Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan

     Bentuk umum PD linear orde dua dengan koefisien konstan adalah a_0\dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + a_1\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + a_2y = 0.
Misalkan y = e^{mx}, maka \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} = me^{mx} dan \dfrac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} = m^2e^{mx}, sehingga PD di atas dapat ditulis menjadi a_0(m^2e^{mx}) + a_1(me^{mx}) + a_2(e^{mx}) = 0.
Faktorkanlah menjadi e^{mx}(a_0m^2 + a_1m + a_2) = 0, sehingga dari sini, haruslah a_0m^2 + a_1m + a_2 = 0, sebab e^{mx} tidak mungkin bernilai 0 untuk setiap x. Persamaan a_0m^2 + a_1m + a_2 = 0 selanjutnya disebut persamaan karakteristik. Akar penyelesaian untuk m dinamakan akar karakteristik.

Aturan:
Misalkan m_1 dan m_2 adalah akar penyelesaian dari persamaan karakteristik serta D adalah diskriminan persamaan kuadrat itu:
Jika m_1 \neq m_2 (D > 0), maka solusi umum PD tersebut adalah
y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x}
Jika m_1 = m_2 = m (D = 0), maka solusi umum PD tersebut adalah
y = C_1e^{mx} + C_2xe^{mx}
Jika akarnya imajiner (D < 0) berbentuk m_{1,2} = a \pm bi, maka solusi umum PD tersebut adalah
y = e^{ax}(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx) (Rumus Euler).
Berikut ini adalah contoh soal beserta penyelesaiannya mengenai persamaan diferensial linear orde dua dengan koefisien konstan. Lanjutkan membaca “Soal dan Pembahasan: Persamaan Diferensial Linear Orde Dua (Homogen) dengan Koefisien Konstan”

Ayo Beri Rating Postingan Ini