Soal dan Pembahasan – Pertidaksamaan Nilai Mutlak

       Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat variabel di dalam notasi mutlak. Masalah yang muncul dalam materi ini adalah penentuan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Penyelesaian yang dimaksud adalah nilai-nilai variabel yang membuat pertidaksamaan bernilai benar. Materi ini merupakan lanjutan dari perhitungan nilai mutlak dan persamaan nilai mutlak sehingga penguasaan materi yang bersangkutan harus dipastikan terlebih dahulu.

Baca : Soal dan Pembahasan – Perhitungan Nilai Mutlak

Baca : Soal dan Pembahasan – Persamaan Nilai Mutlak

      Berikut disajikan soal dan pembahasan terkait pertidaksamaan nilai mutlak. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi untuk belajar.

Quote by Winston Churchill

Success is not final, failure is not fatal. It is the courage to continue that counts.

Bagian Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x-1|<2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x \leq -1$                      D. $-3<x<1$
B. $x \leq 3$                         E. $-1<x<3$
C. $x > -1$

Pembahasan

Diketahui $|x-1| < 2$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-1| & < & 2 \\ -2 & < & x-1 & < & 2 \\ -2+1 & < & x & < & 2+1 \\ -1 & < & x & < & 3 \end{array}$
Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{-1 < x < 3}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 2
Himpunan penyelesaian dari $|2x+5| \leq 6$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{-\dfrac{11}{2} \leq x \leq \dfrac12\right\}$
B. $\left\{-\dfrac{11}{2} \leq x \leq -\dfrac12\right\}$
C. $\left\{\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{11}{2}\right\}$
D. $\left\{-\dfrac{11}{2} \leq x \leq \dfrac{11}{2}\right\}$
E. $\left\{x \leq -\dfrac{11}{2}~\text{atau}~ x \geq \dfrac12\right\}$

Pembahasan

Diketahui $|2x+5| \leq 6$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |2x+5| & < & 6 \\ -6 & < & 2x+5 & < & 6 \\ -6-5 & < & 2x & < & 6-5 \\ -11 & < & 2x & < & 1 \\ -\dfrac{11}{2} & < & x & < & \dfrac12 \end{array}$
Jadi, HP dari pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\left\{-\dfrac{11}{2} \leq x \leq \dfrac12\right\}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 3
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\left|\dfrac{x}{4}+6\right| \geq 0,5$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x~|~x \leq -26\}$
B. $\{x~|~x \leq -22\}$
C. $\{x~|~x \geq -26\}$
D. $\{x~|-26 \leq x \leq -22\}$
E. $\{x~|~x \leq -26~\text{atau}~x \geq -22\}$

Pembahasan

Hindari bentuk pecahan pada pertidaksamaan di atas dengan mengalikan $4$ pada kedua ruasnya.
$\begin{aligned} \color{red}{4}\left|\dfrac{x}{4}+6\right| & \geq \color{red}{4}(0,5) \\ |x + 24| & \leq 2 \end{aligned}$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x+24| & < & 2 \\ -2 & < & x+24 & < & 2 \\ -2-24 & < & x & < & 2-24 \\ -26 & < & x & < & -22 \end{array}$
Jadi, HP pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\{x~|-26 \leq x \leq -22\}}$
(Jawaban D)

[collapse]

Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Ketidaksamaan dan Pertidaksamaan (Bagian Dasar)

Soal Nomor 4
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|2-x|>0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x~|~x \neq 2\}$
B. $\{x~|~x \in \mathbb{R}\}$
C. $\{x~|~x = 2\}$
D. $\{x~|-2<x<6\}$
E. $\{x~|~x<-2~\text{atau}~x>6\}$

Pembahasan

Perhatikan bahwa nilai mutlak setiap bilangan tidak mungkin bernilai negatif, melainkan $0$ atau positif.
Pertidaksamaan $|2-x| > 0$ terpenuhi untuk setiap $x$ kecuali pembuat nol dari ruas kiri.
$|2-x| = 0 \Rightarrow 2-x = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Jadi, HP pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{\{x~|~x \neq 2\}}$
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 5
Jika $|3-5x|>1$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $x <\dfrac25$ atau $x > \dfrac45$
B. $\dfrac25<x<\dfrac45$
C. $x < -\dfrac25$ atau $x > \dfrac25$
D. $x < \dfrac13$ atau $x>1$
E. $x > \dfrac45$

Pembahasan

Diketahui $|3-5x| > 1$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{aligned} 3-5x & < -1 \\ -5x & < -4 \\ x & > \dfrac45 \end{aligned}$
atau
$\begin{aligned} 3-5x & > 1 \\ -5x & > -2 \\ x & < \dfrac25 \end{aligned}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah $x<\dfrac25$ atau $x>\dfrac45$.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 6
Jika $|2x-3|<1$ dan $2x < 3$, maka $\cdots \cdot$
A. $1 < x < 2$                            D. $x > \dfrac32$
B. $1 < x < \dfrac32$                         E. $x > 2$
C. $x < \dfrac32$

Pembahasan

Diketahui $|2x-3| < 1$ dan $2x<3$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |2x-3| & < & 1 \\ -1 & < & 2x-3 & < & 1 \\ -1+3 & < & 2x & < & 1+3 \\ 2 & < & 2x & < & 4 \\ 1 & < & x & < & 2 \end{array}$
Iriskan dengan $2x < 3 \Leftrightarrow x < \dfrac32$ sehingga dengan menggunakan bantuan garis bilangan berikut, diperoleh penyelesaian pertidaksamaannya adalah $\boxed{1 < x < \dfrac32}$.

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 7
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|-x^2+2x-2|<2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\infty < x < 2$                D. $0 < x < 2$
B. $0 < x < \infty$                  E. $-2 < x < 2$
C. $-2 < x < 0$

Pembahasan

Diketahui $|-x^2+2x-2|<2$.
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |-x^2+2x-2| & < & 2 \\ -2 & < & -x^2+2x-2 & < & 2 \end{array}$
Pertidaksamaan terakhir ekuivalen dengan $-x^2+2x-2 > -2$ dan $-x^2+2x-2 < 2$.
Tinjau Kasus 1: $-x^2+2x-2 > -2$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} -x^2+2x-2 & > -2 \\ -x^2+2x & > 0 \\ x^2-2x & < 0 \\ x(x-2) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x = 0$ atau $x = 2$.
Penyelesaiannya adalah
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~0 < x < 2\}}$
Tinjau Kasus 2: $-x^2+2x-2 < 2$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} -x^2+2x-4& > 0 \\ x^2-2x+4 & < 0 \\ \color{red}{(x-1)^2-1}+4 & > 0 \\ (x-1)^2 & > -3 \end{aligned}$
Bilangan kuadrat memiliki nilai terkecil $0$, sehingga pertidaksamaan di atas terpenuhi untuk setiap nilai $x$.
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|~x \in \mathbb{R}\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan oleh
$\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x~|~0 < x < 2\} \end{aligned}$
(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 8
Nilai-nilai $x$ dalam penulisan notasi selang yang memenuhi pertidaksamaan $|x^2-x-2| < 4$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-3, 2)$                       D. $(-5, 1)$
B. $(-2, 3)$                       E. $(-1, 6)$
C. $(-1, 5)$

Pembahasan

Diketahui $|x^2-x-2|<4$.
Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan $-4 < x^2-x-2 < 4$. Dengan kata lain, $x^2-x-2 > -4$ dan $x^2-x-2 < 4$.
Tinjau Kasus 1: $x^2-x-2 > -4$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} x^2-x-2 & > -4 \\ x^2-x+2 & > 0 \\ \color{red}{\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac14}+2 & > 0 \\ \left(x-\dfrac12\right)^2 & > -\dfrac74 \end{aligned}$
Bilangan kuadrat memiliki nilai terkecil $0$, sehingga pertidaksamaan di atas terpenuhi untuk setiap nilai $x$.
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~x \in \mathbb{R}\}}$
Tinjau Kasus 2: $x^2-x-2 < 4$
Selesaikan pertidaksamaan.
$\begin{aligned} x^2-x-2 & < 4 \\ x^2-x-6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & < 0 \end{aligned}$
Pembuat nol: $x=-2$ atau $x=3$.
(Garis bil)
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-2 < x < 3\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpuan adalah
$\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x~|-2 < x < 3\} \end{aligned}$
Notasi selang yang menjadi penyelesaian untuk nilai $x$ adalah $\boxed{(-2, 3)}$.

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 9
Himpunan semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x+8|-|3x-4| \geq 0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x~|~x \geq -8\}$
B. $\left\{x~|~x \leq \dfrac43\right\}$
C. $\{x~|-1 \leq x \leq 6\}$
D. $\left\{x~|-8 \leq x \leq \dfrac43\right\}$
E. $\{x~|~x \leq -1~\text{atau}~x \geq 6\}$

Pembahasan

Diketahui $|x+8|-|3x-4| \geq 0$.
Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan $|x+8| \geq |3x-4$.
Kuadratkan kedua ruas dan gunakan pemfaktoran $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$.
$$\begin{aligned} (x+8)^2 & \geq (3x-4)^2 \\ (x+8)^2-(3x-4)^2 & \geq 0 \\ (\color{red}{(x+8)}+\color{blue}{(3x-4)})(\color{red}{(x+8)}-\color{blue}{(3x-4)}) & \geq 0 \\ (4x+4)(-2x+12) & \geq 0 \end{aligned}$$
Pembuat nol:
$4x+4 = 0 \Leftrightarrow 4x = -4 \Leftrightarrow x = -1$
$-2x+12 = 0 \Leftrightarrow -2x = -12 \Leftrightarrow x = 6$
Dengan demikian, himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak di atas adalah
$\{x~|~x \leq -1~\text{atau}~x \geq 6\}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 10
Jika $2|x-1| < |x+2|$, maka nilai-nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$
A. $-2 < x < 0$
B. $0 <x<2$
C. $0<x<4$
D. $x<0$ atau $x > 4$
E. $0<x<\infty$ atau $-\infty<x<4$

Pembahasan

Diketahui $2|x-1| < |x+2| \Leftrightarrow |2x-2| < |x+2|$.
Kuadratkan kedua ruas, lalu sederhanakan. Gunakan pemfaktoran $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ untuk mempersingkat pengerjaan.
$$\begin{aligned} (2x-2)^2 & < (x + 2)^2 \\ (2x-2)^2-(x+2)^2 & < 0 \\ (\color{red}{(2x-2)}+\color{blue}{(x+2)})(\color{red}{(2x-2)}-\color{blue}{(x+2)}) & < 0 \\ (3x)(x-4) & < 0 \end{aligned}$$
Diperoleh pembuat nol $x = 0$ atau $x=4$.
Penyelesaiannya adalah $0 < x < 4$.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 11
Semua nilai $x$ yang memenuhi $0 < |x-3| \leq 3$ adalah $\cdots \cdot$
A. $0<x<3$ atau $3<x<6$
B. $0\leq x<3$ atau $3<x \leq 6$
C. $0<x \leq 3$ atau $3<x<6$
D. $0 \leq x \leq 3$ atau $3<x \leq 6$
E. $0 \leq x \leq 3$ atau $3<x<6$

Pembahasan

Diketahui $0 < |x-3| \leq 3$.
Pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan $|x-3| > 0$ dan $|x-3| \leq 3$.
Tinjau Kasus 1: $|x-3| > 0$
Pertidaksamaan ini terpenuhi untuk setiap nilai $x$ kecuali pembuat nolnya, yakni $x=3$.
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~x \neq 3\}}$
Tinjau Kasus 2: $|x-3| \leq 3$
Selesaikan pertidaksamaan ini dengan menggunakan sifat.
$$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-3| & \leq & 3 \\ -3 & \leq & x-3 & \leq & 3 \\ -3+3 & \leq & x & \leq & 3+3 \\ 0 & \leq & x & \leq & 6 \end{array}$$
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|~0 \leq x \leq 6\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x~|~0 \leq x < 3~\text{atau}~3 < x \leq 6\} \end{aligned}}$

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|x^2-2|-6+2x<0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{x~|-4<x<13\}$
B. $\{x~|~x<3\}$
C. $\{x~|~x>-4\}$
D. $\{x~|-4<x<2\}$
E. $\{x~|~x<2\}$

Pembahasan

Diketahui $|x^2-2|-6+2x<0$.
Tinjau Kasus 1:
Misalkan $x^2-2 \geq 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) \geq 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x \leq -\sqrt2~\text{atau}~x \geq \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{(x^2-2)}-6+2x & < 0 \\ x^2+2x-8 & < 0 \\ (x+4)(x-2) & < 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$-4 < x < 2~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|-4 < x \leq -\sqrt2~\text{atau}~\sqrt2 \leq x < 2\}}$$
Tinjau Kasus 2:
Misalkan $x^2-2 < 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) < 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$-\sqrt2 < x < \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{-(x^2-2)}-6+2x & < 0 \\ -x^2+2x-4 & < 0 \\ x^2-2x+4 & < 0 \\ \color{red}{(x-1)^2- 1} + 4 & < 0 \\ (x-1)^2 & < -3 \end{aligned}$
Bilangan kuadrat memiliki nilai terkecil $0$, sehingga pertidaksamaan di atas terpenuhi untuk setiap nilai $x$. Penyelesaiannya adalah
$\boxed{x \in \mathbb{R}}~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-\sqrt2 < x < \sqrt2\}}$
Gabungan dari kedua HP tersebut dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cup \text{HP}_2 \\ & = \{x~|~-4 < x < 2\} \end{aligned}}$

(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 13
Himpunan semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $|x-2|^2<4|x-2|+12$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\{~~\}$
B. $\{x~|-8<x<4\}$
C. $\{x~|~x<8\}$
D. $\{x~|~x \in \mathbb{R}\}$
E. $\{x~|-4<x<8\}$

Pembahasan

Diketahui $|x-2|^2<4|x-2|+12$.
Misalkan $|x-2| = y$, sehingga pertidaksamaan nilai mutlak dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} y^2 & < 4y + 12 \\ y^2-4y-12 & < 0 \\ (y-6)(y+2) &< 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah $-2 < y < 6$, yang artinya $y > -2$ dan $y < 6$.
Tinjau Kasus 1: $y > -2$.
Substitusi kembali $y = |x-2|$, sehingga diperoleh $|x-2| > -2$.
Pertidaksamaan ini terpenuhi untuk setiap nilai $x$.
$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~x \in \mathbb{R}\}}$
Tinjau Kasus 2: $y < 6$.
Substitusi kembali $y = |x-2|$, sehingga diperoleh
$\begin{array}{rcccl} & ~ & |x-2| & < & 6 \\ -6 & < & x-2 & < & 6 \\ -6+2 & < & x & < & 6+2 \\ -4 & < & x & < & 8 \end{array}$
Himpunan penyelesaiannya adalah
$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-4 < x < 8\}}$
Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cap \text{HP}_2 \\ & = \{x~|-4 < x < 8\} \end{aligned}}$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 14
Solusi dari $|x^2-3| < 2x$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1<x<3$
B. $-3<x<1$
C. $1<x < 3$
D. $-3<x<-1$ atau $1<x<3$
E. $x>1$

Pembahasan

Diketahui $|x^2-3| < 2x$.
Tinjau Kasus 1:
Misalkan $x^2-3 \geq 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt3)(x+\sqrt3) \geq 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x \leq -\sqrt3~\text{atau}~x \geq \sqrt3~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{(x^2-3)} & < 2x \\ x^2-2x-3 & < 0 \\ (x-3)(x+1) & < 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$-1 < x < 3~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|~\sqrt3 \leq x < 3\}}$
Tinjau Kasus 2:
Misalkan $x^2-3 < 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt3)(x+\sqrt3) < 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$-\sqrt3 < x < \sqrt3~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{-(x^2-3)} & < 2x \\ -x^2-2x+3 & < 0 \\ x^2+2x-3 & > 0 \\ (x+3)(x-1) & > 0 \end{aligned}$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x < -3~\text{atau}~x > 1~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.

$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|~1 < x < \sqrt3\}}$
Gabungan dari kedua HP tersebut dinyatakan oleh
$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cup \text{HP}_2 \\ & = \{x~|~1 < x < 3\} \end{aligned}}$
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 15
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi $|x^2-2| \leq 1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-\sqrt3 \leq x \leq \sqrt3$
B. $-1 \leq x \leq 1$
C. $1 \leq x \leq \sqrt3$
D. $x \leq -1$ atau $x \geq 1$
E. $-\sqrt3 \leq x \leq -1$ atau $1 \leq x \leq \sqrt3$

Pembahasan

Diketahui $|x^2-2| \leq 1$.
Tinjau Kasus 1:
Misalkan $x^2-2 \geq 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) \geq 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$x \leq -\sqrt2~\text{atau}~x \geq \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{(x^2-2)} & \leq 1 \\ x^2-3 & \leq 0 \\ (x+\sqrt3)(x-\sqrt3) & \leq 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$-\sqrt3 \leq x \leq \sqrt3~~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.
$$\boxed{\text{HP}_1 = \{x~|-\sqrt3 \leq x \leq -\sqrt2~\text{atau}~\sqrt2 \leq x \leq \sqrt3\}}$$
Tinjau Kasus 2:
Misalkan $x^2-2 < 0 \Leftrightarrow (x-\sqrt2)(x+\sqrt2) < 0$
Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat di atas adalah
$-\sqrt2 < x < \sqrt2~~~(\bigstar)$
Dengan demikian, pertidaksamaan nilai mutlaknya dapat ditulis sebagai berikut.
$\begin{aligned} \color{blue}{-(x^2-2)} & \leq 1 \\ -x^2+1 & \leq 0 \\ x^2-1 & \geq 0 \\ (x+1)(x-1) & \geq 0 \end{aligned}$
Penyelesaiannya adalah
$x \leq -1~\text{atau}~x \geq 1~~~(\bigstar \bigstar)$
Gunakan bantuan garis bilangan untuk membantu meninjau irisan dari $\bigstar$ dan $\bigstar \bigstar$.
$$\boxed{\text{HP}_2 = \{x~|-\sqrt2 < x \leq -1~\text{atau}~1 \leq x < \sqrt2\}}$$
Gabungan dari kedua HP tersebut dinyatakan oleh
$$\boxed{\begin{aligned} \text{HP} & = \text{HP}_1 \cup \text{HP}_2 \\ & = \{x~|-\sqrt3 \leq x < 1~\text{atau}~1 \leq x \leq \sqrt3\} \end{aligned}}$$
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 16
Penyelesaian pertidaksamaan
$\left|\dfrac{x+3}{x-3}\right| \leq 1$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x < 3$                           D. $x > 1$
B. $x < 0$                           E. $x \geq 1$
C. $x \leq 0$

Pembahasan

Diketahui $\left|\dfrac{x+3}{x-3}\right| \leq 1$, yang ekuivalen dengan $\dfrac{|x+3|}{|x-3|} \leq 1$.
Kalikan kedua ruas dengan $|x-3|$ dengan syarat bahwa $x \neq 3$ (agar penyebut tidak bernilai $0$) sehingga diperoleh
$$\begin{aligned} |x+3| & \leq |x-3| \\ (x+3)^2 & \leq (x-3)^2 \\ (\color{red}{x+3})^2-(\color{blue}{x-3})^2 & \leq 0 \\ (\color{red}{(x+3)}+\color{blue}{(x-3)})(\color{red}{(x+3)}-\color{blue}{(x-3)}) & \leq 0 \\ (2x)(6) & \leq 0 \\ x & \leq 0 && (\text{Bagi}~12) \end{aligned}$$
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak di atas adalah $\boxed{x \leq 0}$
(Jawaban C)

[collapse]

Bagian Uraian

Soal Nomor 17
Tentukan penyelesaian dari $|x+|x|| \leq x|x|$.

Pembahasan

Berdasarkan definisi nilai mutlak, kita tahu bahwa
$|x| = \begin{cases} x, &~\text{jika}~x \geq 0 \\ -x, &~\text{jika}~x < 0 \end{cases}$
Kasus $(1)$:
Misalkan $\color{blue}{x \geq 0}$. Dengan demikian, pertidaksamaan $|x+|x|| \leq x|x|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} |x+\color{red}{x}| & \leq x\color{red}{(x)} \\ |2x| & \leq x^2 \\ \color{red}{2x} & \leq x^2 \\ x^2-2x & \geq 0 \\ x(x-2) & \geq 0 \\ x \leq 0~\text{atau}~&x \geq 2 \end{aligned}$
Irisan dari $\color{blue}{x \geq 0}$ dan $x \leq 0~\text{atau}~x \geq 2$ adalah $\boxed{x = 0~\text{atau}~x \geq 2}$
Kasus $(2)$:
Misalkan $\color{blue}{x < 0}$. Dengan demikian, pertidaksamaan $|x+|x|| \leq x|x|$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned} |x+\color{red}{(-x)}| & \leq x\color{red}{(-x)} \\ 0 & \leq -x^2 \\ x^2 & \leq 0 \end{aligned}$
Penyelesaian dari pertidaksamaan di atas hanya $x = 0$, tetapi karena syarat $\color{blue}{x < 0}$, maka kasus ini tidak memiliki penyelesaian.
Kesimpulan:
Gabungan dari penyelesaian yang didapat pada kasus $(1)$ dan $(2)$ adalah $\boxed{x=0~\text{atau}~x \geq 2}$

[collapse]

Soal Nomor 18
Untuk $1 < x < 4$, tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $||2x-1|-7| \geq 2$.

Pembahasan

Diketahui $||2x-1|-7| \geq 2$.
Perhatikan bahwa untuk interval $1 < x < 4$, ekspresi $2x-1$ selalu bernilai positif, sehingga $|2x-1| = 2x-1$ (tanda mutlak dapat diabaikan).
Untuk itu, ditulis
$\begin{aligned} |\color{red}{(2x-1)}-7| & \geq 2 \\ |2x-8| & \geq 2 \end{aligned}$
Selanjutnya, perhatikan bahwa ekspresi $2x-8$ selalu bernilai negatif ketika $1 <x < 4$, sehingga $|2x-8| = -(2x-8)$.
Sekarang kita tuliskan
$-(2x-8) \geq 2 \Leftrightarrow -2x+8 \geq 2 \Leftrightarrow x \leq 3$
Iriskan dengan syarat $1 < x < 4$.
Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak di atas adalah $\boxed{1 < x \leq 3}$

[collapse]

Soal Nomor 19
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{2-|x-1|}{|x-1|-1} \geq 0$.

Pembahasan

Diketahui $\dfrac{2-|x-1|}{|x-1|-1} \geq 0$.
Misalkan $|x-1| = y$, sehingga dapat kita tuliskan $\dfrac{2-y}{y-1} \geq 0$.
Kasus 1:
Misalkan $y-1 > 0 \Leftrightarrow y > 1$.
Kalikan kedua ruas dengan $y-1$ sehingga diperoleh
$2-y \geq 0 \Leftrightarrow y \leq 2$
Irisan dari $y > 1$ dan $y \leq 2$ adalah $1 < y \leq 2$.
Substitusi kembali $y = |x-1|$ sehingga kita peroleh
$1 < |x-1| \leq 2$, artinya
$|x-1| > 1$ dan $|x-1| \leq 2$
Kasus $(1a)$: $|x-1| > 1$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$x-1 < -1~\text{atau}~x-1 > 1$
atau disederhanakan menjadi
$\boxed{x < 0~\text{atau}~x > 2}$
Kasus $(1b)$: $|x-1| \leq 2$
Dengan menggunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak, diperoleh
$-2 \leq x-1 \leq 2$
atau disederhanakan menjadi
$\boxed{-1 \leq x \leq 3}$
Irisan dari $(1a)$ dan $(1b)$ adalah $\color{blue}{-1 \leq x < 0}$ atau $\color{blue}{2 < x \leq 3}$
Kasus $(2)$:
Tinjau kembali $\dfrac{2-y}{y-1} \geq 0$.
Misalkan $y-1 < 0 \Leftrightarrow y < 1$.
Kalikan kedua ruas dengan $y-1$ sehingga diperoleh
$2-y \leq 0 \Leftrightarrow y \geq 2$
Irisan dari $y < 1$ dan $y \geq 2$ tidak ada sehingga himpunan penyelesaian untuk kasus ini kosong.
Jadi, penyelesaian untuk pertidaksamaan $\dfrac{2-|x-1|}{|x-1|-1} \geq 0$ adalah $\boxed{-1 \leq x < 0~\text{atau}~2 < x \leq 3}$

[collapse]

Baca : Soal dan Pembahasan – Soal Cerita (Aplikasi) Nilai Mutlak