
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Binomial
Catatan: Gunakan kalkulator saintifik jika diperlukan.
Soal Nomor 1
Definisikan secara verbal maksud dari $Y \sim \text{Poi}(y; 2)$ dan tuliskan bentuk fungsi peluangnya.
Notasi $Y \sim \text{Poi}(y; 2)$ menyatakan variabel acak $Y$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda = 2.$ Fungsi peluang dari $Y$ berbentuk
$$p(Y = y) = \dfrac{2^ye^{-2}} {y!}; y = 0,1,2,3,\cdots$$
Soal Nomor 2
Misalkan $X$ adalah variabel acak berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda.$ Jika $p(X = 0) = 0,\!2,$ maka nilai dari $p(X = 2)$ adalah $\cdots \cdot$
Fungsi peluang dari distribusi Poisson adalah $$p(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}, x = 0,1,2,3,\cdots$$Langkah pertama adalah menentukan nilai $\lambda$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} p(X = 0) & = 0,\!2 \\ \dfrac{\lambda^0e^{-\lambda}} {0!} & = 0,\!2 \\ e^{-\lambda} & = 0,\!2 \\ \lambda & \approx 1,\!6 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\lambda \approx 1,\!6.$
Selanjutnya, akan dicari nilai dari $p(X = 2)$ sebagai berikut.
$$p(X = 2) \approx \dfrac{(1,6)^2e^{-1,6}} {2!} \approx 0,\!2584.$$
Soal Nomor 3
Suatu penelitian dilakukan di pedalaman Desa $X.$ Hasil penelitian tersebut menunjukkan bahwa rata-rata terdapat $2,\!5$ orang albino dari $175$ orang. Jika $525$ orang diambil sebagai sampel percobaan, tentukan peluang diperolehnya orang yang bukan albino dengan menggunakan pendekatan distribusi Poisson.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyak orang yang bukan albino dari pemilihan $525$ orang. Diketahui rata-rata $\lambda = 2,\!5$ orang albino dari $175$ orang. Jumlah sampel yang diambil sebanyak $525$ orang, yaitu $3$ kali lebih banyak dari populasi semula sehingga rata-rata $\lambda$ sekarang pada populasi $525$ orang adalah $3 \times 2,\!5 = 7,\!5.$
Peluang diperolehnya orang yang bukan albino dari sampel tersebut adalah
$$p(X = 0) = \dfrac{(7,\!5)^0e^{-7,5}} {0!} \approx 0,\!00055.$$
Soal Nomor 4
Diketahui suatu perusahaan biasanya mendapatkan $360$ surel setiap $6$ jam kerja. Tentukan peluang bahwa perusahaan itu mendapatkan setidaknya $2$ surel dalam waktu $10$ menit.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyak surel yang diterima perusahaan dalam waktu $10$ menit. Peluang setidaknya $2$ surel didapat sama dengan jumlah dari peluang mendapatkan $2,3,4,\cdots$ surel, yaitu
$$\begin{aligned} p(X \geq 2) & = p(X = 2) + p(X = 3) + \cdots \\ & = \displaystyle \sum_{x = 2}^{\infty} p(X = x). \end{aligned}$$Manfaatkan bentuk komplemen peluang untuk menghitung peluang yang dimaksud, yaitu
$$\begin{aligned} p(X \geq 2) & = 1 -p(X < 2) \\ & = 1 -(p(X = 0) + p(X = 1)). \end{aligned}$$Karena $6$ jam kerja setara dengan $360$ menit kerja, rata-rata $10$ surel masuk setiap $10$ menit. Jadi, dalam kasus ini, $\lambda = 10.$ Dengan demikian,
$$\begin{aligned} & p(X = 0) = \dfrac{e^{-10}(10)^0}{0!} = e^{-10} \approx 0,\!00004539992 \\ & p(X = 1) = \dfrac{e^{-10}(10)^1}{1!} = 10e^{-10} \approx 0,\!0004539992. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} p(X \geq 2) & = 1 -(0,\!0000453992 + 0,\!0004539992) \\ & \approx 0,\!9995. \end{aligned}$$Jadi, peluang setidaknya $2$ surel didapat perusahaan dalam waktu $10$ menit sekitar $\boxed{0,\!9995}$
Soal Nomor 5
Seorang pegawai asuransi jiwa menawarkan rata-rata $3$ kebijakan asuransi setiap minggunya. Dengan menggunakan distribusi Poisson, tentukan peluang kejadian pegawai itu menawarkan setidaknya $1$ kebijakan asuransi dalam rentang waktu seminggu.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyak penawaran kebijakan asuransi dalam seminggu. Diketahui $\lambda = 3$ sehingga dengan menggunakan fungsi peluang dari distribusi Poisson, diperoleh
$$\begin{aligned} p(X \geq 1) & = 1 -p(X = 0) \\ & = 1 -\dfrac{e^{-3}(3)^0}{0!} \\ & \approx 0,\!95021. \end{aligned}$$Jadi, peluang yang dimaksud sekitar $\boxed{0,\!95021}$
Soal Nomor 6
Kendaraan melewati suatu pertigaan jalan dengan rata-rata $300$ kendaraan setiap jamnya. Tentukan peluang kejadian bahwa tidak ada kendaraan yang melewati pertigaan itu dalam rentang waktu satu menit.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyak kendaraan yang melewati pertigaan tersebut dalam rentang waktu satu menit. Rata-rata kendaraan melewati pertigaan jalan itu per menitnya adalah $\lambda = \dfrac{300}{60} = 5.$
Dengan menggunakan distribusi Poisson, didapat
$$\begin{aligned} p(X = 0) & = \dfrac{e^{-5}(5)^0}{0!} \\ & \approx 6,\!7389 \times 10^{-3}. \end{aligned}$$Jadi, peluang kejadian bahwa tidak ada kendaraan yang melewati pertigaan jalan itu dalam satu menit sekitar $6,\!7389 \times 10^{-3}.$
Soal Nomor 7
Ruang gawat darurat sebuah rumah sakit akan memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien sebanyak $4$ orang per hari. Kedatangan pasien mengikuti distribusi Poisson. Berapa peluang kejadian datangnya $2$ pasien dalam sehari?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya pasien yang datang ke rumah sakit tersebut dalam rentang waktu sehari. Diketahui $\lambda = 4$ sehingga dengan menggunakan fungsi peluang distribusi Poisson, diperoleh
$$p(X = 2) = \dfrac{4^2e^{-4}} {2!} \approx 0,\!1465.$$Jadi, peluang kejadian datangnya $2$ pasien dalam sehari sekitar $\boxed{0,\!1465}$
Soal Nomor 8
Misalkan banyaknya sambungan telepon yang masuk dari pukul $23.00$ sampai pukul $00.00$ selama $1$ bulan berdistribusi Poisson dengan rata-rata $5$ sambungan per hari. Tentukan peluang bahwa terdapat $10$ sambungan pada hari tertentu saat rentang jam tersebut.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya sambungan telepon pada hari tertentu saat pukul $23.00$ sampai pukul $00.00.$ Kasus ini tergolong kasus distribusi Poisson dengan $\lambda = 5$ sehingga
$$p(X = 10) = \dfrac{5^{10}e^{-5}} {10!} \approx 0,\!0181.$$Jadi, peluang bahwa terdapat $10$ sambungan pada hari tertentu saat rentang waktu tersebut sekitar $\boxed{0,\!0181}$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Peluang Diskret dan Kontinu
Soal Nomor 9
Sebanyak $200$ penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika peluang kejadian seorang penumpang yang telah mempunyai tiket tidak datang sebesar $0,\!007,$ berapakah peluang kejadian dua orang penumpang yang telah mempunyai tiket tidak datang?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya penumpang yang telah memiliki tiket tidak datang. Diketahui $\lambda = np = 200 \times 0,\!007 = 1,\!4.$ Dengan demikian,
$$p(X = 2) = \dfrac{(1,4)^2e^{-1,4}} {2!} \approx 0,\!2417.$$Jadi, peluang kejadian dua orang penumpang yang telah mempunyai tiket tidak datang sekitar $\boxed{0,\!2417}$
Soal Nomor 10
Jika rata-rata kedatangan kapal di suatu pelabuhan adalah $22$ kapal setiap jam, berapakah peluang kedatangan $4$ kapal dalam waktu $3$ menit?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya kapal yang datang dalam waktu $3$ menit ke pelabuhan tersebut. Karena $3$ menit setara dengan $\dfrac{1}{20}$ jam, diperoleh $\lambda = \dfrac{22}{20} = 1,\!1.$ Dengan demikian,
$$p(X = 4) = \dfrac{(1,\!1)^4e^{-1,1}} {4!} \approx 0,\!0203.$$Jadi, peluang kedatangan $4$ kapal dalam waktu $3$ menit sekitar $\boxed{0,\!0203}$
Soal Nomor 11
Rata-rata banyaknya permintaan sambungan telepon per menit di suatu sentral telepon adalah $10$ sambungan. Kapasitas sentral tersebut hanya mampu melayani $15$ permintaan tiap menitnya. Berapa peluang ada permintaan yang tak dilayani dalam $1$ menit tertentu?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya permintaan sambungan telepon dalam $1$ menit tertentu. Diketahui $\lambda = 10.$ Jika terdapat permintaan yang tidak dilayani dalam $1$ menit tertentu , itu berarti banyaknya sambungan permintaan dalam menit tersebut melebihi $15.$ Jadi, akan dicari nilai dari $p(X > 15)$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} p(X > 15) & = 1 -p(X \leq 15) \\ & = 1 -\displaystyle \sum_{x = 0}^{15} \dfrac{10^xe^{-10}}{x!} \\ & \approx 1 -0,\!9513 = 0,\!0487. \end{aligned}$$Jadi, peluang ada permintaan yang tak dilayani dalam $1$ menit tertentu sekitar $\boxed{0,\!0487}$
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Normal
Soal Nomor 12
Peluang seseorang akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik adalah $0,\!0005.$ Dari $4.000$ orang yang disuntik, tentukan peluang yang mendapat reaksi buruk:
a. tidak ada;
b. ada $2$ orang;
c. lebih dari $2$ orang.
Kemudian, berapa banyak orang yang diperkirakan akan mendapat reaksi buruk?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya orang yang mendapat reaksi buruk setelah disuntik.
Jawaban a)
Dengan menggunakan pendekatan distribusi Poisson, diketahui $\lambda = np = 4.000 \times 0,\!0005 = 2.$ Dengan demikian,
$$p(X = 0) = \dfrac{e^{-2}2^0}{0!} \approx 0,\!1353.$$Jadi, peluang tidak ada yang mendapat reaksi buruk setelah disuntik sekitar $0,\!1353.$
Jawaban b)
Untuk $x = 2,$ diperoleh $p(X = 2) = \dfrac{e^{-2}2^2}{2!} \approx 0,\!2706.$
Jadi, peluang ada $2$ orang yang mendapat reaksi buruk setelah disuntik sekitar $0,\!2706.$
Jawaban c)
Orang yang menderita reaksi buruk lebih dari 2 orang menunjukkan bahwa nilai $x = 3,4,5,\cdots$. Karena
$$p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) + \cdots = 1,$$maka
$$p(X = 3) + p(X = 4) + \cdots = 1 -p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2).$$Nilai dari $p(X = 0)$ dan $p(X = 2)$ sudah dihitung sebelumnya sehingga hanya akan dihitung nilai dari $p(X = 1)$ sebagai berikut.
$$p(X = 1) = \dfrac{e^{-2}2^1}{1!} \approx 0,\!2706$$
Jadi, peluang yang dicari adalah $$1 -0,\!1353 -0,\!2706-0,\!2706 = 0,3235.$$Jawaban d)
Jumlah orang yang diperkirakan akan mendapat reaksi buruk sama artinya dengan rata-rata $\lambda$ yang sebelumnya telah ditentukan, yaitu $\lambda = np = 4000 \times 0,0005 = 2.$
Soal Nomor 13
Diketahui rata-rata pembatalan kuliah pada suatu universitas tertentu adalah $4$ kali per bulan. Berapakah peluang bahwa kuliah akan batal sebanyak $6$ kali?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya kuliah yang batal dalam satu bulan. Dengan menggunakan pendekatan distribusi Poisson, diketahui $\lambda = 4$ sehingga diperoleh
$$p(X = 6) = \dfrac{e^{-4}4^6}{6!} \approx 0,\!1014.$$Jadi, peluang bulan depan kuliah akan batal sebanyak $6$ kali sebesar $\boxed{0,\!1014}$
Soal Nomor 14
Dalam sebuah majalah yang terdiri dari $120$ halaman, terdapat $80$ kata yang salah cetak dan berdistribusi secara acak pada halaman-halaman majalah tersebut. Hitung peluang kejadian satu halaman majalah tersebut dibuka sehingga:
- tidak terdapat kata yang salah cetak;
- terdapat tepat $4$ kata yang salah cetak.
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya kata yang salah cetak pada satu halaman majalah. Dengan menggunakan pendekatan distribusi Poisson, diketahui $$\begin{aligned} n & = 80 \\ p & = \dfrac{1}{120} \\ \lambda & = np = 80 \times \dfrac{1}{120} \approx 0,\!67. \end{aligned}$$Jawaban a)
Untuk $x = 0,$ diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = x) & = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ p(X = 0) & = \dfrac{(0,\!67)^0e^{-0,67}} {0!} \\ & = \dfrac{1 \times e^{-0,67}}{1} \approx 0,\!512. \end{aligned}$$Jadi, peluang tidak terdapat kata yang salah cetak pada satu halaman majalah sekitar $\boxed{0,\!512}$
Jawaban b)
Untuk $x = 4,$ diperoleh
$$\begin{aligned} p(X = x) & = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ p(X = 4) & = \dfrac{(0,\!67)^4e^{-0,67}} {4!} \\ & \approx \dfrac{0,\!202 \times 0,512}{24} \\ & = 0,\!004. \end{aligned}$$Jadi, peluang terdapat tepat $4$ kata yang salah cetak pada satu halaman majalah adalah $\boxed{0,\!004}$
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Geometrik dan Binomial Negatif
Soal Nomor 15
Suatu daerah di bagian timur Amerika Serikat rata-rata diserang $6$ angin topan per tahun. Berapa peluang bahwa pada suatu tahun tertentu:
- tidak sampai $4$ angin topan menyerang daerah tersebut?
- $6$ sampai $8$ angin topan menyerang daerah tersebut?
Misalkan $X$ merupakan variabel acak diskret yang menyatakan banyaknya angin topan yang terjadi pada tahun tersebut.
Jawaban a)
Berdasarkan distribusi Poisson dengan $\lambda= 6,$ akan dicari nilai dari $p(X < 4).$
$$\begin{aligned} p(X < 4) & = p(X = 0)+p(X = 1)+p(X = 2) + p(X = 3) \\ & = \dfrac{e^{-6}(6)^0}{0!} + \dfrac{e^{-6}(6)^1}{1!} + \dfrac{e^{-6}(6)^2}{2!} + \dfrac{e^{-6}(6)^3}{3!} \right) \\ & \approx 0,\!1512. \end{aligned}$$Jadi, peluang tidak sampai $4$ angin topan menyerang daerah tersebut pada suatu tahun tertentu sekitar $\boxed{0,\!1512}$
Jawaban b)
Berdasarkan distribusi Poisson dengan $\lambda= 6,$ akan dicari nilai dari $p(6 \le X \le 8).$
$$\begin{aligned} p(6 \le X \le 8) & = p(X = 6)+p(X = 7)+p(X = 8) \\ & = \dfrac{e^{-6}(6)^6}{6!} + \dfrac{e^{-6}(6)^7}{7!} + \dfrac{e^{-6}(6)^8}{8!} \\ & \approx 0,\!4016. \end{aligned}$$Jadi, peluang $6$ sampai $8$ angin topan menyerang daerah tersebut pada suatu tahun tertentu sekitar $\boxed{0,\!4016}$
Soal Nomor 16
Buktikan bahwa jika variabel acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda,$ maka $E[X^2] = \lambda E[X + 1].$
Berdasarkan definisi rataan dari variabel acak diskret, diperoleh
$$\begin{aligned} E[X^2] & = \displaystyle \sum_{x = 0}^{\infty} x^2 \cdot \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ & = \sum_{x = 1}^{\infty} x \cdot \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {(x-1)!} \\ & = \sum_{x = 0}^{\infty} (x+1)\dfrac{\lambda^{x+1}e^{-\lambda}} {x!} \\ & = \lambda \left[\sum_{x = 0}^{\infty} x \cdot \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} + \sum_{x = 0}^{\infty} \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \right] \\ & = \lambda \sum_{x = 0}^{\infty} (x + 1)\dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!} \\ & = \lambda \times E[X + 1]. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $E[X^2] = \lambda E[X + 1].$ $\blacksquare$
Soal Nomor 17
Jika variabel acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ dan $E[X^2] = 6,$ hitunglah $E[X].$
Diketahui bahwa jika $X \sim \text{Poi}(\lambda),$ maka rataannya adalah $\mu = E[X] = \lambda,$ sedangkan variansnya adalah $\text{Var} (X) = E(X^2) -(E(X))^2 = \lambda$. Karena $E(X) = \lambda$ dan $E(X^2) = 6,$ diperoleh
$$\begin{aligned} 6 -\lambda^2 & = \lambda \\ (\lambda + 3)(\lambda -2) & = 0 \\ $\lambda = -3~\text{atau}~& \lambda = 2. \end{aligned}$$Karena $\lambda$ tidak mungkin negatif, pilih $\lambda = 2.$ Jadi, nilai dari $E[X]$ adalah $2.$
Baca: Materi, Soal dan Pembahasan – Distribusi Hipergeometrik
Soal Nomor 18
Misalnya variabel acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda.$ Jika $p(X = 2) = \dfrac{2}{3}p(X = 1),$ hitunglah $p(X = 0)$ dan $p(X = 1).$
Diketahui fungsi massa peluang dari distribusi Poisson adalah $p(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}.$
Karena $p(X = 2) = \dfrac{2}{3}p(X = 1),$ diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\lambda^2e^{-\lambda}}{2!} & = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{\lambda^1e^{-\lambda}} {1!} \\ \dfrac{\lambda} {2} & = \dfrac{2}{3} \\ \lambda & = \dfrac{4}{3}. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$p(X = 0) = \dfrac{\left(\dfrac{4}{3}\right)^0 e^{-\frac{4}{3}}}{0!} \approx 0,26360$$dan
$$p(X = 1) = \dfrac{\left(\dfrac{4}{3}\right)^1 e^{-\frac{4}{3}}}{1!} \approx 0,\!35146.$$
Soal Nomor 19
Misalnya variabel acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$. Jika $p(X = 1) = 2 \cdot p(X = 2)$, hitunglah:
a. $p(X = 0)$ dan $p(X = 1)$;
b. rataannya;
c. variansnya.
Diketahui fungsi massa peluang dari distribusi Poisson adalah $p(X = x) = \dfrac{\lambda^xe^{-\lambda}} {x!}.$
Jawaban a)
Karena $p(X = 1) = 2p(X = 2),$ diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{\lambda^1e^{-\lambda}}{1!} & = 2 \times \dfrac{\lambda^2e^{-\lambda}} {2!} \\ \lambda & = 1. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$p(X = 0) = \dfrac{1^0e^{-1}} {0!} = e^{-1}$
dan
$p(X = 1) = \dfrac{1^1e^{-1}} {1!} = e^{-1}.$
Jawaban b)
Berdasarkan teorema rata-rata variabel acak yang berdistribusi Poisson, diperoleh $\mu = \lambda = 1.$
Jawaban c)
Berdasarkan teorema varians variabel acak yang berdistribusi Poisson, diperoleh $\text{Var}(X) = \lambda = 2.$
Soal Nomor 20
Misalnya variabel acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ dan Y = X -\lambda.$
- Tentukan fungsi pembangkit momen dari $Y.$
- Hitung $\text{Var}(Y)$ berdasarkan hasil jawaban a.
Jawaban a)
Akan ditunjukkan bahwa fungsi pembangkit momen dari $Y$ adalah $M_Y(t) = e^{\lambda(e^t-t-1)}$ sebagai berikut.
$$\begin{aligned} M_{Y}(t) & = E[e^{tY}] \\ & = E[e^{t(X-{\lambda})}] \\ & = \sum_{x=0}^{\infty} e^{t(x-{\lambda})}\frac{{\lambda}^{x}e^{-{\lambda}}}{x!} \\ & = e^{-(t+1){\lambda}}\sum_{x=0}^{\infty} \frac{({\lambda}{e^t})^x}{x!} \\ & = e^{-(t+1){\lambda}}{e^{{\lambda}{e^{t}}}} \\ & = e^{{\lambda}(e^{t}-t-1)}. \end{aligned}$$Jawaban b)
Hubungan fungsi pembangkit momen dan varians diberikan sebagai berikut.
$\begin{aligned} \text{Var}(Y) & = {\mathbb{E}}(Y^2) -{{\mathbb{E}}(Y)}^2 \\ & = M^{\prime \prime}_{Y}(0) -(M’_{Y}(0))^2 \end{aligned}$
Berikutnya, akan dicari turunan pertama dan turunan kedua dari $M_Y(t).$
Turunan pertamanya adalah
$M’_Y(t) = \lambda(e^t-1)e^{\lambda(e^t-t-1)}$
sehingga $M’_Y(0) = 0,$ sedangkan turunan keduanya adalah
$M^{\prime \prime}_Y(t) = [(\lambda e^t -\lambda)^2 + \lambda e^t] e^{\lambda(e^t -t -1)}$
sehingga $M’_Y(0) = \lambda.$
Jadi, haruslah $\text{Var}(Y) = \lambda -0^2 = \lambda.$
Dapat disimpulkan bahwa variansnya adalah $\lambda.$
Soal Nomor 21
Jika variabel acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $p(X = 1) = p(X = 2),$ hitunglah $p(X = 1~\text{atau}~2).$
Karena $p(X = 1) = p(X = 2)$, maka $\dfrac{\lambda^1e^{-\lambda}} {1!} = \dfrac{\lambda^2e^{-\lambda}} {2!}.$ Sederhanakan bentuk di atas sehingga diperoleh
$$\lambda^2 -2\lambda = \lambda(\lambda -2) = 0.$$Jadi, pilih $\lambda = 2.$ Dengan demikian,
$$\begin{aligned} p(X = 1~\text{atau}~2) & = p(X = 1) + p(X = 2) \\ & = \dfrac{2^1e^{-2}} {1!} + \dfrac{2^2e^{-2}} {2!} \\ & = 4e^{-2}.\end{aligned}$$
Soal Nomor 22
Jika variabel acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ sehingga $p(X = 1) = p(X = 2)$, hitunglah $p(X = 4).$
Karena $p(X = 1) = p(X = 2)$, maka $\dfrac{\lambda^1e^{-\lambda}} {1!} = \dfrac{\lambda^2e^{-\lambda}} {2!}.$ Sederhanakan bentuk di atas sehingga diperoleh $\lambda^2 -2\lambda = \lambda(\lambda -2) = 0.$ Jadi, pilih $\lambda = 2.$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} p(X = 4) & = \dfrac{2^4e^{-2}} {4!} + \dfrac{2e^{-2}} {3} \\ & = 0,\!0902. \end{aligned}$$
Soal Nomor 23
Jika variabel acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ dan $p(X = 0) = \dfrac{1}{2},$ maka hitunglah $E(X).$
Diketahui $p(X = 0)= \dfrac{1}{2}$. Karena $X$ berdistribusi Poisson, diperoleh
$\begin{aligned} p(X = 0) & = \dfrac{\lambda^0e^{-\lambda}} {0!} = \dfrac{1}{2} \\ e^{-\lambda} & = \dfrac{1}{2} \\ \lambda & = – \ln \dfrac{1}{2} \approx 0,\!7. \end{aligned}$
Berdasarkan dalil ekspektasi/rataan diskret dari distribusi Poisson, didapat $\boxed{E(X) = \mu = \lambda = 0,\!7}$
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Eksponensial dan Gama
Soal Nomor 24
Jika variabel acak $Y$ berdistribusi Poisson dengan variansnya $3,$ hitunglah $P(Y = 2).$
Karena $Y$ berdistribusi Poisson, haruslah $\text{Var}(Y) = \lambda = 3$ sehingga $\boxed{P(Y = 2) = \dfrac{3^2e^{-3}} {2!} \approx 0,\!224}$
Soal Nomor 25
Misalkan $Y$ variabel acak berdistribusi Poisson. Jika $M_Y(t) = \exp(5e^t -5),$ maka hitunglah $P(2 \leq Y < 5).$
Karena $Y$ berdistribusi Poisson dan berdasarkan teorema terkait fungsi pembangkit momen dari variabel acak yang berdistribusi Poisson, yaitu $M_Y(t) = \exp(\lambda(e^t -1)),$ maka dengan membandingkannya pada bentuk $M_Y(t) = \exp(5e^t -5)$, diperoleh $\lambda = 5.$ Dengan demikian,
$$\begin{aligned} P(2 \leq Y < 5) & = P(Y = 2) + P(Y = 3) + P(Y = 4) \\ & = \dfrac{5^2e^{-5}} {2!} + \dfrac{5^3e^{-5}} {3!} + \dfrac{5^4e^{-5}} {4!} \\ & \approx 0,\!084 + 0,\!14037 + 0,\!17546 \approx 0,\!4. \end{aligned}$$Catatan: Pembulatan jawaban (aproksimasi) ke $0,\!4.$
Soal Nomor 26
Jika variabel acak $X$ berdistribusi Poisson dengan parameter $\lambda$ dan $p(X = 0) = 0,\!2,$ maka hitunglah $p(X > 2).$
Karena $X$ berdistribusi Poisson, haruslah
$$\begin{aligned} p(X = 0) = 0,\!2 & = \dfrac{\lambda^0e^{-\lambda}} {0!} \\ e^{-\lambda} & = 0,\!2 \\ \lambda & = -\ln 0,\!2 \\ \lambda & \approx 1,\!6094. \end{aligned}$$Dengan demikian,
$$\begin{aligned} p(X > 2) & =1 -p(X \leq 2) \\ & = 1 -[p(X = 0) + p(X = 1) + p(X =2)] \\ & = 1- \left[\dfrac{(1,\!6094)^0e^{-1,\!6094}} {0!} +\dfrac{(1,\!6094)^1e^{-1,\!6094}} {1!} +\dfrac{(1,\!6094)^2e^{-1,\!6094}} {2!} \right] \\ & \approx 1-0,\!7809 = 0,\!2191. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $p(X>2)$ adalah $\boxed{0,\!2191}$