Luas segitiga ternyata dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan trigonometri, yaitu didasarkan pada besar sudut dan panjang dua sisi yang mengapitnya.
Aturan Luas Segitiga pada Trigonometri
Misalkan $\triangle ABC$ segitiga sembarang seperti gambar.
Dengan demikian, luas $\triangle ABC$ dapat dihitung dengan rumus berikut apabila diketahui panjang dua sisi segitiga beserta besar sudut pengapitnya.
$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 ab \sin C \\ & = \dfrac12 bc \sin A \\ & = \dfrac12 ac \sin B \end{aligned}$
Luas segitiga juga dapat dihitung bila diketahui panjang satu sisi dan besar tiga sudutnya.
$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A} \\ & = \dfrac{b^2 \sin A \sin C}{2 \sin B} \\ & = \dfrac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C} \end{aligned}$
Untuk memahami lebih dalam mengenai materi ini, berikut disediakan soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat.
Jika Anda ingin mencari paket soal ini dalam bentuk file PDF, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal juga tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal TKA, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri Dasar
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Bagian Pilihan Ganda
Perhatikan segitiga $KLM$ berikut.
A. $12$ D. $24\sqrt3$
B. $6\sqrt3$ E. $48\sqrt3$
C. $12\sqrt3$
Dari gambar, diketahui informasi berikut.
- $KM = 8$ cm.
- $LM = 6$ cm.
- $\angle K = 50^\circ.$
- $\angle L = 70^\circ.$
Karena jumlah sudut dalam setiap segitiga adalah $180^\circ,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \angle M & = 180^\circ-(\angle K + \angle L) \\ & = 180^\circ-(50^\circ + 70^\circ \\ & = 60^\circ. \end{aligned}$$Selanjutnya, dengan menggunakan aturan luas segitiga pada trigonometri ditinjau dari $\angle M,$ diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\Delta KLM} & = \dfrac12 \cdot KM \cdot LM \cdot \sin M \\ & = \dfrac12 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{4}{8} \cdot \cancelto{3}{6} \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}\sqrt3 \\ & = 12\sqrt3~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga $KLM$ adalah $\boxed{12\sqrt3~\text{cm}^2}.$
(Jawaban C)
Pada segitiga $ABC,$ diketahui panjang sisi $a = 16$ cm, $b = 10$ cm, dan luas segitiga tersebut sebesar $40~\text{cm}^2.$ Jika $\Delta ABC$ lancip, besarnya sudut yang terbentuk di antara sisi $a$ dan $b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $30^\circ$ D. $75^\circ$
B. $45^\circ$ E. $90^\circ$
C. $60^\circ$
Diketahui informasi berikut.
$a = 16$ cm.
$b = 10$ cm.
$\Delta ABC$ lancip.
$L_{\Delta ABC} = 40~\text{cm}^2.$
Sudut yang terbentuk di antara sisi $a$ dan $b$ adalah sudut $C.$ Dengan menggunakan aturan luas segitiga pada trigonometri ditinjau dari $\angle C,$ diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\Delta ABC} & = \dfrac12 \cdot a \cdot b \cdot \sin C \\ 40 & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{8}{16} \cdot 10 \cdot \sin C \\ 40 & = 80 \sin C \\ \sin C & = \dfrac{40}{80} = \dfrac12. \end{aligned}$$Ini berarti, besarnya sudut $C$ ada dua kemungkinan, yaitu $\angle C = 30^\circ$ atau $\angle C = 150^\circ.$ Namun, $\Delta ABC$ lancip sehingga $\angle C = 150^\circ$ tidak mungkin terjadi.
Jadi, besarnya sudut yang terbentuk di antara sisi $a$ dan $b$ adalah $\boxed{30^\circ}.$
(Jawaban A)
Segitiga lancip $ABC$ memiliki luas sebesar $40\sqrt3~\text{cm}^2.$ Jika panjang sisi $BC = 16$ cm dan $AC = 10$ cm, panjang sisi $AB$ adalah $\cdots$ cm.
A. $\sqrt{13}$ D. $6\sqrt{13}$
B. $2\sqrt{13}$ E. $20$
C. $4\sqrt{13}$
Diketahui informasi berikut.
- $\Delta ABC$ lancip.
- $L_{\Delta ABC} = 40\sqrt3~\text{cm}^2.$
- $BC = 16$ cm.
- $AC = 10$ cm.
Pertama, akan dicari besar $\angle C$ dengan menggunakan aturan luas segitiga pada trigonometri.
$$\begin{aligned} L_{\Delta ABC} & = \dfrac12 \cdot BC \cdot AC \cdot \sin C \\ 40\sqrt3 & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{8}{16} \cdot 10 \cdot \sin C \\ 40\sqrt3 & = 80 \sin C \\ \sin C & = \dfrac{40\sqrt3}{80} = \dfrac12\sqrt3 \end{aligned}$$Karena $\sin C = \dfrac12\sqrt3,$ diperoleh $\angle C = 60^\circ$ atau $120^\circ.$ Namun, karena $\Delta ABC$ lancip, haruslah $\angle C = 60^\circ.$
Selanjutnya, akan digunakan aturan kosinus (ditinjau dari $\angle C$) untuk mencari sisi di seberangnya, yaitu sisi $AB.$
$$\begin{aligned} AB^2 & = BC^2 + AC^2-2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos C \\ & = 16^2 + 12^2-2 \cdot 16 \cdot 12 \cdot \cos 60^\circ \\ & = 16^2 + 12^2-\cancel{2} \cdot 16 \cdot 12 \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}} \\ & = 256 + 144-192 \\ & = 208 \\ AB & = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang sisi $AB$ adalah $\boxed{4\sqrt{13}~\text{cm}}.$
(Jawaban C)
Pada jajaran genjang $ABCD,$ diketahui $AB = 5$ cm, $BC = 4$ cm, dan $\angle ABC = 120^\circ.$ Luas jajaran genjang tersebut adalah $\cdots~\text{cm}^2.$
A. $5\sqrt2$ D. $10\sqrt2$
B. $5\sqrt3$ E. $10\sqrt3$
C. $10$
Diketahui informasi berikut.
- $ABCD$ berupa jajaran genjang.
- $AB = 5$ cm.
- $BC = 4$ cm.
- $\angle ABC = 120^\circ.$
Gambarkan jajaran genjang $ABCD$ tersebut seperti berikut.
Pertama, cari luas $\Delta ABC$ dengan menggunakan aturan luas segitiga pada trigonometri ditinjau dari $\angle B.$
$$\begin{aligned} L_{\Delta ABC} & = \dfrac12 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC \\ & = \dfrac12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin 120^\circ \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot 5 \cdot \cancel{4} \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}\sqrt3 \\ & = 5\sqrt3~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Karena $\Delta ADC$ kongruen dengan $\Delta ABC$ (berdasarkan karakteristik jajaran genjang), haruslah $L_{\Delta ADC} = 5\sqrt3~\text{cm}^2.$ Akibatnya, luas jajaran genjang $ABCD,$ yaitu jumlah dari luas kedua segitiga tersebut, adalah $5\sqrt3 + 5\sqrt3 = 10\sqrt3~\text{cm}^2.$
Jadi, luas jajaran genjang tersebut adalah $\boxed{10\sqrt3~\text{cm}^2}.$
(Jawaban E)
Luas segi empat $ABCD$ pada gambar di bawah adalah $\cdots~\text{cm}^2.$
A. $(72 + 50\sqrt3)$ D. $(36 + 50\sqrt3)$
B. $(72 + 25\sqrt3)$ E. $(36 + 25\sqrt3)$
C. $74$
Perhatikan kembali gambar segi empat $ABCD$ berikut.
Luas segi empat $ABCD$ sama dengan jumlah dari luas segitiga $ABC$ dan $ACD.$
Luas segitiga $ABC$ dapat langsung ditentukan menggunakan aturan luas segitiga pada trigonometri.
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin 60^{\circ} \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{5}{20} \cdot 10 \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}\sqrt3 \\ & = 50\sqrt3~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Pada segitiga $ABC$, panjang $AC$ dapat dicari dengan menggunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2+BC^2-2 \cdot AB \cdot BC \cos 60^{\circ} \\ AC^2 & = 20^2+10^2-2 \cdot 20 \cdot 10 \cdot \dfrac12 \\ AC^2 & = 400+100-200 \\ AC^2 & = 300 \\ AC & = \sqrt{300} = 10\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$$Luas segitiga $ACD$ dapat ditentukan dengan memakai rumus Heron karena panjang ketiga sisinya diketahui.
Setengah keliling segitiga itu adalah
$$\begin{aligned} S & = \dfrac{AD+CD+AC}{2} \\ & = \dfrac{6\sqrt3+8\sqrt3+10\sqrt3}{2} = 12\sqrt3. \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ACD} & = \sqrt{S(S-AD)(S-CD)(S-AC)} \\ & = \sqrt{12\sqrt3(6\sqrt3)(4\sqrt3)(2\sqrt3)} \\ & = \sqrt{(12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2) \cdot (\sqrt3)^4} \\ & = \sqrt{(2^2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 3^2} \\ & = \sqrt{2^6 \cdot 3^4} \\ & = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Jadi, kita peroleh bahwa luas segi empat $ABCD$ adalah $$\boxed{L_{\triangle ACD} + L_{\triangle ABC} = (72 + 50\sqrt3)~\text{cm}^2}.$$(Jawaban A)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri Berbentuk a cos x + b sin x = c
Keliling suatu segi enam beraturan adalah $84~\text{cm}.$ Luas segi enam tersebut adalah $\cdots~\text{cm}^2.$
A. $588\sqrt3$ D. $245\sqrt3$
B. $392\sqrt3$ E. $147\sqrt3$
C. $294\sqrt3$
Ada dua cara untuk menentukan luas segi enam tersebut, yaitu menggunakan teorema Pythagoras dan aturan luas segitiga pada trigonometri.
Cara 1: Teorema Pythagoras
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena keliling segi enam beraturan tersebut $84~\text{cm},$ panjang sisinya adalah $84 \div 6 = 14~\text{cm}.$
Tarik garis tinggi dari titik pusat segi enam tersebut ke salah satu sisi.
Misalkan panjang garis tinggi ini adalah $t.$ Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh
$\begin{aligned} t & = \sqrt{14^2-7^2} \\ & = \sqrt{196-49} = \sqrt{147} = 7\sqrt3~\text{cm}. \end{aligned}$
Dengan demikian, luas segi enam tersebut dapat ditentukan, karena luasnya 6 kali luas segitiga pembentuknya.
$\begin{aligned} L_{\text{segi enam}} & = 6 \times L_{\triangle} \\ & = 6 \times \dfrac12 \times 14 \times 7\sqrt3 \\ & = 294\sqrt3~\text{cm}^2 \end{aligned}$
Jadi, luas segi enam tersebut adalah $\boxed{294\sqrt3~\text{cm}^2}.$
Cara 2: Aturan Luas Segitiga pada Trigonometri
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Panjang $r = 84 \div 6 = 14~\text{cm}$ dan $n = 6$ (karena segi-6). Luas segi enam tersebut adalah
$\begin{aligned} L_{\text{segi enam}} & = n \left(\dfrac12r^2 \sin \dfrac{360^{\circ}}{n}\right) \\ & = \cancelto{3}{6}\left(\dfrac{1}{\cancel{2}}(14)^2 \sin \dfrac{360^{\circ}}{6}\right) \\ & = 3(196)\left(\dfrac12\sqrt3\right) \\ & = 294\sqrt3~\text{cm}^2. \end{aligned}$
(Jawaban C)
Luas segi-$12$ beraturan dengan masing-masing panjang sisinya $4~\text{cm}$ adalah $\cdots~\text{cm}^2.$
A. $(96+48\sqrt3)$
B. $(24+12\sqrt3)$
C. $(24\sqrt3+12)$
D. $(96\sqrt3+48)$
E. $(96\sqrt3+12)$
Perhatikan sketsa gambar segi-$\color{red}{12}$ berikut.
Tinjau satu segitiga dari dua belas segitiga sama kaki yang kongruen.
Besar sudut $O$ adalah $\dfrac{360^{\circ}}{\color{red}{12}} = 30^{\circ}.$
Karena $\triangle OAB$ sama kaki (panjang $OA = OB$), haruslah dua sudut lainnya sebesar $\dfrac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2} = 75^{\circ}.$
Gunakan aturan sinus dan ingat kembali bahwa $\sin 30^{\circ} = \dfrac12$ dan $\sin 75^{\circ} = \dfrac14(\sqrt6 + \sqrt2).$
$\begin{aligned} \dfrac{OA}{\sin 75^{\circ}} & = \dfrac{AB}{\sin 30^{\circ}} \\ \dfrac{x}{\frac14(\sqrt6+\sqrt2)} & = \dfrac{4}{\frac12} \\ x & = 2(\sqrt6 + \sqrt2)~\text{cm} \end{aligned}$
Dengan menggunakan aturan luas segitiga pada trigonometri, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{OAB} & = \dfrac12 \cdot OA \cdot OB \cdot \sin 30^{\circ} \\ & = \dfrac12 \cdot 2(\sqrt6 + \sqrt2) \cdot 2(\sqrt6 + \sqrt2) \cdot \dfrac12 \\ & = (\sqrt6+\sqrt2)(\sqrt6+\sqrt2) \\ & = (\sqrt6)^2+2(\sqrt6)(\sqrt2) + (\sqrt2)^2 \\ & = (8+4\sqrt3)~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Karena ada $12$ segitiga yang kongruen, haruslah
$\begin{aligned} L_{\text{segi}-12} & = 12 \times (8+4\sqrt3) \\ & = (96+48\sqrt3)~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Jadi, luas segi-$12$ beraturan tersebut adalah $\boxed{(96+48\sqrt3)~\text{cm}^2}.$
(Jawaban A)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Trigonometri
Diberikan segitiga $ABC$ siku-siku di $C$. Titik $D$ terletak pada sisi $AC$ sedemikian sehingga garis $BD$ membagi dua sudut $ABC$ sama besar. Diketahui panjang $AB = 3$ dan luas segitiga $ABD$ sama dengan $9$. Panjang sisi $CD$ sama dengan $\cdots \cdot$
A. $4$ C. $7$ E. $9$
B. $6$ D. $8$
Perhatikan sketsa gambar segitiga $ABC$ berikut.
Kita misalkan $\angle CBD = \angle DBA = \theta.$
Pada segitiga siku-siku $BCD$, berlaku perbandingan trigonometri
$\sin \theta = \dfrac{CD}{BD} \Leftrightarrow \color{red}{CD = BD \sin \theta}.$
Berdasarkan aturan luas segitiga pada trigonometri pada $\triangle ABD$ ditinjau dari sudut $\theta$, kita peroleh
$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} & = \dfrac12 \cdot AB \cdot \color{red}{BD \cdot \sin \theta} \\ 9 & = \dfrac12 \cdot 3 \cdot \color{red}{CD} \\ CD & = 9 \cdot \dfrac23 = 6. \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $CD$ adalah $\boxed{6}.$
(Jawaban B)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Pembuktian Identitas Trigonometri
Sebuah heksagon (segi enam) diposisikan di dalam segitiga siku-siku seperti gambar berikut.
Luas heksagon tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $60$ D. $120$
B. $80$ E. $180$
C. $100$
Misalkan kita memberi nama setiap titik sudut yang ada seperti berikut.
Perhatikan bahwa nilai $\sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{15}{25} = \dfrac35$ dan $\sin C = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{20}{25} = \dfrac45.$
Luas $\triangle AEF$ (segitiga siku-siku) adalah
$$\begin{aligned} L_{\triangle AEF} & = \dfrac12 \times AF \times AE \\ & = \dfrac12 \times 5 \times 5 \\ & = \dfrac{25}{2}. \end{aligned}$$Luas $\triangle HGB$ dapat dicari dengan menggunakan aturan luas segitiga pada trigonometri.
$$\begin{aligned} L_{\triangle HGB} & = \dfrac12 \times GB \times HB \times \sin B \\ & = \dfrac12 \times 5 \times 5 \times \dfrac35 \\ & = \dfrac{15}{2} \end{aligned}$$Dengan cara yang sama, kita hitung luas segitiga $CDI.$
$$\begin{aligned} L_{\triangle CDI} & = \dfrac12 \times CD \times CI \times \sin C \\ & = \dfrac12 \times 5 \times 5 \times \dfrac45 \\ & = 10 \end{aligned}$$Luas heksagon tersebut sama dengan luas segitiga siku-siku $ABC$ dikurangi jumlah dari luas tiga segitiga yang kita hitung tadi.
$$\begin{aligned} L_{\text{heksagon}} & = L_{\triangle ABC}-\left(L_{\triangle AEF}+L_{\triangle HGB} + L_{\triangle CDI}\right) \\ & = \dfrac12 \times 15 \times 20-\left(\dfrac{25}{2}+\dfrac{15}{2}+10\right) \\ & = 150-30 = 120 \end{aligned}$$Jadi, luas heksagon tersebut adalah $\boxed{120}.$
(Jawaban D)
Pada gambar di bawah, terdapat dua persegi dengan panjang sisi masing-masing $4$ cm dan $5$ cm, sebuah segitiga dengan luas $8~\text{cm}^2,$ dan jajaran genjang yang terarsir. Luas jajaran genjang itu adalah $\cdots~\text{cm}^2.$
A. $15$ D. $20$
B. $16$ E. $22$
C. $18$
Perhatikan segitiga yang panjang dua sisinya adalah $4$ cm dan $5$ cm. Misalkan sudut yang dibentuk oleh dua sisi tersebut adalah $x.$
Dengan menggunakan aturan luas segitiga pada trigonometri, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12ab \sin x \\ 8 & = \dfrac12(4)(5) \sin x \\ 8 & = 10 \sin x \\ \sin x & = \dfrac{8}{10} = \dfrac45. \end{aligned}$$Jajaran genjang di atas memiliki panjang sisi $3$ cm dan $4$ cm dengan sudut pengapitnya sebesar $(180^\circ-x).$ Luasnya sama dengan $2$ kali luas segitiga yang diperoleh dari pemotongannya secara diagonal.
$$\begin{aligned} L_{\text{jajaran genjang}} & = 2 \cdot \dfrac12ab \sin (180^\circ-x) \\ & = (4)(5) \sin x \\ & = 20 \cdot \dfrac45 \\ & = 16~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas jajaran genjang tersebut adalah $\boxed{16~\text{cm}^2}.$
(Jawaban B)
Bagian Uraian
An artist is going to create a decorative design for a triangular glass panel, as shown in the figure below. After measuring it, the glass is found to have side lengths of $18$ cm and $10$ cm, with an included angle of $45^\circ.$ What is the area of the triangular glass?
Dari gambar yang diberikan, misalkan kaca tersebut direpresentasikan oleh segitiga $ABC$ dengan $AB = 10$ cm dan $AC = 18$ cm serta $\angle A = 45^\circ.$
Dengan menggunakan aturan luas segitiga pada trigonometri, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\Delta ABC} & = \dfrac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \\ & = \dfrac12 \cdot 10 \cdot 18 \cdot \sin 45^\circ \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{5}{10} \cdot \cancelto{9}{18} \cdot \dfrac{1}{\cancel{2}}\sqrt2 \\ & = 45\sqrt2~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Jadi, luas kaca segitiga tersebut adalah $\boxed{45~\text{cm}^2}.$
Diketahui segi empat $PQRS$ dengan $PS = 3$ cm, $PQ = 4$ cm, $QR = 6$ cm, $\angle SPQ = 90^\circ,$ dan $\angle SQR = 120^\circ.$ Tentukan luas segi empat $PQRS.$
Diketahui informasi berikut.
- $PS = 3$ cm.
- $PQ = 4$ cm.
- $QR = 6$ cm.
- $\angle SPQ = 90^\circ.$
- $\angle SQR = 120^\circ.$
Gambarkan segi empat $PQRS$ tersebut seperti berikut.
Luas segi empat $PQRS$ adalah jumlah dari luas segitiga siku-siku $PQS$ dan luas segitiga tumpul $QRS.$
Pertama, hitung luas $\Delta PQS$ dengan menggunakan cara standar.
$$\begin{aligned} L_{\Delta PQS} & = \dfrac12 \cdot PQ \cdot PS \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{2}{4} \cdot 3 \\ & = 6~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Langkah berikutnya adalah mencari luas $\Delta QRS$ dengan menggunakan aturan luas segitiga pada trigonometri ditinjau dari $\angle Q.$ Namun, panjang sisi $QS$ harus dicari terlebih dahulu dengan menggunakan teorema Pythagoras pada $\Delta PQS.$
$$\begin{aligned} QS & = \sqrt{PQ^2 + PS^2} \\ & = \sqrt{(4)^2 + (3)^2} \\ & = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\Delta QRS} & = \dfrac12 \cdot QR \cdot QS \cdot \sin \angle SQR \\ & = \dfrac12 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin 120^\circ \\ & = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot \cancelto{3}{6} \cdot 5 \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt3 \\ & = \dfrac{15}{2}\sqrt3~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Jadi, luas segi empat $PQRS$ adalah $\left(6 + \dfrac{15}{2}\sqrt3\right)~\text{cm}^2.$
Buktikan bahwa luas segi empat tali busur $ABCD$ pada gambar di bawah adalah $L = \dfrac12(ab + cd) \sin \theta.$
Dengan menerapkan konsep luas segitiga dalam trigonometri, diperoleh
$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} & = \dfrac12 cd \sin \theta \\ L_{\triangle BCD} & = \dfrac12 ab \sin C. \end{aligned}$
Pada segi empat tali busur, jumlah besar sudut yang saling berhadapan adalah $180^{\circ}$ sehingga
$\theta + \angle C = 180^{\circ} \iff \angle C = 180^{\circ}- \theta.$
Dengan demikian, luas segitiga $BCD$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} L_{\triangle BCD} & = \dfrac12 ab \sin (180^{\circ}- \theta) \\ & = \dfrac12 ab \sin \theta. \end{aligned}$
Ini berarti, luas segi empat $ABCD$ adalah
$\begin{aligned} L_{ABCD} & = L_{\triangle ABD} + L_{\triangle BCD} \\ & = \dfrac12 cd \sin \theta + \dfrac12 ab \sin \theta \\ & = \dfrac12(ab+cd) \sin \theta. \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa luas segi empat tali busur $ABCD$ itu adalah $\boxed{L_{ABCD} = \dfrac12(ab + cd) \sin \theta}.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Trigonometri
Buktikan bahwa luas segi empat $ABCD$ sembarang pada gambar di bawah adalah $L = \dfrac12 \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta.$
Luas segi empat $ABCD$ dapat dihitung dengan menjumlahkan luas dari empat segitiga penyusunnya. Luas masing-masing segitiga dapat ditentukan dengan menggunakan aturan sinus (ingat bahwa $\sin (180^{\circ}-\theta) = \sin \theta).$
$\begin{aligned} L_{\triangle CDP} & = \dfrac12 \cdot CP \cdot DP \cdot \sin \theta \\ L_{\triangle BCP} & = \dfrac12 \cdot CP \cdot BP \cdot \sin \theta \\ L_{\triangle ABP} & = \dfrac12 \cdot AP \cdot BP \cdot \sin \theta \\ L_{\triangle ADP} & = \dfrac12 \cdot AP \cdot DP \cdot \sin \theta \end{aligned}$
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{ABCD} & = L_{\triangle CDP} + L_{\triangle BCP} + L_{\triangle ABP} + L_{\triangle ADP} \\ & = \dfrac12 \cdot CP \cdot DP \cdot \sin \theta + \dfrac12 \cdot CP \cdot BP \cdot \sin \theta \\ & + \dfrac12 \cdot AP \cdot BP \cdot \sin \theta + \dfrac12 \cdot AP \cdot DP \cdot \sin \theta \\ & = \dfrac12 \sin \theta(CP(DP+BP)+AP(BP+DP)) \\ & = \dfrac12 \sin \theta(CP \cdot BD + AP \cdot BD) \\ & = \dfrac12 \sin \theta \cdot BD(CP + AP) \\ & = \dfrac12 \sin \theta \cdot BD \cdot AC \\ & = \dfrac12 \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa luas segi empat $ABCD$ tersebut adalah $\boxed{L_{ABCD} = \dfrac12 \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta}.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Penerapan Identitas Trigonometri