Aturan sinus merupakan dua aturan yang menghubungkan panjang sisi dan besar sudut dalam segitiga sembarang dengan menggunakan konsep trigonometri. Sesuai dengan namanya, aturan sinus melibatkan fungsi sinus.
Aturan Sinus
Aturan sinus (law of sines atau sine law/rule) adalah teorema berupa persamaan yang menghubungkan nilai sinus sudut dalam segitiga dengan panjang sisi di depannya dalam bentuk perbandingan.
Jika diberikan segitiga sembarang $ABC$ seperti gambar, maka berlaku persamaan berikut.
$$\boxed{\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R}$$dengan $R$ adalah panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $ABC$.
Untuk memahami lebih dalam mengenai materi ini, berikut disediakan soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat.
Jika Anda ingin mencari paket soal ini dalam bentuk file PDF, Anda dapat mengakses ke folder soal mathcyber1997.com dengan mendaftar di bit.ly/Akses_Soal. Folder soal juga tersebut berisi soal UTBK-SNBT, soal TKA, soal persiapan CPNS-PPPK, soal psikotes, soal TPA, soal ujian masuk perguruan tinggi (termasuk STAN), soal kompetensi matematika (termasuk OSN dan ON MIPA), dan masih banyak lagi.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri Dasar
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa
Bagian Pilihan Ganda
Diketahui $\triangle ABC$ dengan panjang sisi $a = 4~\text{cm},$ $\angle A = 120^{\circ},$ dan $\angle B = 30^{\circ}.$ Panjang sisi $c = \cdots~\text{cm}.$
A. $2\sqrt2$ D. $\dfrac34\sqrt2$
B. $\dfrac43\sqrt3$ E. $\sqrt3$
C. $\dfrac34\sqrt3$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Karena jumlah besar sudut dalam segitiga selalu $180^{\circ}$, haruslah $\angle C = (180-120-30)^{\circ} = 30^{\circ}.$
Selanjutnya, dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{a}{\sin A} & = \dfrac{c}{\sin C} \\ \dfrac{4}{\sin 120^{\circ}} & = \dfrac{c}{\sin 30^{\circ}} \\ \dfrac{4}{\cancel{\frac12}\sqrt3} & = \dfrac{c}{\cancel{\frac12}} \\ c & = \dfrac{4}{\sqrt3} = \dfrac43\sqrt3~\text{cm}. \end{aligned}$
Jadi, panjang sisi $\boxed{c = \dfrac43\sqrt3~\text{cm}}.$
(Jawaban B)
Pada $\triangle JKL$, diketahui $\sin L = \dfrac13$, $\sin J = \dfrac35$, dan $JK = 5$ cm. Panjang $KL$ adalah $\cdots~\text{cm}$.
A. $5$ C. $9$ E. $15$
B. $7$ D. $12$
Pada $\triangle JKL$, sisi depan sudut $L$ adalah $JK$, sedangkan sisi depan sudut $J$ adalah $KL.$ Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{JK}{\sin L} & = \dfrac{KL}{\sin J} \\ \dfrac{5}{\frac13} & = \dfrac{KL}{\frac35} \\ 15 & = \dfrac{KL}{\frac35} \\ KL & = 15 \cdot \dfrac35 = 9. \end{aligned}$$Jadi, panjang $KL$ adalah $\boxed{9~\text{cm}}.$
(Jawaban C)
Perhatikan gambar $\triangle ABC$ di bawah ini.
Perbandingan panjang $BC$ dan $AC$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3 : 4$
B. $4 : 3$
C. $\sqrt2 : \sqrt3$
D. $\sqrt3 : 2\sqrt2$
E. $\sqrt3 : \sqrt2$
Perhatikan bahwa kita mencari panjang sisi di hadapan sudut yang telah diketahui besarnya. Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin A} & = \dfrac{AC}{\sin B} \\ \dfrac{BC}{AC} & = \dfrac{\sin A}{\sin B} \\ & = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} \\ & = \dfrac{\cancel{\dfrac12}\sqrt2}{\cancel{\dfrac12}\sqrt3} \\ & = \dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan panjang $BC : AC$ adalah $\boxed{\sqrt2 : \sqrt3}.$
(Jawaban C)
Pada $\triangle ABC$, diketahui $(b+c) : (c + a) : (a + b)$ $= 4 : 5 : 6.$ Nilai dari $\sin A : \sin B : \sin C = \cdots \cdot$
A. $7 : 5 : 3$ D. $4 : 5 : 6$
B. $3 : 5 : 7$ E. $6 : 5 : 4$
C. $7 : 3 : 5$
Diketahui untuk suatu bilangan asli $k,$ berlaku
$$\begin{aligned} b+c & = 4k && (\cdots 1) \\ a+c & = 5k && (\cdots 2) \\ a+b & = 6k. && (\cdots 3) \end{aligned}$$Eliminasi $c$ pada Persamaan $(1)$ dan $(2)$ sehingga diperoleh $a-b = -k$. Sebutlah ini sebagai Persamaan $(4).$
Dari Persamaan $(3)$ dan $(4),$ kita peroleh $a = \dfrac72k$ dan $b = \dfrac52k$ sehingga $c = \dfrac32k.$ Jadi, diperoleh perbandingan
$$\begin{aligned} a : b : c & = \dfrac72k : \dfrac52k : \dfrac32k \\ & = 7 : 5 : 3. \end{aligned}$$Menurut aturan sinus, perbandingan nilai sinus sudut sama dengan perbandingan panjang sisi depannya sehingga $\boxed{\begin{aligned} \sin A : \sin B : \sin C & = a : b : c \\ & = 7 : 5 : 3. \end{aligned}}$
(Jawaban A)
Pada $\triangle ABC$, diketahui bahwa $\angle B = 70^{\circ}$, $\angle C = 80^{\circ}$, dan $BC = 2$ cm. Jika $R$ adalah panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $ABC$, maka nilai $R = \cdots~\text{cm}.$
A. $1$ C. $4$ E. $10$
B. $2$ D. $8$
Menurut aturan sinus, berlaku
$$\boxed{\color{blue}{\dfrac{BC}{\sin \angle A}} = \dfrac{AB}{\sin \angle C} = \dfrac{AC}{\sin \angle B} = \color{blue}{2R}}$$dengan $R$ adalah panjang jari-jari lingkaran luar $\triangle ABC.$
Karena $\angle B = 70^{\circ}$ dan $\angle C = 80^{\circ},$ haruslah $\angle A = (180-70-80)^{\circ} = 30^{\circ}$ sehingga
$$\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin \angle A} & = 2R \\ \dfrac{2}{\sin 30^{\circ}} & = 2R \\ \dfrac{2}{\frac12} & = 2R \\ R & = 2. \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{R = 2~\text{cm}}.$
(Jawaban B)
Jika panjang sisi-sisi segitiga $ABC$ berturut-turut adalah $AB=4~\text{cm}$, $BC=6~\text{cm},$ dan $AC=5~\text{cm},$ sedangkan $\angle BAC = \alpha,$ $\angle ABC = \beta,$ dan $\angle BCA = \gamma,$ maka $\sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma = \cdots \cdot$
A. $4 : 5 : 6$ D. $4 : 6 : 5$
B. $5 : 6 : 4$ E. $6 : 4 : 5$
C. $6 : 5 : 4$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh persamaan
$\dfrac{AB}{\sin \gamma} = \dfrac{BC}{\sin \alpha} = \dfrac{AC}{\sin \beta}.$
Berdasarkan aturan tersebut, diketahui bahwa nilai sinus sudut sebanding dengan panjang sisi di depan sudutnya. Sisi depan sudut $\alpha$ adalah $BC$, sisi depan sudut $\beta$ adalah $AC$, dan sisi depan sudut $\gamma$ adalah $AB.$
Dalam kasus ini, dapat ditulis
$\boxed{\begin{aligned} \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma & = BC : AC : AB \\ & = 6 : 5 : 4. \end{aligned}}$
(Jawaban C)
Dalam sebuah lingkaran yang berjari-jari $8~\text{cm}$ dibuat segi-$12$ beraturan. Panjang sisi segi-12 beraturan tersebut adalah $\cdots~\text{cm}.$
A. $8\sqrt{2-\sqrt3}$
B. $8\sqrt{2-\sqrt2}$
C. $8\sqrt{3-\sqrt2}$
D. $8\sqrt{3-\sqrt3}$
E. $8\sqrt{3 + \sqrt2}$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Pada segitiga $OAB$, diketahui bahwa $r = OB = OA = 8~\text{cm}$ serta $\angle AOB = 360^{\circ} \div 12 = 30^{\circ}.$ Panjang sisi $AB$ dapat dihitung dengan menggunakan aturan kosinus.
$$\begin{aligned} AB^2 & = OA^2+OB^2-2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 30^{\circ} \\ AB^2 & = 8^2+8^2-2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ AB^2 & = 128- 64\sqrt3 \\ AB^2 & = 64(2-\sqrt3) \\ AB & = 8\sqrt{2-\sqrt3}~\text{cm}\end{aligned}$$Jadi, panjang sisi segi-$12$ beraturan tersebut adalah $\boxed{8\sqrt{2-\sqrt3}~\text{cm}}.$
(Jawaban A)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Aplikasi Trigonometri
Luas segi-$12$ beraturan dengan masing-masing panjang sisinya $4~\text{cm}$ adalah $\cdots~\text{cm}^2.$
A. $(96+48\sqrt3)$
B. $(24+12\sqrt3)$
C. $(24\sqrt3+12)$
D. $(96\sqrt3+48)$
E. $(96\sqrt3+12)$
Perhatikan segi-$12$ beraturan dan potongannya berupa segitiga sama kaki berikut.
Besar sudut $BAC$ adalah $\dfrac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}$ sehingga besar sudut kakinya adalah $\dfrac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2} = 75^{\circ}.$ Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{x}{\sin 75^{\circ}} & = \dfrac{4}{\sin 30^{\circ}} \\ \dfrac{x}{\sin (45+30)^{\circ}} & = \dfrac{4}{\frac12} \\ \dfrac{x}{\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}} & = 8. \end{aligned}$$Selanjutnya, diperoleh
$$\begin{aligned} x & = 8(\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}) \\ x & = 8\left(\dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12\sqrt3 + \dfrac12\sqrt2 \cdot \dfrac12\right) \\ x & = 8\left(\dfrac14\sqrt6 + \dfrac14\sqrt2\right) \\ x & = 2\sqrt6 + 2\sqrt2 = [2(\sqrt6+\sqrt2)]~\text{cm}. \end{aligned}$$Luas segitiga $ABC$ pada gambar di atas adalah
$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = \dfrac12 \cdot x \cdot x \cdot \sin 30^{\circ} \\ & = \dfrac12 \cdot 4(\sqrt6+\sqrt2)^2 \cdot \dfrac12 \\ & = (\sqrt6 + \sqrt2)^2 \\ & = 8 + 2\sqrt12 = (8 + 4\sqrt3)~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Dua belas segitiga kongruen seperti segitiga $ABC$ memiliki total luas yang sama dengan segi-$12$ beraturan, yaitu
$\begin{aligned} L & = 12 \cdot L_{\triangle ABC} \\ & = 12 \cdot (8+4\sqrt3) \\ & = (96+48\sqrt3)~\text{cm}^2. \end{aligned}$
Jadi, luas segi-$12$ beraturan tersebut adalah $\boxed{(96+48\sqrt3)~\text{cm}^2}.$
(Jawaban A)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri Berbentuk a cos x + b sin x = c
Sukardi dan Lili berdiri di suatu pantai dengan terpisah jarak $6$ km antara keduanya. Garis pantai yang melalui mereka berupa garis lurus. Keduanya dapat melihat kapal laut yang sama dari tempat mereka berdiri. Misalkan sudut antara tempat Sukardi berdiri dengan kapal laut yang merupakan garis lurus adalah $45^{\circ}$. Sementara itu, sudut antara tempat Lili berdiri dengan kapal laut yang merupakan garis lurus adalah $15^{\circ}$. Jika jarak kapal laut dengan tempat Lili berdiri adalah $a\sqrt{b}$ km, dengan $a\sqrt{b}$ adalah bentuk akar paling sederhana, maka nilai $b-a = \cdots \cdot$
A. $0$ C. $3$ E. $6$
B. $2$ D. $4$
Perhatikan sketsa gambar berikut.
Titik $C$ adalah titik lokasi kapal laut. Besar sudut $C$ adalah $(180-45-15)^{\circ} = 120^{\circ}$. Untuk mencari jarak kapal laut dan Lili, yaitu panjang $BC$, gunakan aturan sinus.
$$\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin C} & = \dfrac{BC}{\sin A} \\ \dfrac{6}{\sin 120^{\circ}} & = \dfrac{BC}{\sin 45^{\circ}} \\ \dfrac{6}{\frac12\sqrt3} & = \dfrac{BC}{\frac12\sqrt2} \\ BC & = \dfrac{6}{\sqrt3} \times \sqrt2 \\ BC & = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $a = 2$ dan $b = 6$ sehingga $\boxed{b-a=6-2=4}.$
(Jawaban D)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Persamaan Trigonometri
Bagian Uraian
Pada suatu segitiga $ABC$, besar $\angle C$ tiga kali besar $\angle A$ dan besar $\angle B$ dua kali besar $\angle A.$ Berapakah perbandingan panjang $AB$ dan $BC$?
Pada segitiga, jumlah sudutnya selalu $180^{\circ}$ sehingga ditulis $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}.$
Karena $\angle C = 3\angle A$ dan $\angle B = 2\angle A,$ diperoleh
$\begin{aligned} \angle A + 2 \angle A + 3 \angle A & = 180^{\circ} \\ 6 \angle A & = 180^{\circ} \\ \angle A & = 30^{\circ}. \end{aligned}$
Ini berarti $\angle B = 60^{\circ}$ dan $\angle C = 90^{\circ}.$ Jadi, segitiga $ABC$ adalah segitiga siku-siku di $C.$
Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh
$\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin C} & = \dfrac{BC}{\sin A} \\ \dfrac{AB}{BC} & = \dfrac{\sin C}{\sin A} \\ AB : BC & = \sin 90^{\circ} : \sin 30^{\circ} \\ & = 1 : \dfrac12 = 2 : 1. \end{aligned}$
Jadi, perbandingan panjang $AB$ dan $BC$ adalah $\boxed{2 : 1}.$
Buktikan bahwa dalam segitiga sembarang $ABC$ berlaku $\dfrac{a-b}{c} = \dfrac{\sin A-\sin B}{\sin C}.$
Dalam segitiga sembarang $ABC$, berlaku $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}.$
Dalam bentuk lain, ditulis
$a = \dfrac{b \sin A}{\sin B}$ dan $c = \dfrac{b \sin C}{\sin B}.$
Dengan demikian, kita dapatkan
$\begin{aligned} \dfrac{a-b}{c} & = \dfrac{\dfrac{b \sin A}{\sin B}-b}{\dfrac{b \sin C}{\sin B}} \\ & = \dfrac{\dfrac{b \sin A}{\cancel{\sin B}}-\dfrac{b \sin B}{\cancel{\sin B}}}{\dfrac{b \sin C}{\cancel{\sin B}}} \\ & = \dfrac{b \sin A-b \sin B}{b \sin C} \\ & = \dfrac{\sin A-\sin B}{\sin C}. \end{aligned}$
Jadi, terbukti bahwa dalam segitiga sembarang $ABC$ berlaku $\dfrac{a-b}{c} = \dfrac{\sin A-\sin B}{\sin C}.$
Baca Juga: Soal dan Pembahasan- Penerapan Identitas Trigonometri
Pada $\triangle ABC$ sembarang, buktikan bahwa
$$c(\sin^2 A + \sin^2 B) = \sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B).$$
Akan dibuktikan
$$\underbrace{c(\sin^2 A + \sin^2 B)}_{\text{ruas kiri}} = \underbrace{\sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B)}_{\text{ruas kanan}}.$$Gunakan aturan sinus.
$$\boxed{\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}}$$Dari persamaan tersebut, kita peroleh bahwa
$$\begin{aligned} \sin A & = \dfrac{a \sin B}{b} \\ \sin B & = \dfrac{b \sin A}{a}. \end{aligned}$$Selanjutnya, akan dibuktikan dimulai dari ruas kiri.
$$\begin{aligned} c(\sin^2 A + \sin^2 B) & = c\left(\sin A \cdot \sin A + \sin B \cdot \sin B\right) \\ & = c\left(\dfrac{a \sin B}{b} \cdot \sin A + \dfrac{b \sin A}{a} \cdot \sin B\right) \\ & = c\left(\dfrac{\sin B}{b} \cdot (a \sin A) + \dfrac{\sin A}{a} \cdot (b \sin B)\right) \\ & = c\left(\dfrac{\sin C}{c} \cdot (a \sin A) + \dfrac{\sin C}{c} \cdot (b \sin B)\right) && (\text{Aturan sinus}) \\ & = \cancel{c} \cdot \dfrac{\sin C}{\cancel{c}}(a \sin A + b \sin B) && (\text{Difaktorkan}) \\ & = \underbrace{\sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B)}_{\text{ruas kanan}}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa pada $\triangle ABC$ sembarang, berlaku $$c(\sin^2 A + \sin^2 B) = \sin C(a \cdot \sin A + b \cdot \sin B).$$
haloo kakk, terimakasih sudah menyediakann latson in yaa. minta tolong soalnya di up di gdrive juga ya kakk
kak tambahain lagi dong soal soal olimpiade khsusunya geometri, jujur solanya yg emg bener bener bikin otak puyeng dikit, soalnya langsung kek ketebak gitu idenya
ada bentuk pdfnya gak kak? makasih kak
Yang ini belum dibuatkan, Kak.
kak mau tanya no 19, bukanya jurusan 60 derajat terhadap utara yah? dan sudut positif berlawanan jarum jam biasanya di buku2.. kok pembahasan terhadap timur dan erlawanan jarum jam. padahal di buku2 yang saya pelajari terhadap utara.
Terima kasih atas pertanyaannya, Kak Wahyu.
Untuk meminimalisir potensi salah tafsir, kata jurusan sudah diganti jadi “arah”, ya. Sesuai kesepakatan, sudut ditarik dari sumbu X positif. Jadi, sudut luar ABC sama dengan 60 derajat. Ini berarti, sudut ABC adalah (180-60) derajat = 120 derajat.
kak soalnya bagus sangan membantu saat mengerjakan ulangan terimakasih mathcyber karna telah menanmah nilai matematika ku sangat drastis naiknya termaksih mathcyber mamaku pasti bangga
Sama-sama, Kak. Pentingkan ilmunya juga, Kak. Nilai otomatis ikut.