Soal dan Pembahasan – LGM SMP (LIMAS Ke-6) Himmat FKIP Untan

Diketahui
$r = 30~\text{cm}$
$t = 40~\text{cm}$
Volume kerucut dirumuskan oleh
$\begin{aligned} V & = \dfrac{1}{3}\pi r^2t \\ & = \dfrac{1}{3} \times 3,14 \times (30)^2 \times 40 \\ & = 37.680~\text{cm}^3 \end{aligned}$
Jadi, volume kerucut itu adalah $\boxed{37.680~\text{cm}^3}$

Diketahui bahwa banyaknya anggota ruang sampel dari dua buah dadu tersebut adalah $n(S) = 36$. Misalnya $A$ adalah kejadian munculnya jumlah mata dadu dari $4$, sehingga
$A^c = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\}$
Ini berarti, $n(A^c) = 4$ dan akibatnya $n(A) = n(S)- n(A^c) = 36 -4 = 32$
Frekuensi harapan munculnya jumlah mata dadu lebih dari $4$ adalah
$f_h = \dfrac{n(A)}{n(S)} \times \text{banyak pelemparan}$
$f_h = \dfrac{32}{36} \times 72 = 64~\text{kali}$
Jadi, frekuensi harapannya adalah $\boxed{64~\text{kali}}$

Berdasarkan gambar di atas, $DE$ adalah garis tinggi pada segitiga $ACD$. Dengan konsep kesebangunan, kita ketahui bahwa $AB = BC = AE = 3~\text{cm}$. Kemudian dengan Teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2 + BC^2} \\ & = \sqrt{3^2 + 3^2} \\ & = 3\sqrt{2}~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} CE & = AC -AE \\ & = 3\sqrt{2} -3 \\ & = 3(\sqrt{2} -1)~\text{cm} \end{aligned}$
Juga dengan konsep kesebangunan, $BD = DE = CE = 3(\sqrt{2} -1)~\text{cm}$
Jadi, panjang $BD$ adalah $\boxed{3(\sqrt{2} -1)~\text{cm}}$

Misalnya banyak siswa di kelas itu adalah $n$ orang. Banyak siswa laki-laki dan perempuannya berturut-turut $n_1$ dan $n_2$ orang, sehingga $n = n_1 + n_2$. Dengan demikian, jumlah nilai seluruh siswa di kelas itu adalah $58n$, sedangkan jumlah nilai siswa laki-laki dan perempuan berturut-turut adalah $65n_1$ dan $54n_2$. Dalam hal ini, berlaku
$58n = 65n_1 + 54n_2$
$58(n_1 + n_2) = 65n_1 + 54n_2$
$4n_2 = 7n_1$
$\dfrac{n_1}{n_2} = \dfrac{4}{7}$
Jadi, perbandingan banyak siswa laki-laki dan perempuan di kelas itu adalah $\boxed{4 : 7}$

Misalkan $R$ adalah jari-jari lingkaran besar, sedangkan $r$ adalah jari-jari lingkaran kecil. Perhatikan gambar berikut.

Garis singgung $ST$ pasti akan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran kecil $r$, sehingga terbentuk segitiga siku-siku dengan hipotenusa $R$. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, berlaku
$\left(\dfrac{ST}{2}\right)^2 + r^2 = R^2$
Karena $ST = 20$ cm, maka $\dfrac{ST}{2} = 10$ cm, berarti,
$10^2 + r^2 = R^2 \Leftrightarrow R^2 -r^2 = 100$
Luas daerah yang diarsir merupakan selisih luas lingkaran besar dengan luas lingkaran kecil, yaitu
$\begin{aligned} L & = L_B -L_k \\ & = \pi R^2 -\pi r^2 \\ & = \pi(R^2 -r^2) \end{aligned}$
Substitusikan $R^2 -r^2 = 100$, diperoleh
$L = \pi(100) = 100\pi~\text{cm}^2$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $100\pi~\text{cm}^2$

Persamaan $3^{2x} -3^{3 -2x} -28 = 0$ dapat ditulis menjadi $3^{2x} -\dfrac{27}{3^{2x}}- 28 = 0$ dengan menggunakan sifat eksponen. Sekarang, misalkan $3^{2x} = a$, sehingga persamaan itu ditulis
$a -\dfrac{27}{a} -28 = 0$
Kalikan $a$ di kedua ruas,
$a^2 -28a -27 = 0$
$(a -27)(a -1) = 0$
$a = 27 \lor a = 1$
Substitusikan kembali $a = 3^{2x}$
$3^{2x} = 27 \lor 3^{2x} = 1$
$3^{2x} = 3^3 \lor 3^{2x} = 3^0$
$x = \dfrac{3}{2} \lor x = 0$
Dengan demikian, jumlah kuadrat kedua akar tersebut adalah
$\boxed{x_1^2 + x_2^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 + 0^2 = \dfrac{9}{4}}$

Diketahui $L = pl = 195$ dan $k = 2(p + l) = 56 \Leftrightarrow p + l = 28$. Sama dengan konsep persamaan kuadrat, kita harus mencari nilai $p$ dan $l$ sedemikian sehingga persamaan tersebut bernilai benar. Pikirkan dua bilangan yang bila dikalikan hasilnya $195$ dan bila dijumlahkan hasilnya $28$. Dua bilangan itu adalah $13$ dan $15$.
Jadi, ambil $p = 15$ dan $l = 13$ (terbalik/tertukar tidak mengubah hasil). Sekarang, panjang diagonalnya dapat dihitung dengan Teorema Pythagoras.
Misal panjang diagonalnya adalah $x$, maka
$\begin{aligned} x & = \sqrt{15^2 + 13^2} \\ & = \sqrt{225 + 169} \\ & = \sqrt{394}~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang diagonal persegi panjang itu adalah $\boxed{\sqrt{394}~\text{cm}}$

Misalkan $a = \text{tanggal lahir}$ dan $b = \text{bulan lahir}$. Berdasarkan algoritma di atas, diperoleh operasi aritmetika sebagai berikut:
$\begin{aligned} & (a \times 2 + 5) \times 50 + b- 250 \\ & = 100a + 250 + b -250 \\ & = \boxed{100a + b} \end{aligned}$
Dari bentuk terakhir ini, kita dapat menyimpulkan bahwa selama hasilnya dapat diubah menjadi bentuk itu, maka kita dapat menebak tanggal dan bulan lahir target dengan mudah. Seperti contoh pada soal, $718$ dapat ditulis $100 \times 7 + 18$.

Misalkan $\angle{MKN} = \angle{MKL} = \alpha$. Karena saling berpelurus, maka $\angle{NOM} = 180^{\circ} -\alpha$. Perhatikan bahwa sudut $NOM$ dan $NOL$ saling berpelurus, sehingga $\angle{NOL} = 180^{\circ} -(180^{\circ} -\alpha) = \alpha$. Tinjau juga $\angle{KLM} = \angle{OLN}$ karena berimpit. Jadi, $\Delta{OLN} \cong \Delta{KLM}$.
Dengan konsep kesebangunan, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{KL}{OL} & = \dfrac{ML}{NL} \\ \dfrac{KN + 15}{12} & = \dfrac{20}{15} = \dfrac43 \\ 3(KN+15) & = 48 \\ KN+15 & = 16 \\ KN & = 1~\text{cm} \end{aligned}$
dan
$\begin{aligned} \dfrac{MK}{NO} & = \dfrac{ML}{NL} \\ \dfrac{MK}{12} & = \dfrac{20}{15} \\ \dfrac{MK}{12} & = \dfrac43 \\ MK & = \dfrac{4}{\cancel{3}} \times \cancelto{4}{12} = 16~\text{cm} \end{aligned}$
Jadi, panjang garis $KN$ dan $MK$ berturut-turut adalah $1$ cm dan $16$ cm.

Misalkan tiga bilangan itu adalah $a, b, c$ sedemikian sehingga $a + b + c = 24$. Karena $a,b,c$ membentuk barisan aritmetika, maka berlaku $b -a = c -b$ atau ditulis $2b =a+c$. Substitusikan ke persamaan $a + b + c = 24$, sehingga diperoleh $b + 2b = 24$, yang berarti $b = 8$. Setelah ini, kita dapatkan $a + c = 24 -8 = 16$. Diketahui juga barisan $a -1, b -2, c$ atau $a-1, 6, c$ membentuk barisan geometri, sehingga berlaku
$\dfrac{6}{a-1} = \dfrac{c}{6}$
$(a-1)(c) = 36$
Substitusikan $c = 16 – a$
$(a-1)(16-a) = 36$
$a^2 -17a + 52 = 0$
$(a -13)(a -4) = 0$
Jadi, $a = 13 \lor a = 4$
Dengan mudah, kita peroleh $c = 12$ untuk $a =4$ atau $c = 3$ untuk $a = 13$.
Barisan aritmetika: $4, 8, 12$ atau $13, 8, 3$ dan barisan geometri: $3, 6, 12$ atau $12, 6, 3$. Rumus suku ke-$n$ barisan geometri itu adalah
$\begin{aligned} \text{U}_n & = 3(2)^{n-1} \lor \text{U}_n \\ & = 12\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} \\ & = 24\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{aligned}$