Tag: Limit Fungsi

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Berdasarkan rumus limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin mx}{\sin nx} = \dfrac{m}{n}$, untuk $m = 2$ dan $n = 6$, diperoleh
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x}{\sin 6x} = \dfrac{2}{6} = \dfrac13}$
(Jawaban B)

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi trigonometri yang ada dengan cara membagi setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan $x.$
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 7x + \tan 3x-\sin 5x}{\tan 9x-\tan 3x-\sin x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin 7x}{x} + \dfrac{\tan 3x}{x}-\dfrac{\sin 5x}{x}}{\dfrac{\tan 9x}{x}-\dfrac{\tan 3x}{x}-\dfrac{\sin x}{x}} \\ & = \dfrac{7 + 3-5}{9-3-1} \\ & = \dfrac{5}{5} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 7x + \tan 3x-\sin 5x}{\tan 9x-\tan 3x-\sin x}=1}$
(Jawaban E)

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi trigonometri yang ada dengan cara membagi setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan $x.$
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x} {\tan x-\sin 2x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x \cos 2x}{x}} {\dfrac{\tan x} {x}-\dfrac{\sin 2x} {x}} \\ & = \dfrac{\cos 0}{1-2} \\ & = \dfrac{1}{-1} = -1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos 2x}{\tan x-\sin 2x} =-1}$
(Jawaban A) 

Substitusi langsung $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi trigonometri yang ada dengan cara membagi setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan $x.$
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x + \sin 4x}{5x-\tan 2x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{3x}{x} + \dfrac{\sin 4x}{x}}{\dfrac{5x}{x}- \dfrac{ \tan 2x}{x}} \\ & = \dfrac{3 + 4}{5-2} \\ & = \dfrac73 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{3x + \sin 4x}{5x-\tan 2x} = \dfrac{7}{3}}$
(Jawaban D)

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Berdasarkan rumus limit fungsi trigonometri $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin mx}{\tan nx} = \dfrac{m}{n}$, untuk $m = 2$ dan $n = \frac12$, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 2x}{\tan^3 \frac12x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 2x}{\tan \frac12x}\right)^3 \\ & = \left(\dfrac{2}{\frac12}\right)^3 \\ & = (4)^3 = (2^2)^3 = 2^6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 2x}{\tan^3 \frac12x} = 2^6}$
(Jawaban D)

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Langkah selanjutnya adalah dengan melakukan pemisahan pecahan menjadi dua suku, lalu munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi trigonometri yang ada.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2x^2+x}{\sin x} & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{2x^2}{\sin x}+\dfrac{x}{\sin x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \left(2x \cdot \dfrac{x}{\sin x}\right) + \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} \\ & = 2(0)(1) + 1 \\ & = 0+1 = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2x^2+x}{\sin x} = 1}$
(Jawaban D)

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Langkah selanjutnya adalah dengan mengeluarkan konstanta dari bentuk limitnya, lalu munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi trigonometri yang ada dengan cara mengelompokkan.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \cdot \tan 3x}{3x^2} & = \dfrac13 \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\tan 2x}{x} \cdot \dfrac{\tan 3x}{x}\right) \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac21 \cdot \dfrac31 = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan 2x \cdot \tan 3x}{3x^2} = 2}$
(Jawaban D)

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac00.$
Kelompokkan/pecahkan fungsi dalam bentuk perkalian pecahan yang dapat ditentukan nilainya dengan menggunakan rumus limit trigonometri.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin^2 \dfrac12x}{x \tan x} & = \lim_{x \to 0} \left(2 \cdot \dfrac{\sin \dfrac12x}{x} \cdot \dfrac{\sin \dfrac12x}{\tan x}\right) \\ & = 2 \cdot \dfrac12 \cdot \dfrac12 \\ & = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut sama dengan $\boxed{\dfrac12}$
(Jawaban D)

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac00.$
Kalikan pembilang dan penyebut fungsi dengan $(1+\cos x)$ sehingga pembilang dapat diubah bentuknya dengan menggunakan Identitas Pythagoras.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{\sin x} & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1-\cos x}{\sin x} \color{blue}{\cdot \dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^2 x}{\sin x(1+ \cos x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cancelto{\sin x}{\sin^2 x}}{\cancel{\sin x}(1+\cos x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{1+\cos x} \\ & = \dfrac{\sin 0}{1+\cos 0} \\ & = \dfrac{0}{1+1} = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut sama dengan $\boxed{0}$
(Jawaban A)

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac00.$
Perhatikan bahwa dengan menggunakan identitas Pythagoras dan identitas kebalikan, kita ketahui bahwa
$$\boxed{\begin{aligned} 1-\cos^2 x & = \sin^2 x \\ \cot \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right) & = \dfrac{1}{\tan \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)} \end{aligned}}$$sehingga kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^2 x}{x^2 \cot \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)} & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \tan \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\right) \\ & = 1^2 \cdot \tan \left(0-\dfrac{\pi}{3}\right) \\ & = 1(-\sqrt3) = -\sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos^2 x}{x^2 \cot \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)} = -\sqrt3}$
(Jawaban E)

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac00.$
Kalikan pembilang dan penyebut fungsi dengan $(\cos 2x+\cos 7x)$ sehingga penyebut dapat diubah bentuknya dengan menggunakan Identitas Pythagoras.
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x \tan 5x}{\cos 2x-\cos 7x} & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{x \tan 5x}{\cos 2x-\cos 7x} \cdot \color{blue}{\dfrac{\cos 2x + \cos 7x}{\cos 2x + \cos 7x}}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(x \tan 5x)(\cos 2x+\cos 7x)}{\cos^2 2x-\cos^2 7x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(x \tan 5x)(\cos 2x+\cos 7x)}{(1-\sin^2 2x)-(1-\sin^2 7x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(x \tan 5x)(\cos 2x+\cos 7x)}{\sin^2 7x-\sin^2 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x \tan 5x}{x^2} \cdot (\cos 2x+\cos 7x)}{\dfrac{\sin^2 7x}{x^2}-\dfrac{\sin^2 2x}{x^2}} \\ & = \dfrac{1 \cdot 5(\cos 0 + \cos 0)}{7 \cdot 7-2 \cdot 2} \\ & = \dfrac{5(1+1)}{49-4} \\ & = \dfrac{10}{45} = \dfrac29 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut sama dengan $\boxed{\dfrac29}$
(Jawaban A)

Substitusi langsung $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Ide utamanya adalah mengubah bentuk $\cos 2x$ menjadi $1-2 \sin^2 x.$
Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-(1-2 \sin^2 x)} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin^2 x} {x \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(2 \cdot \dfrac{\sin x} {x} \cdot \dfrac{\sin x}{\tan 2x}\right) \\ & = 2 \times 1 \times \dfrac{1}{2} = 1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x} {x \tan 2x} = 1}$
(Jawaban C)

Substitusi langsung $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Ide utamanya adalah mengubah bentuk $\cos 4x$ menjadi $1-2 \sin^2 2x.$
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 4x}{x \sin x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-(1-2 \sin^2 2x)}{x \sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin^2 2x}{x \sin x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(2 \cdot \dfrac{\sin 2x}{x} \cdot \dfrac{\sin 2x}{\sin x}\right) \\ & = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 4x}{x \sin x}= 8}$
(Jawaban D) 

Substitusi langsung $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}.$
Ide utamanya adalah mengubah bentuk $\cos 5x$ menjadi $1-2 \sin^2 \dfrac52x.$
Untuk itu, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1-\cos 5x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1-(1-2 \sin^2 \dfrac{5}{2}x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x}{2 \cdot \sin \dfrac{5}{2}x \cdot \sin \dfrac{5}{2}x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sin 3x} {\sin \dfrac{5}{2}x} \cdot \dfrac{\tan 5x} {\sin \dfrac{5}{2}x}\right) \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{10}{5} = \dfrac{6}{5} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x \cdot \tan 5x} {1-\cos 5x} = \dfrac{6}{5}}$
(Jawaban E)

Substitusi langsung $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$ sehingga perlu dilakukan manipulasi bentuk dengan menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit trigonometri berikut.
$\boxed{\begin{aligned} & \displaystyle \tan ax = \dfrac{\sin ax}{\cos ax} \\ & \sin 2ax = 2 \sin ax \cos ax \\ & \sin^2 ax + \cos^2 ax = 1 \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x}- \dfrac{2}{x^2}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x}- \dfrac{2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x-2 \tan 2x}{x^2 \tan 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x-2 \cdot \dfrac{\sin 2x} {\cos 2x}}{x^2 \tan 2x} \color{red}{\times \dfrac{\cos 2x}{\cos 2x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (2\cdot 2x) \cos 2x-2 \sin 2x}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{(2 \sin 2x \cos 2x) \cos 2x-2 sin 2x}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x(\cos^2 2x- 1)}{x^2 \tan 2x \cos 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{2 \sin 2x (-\sin^2 2x)}{x^2 \cdot \dfrac{\sin 2x}{\cancel{\cos 2x}} \cancel{\cos 2x} } \\ & =-2 \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 2x} {\sin 2x} \cdot \dfrac{\sin 2x} {x} \cdot \dfrac{\sin 2x} {x}\right) \\ & =-2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 =-8 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin 4x}{x^2 \tan 2x}-\dfrac{2}{x^2}\right)=-8}$
(Jawaban A) 

Substitusi langsung nilai $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi trigonometri yang ada dengan cara membagi setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan $x.$
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{4x \cos x}{x}} {\dfrac{\sin x}{x} + \dfrac{\sin 3x}{x}} \\ & = \dfrac{4 \cos 0}{1 + 3} \\ & = \dfrac{4}{4} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{4x \cos x} {\sin x + \sin 3x} = 1}$
(Jawaban E) 

Substitusi langsung $x = \dfrac{\pi}{4}$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}.$
Gunakan identitas trigonometri berikut.
$\boxed{\cos 2x = \cos^2 x-\sin^2 x}$
Dengan mengalikan limit fungsi tersebut dengan bentuk sekawan penyebutnya, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x} {\sin x-\cos x} & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \left(\dfrac{\cos 2x} {\sin x-\cos x} \times \dfrac{\sin x + \cos x} {\sin x + \cos x} \right) \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x (\sin x + \cos x)} {\sin^2 x- \cos^2 x} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cancel{\cos 2x} (\sin x + \cos x)} {-\cancel{\cos 2x}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {4}}-(\sin x+ \cos x) \\ & =-\left(\sin \dfrac{\pi} {4} + \cos \dfrac{\pi} {4}\right) \\ & =-\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) =-\sqrt{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {4}} \dfrac{\cos 2x} {\sin x- \cos x} =-\sqrt{2}}$
(Jawaban A) 

Substitusi langsung $x = 0$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}.$
Gunakan beberapa identitas trigonometri berikut.
$$\boxed{\begin{aligned} \sec x & = \dfrac{1}{\cos x} \\ \cos x + \cos y & = 2 \cos \dfrac12(x+y) \cos \dfrac12(x-y) \end{aligned}}$$Kita akan peroleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sec 9x-\sec 7x}{\sec 5x-\sec 3x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{\cos 9x}-\dfrac{1}{\cos 7x}}{\dfrac{1}{\cos 5x}-\dfrac{1}{\cos 3x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\cos 7x-\cos 9x}{\cos 9x \cos 7x}}{\dfrac{\cos 3x-\cos 5x}{\cos 3x \cos 5x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 7x- \cos 9x}{\cos 9x \cos 7x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{\cos 3x- \cos 5x} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{-2 \sin \dfrac12(7x+9x) \sin \dfrac12(7x-9x)}{\cos 9x \cos 7x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{-2 \sin \dfrac12(3x+5x) \sin \dfrac12(3x-5x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{-2 \sin 8x \sin (-x)}{\cos 9x \cos 7x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{-2 \sin 4x \sin (-x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 8x}{\sin 4x} \times \dfrac{\sin x}{\sin x} \times \dfrac{\cos 3x \cos 5x}{\cos 9x \cos 7x} \\ & = \dfrac{8}{4} \times 1 \times \dfrac{\cos 0 \cos 0}{\cos 0 \cos 0} \\ & = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sec 9x-\sec 7x}{\sec 5x-\sec 3x} = 2}$
(Jawaban C)

Substitusi $x = \dfrac{\pi}{2}$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac00$. Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} A & = 1-\sin^2 x \\ & = (1+\sin x)(1-\sin x) \\ B & = \left(\sin \dfrac12x-\cos \dfrac12x\right)^2 \\ & = \color{blue}{\sin^2 \dfrac12x + \cos^2 \dfrac12x}-\color{red}{2 \sin \dfrac12x \cos \dfrac12x} \\ & = \color{blue}{1}-\color{red}{\sin x} \end{aligned}$$Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{1-\sin^2 x}{\left(\sin \dfrac12x-\cos \dfrac12x\right)^2} & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{(1+\sin x)\cancel{(1-\sin x)}}{\cancel{1-\sin x}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (1+\sin x) \\ & = 1+\sin \dfrac{\pi}{2} \\ & = 1+1=2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{2}$
(Jawaban E)

Substitusi langsung $x = 3$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$. 
Misalkan $\color{blue}{p = x-3}.$ Ketika $x \to 3$, maka $p \to 0,$ sehingga kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \lim_{x \to 3} \dfrac{x \tan (2x-6)} {\sin (x-3)} & = \lim_{x \to 3} \left(x \cdot \dfrac{\tan 2(x-3)} {\sin (x-3)}\right) \\ & = \lim_{p \to 0} \left((p + 3) \cdot \dfrac{\tan 2p}{\sin p}\right) \\ & = (0 + 3) \cdot 2 = 6 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x \tan (2x-6)} {\sin (x-3)} = 6}$
(Jawaban D) 

Substitusi langsung $x = \dfrac{\pi}{8}$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Dengan mengalikan fungsi tersebut dengan bentuk sekawan penyebutnya, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle & \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\sin^2 2x-\cos^2 2x} {\sin 2x-\cos 2x} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \left(\dfrac{\sin^2 2x-\cos^2 2x} {\sin 2x- \cos 2x} \times \dfrac{\sin 2x + \cos 2x}{\sin 2x + \cos 2x}\right) \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\cancel{(\sin^2 2x-\cos^2 2x)}(\sin 2x + \cos 2x)}{\cancel{\sin^2 2x-\cos^2 2x}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} (\sin 2x + \cos 2x) \\ & = \sin \dfrac{2\pi}{8} + \cos \dfrac{2\pi}{8} \\ & = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2} = \sqrt{2} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi} {8}} \dfrac{\sin^2 2x- \cos^2 2x} {\sin 2x-\cos 2x} = \sqrt{2}}$
(Jawaban E) 

Substitusi langsung $x = -2$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac00.$
Kelompokkan/pecahkan fungsi dalam bentuk perkalian pecahan yang dapat ditentukan nilainya dengan menggunakan rumus limit trigonometri. Berikutnya, lakukan permisalan $\color{blue}{p = x +2}.$ Ketika $x \to -2,$ maka $p \to 0.$ Kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -2} \dfrac{(x^2-4) \tan (x+2)}{\sin^2 (x+2)} & = \lim_{x \to -2} \dfrac{(x+2)(x-2) \tan (x+2)}{\sin^2 (x+2)} \\ & = \lim_{x \to -2} \left((x-2) \cdot \dfrac{x+2}{\sin (x+2)} \cdot \dfrac{\tan (x+2)}{\sin (x+2)} \right) \\ & = \lim_{p \to 0} \left((\color{blue}{p-2}-2) \cdot \dfrac{p}{\sin p} \cdot \dfrac{\tan p}{\sin p} \right) \\ & = (0-4) \cdot 1 \cdot 1 \\ & = -4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut sama dengan $\boxed{-4}$
(Jawaban A)

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac00.$
Ubah bentuk/ekspresi trigonometri pada penyebut sebagai berikut.
$$\begin{aligned} \sin 2x & = \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-2x\right) \\ & = \cos \left(-2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right) \\ & = \cos 2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) \end{aligned}$$Sekarang, kita peroleh
$$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) \sin \left(3x-\dfrac{3\pi}{4}\right)}{2(1-\sin 2x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right) \sin 3\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)}{2\left(1-\cos 2\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)}$$Misalkan $p = x-\dfrac{\pi}{4}.$ Ketika $x \to \dfrac{\pi}{4},$ maka $p \to 0$ sehingga bentuk limit dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \lim_{p \to 0} \dfrac{p \sin 3p}{2(1-\cos 2p)} & = \lim_{p \to 0} \dfrac{p \sin 3p}{2(1-(1-2\sin^2 p)} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{p \sin 3p}{4 \sin^2 p} \\ & = \dfrac14 \lim_{p \to 0} \left(\dfrac{p}{\sin p} \cdot \dfrac{\sin 3p}{\sin p}\right) \\ & = \dfrac14 \cdot 1 \cdot 3 = \dfrac34 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{\dfrac34}$
(Jawaban B)

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac00.$
Ide utamanya adalah mengubah $\cos^2 x$ menjadi $$\left(\sin -\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)^2 = \sin^2 \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right).$$Selanjutnya, misalkan $\color{blue}{p = x-\dfrac{\pi}{2}}.$ Ketika $x \to \dfrac{\pi}{2},$ maka $p \to 0,$ sehingga kita peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{4(x-\pi) \cos^2 x}{\pi(\pi-2x) \tan \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)} & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{4(x-\pi) \sin^2 \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)}{-2\pi\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\tan \left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)} \\ & = \lim_{p \to 0} \dfrac{4\left(\color{blue}{p + \dfrac{\pi}{2}}-\pi\right) \sin^2 p}{-2\pi(p) \tan p} \\ & = \dfrac{4}{-2\pi} \lim_{p \to 0} \left(\left(p- \dfrac{\pi}{2}\right) \cdot \dfrac{\sin p}{p} \cdot \dfrac{\sin p}{\tan p}\right) \\ & = -\dfrac{2}{\pi} \left(0-\dfrac{\pi}{2}\right) \cdot 1 \cdot 1 \\ & = -\dfrac{2}{\pi} \cdot \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \\ & = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{1}$
(Jawaban D)

Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac00.$
Faktorkan bentuk kuadrat.
$$\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2+x-2) \sin (x-1)}{x^2-2x+1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+2)(x-1) \sin (x-1)}{(x-1)(x-1)}$$Misalkan $\color{blue}{p = x-1}.$ Ketika $x \to 1$ maka $p \to 0$ sehingga bentuk limit dapat ditulis menjadi
$$\begin{aligned} \lim_{p \to 0} \dfrac{(\color{blue}{p+1}+2)(p) \sin p}{p^2} & = \lim_{p \to 0} \dfrac{(p+3)(p) \sin p}{p^2} \\ & = (0+3) \cdot 1 \cdot 1 = 3 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari limit tersebut adalah $\boxed{3}$
(Jawaban B)

Substitusi langsung $x = 1$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Misalkan $\color{blue}{p = x-1}.$ Ketika $x \to 1$, maka $p \to 0,$ sehingga kita akan peroleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2-1) \tan (2x-2)}{\sin^2 (x-1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)(x-1) \tan 2(x-1)}{\sin (x-1) \cdot \sin (x-1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \left((x + 1) \cdot \dfrac{x-1}{\sin (x-1)} \cdot \dfrac{\tan 2(x-1)}{\sin (x-1)}\right) \\ & = \lim_{p \to 0} \left((\color{blue}{p+1} + 1) \cdot \dfrac{p}{\sin p} \cdot \dfrac{\tan 2p}{\sin p}\right) \\ & = (0 + 2) \cdot 1 \cdot 2 = 4 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2-1) \tan(2x-2)}{\sin^2 (x-1)} = 4}$
(Jawaban C)

Substitusi langsung $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Misalkan $\color{blue}{p = x-2}.$ Ketika $x \to 2$, maka $p \to 0,$ sehingga kita akan peroleh
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos (\pi x-2\pi)} {\tan (2\pi x- 4\pi)} \\ & = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos \pi(x-2)}{\tan 2\pi(x-2)} \\ & = \lim_{x \to 2} \left(\dfrac{x-2}{\tan 2\pi(x-2)} \cdot \cos \pi(x-2)\right) \\ & = \lim_{p \to 0} \left(\dfrac{p}{\tan 2\pi p} \cdot \cos (\pi p)\right) \\ & = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \cos (\pi (0)) \\ & = \dfrac{1}{2\pi} \cdot 1 \\ & = \dfrac{1}{2\pi} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2) \cos (\pi x-2\pi)} {\tan (2\pi x-4\pi)} = \dfrac{1}{2\pi}}$
(Jawaban E) 

Substitusi langsung $x = 2$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Bentuk $x^3-1$ dapat difaktorkan menjadi $(x-1)(x^2+x+1).$
Misalkan $\color{blue}{p = x-1}.$ Ketika $x \to 1$, maka $p \to 0,$ sehingga kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{x^3-1} & = \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{(x-1)(x^2+x+1)} \\ & = \lim_{x \to 1} \left(-\dfrac{\tan (x-1)}{x-1} \cdot \dfrac{1}{x^2 + x + 1}\right) \\ & = \lim_{p \to 0} \left(-\dfrac{\tan p}{p}\right) \cdot \dfrac{1}{1^2 + 1 + 1} \\ & = -1 \cdot \dfrac13 = -\dfrac13 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\tan (1-x)}{x^3-1} = -\dfrac{1}{3}}$
(Jawaban B)  

Substitusi langsung $x = \dfrac{\pi}{2}$ mengakibatkan munculnya bentuk tak tentu $\dfrac{0}{0}$.
Misalkan $\color{blue}{p = x-\dfrac{\pi}{2}}.$ Ketika $x \to \dfrac{\pi}{2}$, maka $p \to 0,$ sehingga kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left((\pi-2x) \cdot \tan 5x\right) & = \lim_{p \to 0} \left(\left(\pi-2\left(p + \dfrac{\pi}{2}\right)\right) \tan 5\left(p+\dfrac{\pi}{2}\right)\right) \\ & =-2 \lim_{p \to 0} \left(p \tan \left(5p + \dfrac{\pi}{2}\right)\right) && \left(\cdots \tan \dfrac{5\pi}{2} = \tan \dfrac{\pi}{2}\right) \\ & =-2 \lim_{p \to 0} p (-\cot 5p) && \left(\cdots \tan \left(p + \dfrac{\pi}{2}\right) =-\cot p\right) \\ & = 2 \lim_{p \to 0} \dfrac{p}{\tan 5p} \\ & = 2 \times \dfrac15 = \dfrac25 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi-2x) \cdot \tan 5x = \dfrac25}$
(Jawaban C)

Substitusi langsung nilai $x = 0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac00.$
Langkah pertama adalah kita kalikan dengan bentuk sekawan penyebutnya terlebih dahulu untuk menghilangkan bentuk akar.
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^3}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1+\tan x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^3}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1+\tan x}} \cdot \dfrac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^3}{(1+\sin x)-(1+\tan x)} \cdot \left(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x^3}{\sin x-\tan x} \cdot \left(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} \dfrac{x^2}{1-\sec x} \cdot \left(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x}\right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \color{blue}{\dfrac{x^2}{1-\sec x}} \cdot \lim_{x \to 0} \left(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x}\right) \end{aligned}$$Perhatikan bahwa substitusi $x = 0$ pada $\dfrac{x^2}{1-\sec x}$ menghasilkan bentuk tak tentu $\dfrac00$ sehingga kita cukup menggunakan Dalil L’Hospital (turunan) pada bentuk ini. Lebih lanjut, kita sudah tahu bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = 1$ dan juga $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} = 1.$
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \color{blue}{\dfrac{x^2}{1-\sec x}} \cdot \lim_{x \to 0} \left(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x}\right) \\ & \stackrel{\text{L’H}}{=} \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{2x}{-\sec x \tan x}\cdot \lim_{x \to 0} \left(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x}\right) \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} \cdot \lim_{x \to 0} \dfrac{2}{-\sec x}\cdot \lim_{x \to 0} \left(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\tan x}\right) \\ & = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{2}{-\sec 0} \cdot \left(\sqrt{1+\sin 0}+\sqrt{1+\tan 0}\right) \\ & = 1 \cdot \dfrac{2}{-1} \cdot (1+1) \\ & = -4 \end{aligned}$$Jadi, nilai limit tersebut adalah $\boxed{-4}$
(Jawaban A)

Langkah pertama adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{5+\cos x} + 2.$
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \pi} \dfrac{\sqrt{5 + \cos x}-2}{(\pi-x)^2} & = \lim_{x \to \pi} \dfrac{\sqrt{5 + \cos x}-2}{(\pi-x)^2} \color{red}{\times \dfrac{\sqrt{5+\cos x} + 2}{\sqrt{5+\cos x} + 2}} \\ & = \lim_{x \to \pi} \dfrac{(5 + \cos x)-4}{(\pi-x)^2(\sqrt{5+\cos x} + 2)} \\ & = \lim_{x \to \pi} \dfrac{1 + \cos x}{(\pi-x)^2(\sqrt{5+\cos x} + 2)} \color{blue}{\times \dfrac{1-\cos x}{1-\cos x}} \\ & =\lim_{x \to \pi} \dfrac{1-\cos^2 x}{(\pi-x)^2(\sqrt{5+\cos x} + 2)(1-\cos x)} \\ & = \lim_{x \to \pi} \dfrac{\sin^2 x}{(\pi-x)^2(\sqrt{5+\cos x} + 2)(1-\cos x)} \end{aligned}$$Karena $\sin x = \sin (\pi-x),$ maka kita peroleh
$$\begin{aligned} \lim_{x \to \pi} \dfrac{\bcancel{\sin^2 (\pi-x)}}{\bcancel{(\pi-x)^2}(\sqrt{5+\cos x} + 2)(1-\cos x)} & = \lim_{x \to \pi} \dfrac{1}{(\sqrt{5+\cos x} + 2)(1-\cos x)} \\ & = \dfrac{1}{(\sqrt{5+\cos \pi} + 2)(1-\cos \pi)} \\ & = \dfrac{1}{(\sqrt{5+(-1)}+2)(1-(-1)} \\ & = \dfrac{1}{4(2)} \\ & = \dfrac18. \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \pi} \dfrac{\sqrt{5 + \cos x}-2}{(\pi-x)^2} = \dfrac18}$
(Jawaban B)

Gunakan rumus trigonometri berikut.
$\boxed{\cos x = \sin \left(\dfrac{\pi}{2}- x\right)}$
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{x-\dfrac{\pi}{2}} & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}{x-\dfrac{\pi}{2}} \\ & = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}{-\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)} \\ & =-\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)} \\ & =-1 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos x}{x- \dfrac{\pi}{2}} =-1}$

Ingat bahwa $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} = \dfrac{a} {b}.$
Dengan demikian, 
$$\begin{aligned} & \displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{\sin^3 2a} {\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a\right) \\ & = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin 2a} {a} \left(\dfrac{\sin^2 2a} {\cos 2a} + \cos 2a\right) \\ & = \lim_{a \to 0} \dfrac{\sin 2a} {a} \cdot \lim_{a \to 0} \left(\dfrac{\sin^2 2a} {\cos 2a} + \cos 2a\right) \\ & = 2(0+1) = 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{a \to 0} \dfrac{1}{a} \left(\dfrac{\sin^3 2a} {\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a\right) = 2}$

Gunakan identitas trigonometri dan teorema limit trigonometri berikut.
$\boxed{\begin{aligned} \cos ax & = 1-2 \sin^2 \dfrac{a}{2}x \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{ax}{\sin bx} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{\sin bx} = \dfrac{a}{b} \end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \tan 2x} {x-x \cos 4x} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cancel{x} \cdot x \tan 2x} {\cancel{x} (1-\cos 4x)} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \tan 2x} {1-(1-2 \sin^2 2x)} \\ & \lim_{x \to 0} \dfrac{x \tan 2x}{2 \sin^2 2x} \\ & = \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{x} {\sin 2x} \cdot \dfrac{\tan 2x} {\sin 2x} \right) \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{4} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2 \tan 2x} {x-x \cos 4x}$ adalah $\boxed{\dfrac{1}{4}}$

Gunakan perbandingan dan identitas trigonometri berikut. 
$\boxed{\begin{aligned} \tan x & = \dfrac{\sin x} {\cos x} \\ \cos 2x & = \cos^2 x- \sin^2 x \end{aligned}}$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos 2x} {1-\tan x} & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos^2 x- \sin^2 x}{\dfrac{\cos x-\sin x} {\cos x}} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{(\cos^2 x- \sin^2 x) \cos x} {\cos x-\sin x} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{(\cos x + \sin x) \cancel{(\cos x-\sin x)} \cos x} {\cancel{\cos x-\sin x}} \\ & = \lim_{x \to 45^{\circ}} (\cos x + \sin x) \cos x \\ & = (\cos 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) \cos 45^{\circ} \\ & = \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right) \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{2} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 45^{\circ}} \dfrac{\cos 2x} {1-\tan x}$ adalah $\boxed{1}$

Jawaban a)
Diberikan $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(4x^2)}{x^2+\tan^2(3x)}.$
Untuk menghitung nilai limitnya, bagi pembilang dan penyebut dengan $x^2$. Perhatikan kembali bahwa
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax^2}{bx^2} & = \dfrac{a}{b} \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax}{bx} & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}$
Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin(4x^2)}{x^2}}{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{\tan^2(3x)}{x^2}} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin(4x^2)}{x^2}}{\dfrac{x^2}{x^2}+\dfrac{\tan 3x}{x} \times \dfrac{\tan 3x}{x}} \\ & = \dfrac{4}{1 + 3 \times 3} = \dfrac{4}{10} = \dfrac25 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(4x^2)}{x^2+\tan^2(3x)}= \dfrac25}$
Jawaban b)
Diberikan $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x^3)}{x^3+\sin^3(4x)}.$
Untuk menghitung nilai limitnya, bagi pembilang dan penyebut dengan $x^3$. Perhatikan kembali bahwa
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan ax^3}{bx^3} & = \dfrac{a}{b} \\ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin ax}{bx} & = \dfrac{a}{b} \end{aligned}$
Kita akan memperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x^3)}{x^3+\sin^3(4x)} & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\tan (2x^3)}{x^3}}{\dfrac{x^3}{x^3} + \dfrac{\sin^3 (4x)}{x^3}} \\ & = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\tan (2x^3)}{x^3}}{\dfrac{x^3}{x^3} + \dfrac{\sin (4x)}{x} \times \dfrac{\sin (4x)}{x} \times \dfrac{\sin (4x)}{x}} \\ & = \dfrac{2}{1 + 4 \times 4 \times 4} = \dfrac{2}{65} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(2x^3)}{x^3+\sin^3(4x)}=\dfrac{2}{65}}$