Berikut ini disajikan beberapa soal beserta penyelesaiannya mengenai persamaan diferensial linear orde dua (nonhomogen) dengan koefisien konstan. Metode yang digunakan melibatkan penyelesaian PD homogennya sehingga Anda diharuskan sudah menguasai teknik penyelesaiannya.
Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan
Gunakan bantuan tabel FUC di bawah untuk mengerjakan soal-soal berikut ini.
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{No.} & \text{Fung}\text{si Undetermined Coefficient (FUC)} & \text{Himp}\text{unan Undetermined Coefficient (HUC)} \\ \hline 1 & x^n & \{x^n, x^{n-1}, \cdots, x, 1\} \\ \hline 2 & e^{ax} & \{e^{ax}\}, a \neq 0 \\ \hline 3 & \sin (bx+c)~\text{atau}~\cos (bx+c) & \{\sin (bx+c, \cos (bx+c)\}, b \neq 0 \\ \hline 4 & x^ne^{ax} & \{x^ne^{ax}, x^{n-1}e^{ax}, \cdots, xe^{ax}, e^{ax}\}, a \neq 0 \\ \hline 5 & x^n \sin (bx + c)~\text{atau}~x^n \cos (bx + c) & \{x^n \sin (bx+c), x^n \cos (bx+c), x^{n-1} \sin (bx+c), x^{n-1} \cos (bx+c), \cdots, \sin (bx+c), \cos (bx+c)\}, b \neq 0 \\ \hline 6 & e^{ax} \sin (bx+c)~\text{atau}~e^{ax} \cos (bx+c) & \{e^{ax} \sin (bx+c), e^{ax} \cos (bx+c)\}, a \neq 0, b \neq 0 \\ \hline 7 & x^n e^{ax} \sin (bx+c)~\text{atau}~x^n e^{ax} \cos (bx+c) & \{x^n e^{ax} \sin (bx+c), x^n e^{ax} \cos (bx+c), x^{n-1} e^{ax} \sin (bx+c), x^{n-1} e^{ax} \cos (bx+c), \cdots, e^{ax} \sin (bx+c), e^{ax} \cos (bx+c)\}, a \neq 0, b \neq 0 \\ \hline \end{array}$$
Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial (Tingkat Dasar)
Today Quote
Soal Nomor 1
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 3y = 5$.
PD di atas bukan PD homogen sebab ruas kanannya mengandung konstanta tak nol. Gunakan cara yang sama seperti mencari penyelesaian umum PD homogen. Persamaan karakteristiknya adalah $$m^2- 2m- 3 = (m- 3)(m + 1) = 0.$$Dengan demikian, akar karakteristiknya adalah $m = 3 \lor m =-1$. Berarti, penyelesaian umum PD homogen terkait adalah $y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}$. Dengan memperhatikan koefisien $y$ pada PD, kita dapatkan bahwa perlu adanya konstanta baru yang bila dikalikan dengan $-3$, hasilnya $5$. Konstanta itu adalah $-\dfrac{5}{3}$. Jadi, solusi umum PD tersebut adalah
$\boxed{y = y_c- \dfrac{5}{3} = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}- \dfrac{5}{3}}$
Soal Nomor 2
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 3y = 2e^{4x}$.
Langkah pertama adalah menentukan solusi komplementer (umum) untuk PD homogen terkait, yaitu
$\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 3y = 0.$
Persamaan karakteristiknya adalah $m^2- 2m- 3 = 0$, dengan akar karakteristik $m = 3$ dan $m =-1$. Jadi, solusi umumnya adalah $y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}.$
Langkah selanjutnya adalah menentukan solusi partikulir (solusi khusus) PD nonhomogen tersebut.
Misalkan $y_p = Ae^{4x}$ merupakan solusi khususnya sehingga $y’ = 4Ae^{4x}$ dan $y^{\prime \prime} = 16Ae^{4x}$. Substitusikan ke PD, diperoleh
$16Ae^{4x}- 2(4Ae^{4x})- 3Ae^{4x} = 2e^{4x}$
$\Leftrightarrow 5Ae^{4x} = 2e^{4x}$
$\Leftrightarrow A = \dfrac{2}{5}.$
Berarti, solusi khususnya adalah $y_p = \dfrac{2}{5}e^{4x}.$
Solusi umum PD itu adalah $$\boxed{y = y_c + y_p = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} + \dfrac{2}{5}e^{4x}}$$
Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Soal Nomor 3
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 3y = 2e^{3x}$.
Solusi umum PD nonhomogen terkait adalah $y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}$. Sekarang, kita akan menentukan solusi khusus PD homogennya dengan cara yang sama seperti sebelumnya.
Misalkan $y_p = Ae^{3x}$ merupakan solusi khususnya sehingga $y’ = 3Ae^{3x}$ dan $y^{\prime \prime} = 9Ae^{3x}$. Substitusikan ke PD, diperoleh
$9Ae^{3x}- 2(3Ae^{3x})- 3Ae^{3x} = 2e^{3x}$
$\Rightarrow 0 = 2e^{3x}.$
Dalam hal ini, kita menemukan bahwa nilai $A$ menjadi sembarang konstanta, sebab pada solusi umum $y_c$ sudah terkandung suku dengan ekspresi $e^{3x}$.
Ulangi langkah dengan memisalkan $y_p = Axe^{3x}$ sebagai solusi khususnya sehingga $y_p’ = 3Axe^{3x} + Ae^{3x}$ dan $y_p” = 9Axe^{3x} + 6Ae^{3x}$.
Substitusikan ke PD hingga diperoleh
$$\begin{aligned} (9Axe^{3x} + 6Ae^{3x})- 2(3Axe^{3x} + Ae^{3x}) -3Axe^{3x} & = 2e^{3x} \\ \Leftrightarrow 4Ae^{3x} & = 2e^{3x} \\ \Leftrightarrow A & = \dfrac{1}{2} \end{aligned}$$Jadi, $y_p = \dfrac{1}{2}xe^{3x}.$
Dengan demikian, solusi umum PD homogen tersebut adalah
$$\boxed{y = y_c + y_p = C_1e^{3x} + C_2e^{-x} + \dfrac{1}{2}xe^{3x}}$$
Soal Nomor 4
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 3\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2y = 4x^2$.
Solusi umum PD homogen yang terkait adalah $y_c = C_1e^{2x} + C_2e^{x}.$
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah $\{x^2, x, 1\}$. Misalkan
$y_p = Ax^2 + Bx + C$ adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
$y_p’ =2Ax + B$ dan $y_p^{\prime \prime} = 2A.$
Substitusikan ke PD:
$$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 3\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2y & = 4x^2 \\ 2A-3(2Ax + B) + 2(Ax^2 + Bx + C) & = 4x^2 \\ 2Ax^2 + (-6A + 2B)x + (2A- 3B + 2C) & = 4x^2 \end{aligned}$$Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
$\begin{cases} 2A & = 4 \\-6A+ 2B & = 0 & \\ 2A- 3B + 2C & = 0 \end{cases}$
Selesaikan sehingga diperoleh
$\begin{cases} A = 2 & \\ B = 6 & \\ C = 7 \end{cases}$
Jadi, $y_p = 2x^2 + 6x + 7.$
Solusi umumnya adalah $y = y_c + y_p$, yaitu
$\boxed{y = C_1e^{2x} + C_2e^{x} + 2x^2 + 6x + 7 }$
Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah
Soal Nomor 5
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 2\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 8y = 4e^{2x}- 21e^{-3x}$.
Solusi umum PD homogen yang terkait adalah $y_c = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x}.$
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah $\{e^{2x}, e^{-3x}\}$. Misalkan
$y_p = Ae^{2x}+ Be^{-3x}$ adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
$y_p’ = 2Ae^{2x}- 3Be^{-3x}$ dan $y_p^{\prime \prime} = 4Ae^{2x} + 9Be^{-3x}$
Substitusikan ke PD:
$$\begin{aligned} \dfrac{d^2y}{\text{d}x^2}- 2\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 8y & = 4e^{2x}- 21e^{-3x} \\ (4Ae^{2x} + 9Be^{-3x})- 2(2Ae^{2x}- 3Be^{-3x})- 8(Ae^{2x}+ Be^{-3x}) & = 4e^{2x}- 21e^{-3x} \\ (-8A)e^{2x} + 7Be^{-3x} & = 4e^{2x}- 21e^{-3x} \end{aligned}$$Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
$\begin{cases}-8A & = 4 \\ 7B & =-21 \end{cases}$
Selesaikan sehingga diperoleh
$\begin{cases} A =-\dfrac{1}{2} & \\ B =-3 \end{cases}$
Jadi, $y_p =-\dfrac{1}{2}e^{2x}- 3e^{-3x}.$
Solusi umumnya adalah $y = y_c + y_p$, yaitu
$\boxed{y = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x}-\dfrac{1}{2}e^{2x}- 3e^{-3x}}$
Soal Nomor 6
Tentukan solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 2\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 3y = 2e^x- 10 \sin x$.
Solusi umum PD homogen yang terkait adalah $y_c = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}.$
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah $\{e^x, \sin x, \cos x\}$. Misalkan
$y_p = Ae^x + B \sin x + C \cos x$ adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
$y_p’ = Ae^x + B \cos x- C \sin x$
$y_p^{\prime \prime} = Ae^x- B \sin x- C \cos x.$
Substitusikan ke PD:
$$\begin{aligned} \dfrac{d^2y}{\text{d}x^2}- 2\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 3y & = 2e^x- 10 \sin x \\ \Leftrightarrow (Ae^x -B \sin x- C \cos x) -2(Ae^x + B \cos x- C \sin x) -3( Ae^x + B \sin x + C \cos x) & = 2e^x- 10 \sin x \\ \Leftrightarrow -4Ae^x + (-4B + 2C) \sin x + (-2B- 4C) \cos x &= 2e^x- 10 \sin x \end{aligned}$$Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
$\begin{cases}-4A = 2 & \\-4B + 2C =-10 & \\-2B- 4C = 0 \end{cases}$
Selesaikan sehingga diperoleh
$\begin{cases} A =-\dfrac{1}{2} & \\ B =2 & \\ C =-1 \end{cases}$
Jadi, $y_p =-\dfrac{1}{2}e^x + 2\sin x- \cos x.$
Solusi umumnya adalah $y = y_c + y_p$, yaitu
$$\boxed{y = C_1e^{3x} + C_2e^{-x}- \dfrac{1}{2}e^x + 2\sin x- \cos x}$$
Baca: Soal dan Pembahasan – Persamaan Diferensial Eksak
Soal Nomor 7
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} +2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 5y = 6 \sin 2x +$ $7 \cos 2x$.
Persamaan karakteristik dari PD homogen terkait adalah $m^2 + 2m + 5 = 0$. Akar karakteristiknya (gunakan rumus kuadrat) adalah $m =-1 \pm 2i$ sehingga solusi umumnya adalah
$y_c = e^{-x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x).$
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah $\{\sin 2x, \cos 2x\}$. Misalkan $y_p = A \sin 2x + B \cos 2x$ adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
$y_p’ = 2A \cos 2x- 2B \sin 2x$
$y_p^{\prime \prime} =-4A \sin 2x- 4B \cos 2x.$
Substitusikan ke PD:
$$\begin{aligned} \dfrac{d^2y}{\text{d}x^2} +2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 5y &= 6 \sin 2x + 7 \cos 2x \\ \Leftrightarrow (-4A \sin 2x- 4B \cos 2x) + 2(2A \cos 2x -2B \sin 2x) + 5(A \sin 2x + B \cos 2x) & = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x \\ \Leftrightarrow (A- 4B)\sin 2x + (4A + B)\cos 2x & = 6 \sin 2x + 7 \cos 2x \end{aligned}$$Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
$\begin{cases} A-4B = 6 & \\ 4A+B= 7 \end{cases}$
Selesaikan sehingga diperoleh
$\begin{cases} A = 2 & \\ B =-1 \end{cases}$
Jadi, $y_p = 2 \sin 2x- \cos 2x.$
Solusi umumnya adalah $y = y_c + y_p$, yaitu
$$\boxed{y = e^{-x}(C_1 \sin 2x + C_2 \cos 2x) + 2 \sin 2x- \cos 2x}$$
Soal Nomor 8
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} +2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2y = 10 \sin 4x$.
Persamaan karakteristik dari PD homogen terkait adalah $m^2 + 2m + 2 = 0$. Akar karakteristiknya (gunakan rumus kuadrat) adalah $m =-1 \pm i$ sehingga solusi umumnya adalah
$y_c = e^{-x}(C_1 \sin x + C_2 \cos x).$
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah $\{\sin 4x, \cos 4x\}$. Misalkan $y_p = A \sin 4x + B \cos 4x$ adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
$y_p’ = 4A \cos 4x- 4B \sin 4x$
$y_p^{\prime \prime} =-16A \sin 4x- 16B \cos 4x.$
Substitusikan ke PD:
$$\begin{aligned} \dfrac{d^2y}{\text{d}x^2} +2 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2y & = 10 \sin 4x \\ \Leftrightarrow (-16A \sin 4x-16B \cos 4x) + 2(4A \cos 4x- 4B \sin 4x) + 2(A \sin 4x + B \cos 4x) & = 10 \sin 4x \\ \Leftrightarrow (-14A- 8B)\sin 4x + (8A- 14B) \cos 4x & = 10 \sin 4x \end{aligned}$$Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
$\begin{cases}-14A-8B & = 10 \\ 8A-14B & = 0 \end{cases}$
Selesaikan sehingga diperoleh
$\begin{cases} A =-\dfrac{7}{13}& \\ B =-\dfrac{4}{13} \end{cases}$
Jadi, $y_p =-\dfrac{7}{13} \sin 4x-\dfrac{4}{13} \cos 4x.$
Solusi umumnya adalah $y = y_c + y_p$, yaitu
$$\boxed{y = e^{-x}(C_1 \sin x + C_2 \cos x)-\dfrac{7}{13} \sin 4x-\dfrac{4}{13} \cos 4x}$$
Soal Nomor 9
Cari solusi umum dari $\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}- 3\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 4y = 16x- 12e^{2x}$.
Solusi umum PD homogen yang terkait adalah $y_c = C_1e^{4x} + C_2e^{-x}.$
Diketahui himpunan UC dari ekspresi di ruas kanan PD adalah $\{x, 1, e^{2x}\}$. Misalkan
$y_p = Ax + B + Ce^{2x}$ adalah solusi khusus PD, dan diperoleh
$y_p’ = A + 2Ce^{2x}$ dan $y_p^{\prime \prime} = 4Ce^{2x}.$
Substitusikan ke PD:
$$\begin{aligned} \dfrac{d^2y}{\text{d}x^2}- 3\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}- 4y & = 16x- 12e^{2x} \\ \Leftrightarrow (4Ce^{2x})- 3(A + 2Ce^{2x}) -4(Ax + B + Ce^{2x}) & = 16x- 12e^{2x} \\ \Leftrightarrow (-6C)e^{2x} + (-4A)x + (-3A- 4B) & = 16x- 12e^{2x} \end{aligned}$$Dari persamaan di atas, diperoleh sistem persamaan linear
$\begin{cases}-6C & =-12 & \\-4A & = 16 & \\-3A- 4B & = 0 \end{cases}$
Selesaikan sehingga diperoleh
$\begin{cases} A =-4 & \\ B = 3 & \\ C = 2 \end{cases}$
Jadi, $y_p =-4x + 3 + 2e^{2x}.$
Solusi umumnya adalah $y = y_c + y_p$, yaitu
$\boxed{y = C_1e^{4x} + C_2e^{-x}- 4x + 3 + 2e^{2x}}$
Baca: Soal dan Pembahasan – Penyelesaian Persamaan Diferensial Homogen (Reduksi dan Pemisahan Variabel)