Tag: Pangkat

Fungsi logaritma didefinisikan sebagai fungsi satu variabel dengan rumus umum $k\cdot {}^a\log x$ untuk $a>0$ dan $x>0$. Dapat diperhatikan bahwa variabel fungsi harus terdapat pada numerus logaritma.
Berdasarkan opsi jawaban yang diberikan, kita dapatkan bahwa
Opsi A: fungsi logaritma
Opsi B: fungsi mutlak
Opsi C: fungsi eksponen
Opsi D: fungsi kubik
Opsi E: fungsi konstan
Jadi, yang termasuk fungsi logaritma adalah $\boxed{{\displaystyle f(x)={}^2\log (x+3)}}$
(Jawaban A)

Berdasarkan opsi yang diberikan, semua titik memiliki absis yang berbeda-beda sehingga harus diperiksa satu per satu.
Opsi A: $(0,6)$
Substitusi $x=0$ pada $g(x)=3\cdot {}^2\log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{array}{rl}g(0)& =3\cdot {}^2\log (0+4)\\ & =3\cdot 2=6\end{array}$$Grafik fungsi logaritma tersebut melalui titik $(0,6)$.
Opsi B: $(-3,1)$
Substitusi $x=-3$ pada $g(x)=3\cdot {}^2\log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{array}{rl}g(-3)& =3\cdot {}^2\log (-3+4)\\ & =3\cdot 0=0\end{array}$$Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik $(-3,0)$.
Opsi C: $(-2,4)$
Substitusi $x=-2$ pada $g(x)=3\cdot {}^2\log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{array}{rl}g(-2)& =3\cdot {}^2\log (-2+4)\\ & =3\cdot 1=3\end{array}$$Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik $(-2,3)$.
Opsi D: $(4,12)$
Substitusi $x=4$ pada $g(x)=3\cdot {}^2\log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{array}{rl}g(4)& =3\cdot {}^2\log (4+4)\\ & =3\cdot 3=9\end{array}$$Grafik fungsi logaritma tersebut seharusnya melalui titik $(4,9)$.
Opsi E: $(6,12)$
Substitusi $x=6$ pada $g(x)=3\cdot {}^2\log (x+4)$, diperoleh
$$\begin{array}{rl}g(6)& =3\cdot {}^2\log (6+4)\\ & =3\cdot {}^2\log 10\end{array}$$Grafik fungsi logaritma tersebut melalui titik $(6,3\cdot {}^2\log 10)$.
(Jawaban A)

Diketahui $f(x)=k\cdot {}^3\log x$.
Karena grafik fungsi melalui titik $(9,10)$, yang artinya $x=9$ dan $y=f(9)=10$, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}10& =k\cdot {}^3\log 9\\ 10& =k\cdot 2\\ k& =5\end{array}$$Dengan demikian, nilai $\boxed{{\displaystyle 2k=2(5)=10}}$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {}^5\log (x+25)$.
Saat grafik fungsi memotong sumbu $Y$, absis titik yang dilalui fungsi bernilai $0$, ditulis $x=0$.
Untuk itu, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}f(0)& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {}^5\log (0+25)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {}^5\log 25\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 2={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$Jadi, grafik fungsi $f$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,{\displaystyle \frac{2}{3}})$.
(Jawaban C)

Diketahui $f(x)=\log x^2=2\log x$ sehingga
$$\begin{array}{rl}f(mn)& =2\log (mn)\\ & =2(\log m+\log n)\end{array}$$Jadi, $f(mn)$ sama dengan $\boxed{{\displaystyle 2(\log m+\log n)}}$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x)=\log x$.
Dengan demikian, didapat
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{f(x^a)}{f(x^b)}}& ={\displaystyle \frac{\log x^a}{\log x^b}}\\ & ={\displaystyle \frac{a\cancel{\log x}}{b\cancel{\log x}}}\\ & ={\displaystyle \frac{a}{b}}\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{f(x^a)}{f(x^b)}}={\displaystyle \frac{a}{b}}}}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x)=3\cdot {}^2\log (3x)$.
Ubah $f(x)$ menjadi $0$ sehingga kita peroleh
$$\begin{array}{rl}3\cdot {}^2\log (3x)& =0\\ {}^2\log (3x)& =0\\ 3x& =2^0\\ 3x& =1\\ x& ={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$$Jadi, nilai $x$ yang membuat fungsi $f$ bernilai $0$ adalah $\boxed{{\displaystyle x={\displaystyle \frac{1}{3}}}}$
(Jawaban B)

Suatu fungsi logaritma yang berbentuk $f(x)={}^a\log x$ akan monoton naik (disebut fungsi naik) saat $a>1$ dan monoton turun (disebut fungsi turun) saat $0<a<1.$
Dari kelima fungsi yang diberikan pada opsi, hanya opsi E yang menunjukkan fungsi logaritma dengan $0<a<1$, yaitu $a=0,5.$
Jadi, $f(x)={}^{0,5}\log x+4$ termasuk fungsi turun yang grafiknya sebagai berikut.(Jawaban E)

Daerah asal fungsi logaritma ditentukan dari numerus logaritmanya, yaitu dibatasi oleh syarat bahwa nilainya harus positif.
Diketahui $f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {}^3\log (x^2-4).$
Numerus logaritma dari fungsi tersebut adalah $x^2-4$ sehingga kita tuliskan
$$\begin{array}{rl}{x}^2-4& >0\\ (x-2)(x+2)& >0\\ x<-2\text{atau}& x>2\end{array}$$Jadi, domain fungsi tersebut adalah $$\boxed{{\displaystyle D_f=\{x\mid x<-2\text{atau}x>2,x\in \mathbb{R}\}}}$$(Jawaban A)

Hitung $g(f(2))$ dengan menghitung $f(2)$ terlebih dahulu.
Diketahui $f(x)=x\log x$ sehingga $f(2)=2\log 2=\log 2^2$.
Diketahui juga $g(x)={10}^x$ sehingga
$$\begin{array}{rl}g(f(2))& =g(\log 2^2)\\ & ={10}^{\log 2^2}\\ & ={10}^{{}^{10}\log 4}\\ & =4\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle g(f(2))=4}}$
(Jawaban C)

Mencari nilai $f^{-1}(15)$ sama artinya dengan mencari nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2^{3x-3}=15$.
Dengan mengubah bentuk eksponen di atas menjadi logaritma, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}{}^2\log 15& =3x-3\\ {}^2\log 15+3& =3x\\ {\displaystyle \frac{{}^2\log 15+3}{3}}& =x\end{array}$$Jadi, nilai dari $\boxed{{\displaystyle f^{-1}(15)={\displaystyle \frac{{}^2\log 15+3}{3}}}}$
(Jawaban A)

Hitung dahulu $g(h(x))$ dengan $h(x)=x^2+8x+16$ dan $g(x)=\log x^2$. Kita peroleh
$$\begin{array}{rl}g(h(x))& =g(x^2+8x+16)\\ & =\log (x^2+8x+16{)}^2\\ & =2\log (x^2+8x+16)\\ & =2\log (x+4{)}^2\\ & =4\log (x+4)\end{array}$$Kita ditanya $f^{-1}[g(h(x))]=f^{-1}(4\log (x+4)),$ sehingga kita perlu menentukan fungsi invers $f^{-1}$ dari $f(x)=8^{x+1}$.
Tuliskan sebagai $y=8^{x+1}$ terlebih dahulu. Selanjutnya, didapat
$$\begin{array}{rl}\log y& =\log 8^{x+1}\\ \log y& =(x+1)\log 8\\ {\displaystyle \frac{\log y}{\log 8}}& =x+1\\ {}^8\log y-1& =x\end{array}$$Tuliskan $x$ sebagai $f^{-1}(y)$, kemudian ganti variabel $y$ dengan variabel $x$.
$$\begin{array}{rl}{f}^{-1}(y)& ={}^8\log y-1\\ f^{-1}(x)& ={}^8\log x-1\end{array}$$Sekarang, kita akan mencari $f^{-1}(4\log (x+4))$.
$$\begin{array}{rl}{f}^{-1}(4\log (x+4))& ={}^8\log [4\log (x+4)]-1\\ & ={}^8\log [4\log (x+4)]{-}^8\log 8\\ & ={}^8\log \left({\displaystyle \frac{4\log (x+4)}{8}}\right)\\ & ={}^8\log \left({\displaystyle \frac{\log (x+4)}{2}}\right)\\ & ={}^8\log (\log (x+4{)}^{\frac{1}{2}})\\ & ={}^8\log (\log \sqrt{x+4})\end{array}$$Jadi, rumus fungsi $f^{-1}[g(h(x))]$ adalah $$\boxed{{\displaystyle f^{-1}[g(h(x))]={}^8\log (\log \sqrt{x+4})}}$$(Jawaban B)

Nilai absis fungsi logaritma tersebut ($a=2$) lebih besar dari $1$ sehingga $f(x)$ minimum tercapai ketika nilai numerus $g(x)=x^2-2x+9$ juga minimum.
Karena $g(x)$ adalah fungsi kuadrat, maka nilai minimum $g(x)$ diperoleh ketika $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ dengan $a,b$ masing-masing koefisien $x^2$ dan koefisien $x$. Kita tuliskan
$$\begin{array}{rl}x& =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}\\ & =-{\displaystyle \frac{(-2)}{2(1)}}\\ & =1\end{array}$$Ini berarti $x=1$ membuat $g(x)$ minimum, begitu juga dengan nilai fungsi logaritma $f(x)$.
Substitusi $x=1$ pada $f(x)$, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}f(1)& ={}^2\log (x^2-2x+9)\\ & ={}^2\log ((1{)}^2-2(1)+9)\\ & ={}^2\log 8\\ & =3\end{array}$$Jadi, nilai minimum $f(x)={}^2\log (x^2-2x+9)$ adalah $\boxed{{\displaystyle 3}}$, seperti yang tampak pada grafik berikut.(Jawaban D)

Nilai absis fungsi logaritma tersebut ($a=\frac{1}{3}$) lebih kecil dari $1$ sehingga $f(x)$ maksimum tercapai ketika nilai numerus $g(x)=(x+3{)}^2+1$ minimum.
Dapat dilihat bahwa bentuk $(x+3{)}^2$ minimum bernilai $0$ sehingga $g(x)$ minimum bernilai $0+1=1$, tercapai saat $x=-3$.
Ini berarti $x=-3$ membuat nilai fungsi logaritma $f(x)$ maksimum.
Substitusi $x=-3$ pada $f(x)$, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}f(-3)& ={}^{1/3}\log ((-3+3{)}^2+1)\\ & ={}^{1/3}\log 1\\ & =0\end{array}$$Jadi, nilai maksimum dari $f(x)={}^{1/3}\log ((x+3{)}^2+1)$ adalah $\boxed{{\displaystyle 0}}$, seperti yang tampak pada grafik berikut.(Jawaban C)

Pertama, cari nilai maksimum dari grafik fungsi $f(x)={}^2\log (-x^2+6x+7).$ Fungsi logaritma tersebut akan bernilai maksimum jika numerusnya dibuat sebesar mungkin. Dengan kata lain, akan dicari nilai maksimum dari bentuk kuadrat $(-x^2+6x+7).$
Misalkan $g(x)=-x^2+6x+7.$
$$\begin{array}{rl}{x}_p& =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}=-{\displaystyle \frac{6}{2(-1)}}=3\\ y_p& =-(3{)}^2+6(3)+7=16\end{array}$$Jadi, nilai maksimum dari bentuk $(-x^2+6x+7)$ adalah $16$ sehingga nilai maksimum dari $f$ adalah $f_{\text{maks}}={}^2\log 16=4.$ Titik maksimum di $(3,4).$ Bayangan hasil pencerminan terhadap sumbu $X$ di $(3,-4).$ Jadi, nilai minimum grafik hasil pencerminan adalah $\boxed{{\displaystyle -4}}$
(Jawaban D)

Grafik di atas merupakan grafik umum fungsi logaritma dengan persamaan $y={}^a\log x$. Karena grafiknya monoton naik, maka nilai basis $a>1$ sehingga satu-satunya opsi yang menunjukkan persamaan grafik adalah opsi A, yaitu $y={}^3\log x$. Persamaan ini juga sesuai dengan fakta bahwa grafik melalui titik $(1,0)$ dan $(3,1)$.
(Jawaban A)

Perhatikan grafik dari fungsi logaritma umum dengan rumus $f(x)={}^2\log x$ berikut.
Jika kita geser grafik tersebut $2$ satuan ke bawah, maka kita akan peroleh grafik tepat seperti gambar pada soal sehingga persamaan grafik yang sesuai adalah $\boxed{{\displaystyle y={}^2\log x-2}}$
(Jawaban D)

Plot beberapa titik latis (titik dengan koordinat bulat) dengan memilih nilai $x$ yang merupakan bentuk eksponen dari $4$.
$$\begin{array}{|ccc|}\hline x& 1& 4\\ y& 0& 1\\ \hline\end{array}$$Asimtot tegak fungsi logaritma tersebut adalah $x=0$ sehingga grafiknya akan tampak seperti gambar berikut.
Grafik $f(x)={}^4\log x$ (warna merah) digeser ke kanan sebanyak $1$ satuan sehingga asimtot tegaknya berubah menjadi $x=1$ dan grafiknya tampak seperti kurva warna biru pada gambar di bawah. Dari sini, geser grafik ke atas sejauh $2$ satuan sehingga diperoleh grafik $f(x)={}^4\log (x-1)+2$ yang ditandai dengan warna merah muda.

Diberikan persamaan taraf intensitas bunyi sebagai berikut.
$$\boxed{{\displaystyle T=10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}}}$$Catatan: Basis logaritma yang bernilai $10$ tidak perlu ditulis. Jadi,
$$\boxed{{\displaystyle 10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}=10\cdot {}^{10}\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}}}$$Jawaban a)
Diketahui $I=10.000I_0.$
Dengan menggunakan persamaan di atas, kita peroleh
$$\begin{array}{rl}T& =10\log {\displaystyle \frac{10.000\cancel{I_0}}{\cancel{I_0}}}\\ & =10\log 10.000\\ & =10(4)=40\text{dB}.\end{array}$$Jadi, taraf intensitas bunyinya sebesar $\boxed{{\displaystyle 40\text{dB}}}$
Jawaban b)
Taraf intensitas bunyi untuk sumber bunyi desah daun dengan $I={10}^{-1}{\text{Wm}}^2$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}T& =10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}\\ & =10\log {\displaystyle \frac{{10}^{-1}}{{10}^{-12}}}\\ & =10\log {10}^{11}\\ & =10(11)=110\text{dB}.\end{array}$$Taraf intensitas bunyi untuk sumber bunyi suara bisikan dengan $I={10}^{-10}{\text{Wm}}^2$ dinyatakan sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}T& =10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}\\ & =10\log {\displaystyle \frac{{10}^{-10}}{{10}^{-12}}}\\ & =10\log {10}^2\\ & =10(2)=20\text{dB}.\end{array}$$Jawaban c)
Dari persamaan taraf intensitas bunyi di atas, kita dapat menyatakan $I$ dalam $I_0$ dan $T$ sebagai berikut.
$$\begin{array}{rl}T& =10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}\\ {\displaystyle \frac{T}{10}}& =\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}& & (\text{Kedua ruas dibagi}10)\\ {\displaystyle \frac{I}{I_0}}& ={10}^{\frac{T}{10}}& & {(}^a\log b=c\iff b=a^c)\\ I& =I_0\cdot {10}^{\frac{T}{10}}& & (\text{Kedua ruas dikali}{I}_0)\end{array}$$Jadi, kita peroleh $\boxed{{\displaystyle I=I_0\cdot {10}^{{\displaystyle \frac{T}{10}}}}}$