Soal dan Pembahasan – Uji Konvergensi Deret (Series Convergence Tests)

Kita ketahui bahwa pertidaksamaan $0 < \dfrac{1}{n^2+n} < \dfrac{1}{n^2}$ berlaku untuk $n \in \mathbb{N}$. Karena $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$ konvergen, maka dengan menggunakan Uji Banding (Comparison Test), kita memperoleh kesimpulan bahwa $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+n}$ juga konvergen.

Kita akan menggunakan uji integral untuk menunjukkan deret itu divergen.
Misalkan $f(k) = \dfrac{1}{k \ln k}$ kontinu pada selang $[2, \infty)$. Bentuk analisis integralnya adalah sebagai berikut.
$\displaystyle \int_{2}^{\infty} \dfrac{1}{k \ln k}~\text{d}k= \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k \ln k}~\text{d}k$
Untuk mengintegralkannya, substitusikan $u = \ln k$ berarti $\text{d}u = \dfrac{1}{k}~\text{d}k$
$\displaystyle \int \dfrac{1}{k \ln k}~\text{d}k= \int \dfrac{1}{u}~\text{d}u = \ln u$
(Abaikan konstanta) Substitusikan kembali nilai $u$, diperoleh
$\displaystyle \int \dfrac{1}{k \ln k}~dk = \ln(\ln k)$
(Tanda mutlak tak perlu dituliskan karena $k$ sudah didefinisikan positif).
Jadi, jika kita kembalikan pada soal, kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k \ln k}~dk & = \lim_{b \to \infty} [\ln(\ln k)]_{2}^{b} \\ & =  \lim_{b \to \infty} \left[\ln(\ln b) -\ln(\ln 2)\right] \\ & = \infty \end{aligned}$$Catatan: Jika $b$ diperbesar sampai tak hingga, maka $\ln b$ akan membesar menuju tak hingga juga. Atau dengan kata lain, jika ditanya $e$ pangkat berapa hasilnya tak hingga, maka jawabannya adalah tak hingga/besar sekali.
Jadi, deret tersebut terbukti divergen. 

Kita akan menggunakan uji integral untuk menunjukkan deret itu divergen. Misalkan $f(k) = \dfrac{1}{k^2}$ kontinu pada selang $[2, \infty)$. Bentuk analisis integralnya adalah sebagai berikut.
$\displaystyle \int_{2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}~\text{d}k= \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k^2}~\text{d}k$
$= \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left[-\dfrac{1}{k}\right]_{2}^{b}$
$= \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left(-\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2}$
Karena limitnya ada, maka terbukti bahwa deret $\displaystyle \sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}$ konvergen.

Intermezzo: Dua soal sebelumnya menunjukkan bahwa dengan uji integral, kita dapat dengan mudah menentukan kekonvergenan deret, tapi tidak untuk kasus ini. Mengapa? Karena bentuk $\dfrac{n}{2^n}$ akan begitu sulit untuk diintegralkan. Untuk menunjukkan kekonvergenannya, akan lebih mudah bila menggunakan uji rasio.
Misalkan $x_n = \dfrac{n}{2^n}$ dan $x_{n+1} = \dfrac{n+1}{2^{n+1}}$.
Berarti,
$\begin{aligned} \dfrac{x_{n+1}}{x_n} & = \dfrac{\dfrac{n+1}{2^{n+1}}}{\dfrac{n}{2^n}} \\ & = \dfrac{2^n}{2^{n+1}} \times \dfrac{n+1}{n} \\ & = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) \end{aligned}$
Jelas bahwa $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{1}{2} = L$.
Karena $L < 1$, maka menurut Teorema Uji Rasio, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n}$ konvergen.

Intermezzo: Sama seperti soal sebelumnya, rumus barisannya juga sulit untuk diintegralkan (apalagi memuat faktorial). Kita akan menggunakan uji rasio.
Misalkan $x_n = \dfrac{2^n}{n!}$ dan $x_{n+1} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}$. 
Berarti,
$\begin{aligned} \dfrac{x_{n+1}}{x_n} & = \dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^n}{n!}} \\ & = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} \times \dfrac{n!}{(n+1)!} \\ & = \dfrac{2}{n+1} \end{aligned}$
Jelas bahwa $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{n+1} = 0 = L$.
Karena $L < 1$, maka menurut Teorema Uji Rasio, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^n}{n!}$ konvergen.

Intermezzo: Sama seperti soal sebelumnya, rumus barisannya juga sulit untuk diintegralkan. Kita akan menggunakan uji rasio.
Misalkan $x_n = \dfrac{n!}{n^n}$ dan $x_{n+1} = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}.$
Berarti,
$\begin{aligned} \dfrac{x_{n+1}}{x_n} & = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \times \dfrac{n^n}{n!} \\ & = \dfrac{(n+1)n^n}{(n+1)^n(n+1)} \\ & = \dfrac{n^n}{(n+1)^n} \\ & = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \\ & = \dfrac{1}{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n}  \\ & =\dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n} \end{aligned}$
Limit pada bentuk penyebutnya adalah limit barisan euler, yaitu
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = e$
Jadi,
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n} = \dfrac{1}{e} = L$
Karena $L < 1$, maka menurut Teorema Uji Rasio, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n!}{n^n}$ konvergen.

Jawaban a)
Misalkan $a_n = \dfrac{1}{n}$ dan $a_{n + 1} = \dfrac{1}{n + 1}$, sehingga nilai mutlak rasionya adalah
$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{1}{n+1} \times \dfrac{n}{1} = \dfrac{n}{n+1}.$
Dengan demikian, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n+1} = 1 = L.$
Karena $L = 1$ (tepat satu), maka konvergensi deret tersebut tidak dapat ditentukan dengan uji rasio. (Deret tersebut sebenarnya divergen).
Jawaban b)
Misalkan $a_n = \dfrac{1}{n^2}$ dan $a_{n + 1} = \dfrac{1}{(n + 1)^2}$, sehingga nilai mutlak rasionya adalah $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{1}{(n+1)^2} \times \dfrac{n^2}{1} = \dfrac{n^2}{n^2 + 2n + 1}.$
Dengan demikian, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2 + 2n + 1}{n^2} = 1 = L$.
Karena $L = 1$ (tepat satu), maka konvergensi deret tersebut tidak dapat ditentukan dengan uji rasio. (Deret tersebut sebenarnya konvergen).
Catatan: Dari kedua kasus di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa ketika menggunakan uji rasio dan kita memperoleh nilai $L = 1$, maka kita tidak dapat menentukan kekonvergenan deretnya. (Tampak kasus a divergen dan kasus b konvergen, padahal nilai $L$ sama).